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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Identité et idempotence

Omar Khayyam entre vin et femme

- Je me souviens d'un épisode dramatique de ma vie: j'étais avec H. B. dans un fast food de Téhéran lorsqu'un coup de fil m'apprit l'hospitalisation en urgence de ma femme F. à Strasbourg. J'étais dans la crainte d'une rechute, et j'apprendrai au retour qu'il lui restait peu de mois à vivre. L'ambiance était plombée, et c'est pourquoi sans doute discutâmes-nous de religion en ce lieu improbable.

H. B. était notre contact local avec Tavanir, pour la construction d'une centrale, à Neyshabur, la ville d'Omar Khayyam. H.B. Iranien, d'origine Arménienne, est cultivé, parle quatre langues en jonglant avec trois alphabets différents, et voyage dans le monde entier. Il connaissait la France, son histoire, son esprit, et nous devînmes amis, en discutant depuis plus de deux ans au fil de mes missions. Il lui vint alors cette question, montrant toute la distance culturelle qui nous séparait:  

"Tu parles d'athéisme, mais au fond, en quel Dieu crois-tu, car il faut bien croire, n'est-ce pas ?

Il avait donc une connaissance intellectuelle du concept d'athéisme, mais il était incapable d'en faire l'expérience.

- Pourquoi nous racontes-tu ça maintenant ?

- Parce que cet épisode m'a marqué, à cause sans doute du choc émotionnel qui l'accompagnait. Malgré notre grande proximité, il y avait entre nous ce gap qu'il lui était impossible de franchir, et je comprenais du même coup la différence qu'il peut y avoir entre une connaissance intellectuelle et un vécu, entre un état présent et sa représentation. Mon ami avait une certaine image de moi, sans être capable de s'imaginer à ma place.

- Bon, d'accord, mais il n'y a rien de nouveau dans ce constat d'une différence culturelle.

- Sans doute, mais ma prise de conscience de l'incompréhension de mon ami lors de cet échange me revient assez vite en mémoire lorsque je cherche à caractériser d'autres situations du même ordre.

- Et c'est le cas ce matin ?

- Effectivement.

Depuis quelques jours, je relis ma dernière présentation à l'atelier de logique catégorique (voir "retour sur le point de capiton - les transformations naturelles") et ce faisant, j'ai pris conscience d'avoir gardé malgré moi une posture "rationnelle logique", alors même que je discutais de "l'approche topologique".

Or, l'étape suivante de ma relecture concerne le concept de "foncteurs adjoints" (voir ici), et si j'ai suffisamment avancé dans ma compréhension de la différence entre foncteurs F↓ et F↑, pour aborder le sujet, cette différence ↑↓, fait écho à une autre, plus primitive, entre morphisme f↑ et comorphisme f↓ à laquelle je me suis heurté il y a trois ans déjà (voir #1) au tout début de mon incursion dans la théorie des catégories. J'en ai conservé le goût amer de ne pas l'avoir réellement comprise, au point de songer à abandonner mon approche (voir #2). J'étais, face à ce problème, comme mon ami H., me regardant tel un Martien.

- Ça vient de loin ! Mais où est la difficulté ?

- Dans une approche rationnelle logique, avec Ik<Ik+1<Im, je n'ai aucune difficulté à comprendre le saut Ik↑Ik+1, par exemple avec le morphisme identité (*)↑{*}, par contre, le mouvement inverse n'est envisageable que dans une approche topologique.

Or, en lisant Lawvere, bien que comprenant chacun de ses mots, et jouant formellement avec les notions de choixdéterminationsectionrétraction, ou identitéidempotence, ma compréhension de leur différence restait très intellectuelle et je n'en ressentais pas l'évidence, tandis que des concepts plus complexes tels que "foncteurs" et "transformations naturelles" me semblent plus faciles à comprendre aujourd'hui.

- Ça semble effectivement paradoxal ! As-tu avancé dans ta réflexion ?

- Il me semble que le problème tient à ma posture d'alors durant ma lecture. Même si j'en avais fait correctement le diagnostic à l'époque (voir #2), en pointant la différence de postures logique/ topologique, je restais malgré tout dans une posture logique pour en parler.

