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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Métaphysique quantique de Dirac

- J'ai l'impression que tu rames dans ta lecture de "Principles of quantum mechanics" ?

- Oui et non, disons que j'assiste à un numéro de prestidigitation, mais que l'essentiel m'échappe. Pour tout dire, j'ai l'impression que Dirac nous montre une "belle" mécanique, dont je n'arrive pas à comprendre la nécessité.

- Explique ?

- Par exemple, je comprends facilement que l'état d'un système "A", à un instant donné t, soit représentable par un vecteur qu'il appelle un "ket" |A⟩. Pour moi il s'agit d'un vecteur colonne, bien.

Mais il introduit à partir de ce ket le vecteur ligne ou "bra" ⟨A| a seule fin, semble-t-il d'écrire le produit scalaire : a=⟨A|A⟩, pour nous dire ensuite que |A⟩ comme ⟨A| peuvent également représenter l'état de notre système A.

Or il y a une différence fondamentale entre les deux (page 20): le produit scalaire ⟨B|A⟩ est linéaire en A, à droite, et anti-linéaire en B, à gauche (i.e.: la forme ⟨B|A⟩ est "sesquilinéaire").

- Il ne s'agit que de définitions...

- Oui, certes, mais quelle en est la motivation ? Si |A⟩ comme ⟨A| sont deux représentations d'un seul et même "état" du système, la différence linéaire/ anti-linéaire doit bien se rapporter à une différence de point de vue du Sujet qui manipule ces concepts, une différence qu'il nous importe, à nous, de caractériser.

- Reprends son explication au début, reviens à l'introduction...

- C'est ce que j'ai fait, bien entendu. Dirac commence par la nécessité de changer de théorie pour expliquer les phénomènes à l'échelle atomique, liée en particulier aux limites de la thermodynamique (avec la catastrophe ultraviolette).

Mais il avance également des considérations plus philosophiques. On ne peut pas, nous dit-il, expliquer le comportement des grandes structures à partir de particules élémentaires, pour la simple raison qu'il faudrait également expliquer la stabilité desdites particules, dans une sorte de raisonnement fractal sans fin: expliquer le grand par le petit est toujours relatif.

D'où la nécessité de prendre un certain recul pour comprendre avant tout que ce que nous savons d'un système est dû à notre inter-action avec lui, ce qui d'une façon ou d'une autre, doit le perturber. De ce point de vue, un système est "gros", si les perturbations que nous lui faisons subir peuvent être négligées, et "petit", lorsque ces dernières ne peuvent l'être.

- Il y aurait donc là une différence de sensibilité entre les objets de la mécanique classique et ceux de la mécanique quantique, et non de "nature" ?

- Eh bien, c'est ce point que Dirac veut radicaliser:

"We have to assume that there is a limit to the fineness of our powers of observation and the smallness of the accompanying disturbance- a limit which is inherent in the nature of things and can never be surpassed by improved technique or increased skill on the part of the observer". (p.4)

Ce qui lui permet ensuite d'embrayer sur la causalité : principe évident en mécanique newtonienne, mais qui s'efface en mécanique quantique à cause, précisément, des perturbations que l'observation fait subir à l'objet.

- Je te sens réticent.

- Comment ne pas l'être? Avec cette caractérisation de l'objet, Il nous refait le coup d'une différence entre monde sublunaire et corps célestes ! On sait ce qu'il advient de ce type de caractérisation "objective". Dirac essentialise une différence qui devrait plutôt porter sur l'attitude du Sujet (note du 25/07), ce qui lui permettrait de conserver une approche "relativiste", ouvrant la voie à l'existence d'états quantiques à des échelles macroscopiques, comme nous commençons d'en connaître, sans tout remettre en cause!

Par ailleurs, sa discussion autour du concept de causalité n'a plus de sens pour nous, puisque nous avons intégré la démarche quantique dans ce qu'elle a de plus fondamental: dans la différence entre concepts synchronique/ diachronique du discours.

Avec le recul, cela nous est beaucoup plus facile de caractériser le changement de pied, entre mécanique classique et quantique. La première, in fine, est "atomique", particulièrement lorsqu'elle traite de thermodynamique, et tourne autour de la description d'un objet "donné", que l'on va caractériser. Sans pousser trop loin, je peux y voir une approche que j'ai qualifiée de "rationalité-logique", avec comme référé ultime l'objet final de la théorie des catégories.

- Par contraste, la mécanique quantique serait donc tournée vers l'objet initial vide ?

- Oui, et la meilleure preuve en est que Dirac enchaîne aussitôt sur la nécessité d'envisager le principe de superposition (i.e.: d'addition) des états quantiques, c'est ce qui fait l'objet de mon précédent article (note 1): nous changeons de position pour adopter ce que j'ai appelé une "rationalité-topologique".

