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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

formes linéaires et changements de base

- Trois ans, il m'aura fallu plus de trois ans pour entr'apercevoir le chamboulement intellectuel provoqué par le langage des catégories (note 1). Il ne s'agit pas seulement de mathématiques, mais d'un langage effilé à l'extrême, d'un couteau à désosser les idées reçues. Badiou, est-il le seul philosophe à s'en être aperçu ?

- À ce rythme, tu n'es pas prêt de comprendre la notion de topos ! Tu es complètement rouillé mon pauvre vieux.

- C'est une question de changement de point de vue. Une fois la révolution faite dans ma tête, alors je suis sûr que les choses iront vite.

Le problème tient peut-être à mon âge: chaque nouveau concept remet en cause tout mes acquis, et ça prend du temps. Le corollaire étant qu'à chaque ajustement, j'oublie mes blocages et n'arrive plus à retrouver ma posture antérieure pour communiquer avec ceux qui n'ont pas suivi la même voie.

- À toi d'être clair !

- J'ai balisé le chemin, en notant sur ce blog mes doutes, hésitations, retours en arrière et autres errances. Il me faudrait relire tout ça pour comprendre rétrospectivement mes points de blocage, et rendre le parcours évident..., un vrai travail d'auteur. Mais je n'ai pas terminé ma propre évolution, et c'est trop tôt pour le faire.

- Autrement dit, plus tu avances et moins tu as de lecteurs...

- J'en suis conscient, mais il me faut l'accepter si je veux arriver au terme de ma recherche, pour espérer ensuite rendre tout ceci évident.

- Mais pourquoi ce blog ? Un écrivain ne donne pas ses brouillons à lire.

- Si je te disais qu'écrire à l'adresse d'un tiers m'aide à penser ? N'est-ce pas la raison de ta présence ? D'ailleurs, je crois bien que tu as surgi dans ce blog à la façon de Gaston dans Spirou, lorsque j'ai commencé à parler de la dualité de points de vue local/global.

- Tout ça pour nous dire quoi ?

- Je veux retracer l'évolution de la brisure de symétrie repérée entre approches local/global en I1, jusqu'en I# (note 2).

- Oui mais pourquoi tout ce laïus introductif ?

- Parce que, soit je te la fait soft, et cela n'a aucune rigueur mathématique, soit j'y vais pas à pas et tout le monde ronfle dès la seconde ligne.

- Tu devrais faire les deux en parallèle.

- ... ou me trouver un directeur de thèse pour donner du poids à mes élucubrations. Mais dans quel domaine ? C'est ça le problème.

- Laisse tes interrogations de côté pour l'instant et lance-toi.

- OK, revenons aux matrices (note 3), et reporte-toi aux sections 23 et suivantes de "Conceptual mathematics" pour les détails.

Nous en étions restés à l'idée qu'une matrice est le point de bascule entre :

  • Une vision ex post, globale orientée vers l'objet final (l'aspect produit);
  • Une vision ex ante, locale orientée vers l'objet initial (l'aspect co-produit).

Ça se traduit par le fait que dans ces deux schémas, les définitions de l'injection(ji) et de la projection (pi) diffèrent par l'ordre de succession des opérations qui les définissent.

Produit Somme
pi◦f=fi  g◦ji=gi

Considérons une nouvelle catégorie définie à l'aide de paires de morphismes le uns pointant vers B1 et les autres vers B2. Nous en parlerons comme de la "bi-catégorie" CB1B2.

Pas de quoi s'affoler: imagine A comme une figure géométrique et que les coordonnées f1 et f2 de chaque point de A sont rapportées à un système d'axes B1,B2. C'est le principe des coordonnées cartésiennes.

Produit:

On montre aisément que P est l'objet final de CB1B2.

Le point suivant mérite attention : l'objet final de la catégorie en question définit l'identité du produit. (page 262)

- Rien de révolutionnaire.

- Attends ! Il s'agit ici de comprendre de quelle façon le concept de "produit", en I01, nous permet de passer d'un concept d'identité:

  • vu primitivement comme un concept diachronique et représenté par un morphisme "↑" entre I1/I01
  • à  un concept synchronique, représentable par un morphisme "→" en I01.