- Mais concrètement ?

- Historiquement, la théorie des Catégories fut introduite en topologie algébrique par Eilenberg et Mc Lane (voir "article 524 de philosophia scientiae"), c'est-à-dire qu'ils ont creusé des concepts issus de la topologie pour reconstruire les maths, et la logique en tout premier.

- Tu veux dire que l'on est parti du complexe pour arriver au simple?

- Exactement. J'étais dans un apprentissage immanent (bottom↑up), partant du plus simple et concret pour aller vers le complexe, tandis que la théorie résulte d'un effort transcendant (top↓down) pour décanter les maths. Or, je n'ai pu caractériser ceci que tout récemment, en précisant la différence de points de vue entre Im et I'm. (voir #3)

- Il te faut donc tout reprendre ?

- Oui, car j'ai évolué depuis ma lecture de Lawvere, sans prendre le temps de revenir sur ce départ, avec mon regard actuel. Il faut donc refaire le chemin, en espérant rendre évident aujourd'hui ce qui n'était qu'intellectuel alors. 

- C'est ce qui s'appelle tourner la roue du Dharma ! 

- J'en ai peur. Allez, courage et puisqu'il n'y a rien d'autre à faire que lire et écrire en ces temps de coronavirus, reportons-nous aux articles en question (voir #1).

- Pitié pour le lecteur ! Je viens de les passer en revue, et c'est franchement indigeste.

- D'accord, je te propose donc de suivre le chemin à l'envers, à partir de ce qu'en topologie algébrique on nomme "revêtement". (voir #4)

pris sur la vidéo à 4:21

Remarque comme Étienne Ghys insiste bien sur la direction ↓ de l'application R: X↓B, avec ce commentaire :

"On pense toujours à X comme étant au-dessus de B, (...) En pensant aux fonctions multiformes, vous devrez penser à l'envers, comme d'une fonction qui à un point de B fait correspondre plusieurs pré-images dans X"

Tu vois que nous sommes pleinement dans cette thématique ↓/↑.

- Mais de quoi s'agit-il en définitive?

- "Comment caractériser sans ambiguïté un objet par une seule image"? (Rembobine la vidéo à 3:00)

La pensée classique avait admis qu'une fonction puisse mener à des images multiples d'un même objet, c'est le cas dans l'exemple pris, de la fonction f(z)=√z, or nous dit Ghys, Évariste Galois a changé radicalement notre point de vue, en tournant la tête de 90° pour s'intéresser à la fonction inverse: f(z)=z2, ce qui lève l'ambiguïté, un z donné n'ayant plus qu'une seule image.

à 3:00 de la vidéo

Ce faisant, et c'est là tout son pari, il postule que:

Si deux objets conduisent à une même image, c'est parce qu'ils sont liés entre eux par une certaine symétrie.

J'espère que tu vois comme moi qu'ainsi, Galois nous conduit implicitement jusqu'au  triptyque d'Emmy Noether :

  • une symétrie entre objets conduit à
  • une quantité conservée, ici leur image commune, quand à
  • l'incertitude, elle correspond à mon propre choix entre les deux objets pour définir ou représenter mon image. (voir #3)

Or, pour faire ce pari, Galois dédouble son point de vue.

- Comment cela ?

- Reporte-toi à ses "extensions galoisiennes". (voir #5)  À l'origine, il s'agissait de trouver les racines d'un polynôme. Or l'idée même de recherche, implique un développement historique, et donc une relativité par rapport au Sujet qui effectue cette recherche.

Je cherche ce que je n'ai pas, et par un certain processus, j'espère "trouver" ce que je cherche. C'est dire que :

  • Je suis à l'origine en position ex ante par rapport à un objet qui m'échappe, au temps t0, vu localement de I'm,
  • En cas de succès, j'appréhenderai l'objet comme une évidence (le eurêka d'Archimède), hors du temps de la recherche, en position ex post, depuis Im.