Mais je n'ai pas tiré toutes les conséquences de ce changement d'attitude! En changeant de référé ultime, nous avons vu qu'il nous fallait cerner un "objet" insaisissable, par criblage, ce qui conduit nécessairement à associer à l'objet une topologie, et nous ramène directement à l'idée de "topos" de Grothendieck.

Pour mémoire, un "topos" T est l'association d'une catégorie C et d'une topologie J : T=(C,J). (Note 2)

- Tu t'éloignes de Dirac !

- Je me le demande, car si Dirac commence par introduire son ket |⟩ pour définir l'état d'un système, il va ensuite développer le concept de "représentation" autour des valeurs propres et vecteurs propres d'une collection de bra ⟨| formant un espace de Hilbert.

Autrement dit, je me demande s'il n'installe pas "l'oeuf dans le nid", pour reprendre l'image dont je m'étais servi dans ma présentation au CLE (note 3).

J'ai l'idée que l'état du système se moule dans le creux d'un espace qui détermine sa forme, comme un cocon colle à une nymphe se muant en "imago". Avoue que la biologie nous sert les mots sur un plateau: le cocon et la nymphe produisant l'imago de l'insecte en guise d'observable!

Cependant, même cette image me laisse sur ma faim, car que représente ce produit scalaire  ⟨A|A⟩ ?

- Eh bien, c'est ton "observable", non ?

- Mais il est bien pauvre, cet observable ! Dirac insiste sur le fait que seule la direction du ket importe, que sa norme ou sa longueur n'est pas significative, d'où sa "renormalisation", et tout ce que nous en distinguons ne serait qu'un nombre, réel de surcroît? À la limite cet observable se réduit à la valeur unité. Qu'est-ce à dire?

- Peut-être ne s'agit-il que de constater l'existence de cet état ? Reviens à la discussion de la page 17.

- Il commence par définir la superposition des états: c1|A⟩+c2|A⟩=(c1+c2)|A⟩, puis discute du cas où (c1+c2)=0, pour insister sur le fait que dans ce cas, il n'y a pas d'état |A⟩. 

"There is no physical characteristic of a quantum state corresponding to the magnitude of de classical oscillations as different of their quality.(...) Again, while there exists a classical state with zero amplitude of oscillation everywhere, namely the state of reste, there does not exist any corresponding state for a quantum system. The zero ket vector corresponding to no state at all". (p. 17-18)

Ce qui renvoie à l'idée que le référé ultime de la mécanique quantique correspond à l'objet initial de la théorie des catégories, comme nous venons de le voir. 

Maintenant, cet "observable", de valeur "1" mesurée comme nombre réel, en IR par l'observateur en Im, conduit ce dernier à en inférer "l'existence" en I1, dans une situation globale : I1<IR<Im, contre laquelle Dirac nous prévient !

Ce qui, a contrario, nous indique bien la position "locale" qu'il convient d'adopter pour aborder la mécanique quantique, le Sujet en I'm, avec l'objet initial en I0, et donc I'm<IR<I0.

Toute la question étant de situer |A⟩ et ⟨A| entre IR et I0.

- Ne suffit-il pas de les situer tous deux en IR?

- Je ne le pense pas, car Dirac introduit un troisième concept dans sa théorie: l'opérateur linéaire. En fait, il s'agit de l'action d'une matrice sur un vecteur, soit ligne (le bra), soit colonne (le ket); ce qui conduit à l'écriture générale: ⟨B|α|A⟩.

"We now make the further assumption that the linear operators correspond to the dynamical variables at that time. By dynamical variables are meant quantities such as the coordinates, and the components of velocity, momentum and angular momentum of particules, and fonctions of this quantities". p. 26

Or, nous avons vu par ailleurs le rôle particulier d'une matrice en théorie des catégories, comme lien entre la multiplication (avec l'objet final) et l'addition (avec l'objet initial) (note 4), et c'est ce que nous retrouvons ici.

- Tu penses à un schéma dans lequel ⟨B| et |A⟩ seraient des concepts synchroniques et α le concept diachronique portant de l'un à l'autre ?

- Oui, quoique la dynamique dont il est question ici n'est pas tant celle d'un objet qui se déplacerait devant un observateur immobile, que due au mouvement de l'observateur lorsqu'il change de point de vue.

- Je ne comprends pas.