Ce processus, demande que le regard du Sujet dans la posture I1<I01<Im:

  • focalisé en I1 sur l'objet final de C;
  • se focalise en I01 sur l'objet final P de CB1B2. (note 26/12/19)

La preuve passe par l'utilisation de cette "propriété universelle" omniprésente dans toute démonstration en théorie des catégories (note 4).

Toujours est-il qu'apparait une sorte de décentrement du regard du Sujet lorsqu'il passe de I1 à I01 : le point focal n'est plus (*) mais P. Essaie de te le représenter à l'aide du schéma suivant: 

- Mais nous le savions déjà.

- Oui, nous savions que le concept de morphisme "↑" s'aplatissait, il devient synchronique "→", mais nous n'avions pas parlé des autres objets du discours, en particulier de l'évolution de l'objet final, ni du processus en lui-même !

Dans le même esprit, voyons comment le co-produit transforme notre objet initial.

Co-produit:

Au niveau I01, le discours catégorique est simple: tu remplaces "objet final" par "objet initial" et tu changes de sens les morphismes.

Ceci conduit à voir le co-produit S (pour somme) comme l'objet initial de la catégorie CB1B2.

En effet: pour tout élément X de CB1B2, il existe un morphisme f ayant S comme domaine et X comme codomaine.

Le miracle, c'est d'avoir défini en I01, la flèche d'un morphisme partant d'un objet initial, alors qu'il n'y en a aucune partant de ( ), puisque par définition l'objet vide n'a aucun élément.

Pour nous la situation est un peu plus complexe. N'oublie pas que Im "tourne le dos", littéralement à l'objet initial ( ) en I0, tout comme je tourne le dos au soleil éclairant le miroir (en I01) derrière lequel je situe mon image en I'm. Nous sommes dans cette situation : I'm<I01<Im<I0<DM.

Le subterfuge, pour parler du soleil est pour Im de s'imaginer en I'm, avec le pivotement dont nous avons parlé (note 2).

J'espère que tu vois maintenant le problème lié à la représentation de cette flèche.

Imagine-toi en Im au-dessus de ton écran d'ordinateur (le niveau I01 du discours ) et I'm derrière cet écran: si Im voit une flèche allant de gauche à droite, I'm la verra de droite à gauche, problème inexistant dans une représentation purement globale du produit.

- Mais cette différence n'intéresse pas le matheux !

- Patience, ça vient.

Étant parfaitement à plat en I01, on déroule le discours pour enchaîner les opérations, et définir une matrice, comme nous l'avons vu (note 3).

La question qui va nous agiter maintenant est celle de la distributivité (section 26 p.276 et suivantes)

Distributivité

Soit un morphisme f: C1+C2 → AxB

Nous pouvons définir f par 4 morphismes élémentaires, que nous notons sous forme de "matrice" :

On peut étendre le raisonnement à une somme de m, et un produit de n termes:

La forme générale de chaque élément d'une matrice fμν=pνfjμ intègre de la façon la plus intime qui soit la trace d'une double approche local/globale de chacun d'eux.

Appliquons ceci pour définir la distributivité par le morphisme suivant :

AxB1 + AxB2 → Ax(B1+B2)

Il vient tout de suite que ceci est équivalent à cet ensemble de 4 morphismes :

Je te laisse te convaincre de la simplicité de la chose par cette représentation matricielle :

Nous en arrivons maintenant au point intéressant :

- Dis-moi, tu ne te foules pas beaucoup aujourd'hui, tu te contentes de recopier Lawvere.

- Oui, désolé, mais le point est si important pour moi, que je voulais m'en référer à son autorité pour le dire.

Admire le tour de passe-passe !

Pour une "somme sans objet", la distributivité implique alors que 0 est un objet initial : 0→Ax0, défini comme une section de Ax0→0.

Tu vois comment l'objet vide, impossible à décrire en position Im<I0, pour toutes les raisons déjà évoquées, peut avoir une image en I01 sous réserve de la distributivité dans la catégorie considérée, et de quelle façon y rattacher des morphismes "→".