La recherche se concrétise ici par la construction étape par étape des "extensions" du corps de départ de mon polynôme (soit N, Q ou R), pour atteindre le corps d'arrivée, ici C qui marque une rupture avec le corps de départ. Chaque extension étant comme un échelon d'une échelle de Jacob (nous sommes dans la répétition) qui mènerait d'un corps de départ au niveau I01, au corps d'arrivée au niveau IR. (voir #6)

Mais pour construire cet échelon, je pars toujours d'une seule idée générale: à chacune des étapes, je dois repérer une symétrie entre ces racines que je recherche. Autrement dit, ma démarche à partir de I'm est dès l'origine cadrée par Im : pour entreprendre ma recherche, je pars d'un présupposé.

Si mon présupposé se trouve confirmé, alors ma démarche arrive à son terme, fin de l'histoire; sinon je suis dans une boucle sans fin, dans l'automatisme de répétition.

- Tu tires à la ligne !

- Désolé, mais faute de saisir toute la démarche de Galois, je reviens sans cesse sur les quelques bribes que j'en comprends, et bloqué comme je le suis dans ce mécanisme de répétition, j'ai tendance à rabâcher...

Mais cette redite t'aura peut-être permis de repérer certaines différences entre les points de vue de I'm et de Im, lorsque l'on a I01<I'm<IR<Im,  sur lesquelles nous nous sommes attardés ces temps-ci. (note #7):

  • Avec I01<I'm :
    • La répétition se représente comme un processus se déroulant temporellement (avec une horloge primitive entre I1/I01): les extensions se construisent localement l'une après l'autre ;
  • Avec I'm<Im :
    • La règle imposée par Im échappe à la compréhension de I'm. En l'occurrence la symétrie est supposée avant d'être vérifiée : la cause précède l'action.
  • Avec IR<Im :
    • Le choix du Sujet, représenté en Im est la cause dernière (la causa sui) de la symétrie postulée.
    • La causa sui est atemporelle, par rapport au problème posé. Elle est simplement retenue ou pas par le Sujet.
    • La répétition des actions se traduit globalement par une orthogonalité spatiale et non plus une succession temporelle : les extensions sont orthogonales entre elles.

- Mais tu nous entraînes bien loin de ton sujet.

- Non, je te ramène juste, ainsi que Ghys nous y invite d'ailleurs, à Évariste Galois qui est à l'origine de tout. En partant de l'idée d'une symétrie entre les racines d'un polynôme, il initie la vision I'm/Im propre à la topologie. Ensuite, ses extensions vont conduire aux notions de variété, de faisceau et à celle de recouvrement, dont parle Ghys, et c'est tout cet acquis que la théorie des catégories va distiller pour en extraire notre duo de choc section/ rétraction.

Mais avant de redescendre jusqu'à cette racine, je te propose de suivre Ghys dans son cours, il est tellement limpide que c'est un plaisir ! Nous en sommes donc à la définition d'un revêtement :

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Vidéo à 5:50

Tu remarqueras immédiatement que la définition d'un revêtement est faite en Im, pour cadrer le point de vue de I'm.

- Précise.

- Nous parlons d'une "fonction continue", d'"ouverts" autour d'un point, et d'"union". Autrement dit, le Sujet, en position IR<Im, utilise les axiomes de niveau IR :

  • de continuité : la fonction p, les ouverts UB, et ViX,
  • de séparabilité : les points b∈B.

Mais nous utilisons l'opération propre à I'm à savoir l'addition: p-1(U)=∐Vi , pour décrire la fonction inverse de celle qui intéresse Im !

- Mais les "points" ne sont-ils pas déjà imaginables en I01, à partir du morphisme identité (*)↑{*} ?

- C'est là que c'est intéressant: la réponse est non, car en fait, je ne peux les concevoir, vus de I'm et en position ex ante, le regard tourné vers l'objet initial ( ), que contenus dans un milieu continu : un ouvert U. Et tu vois la bascule :

  • En position ex post I01<I'm, le Sujet :
    • utilise un indice i∈I avec I∈N,
    • identifie chaque point de B;
  • En position ex ante avec I'm<IR, le Sujet repère un point b par son environnement U, d'où la nécessité en IR<Im de cadrer ce repérage en stipulant formellement sa possibilité avec l'axiome de séparabilité, qui accompagne celui de la continuité.   