- Lorsque Dirac donne comme exemple de "variable dynamique" les coordonnées de l'état |A⟩, n'oublie pas que nous sommes ici à l'instant t, et qu'il n'y a donc pas de "déplacement". Les coordonnées en question se réfèrent à un état |A⟩ sans évolution, elles ne peuvent donc changer ou être "dynamiques" que par rapport à un référentiel lié au Sujet, lui-même en mouvement par rapport à cet objet.

C'est ce qui permet de définir le "meilleur" repère possible pour cet opérateur linéaire, avec la recherche des valeurs et vecteurs propres, attachés à cet opérateur, comme Dirac y insiste.

"The words eigenvalue, eigenket, eigenbra have a meaning of course, only  with reference to a linear operator or dynamical variable". p. 30.

Il s'agit de passer d'une forme anti-linéaire : le bra ⟨ |, à une forme linéaire, le ket | ⟩, grâce à des opérateurs un peu particuliers : avec une diagonale unité servant de miroir au sein d'une matrice, renvoyant chaque élément aij vers son  conjugué en aji , ce qui la définit comme Hermitienne unitaire.

L'ajustement concerne donc ici la position du Sujet qui cherche à exprimer le plus simplement possible l'état du système en recherchant les valeurs et vecteurs propres de l'opérateur linéaire lui permettant de repérer l'état du système.

En ce sens, oui, l'opérateur linéaire est le concept diachronique permettant de passer d'un concept anti-linéaire, le bra ⟨ | que je situerais en IR à un concept linéaire le ket | ⟩, que je situerais en I#

- Et pourquoi pas l'inverse?

- Parce que la brisure de symétrie, lorsque l'on passe de I# à IR est précisément le passage d'une géométrie commutative à une autre non-commutative.

- Tu te réserves de revenir à Alain Connes?

- Oui, bien sûr !

- Mais est-ce que cette matrice Hermitienne unitaire caractérise complètement le saut IR/I#, comme l'orthogonalité caractérisait le saut précédent I01/IR ?

- Très sincèrement, il est trop tôt pour statuer, laisse-moi un peu de temps pour avancer dans ma lecture estivale de Dirac !

_________________________________________________________

- J'ai une idée en tête qui s'obstine à vouloir s'exprimer, et m'oblige à reprendre la plume, ce matin.

- Et de quoi s'agit-il ?

- C'est lié au parallèle que je faisais entre dialectique et orthogonalité (note 5) et à la remarque que nous venons de faire plus haut concernant le fait que l'observable renvoie à un fantasme d'objet en I1 dans une vision globale erronée (ici). L'idée c'est que nous jouons avec les concepts orthogonaux, comme en logique, nous jouons entre concepts opposés.

- Et ça te mène à quoi ?

- Lorsque je situe l'objet final (*) en I1, j'écris la logique en I01, autour de l'objet discriminant {{*};{ }} en I01 en me cantonnant à la catégorie élémentaire des Ensembles, avec I1<I01<Im.

Ici, nous n'avons plus d'objet identifiable, mais seulement un "état" |A⟩, dont on repère l'existence en IR, et que l'on peut décrire grâce à ses "variables dynamiques", à partir des valeurs propres, associées à un ensemble de vecteurs propres, tous orthogonaux entre eux (voir page 33 et 34).

D'où l'analogie :

  • En I1 : l'objet final (*) <=> en IR : l'observable  a=⟨A|A⟩
  • En I01: l'ensemble des parties {{*};{ }} de (*) <=> en I# : l'ensemble des valeurs propres de |A⟩.

Reprenons l'exemple de Dirac page 34: soit un opérateur linéaire σ tel que σ2=1; alors σ a deux valeurs propres 1 et -1, et tout |P⟩ peut s'exprimer par la relation : |P⟩=1/2(1+σ)|P⟩+1/2(1-σ)|P⟩. Les deux termes de droite sont les ket propres de σ, associés aux valeurs propres 1 et -1.

J'espère que tu vois comme moi la similitude avec l'objet classifiant:

  • dans un cas, en I01, tu as: 
    • soit l'identité : (*)→{*};
    • soit la négation : (*)→{ },
  • dans l'autre cas, en I#, tu observes le système (note du 26/07)
    • soit dans l'état 1 : |P⟩→σ=1,
    • soit dans l'état -1 : |P⟩→σ=-1.

 - Autrement dit, l'approche "quantique" serait une logique de niveau supérieur? (note 2 du 25/07)

- C'est un peu le pari que j'avais fait en titrant mon livre "l'Homme Quantique", note bien !

Mais plus fondamental encore: si l'on suit Dirac, ce qui fait la permanence de l'objet, c'est qu'une fois observé dans un état, ce dernier restera inchangé lors des observations successives du Sujet. En montant dans son Imaginaire, la stabilité des objets ne tient plus à l'automatisme de répétition et à l'insistance du Réel qui s'impose à l'Imaginaire, mais à la permanence de l'Imaginaire du Sujet.

