Regard "entropologique" sur les maths. Suite 2

Publié le par Hari Seldon

Regard "entropologique" sur les maths. Suite 2

Retour sur la structure d’anneau

Pourquoi avons-nous cette loi de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ?

C'est-à-dire que pour tout x, y et z on a:

(y+z) X x = (y X x) + (z X x)

Et pourquoi pas la réciproque ?

(yXz) + x = (y+x) X (z+x)

Gamin je me posais déjà la question, sans obtenir de réponse très claire. Notre approche peut-elle nous y aider ?

Partons de cette différence dans la façon que nous avons de repérer l’ensemble E sur lequel opèrent nos deux lois de composition interne.

En notant le niveau imaginaire synchronique de l’ensemble E en indice, nous sommes arrivés à :

  • Addition : (Ek x Ek) = f => (E k+1)
  • Multiplication : (E k+1 x Ek) = f => (E k+1)

Cette différence de repérage tenant à ce que

  • l’addition agit sur deux objets de même niveau imaginaire

=> une allumette (en Ek) + une allumette (en Ek);

  • La multiplication est liée à la répétition d’une action (repérée à un niveau synchronique supérieur) sur un objet de niveau synchronique donné :

=> une fois ( repéré en Ek+1) X une allumette (en Ek).

Nous avons vu que pour constater la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, il nous fallait, dans notre décompte d’allumettes, reculer au niveau imaginaire I3 :

Dans notre exemple : (4+3) X 2 = (4 X 2) + (3 X 2)

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C’est à dire qu’à chaque fois, l’addition se fait sur des éléments de même niveau imaginaire, soit en I2 ou en I3.

Essayons de représenter maintenant (4X3)+ 2 et (4+2) X (3+2)

Précisons notre notation : les allumettes sont comptées à droite, les actions à gauche. C’est à dire  que:

4 X 3 signifie : 4 (repéré en Ik+1) fois 3 allumettes (repéré en Ik)

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La différence tient au fait qu’écrire (4 X 3) ne peut pas s’imaginer au même niveau que l’écriture de (4+2). En effet, dans le premier saut diachronique, je ne peux considérer que des unités : je constate simplement l’existence (ou pas) de l’élément. Pour compter 3 allumettes, ils faut déjà être en I1 ; pour qu’elles soient « dénombrables ». En conséquence, je dois reculer en I2 pour écrire : 4 X 3 allumettes.

C’est dire que les deux écritures (4X3)+ 2 et (4+2) X (3+2) ne décrivent pas la même séquence d’actions. Ce qui se repère immédiatement en considérant le niveau imaginaire auquel je peux rendre compte du résultat : en I4 pour le premier terme et en I3 pour le second.

De l’élément au sous-ensemble

Sur l'ensemble des parties d'un ensemble E, on dispose de deux lois binaires : la réunion ⋃ et l'intersection ⋂. La réunion A⋃B est la plus petite partie de E contenant A et B et l'intersection A⋂B est la plus grande partie contenue simultanément dans A et dans B.

Mais, au contraire de nos deux lois + et X précédentes, cette fois-ci, ces lois sont chacune distributives par rapport à l'autre. Nous avons:

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Comment est-ce possible ?

Tout simplement parce que les deux opérations (diachroniques) portent toutes deux sur des éléments A et B situés au même niveau synchronique. Et les deux actions d’union ou d’intersection, sont chacune repérable de la même façon au niveau imaginaire immédiatement supérieur.

Dans un cas nous avons:

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Dans l'autre:

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Nous n’avons pas la prétention d’avoir « prouvé » quoi que ce soit, simplement montré comment notre imaginaire pouvait concevoir ces opérations, et montré que les résultats était du même ordre de grandeur ou du même niveau imaginaire.

Il semblerait qu’en passant des concepts d’addition et de multiplication à ceux d’union et d’intersection, nous ayons gagné en généralité, et que du même coup, nous nous soyons éloignés du « Réel », du repérage physique de nos allumettes.

Dit d’une autre façon : en nous rapprochant du réel, la structure imaginaire de nos représentations « dégénère ». Et cette proximité, ce dernier saut qui nous en sépare, se signalerait en particulier par cet « effet de bord », dont nous avons déjà pu voir les effets sur nos représentations physiques.

Nous retrouvons de cette façon, dans le langage même des mathématiques une sorte de "rupture de symétire", lors du contact réel, dont nous avons déjà vu les effets en physique.

Et ceci est congruent avec l'idée très générale qui nous guide, à savoir que le contact avec le réel  est une "perturbation" de notre imaginaire.

On devrait pouvoir définir le contact réel, le tuchê lacanien comme une rupture de symétrie...

A suivre?

Hari

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Guillaume 11/03/2015 22:53

Si je peux me permettre d'abonder dans mes termes à ceci : " dans le langage même des mathématiques une sorte de "rupture de symétrie", lors du contact réel," je dirais qu'un ballon bleu est à la fois dans la petite boîte des ballons bleus, laquelle est enfermée dans la grande boîte des ballons, et à la fois dans la petite boîtes des ballons bleus, laquelle est enfermée dans la grande boîte des choses bleues.
Or les deux grandes boîtes sont disjointes (la boîte des ballons n'est pas incluse dans celle des choses bleues, ni l'inverse). Dans le réel, il est impossible que le ballon soit à la fois dans les deux boîtes, et la " rupture de l'imaginaire par rapport au réel " est là pour moi, dans cette illégitimité de la pensée à se saisir d'un objet réel, d'un objet qui n'ait pas fait au préalable l'objet d'une représentation imaginaire, ce qui permet de situer cette représentation partout à la fois, dans une sorte de " fraude élégante". C'est donc valable pour les allumettes, etc.