D'ailleurs, il y a moyen d'élargir le concept de revêtement présenté ici, à l'aide du concept de tribu, pour recoller en I'm les deux façons de décrire un point, en passant du continu au discret à l'aide du concept de "tribu". Mais ceci demande d'utiliser la notion de mesure, autrement dit, après que Im soit passé de IR à I#: IR<I#<Im.(voir #8)

Sans entrer dans les détails, tu vois ici que notre problématique ↑↓ vient de la difficulté que l'on éprouve à définir globalement cette fonction p autrement qu'en itérant une approche locale de p-1. Sauf que, cette itération se faisant entre I01 et IR, n'est plus de l'ordre de la répétition temporelle, mais d'une addition d'ordre spatial. La topologie, comme son nom l'indique s'occupe d'espace !

Pour être encore plus précis: 

Le souhait de Im de définir une fonction p: X↓B n'est pas d'ordre rationnel, puisque par définition la "rationalité" consiste à rapporter l'observation d'un objet o∈Ik à un critère c∈Ik+1, par une action a : o↑c;  avec Ik<Ik+1<Im.

- Tu ramènes la rationalité à l'immanence ou l'entendement de première espèce de Spinoza, ou la méthode de Descartes, merci pour le rappel.

- Il ne faut pas hésiter à enfoncer certains clous !

Or donc, Im va utiliser I01 comme miroir pour imaginer son avatar en deçà I'm<I01, avec cette flèche p↓ pointée vers I'm, situation qui singe la position rationnelle orthodoxe ↑ vue de <Im (voir #3). Ensuite, Im inverse cette image spéculaire qu'il rapporte à lui-même, d'où cette flèche ↑ décrite par p-1:B↑X, caractérisant le concept de revêtement comme propre au point de vue local de I'm<.

- C'est un peu compliqué, mais je suppose que tu y vois l'entendement de seconde espèce de Spinoza ?

- Je parlerais plutôt d'un effort de rationalisation par <Im de cet entendement de seconde espèce qui concernerait I'm<. À mon sens le véritable entendement de seconde espèce seul ne serait pas d'ordre rationnel, il s'agirait juste de Im en position ex ante Im<

- J'ai l'impression que tu fais tes gammes en jonglant avec ta représentation du Sujet, tel Démosthène le bègue plein de galets dans la bouche.

- Il y a un peu de ça: il s'agit de s'assouplir l'esprit en l'exerçant à la pensée topologique.

- Et si nous en revenions à tes amours Jacques ?

- Oui, il est temps de revenir à notre duo infernal section/ rétraction, en repartant de l'article #10:, où l'on voit cette magnifique patate, dont une coupe serait un "disque" Vi du recouvrement d'Étienne Ghys.

- À ceci près que nous sommes ici au ras des pâquerettes, dans la catégorie Ens, sans idée de continuité.

- Certes, mais c'est bien dans l'esprit de notre démarche, qui consiste à suivre la régression d'une idée primitivement topologique développée en IR, jusqu'en I01.

- Mais en gardant une posture topologique ?

- Absolument: I01 est le niveau charnière, où s'articulent logique et topologie, produit et coproduit. Et c'est faute d'être dans cette posture en 2017 que j'étais mal à l'aise dans ma démarche.

Pour en revenir à Lawvere :

Dans son schéma: 

  • La rétraction r: B↓A , vue de I'm renvoie à la fonction p: X↓B, de Ghys
  • La section s : A↑B, vue de Im renvoie à la fonction p-1: B↑X.

- Et tout ton laïus pour en arriver là te permet-il d'y voir plus clair ?

- Oui: j'oublie la différence IR/I01, puisque ici nous ne sommes qu'en I01, mais je garde la différence I'm/Im !

La question est de comprendre la séquence des sauts I'm/Im : est-ce que je pars d'un point de vue local, pour y revenir, en passant par Im, ou bien l'inverse?

Partons de cette définition :

  1. La section, qui vient en premier dans l'enchaînement r.s, nécessite une vision globale en Im, avec A↑B et I'm<I01<Im. (i.e.: seul Im peut "voir" B)
  2. La rétraction vient ensuite et fait basculer dans une vision locale I'm avec B↓A. et I'm<I01. (i.e.: I'm ne voit qu'une projection en A de B)
  3. En écrivant r.s =1A, le morphisme identité 1A indique bien, que nous sommes en I'm, en position I1<I01<I'm. (i.e. : I'm peut identifier chaque élément de A).