On peut voir aussi la clôture Imaginaire du Sujet, limité au potentialités qu'il envisage, en ce sens que la mesure d'un état est limité à l'ensemble des valeurs propres associées à la variable dynamique envisagée.

"We call a real dynamic variable whose eigenstates form a complete set an observable. Thus any quantity that can be measured is an observable". p.37

Et je pense que cette approche offre des prolongements philosophiques sur lesquels nous n'avons pas fini de méditer !

D'ailleurs, j'y retourne...

Hari

Note 1  Voir :

Note 2 Voir :

Note 3 Voir:

Note 4 Voir :

Note 5 Voir :

Note 1 du 25/07

Voir cette note dans l'article:

Où je montre qu'effectivement la coupure est radicale et tient à une différence de positions du Sujet dans son discours.

Note 2 du 25/07

- Par "logique d'ordre supérieur", il faudrait sans doute parler d'une "logique de l'orthogonalité", à opposer à une "logique d'antagonismes".

Cette réflexion me vient à la relecture que je fais aujourd'hui, car je m'arrête p. 27 sur les propriétés de la "conjugaison" des opérateurs que je rapproche intuitivement de l'axiome de la double négation.

- Peux-tu préciser?

- Très simplement:

  • Dans le domaine de la logique, on oppose à une proposition "a" la proposition "¬a", et l'axiome de double négation indique que ¬¬a=a
  • Dans le domaine des opérateurs linéaires, nous avons b=a l'opérateur linéaire adjoint de a, et l'adjoint de l'adjoint redonne a: b=a (désolé mais le html ne permet pas les doubles barres).

J'espère que tu vois comme moi la similitude des approches, à des niveaux imaginaires différents.

Dans le premier cas, la répétition ramène au point de départ, dans le second, l'orthogonalité redoublée ramène également au point de départ.

- Ça devrait plutôt ramener à l'opposé : i2=-1 ?

- Tu confonds la répétition du même (ce qui serait une "rotation" dans C) et une symétrie (ce qui serait le conjugué d'un nombre complexe).

Ce qui indique clairement que la "répétition" en question n'est pas du même ordre.

Attention à ne pas trop "imaginer" l'espace de Hilbert comme C. Nous en avons déjà parlé. Voir :

Note du 26/07

- En reprenant ma lecture ce matin, à ce point précis du bouquin, j'ai cette question: quel est le statut d'une "loi" telle que σ2=1 ?

- C'est une condition portant sur l'opérateur σ.

- Disant ceci, tu ne dis rien.

L'opérateur est un lien entre un bra ⟨ | en IR et un ket | ⟩ en I#, autrement dit c'est un concept diachronique entre IR et I#, dont l'expression s'écrit par le Sujet en position ex post en I#., avec I#<Im.

Autrement dit, c'est l'équivalent à ce niveau Imaginaire de la flèche → de notre bon vieux morphisme élémentaire (*)→{ }.

- À ceci près qu'il s'agit ici d'une marche régressive, puisque les valeurs observables se limitent à être des nombres réels...

- Tu as raison, excuse mon étourderie: j'oubliais que l'approche du Sujet en matière quantique est essentiellement locale, du point de vue de I'm, et donc que nous rapportons l'observable en Ik à sa mesure en Ik-1, avec I'm<Ik-1<Ik, en l'occurrence : I'm<IR<I# et que σ doit être rapproché d'un comorphisme  σ: ⟨ | ← | ⟩, avec notre bra en IR et le ket en I#.

Tu vois donc la complexité du discours: l'écriture de la loi se fait globalement (par Im) en I#, bien qu'elle décrive de quelle façon I'm se rapproche du Réel pour observer l'objet ! Dans cette descente, la brisure de symétrie entre I# et IR me semble être toute entière dans la différence entre le traitement du ket (par des applications linéaires) et du bra (avec des applications anti-linéaires), d'où le caractère fondamentalement  "sesquilinéaire" du produit ⟨B|A⟩, ou plus généralement de ⟨B|σ|A⟩.

- Tu colles complètement à l'approche d'Alain Connes ?

- Tout à fait : reporte-toi à l'article

Cet aspect "miroir" que je développe ici entre le mouvement élémentaire d'un morphisme entre I1 et I01, et celui plus complexe qui porte de I# à IR, permettrait de reprendre et développer ce que j'ai écrit concernant le principe d'incertitude, il y a déjà bien longtemps dans :

L'important c'est que la démarche reste cohérente, tout au long de l'axe diachronique.

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