Hari 12/03/2015 13:37

Bonjour Guillaume.
J’ai employé ce mot de « rupture de symétrie » comme une balise mise là pour y revenir plus à loisir. Je suis toujours hanté par ce saut qui mène de l’extérieur (le réel) à l’intérieur (l’imaginaire).
Mais ton exemple me permets m’offre l’occasion d’être un peu didactique. En effet, pour « bien poser » le problème que tu soumets, il faut préciser la structure du discours (son étagement, ainsi que ta position par rapport à celui-ci.) Reprenons tout dans l’ordre :
" je dirais qu'un ballon bleu est à la fois dans la petite boîte des ballons bleus, laquelle est enfermée dans la grande boîte des ballons, »
• Ballon : élément en Ik de ton discours
• Petite boîte des ballons bleux : ensemble en Ik+1
• Grande boîte des ballons : ensemble d’ensembles, en Ik+2
Par ailleurs, ta propre position (Im) pour en parler en ex – post : Im> Ik+2 > Ik+1 > Ik

« et à la fois dans la petite boîtes des ballons bleus, laquelle est enfermée dans la grande boîte des choses bleues. »
• Ballon : élément en Ip de ton discours
• Petite boîte des ballons bleux : ensemble en Ip+1
• grande boîte des choses bleues ensemble d’ensembles, en Ip+2
Ta propre position (Im) pour en parler est toujours ex – post : Im> Ip+2 > Ip+1 > Ip

Mainteant, le discours portant ton problème se situe en Im, d’où tu vois les deux discours précédents, et tu nous dit :
• Ip = Ik (le ballon est le ballon)
• Ip+1 = Ik+1 (la boîte bleue est la boîte bleue)
• Ip+2 =/= Ik+2 (la boîte des ballons n’est pas incluse dans la boîte des choses bleues ni n’inverse)
Et dans ce discours, où tu pointes une différence, que tu te sens incapable de surmonter, tu es en position ex-ante (c’est la définition de cette position).
Nous avons donc :
• Ik+2 < Im < I solution
• Ip+2 < Im < I solution
Et dans ton interrogation, tu assumes pleinement cette position.

Mais tu n’es pas forcé d’y rester.
Je pars du postulat que toute situation de ce genre peut être « surmontée » par une « création » qui présente la structure de la forme canonique des mythes, et doit permettre le saut diachronique suivant :
• Im I solution < Im

Que pourrait donner l’utilisation concrête de cette forme canonique ?
Il y a certainement plusieurs voies à envisager (la solution n’est pas nécessairement unique), mais faisons l’exercice.

Le cœur du problème est : la boîte des ballons n’est pas incluse dans la boîte des choses bleues. Oui, mais elle est incluse dans la boîte des « choses ». Ce qui gène c’est le « bleu » .
Repense à la potière jalouse : elle est jalouse et potière. Ici « ce que » tu vois est à la fois ballon et bleu. Il faut déconstruire l’un des deux termes pour s’en sortir. A l’évidence, le ballon est un objet (pour qu’il puisse avoir une couleur). C’est donc « bleu » qu’il faut sacrifier : avant d’être bleu, ce ballon est une chose. Et les choses ne sont pas toutes bleu. En déconstruisant « bleu », tu arrives à la conclusion que l’objet est une chose. Dont le caractère secondaire est d’être bleu.
Et tu retrouves alors la cohérence suivante :
• Ip = Ik (le ballon est le ballon)
• Ip+1 = Ik+1 (la boîte de ballons bleus est la boîte de ballons beus)
• Ip+2 = Ik+2 (la boîte des ballons bleus est incluse dans la boîte des choses)
Et tu retrouves bien ta position ex-post : Ip+2 = Ik+2 < Im

Hari 12/03/2015 09:34

Attention: tu n'as pas fait l'exercice d'expliciter ta position, par rapport à ces différentes propositions.
Par exemple:
je dirais qu'un ballon bleu est à la fois dans la petite boîte des ballons bleus, laquelle est enfermée dans la grande boîte des ballons,

Ballon bleu : Ik
Petite boite de ballons bleus Ik+1
Grande boite de ballons : Ik+2

Par ailleurs:
Petite boite de choses bleu: Ip+2
Boite de ballons bleu: Ip+1
Ballon bleu : Ip

Bien sûr, tu es toi-même au-dessus de ces deux discours (pour pouvoir les énoncer)
Donc
Im > Ip+2 > Ip+1 > Ip pour les "choses bleus"
Im > Ik+2 > Ik+1 > Ik pour les "ballons bleu"
Ceci pour marquer tes positions respectivement à chacun de tes discours.
Maintenant tu dis: Ip=Ik et 8i+1 = Ik+1 mais Ip+2 diffère de Ik+2
Certes et l'on pourrait remarquer que les ballons sont des choses, donc que Ip+2 > Ik+2
et donner une cohérence au discours d'ensemble:
Ballons bleu: Ik = Ip
petites boites de ballons bleu= Ik+1 = Ip+1
La question est donc au niveau Ik+2 et IP+2, mais toi, en Im, peut trouver une solution, qui pour l'instant t'échappe (tu es donc ici en position ex-ante de questionnement:
Ip+2< Im < I solution
Ik+2 < Im < I solution
Maintenant que tu as trouvé ta place, tu sais comment résoudre l'énigme: est détruisant ce "bleu" qui fait obstacle à la compréhension de l'ensemble, à savoir que les ballons font partie des choses.
Et là encore, tu as déconstruit "boite de ballons bleu" pour y arriver. On pourrait reprendre la forme canonique.
A+
Hari