Maintenant, et c'est là que c'est intéressant, la séquence r.s, située ici au niveau I01, mais pouvant s'étendre, comme nous l'avons vu, au-delà en IR, donne une équivalence topologique (dans la posture I'm<Im) à la simple identification logique des éléments de A vus de I'm, confinée aux niveaux I1/I01, avec I1<I01<I'm.

- C'est une vraie gymnastique ! Je me demande s'il y a un lien entre l'utilisation que tu fais, de I'm< et <I'm et les bra | et ket | qu'utilise Dirac en mécanique Q ? (note du 05/10.2020 a)

- Il n'est pas temps ici d'aborder ce sujet, car cette notation de Dirac sert au calcul d'un "observable", et ceci demande d'avoir la notion de "mesure", concevable en I#<Im.

- On peut tout de même faire le parallèle entre "observer" et "identifier". 

Tu nous dis en gros qu'un élément de A peut être repéré en I01 soit "absolument" (i.e.: I1<I01<Im) soit "relativement" (i.e.: I'm<I01); autrement dit que l'objet est "stable" ou "identifiable" ou "observable", si tu peux tourner autour, et passer du local au global. Ce qui nous ramène à notre dernière discussion à propos de la co-existence Sujet/ Objet ! (voir #9)

Or, lorsque tu conjugues un α| et un |α⟩ pour observer ⟨α|α⟩, il y a bien quelque chose du même ordre, d'autant plus que cet observable ⟨α|α⟩ s'écrit sous forme matricielle, ce qui nous ramène à la conjonction du produit (relatif à une position I01<Im) et du coproduit (relatif à une position I'm<I01), en pivotant autour de I01 comme nous l'avons vu en détail. (voir #10)

- OK, mais revenons à notre sujet.

Autre conséquence de cette définition : compte tenu de la disposition relative des catégories A et B, il est impossible à Im d'identifier précisément les éléments de B à l'aide de B↓A. Im peut juste les ranger dans des classes d'équivalence, en enchaînant s.r ; d'où le concept d'idempotence : s.r=e , qui rapporte en Im ce que voit I'm de B.

- Pardonne-moi d'insister, mais cette impossibilité d'identifier deux éléments de B, vu en IR<Im, ne permettant à Im que de les dire "équivalents" ou "idempotents", me fait furieusement penser à une "intrication" au sens de la physique quantique...

- Ce serait intéressant à creuser, mais pour l'instant, je te propose de revenir aux exemples présentés par Lawvere, (voir l'article #10 où j'en parle) pour terminer cet article, car je commence à fatiguer !

1/ Problème du directeur de muséum

Pour une exposition concernant les mammifères, notre directeur doit choisir un spécimen particulier pour "représenter" chaque classe retenue. Soit A = le groupe des "mammifères" et B l’ensemble des spécimens à sa disposition. Une première opération serait de "regrouper" les spécimens selon leurs classes respectives.

Notre directeur a une vue de A et B, il est donc en position ex post, en Im. Son objectif est d'offrir aux spectateurs une représentation des collections dont il dispose. Le spectateur est donc en position I'm par rapport au directeur. L'enchaînement des actions s.r=e indique qu'il a réussi son exposition (r), dans la mesure où le spectateur réussit, à partir de ce spécimen, à reconnaître (s) le groupe qu'il représente aux yeux du directeur:

"- Et ça mon petit qu'est-ce que c'est ?
- C'est un loup, Monsieur.
- C'est exact: c'est bien un loup."

2/ Problème de l’observateur d’oiseaux

Le point de vue de notre observateur diffère de celui du directeur de muséum, en ce sens qu’il cherche à définir à quelle espèce peut correspondre l’oiseau qu’il observe. Pour s’aider, il dispose d’un manuel avec, pour chaque type d’oiseau répertorié, une photo ou une image "caractéristique". Dans son cas, la "section" lui est donnée : c’est le choix effectué par l’auteur du catalogue. Il va donc chercher, par différences et répétitions (oui, Deleuze : c’est mon côté germanopratin), à voir si son oiseau "se rapproche" de telle ou telle figure emblématique de son catalogue. La question qui vient alors, seconde par rapport à la section, c’est de définir la rétraction : nommer son oiseau.