Le pas que je fais aujourd'hui c'est d'avancer l'hypothèse de travail suivante:

"Nous pouvons confondre les points de vue de I'm et de Im, concernant une catégorie munie d'un produit et d'un co-produit, de niveau Imaginaire Ik (i.e.: I'mIkIm) sous réserve que la loi de distributivité soit vérifiée."

- Franchement, tout ceci ne nous avance pas: tu tires au bazooka pour enfoncer une porte ouverte ! Pis : tu compliques une théorie sans rien y apporter.

- Attends la suite: certaines catégories ne respectent pas la distributivité, en particulier deux types qui nous intéressent au premier chef:

  • Les applications linéaires non triviales;
  • Les ensembles pointés.

Et là le physicien doit tendre l'oreille, parce qu'il s'agit de ses outils quotidiens; or nous disons ici que pour lui, les deux points de vue local/global ne coïncident pas !

Applications linéaires

Puisque nous avons réussi à définir le zéro en I01, il n'y a aucune difficulté à définir un morphisme particulier 0XY entre  deux objets X et Y tel que  0XY: X→Y, ayant la particularité qu'en le composant avec n'importe quel morphisme, nous obtenons un autre morphisme de même type:

  • Soit g :Y→Z, la composition g.0XY=0XZ
  • Soit f: W→X, alors    0XY.f=0WY

Voilà une définition simple et claire.

Multiplication dans la catégorie des applications linéaires

Addition dans la catégorie des applications linéaires

Tu vois ici la contorsion à laquelle il faut se livrer pour définir une addition à partir de la multiplication, due selon moi, au passage d'une approche locale à une autre globale.

  • Vision locale, en I'm : addition de morphismes ;
  • Vision globale en Immultiplication de matrices.

Pour que les deux points de vue "collent", parfaitement, encore faudrait-il que le référé ultime en position I'm, à savoir l'objet initial, soit confondu avec le point focal de Im, à savoir l'objet final, or, c'est exactement la condition qu'il faut remplir pour définir nos 0XY !

Elle est pas belle la vie ?

En résumé, dans la catégorie des formes linéaires, lors d'un changement de posture du Sujet local (I'm) / global (Im):

  • Les point focaux de I'm et Im sont confondus grâce au morphisme 1 → 0;
  • La "rotation" effectuée par Im pour "représenter" I'm se traduit par la matrice  α inverse de la matrice identité.

Pour traverser le miroir, il faut le toucher du doigt puis tourner autour.

Le second type de catégorie à ne pas respecter la distributivité est celui des catégories pointées.

Catégories pointées

Dans une catégorie pointée, on distingue une "origine".

À partir de là tu déroules pour arriver à la notion de "changement de base". Or, et c'est là ce qui nous concerne, vu le point de départ, tout changement de base ne peut se faire que d'un point de vue global, de Im, puisque l'on part d'un point qui, in fine, est le codomaine du morphisme identité ↑ de l'objet final de la catégorie.

D'un point de vue local en I'm, un "objet" ne peut qu'être cerné par son environnement, rapporté à ce référentiel. 

Bon, il est tard, je fatigue un peu..., et j'ai besoin de ruminer toute cette relecture.

Ce n'est pas un sujet très glamour, mais il faut absolument que tout ceci devienne limpide pour avancer sérieusement.

Hari

Note 1

Premier article sur le sujet en juillet 2016:

J'y abordais les derniers chapitres de "conceptual mathematics" de Lawvere.

Note 2 Voir:

Note 3 Voir :

Note 4 Voir :

Note 26/12/2019

C'est sans doute mal formulé:

  • P n'est pas "l'objet final" en I01. Un meilleur terme serait sans doute "objet universel" que je produis en I01, et l'opération privilégiée dont il est le fruit, c'est l'opération intellectuelle "produit", qui présente une propriété universelle.
  • À l'étape précédente, l'action primitive, universelle, est un pur "morphisme" ↑ qui me permet de créer 1 à partir de l'objet final: (*)↑1.

 

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