Dans ce cas, notre observateur se focalise sur le spécimen qu'il a sous les yeux: il peut l'identifier en tant qu'objet 1A, au sens où j'identifie le singleton (*)↑{*}. Mais il veut rapporter cette identification "globale" (i.e.: <I'm) à ce qu'en dirait l'auteur du catalogue, autrement dit, confronter son point de vue I'm< à celui du spécialiste <Im. Il va donc tourner les pages du catalogue (s) (i.e.: une page est une section du livre) jusqu'à ce qu'il puisse établir une correspondance entre 1A, et ce que lui renvoie le catalogue (r) (i.e.: l'image sur la page), avec r.s=IA. Il est à noter que c'est l'observateur qui localement juge de la correspondance.

Ouf, cet article est un peu long, mais le sujet si fondamental, qu'il valait bien, me semble-t-il ce petit effort. (note du 05/11/2020 b)


Relecture au 29/03/2020

Je viens de terminer l'article sur la posture de Lagrange introduisant le concept d'énergie potentielle, dans une approche topologique post cartésienne. Par contraste, il m'est alors apparu que j'avais traité très superficiellement de la posture de Descartes, qui formalise la pensée rationnelle logique.

En effet, bien que j'en aie parlé en représentant la structure R/I/S du Sujet à l'aide d'une métaphore, je n'ai défini cette posture I1<I01<Im. que par le morphisme (*)∈I1↑{1}∈I01.

Or ce n'est pas suffisant, car j'ai dans l'idée que le Sujet ne peut se définir que par un mouvement.

En disant que le Sujet rapporte l'objet de son attention à un critère de jugement, Ik↑Ik+1, il faut bien qu'il focalise son attention, tantôt en Ik, tantôt en Ik+1; or le morphisme ↑ ne met en lumière qu'un moment d'un cycle ↑↓.

- Mais selon ta définition de la rationalité, la flèche ↓ ne pas rationnelle aux yeux de Im !

- Exactement. Aussi dois-je reprendre cette définition de la rationalité logique, en cherchant de quelle façon elle pourrait être vue comme la dégénérescence d'une approche topologique, avec la recherche d'un double point de vue I'm↑↓Im, lorsque I'm recule jusqu'en I1.

- C'est assez simple : toute catégorie C peut être le domaine d'un et d'un seul morphisme pointant sur l'objet final C↓(*): c'est le sens même de la propriété universelle.

- C'est effectivement ce qu'il faut mettre en musique. Et donc, nous en revenons au sujet de cet article, à la différence identité/ idempotance !

3/ Le cogito de Descartes

"... En disant "je pense, donc je suis", cette existence dont il prend conscience en I1, s'exprime en référence au constat plus général, qu'il "pense" en I01, et le "je" en question fait la liaison entre les deux, dans la mesure où il a accès à ces deux niveaux de conscience." (voir ici)

En écrivant cela, je décris la posture de Descartes en Im : I1<I01<Im, permettant de "comprendre" un morphisme élémentaire : s : "j'existe"↑"je pense".

Maintenant,  l'existence de cet ego lui permet de rapporter à lui-même toutes ses expériences (en évitant d'en référer à Dieu). Et parmi ces expériences, il y a naturellement celle de sa propre pensée : r : "je pense""j'existe" !

Tout ceci nous amène à compléter notre caractérisation du cogito Cartésien de la façon suivante (en faisant attention au sens de l'écriture ! Les morphismes s'écrivent de gauche à droite: domaine/ codomaine et l'enchaînement des morphismes de droite à gauche)

  • s.r=e <=> "je pense""j'existe"↑"je pense"
  • r.s=I<=> "j'existe"↑"je pense"↓"j'existe"

Dans ce schéma, le va et vient de la pensée entre I1 et I01, permet deux constats, selon le point que l'on prend comme origine:

  • "j'existe": à partir de là, toute pensée confirme mon existence, et m'identifie c'est le sens de 1A en I1.
  • "je pense" : toutes mes pensées me reflètent d'une façon ou d'une autre, puisqu'au minimum j'ai pensé une fois que je suis, même si j'exprime par ailleurs mon inexistence ou si je mens (i.e.: (*)↑{0}), c'est le sens de l'idempotence de mes pensées en I01.

- Mais tu as l'habitude de dire que le morphisme (*)∈I1↑{1}∈I01 définit l'identité en I01 et non en I1.

- Effectivement, dans une pensée purement logique cela suffit. Mais en la  considérant ici comme une dégénérescence qu'une pensée topologique plus complexe, nous l'enrichissons.

- Y a-t-il identité entre les deux points de vue ?

- Dans la mesure où le morphisme {1}↓(*) est nécessairement vérifié, puisqu'il s'agit d'une propriété universelle quelque soit le domaine C d'un morphisme ayant le singleton (*) pour codomaine, on peut dire que ce retour en I1 n'apporte pas d'information supplémentaire à Im

Cependant, la posture topologique que nous adoptons ici nous permet peut-être de mieux appréhender la pensée logique en termes de procédure.

- Qu'as-tu en tête?

- La machine de Turing.

- Quel rapport ? Tu peux déjà penser toute la logique à partir de morphismes.

- Sans doute, mais faute d'avoir défini une horloge, je ne peux que constater ex post en I1<I01<Im une suite 100110011.... Autrement dit je reste sur une représentation spatiale de ma logique, sans le moyen de représenter la construction progressive d'une suite de bits. Turing, lui, a défini une machine idéale, qui nous a permis de construire effectivement des ordinateurs.

L'approche topologique de cette simple logique, nous permet de représenter un cycle complet ↑↓. Chaque choix s:(*)↑{0,1} (i.e.: soit 1 soit 0) est suivi d'un retour r: {0,1}↓(*) identifiable avec r.s=1A, et la suite de ces 1A peut servir d'horloge pour notre machine de Turing. L'information est portée par ↑ et ↓ nous sert d'horloge.

{0} {1} {0} {1} {1} {0} {0} {0} {1} {1}
↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘ ↑↘
(*) (*) (*) (*) (*) (*) (*) (*) (*) (*)

De ce point de vue, en passant d'une représentation statique en I01 à une présentation dynamique entre I1 et I01, cette reconstruction topologique de la logique est une régression Imaginaire, jusqu'à un axiome d'existence ∃ (*) en I1, au plus près du Réel R, là où se situe le cogito de Descartes: R<I1=I'm<I0<Im.

- Ce fonctionnement en boucle me fait penser à ce que nous avons vu chez Foucault, lorsqu'il décrit la pensée du XVIè siècle tournant autour des similitudes et de leurs signatures ! 

"... Il n'y a pas plus de distinction de "nature" entre un indice et la catégorie qu'il désigne, qu'au XVIè siècle entre un "objet référé" et son référent, le "signe" qui le marque. Là comme ici, les mots comme les choses participent d'un même langage.

À une torsion près : la similitude entre deux objets est d'un type autre que la similitude qui se lit entre les signes que nous en distinguons. Foucault en dresse le tableau suivant :

similitude entre objets   similitude entre signatures
convenientia => sympathie
aemulatio => analogie/ convenientia
analogie => sympathie/ aemulatio
sympathie/ antipathie => analogie

 - Je pense qu'il y a effectivement un mécanisme de l'orde de la répétition, qui tient tout simplement au fonctionnement de notre cerveau qui jamais ne s'arrête.

Bonne méditation !

Hari   

Note 1 : Voir la suite d'articles :

Note 2 : Voir :

Note 3 : voir :

Note 4 :

Se reporter à la vidéo d'Étienne Ghys (voir ici), du groupe Henri-Paul de Saint Gervais, reprises dans le blog "Analysis situs" du CNRS.

Je m'y réfère déjà dans quelques articles, en particulier :

Note 5 :

J'ai passé tout l'hiver 2017 à tenter de comprendre l'approche galoisienne. J'avoue humblement que je n'en ai toujours pas fait le tour. J'arrive tout juste à baliser sa démarche, et il me faudra y revenir, comme ici je reviens sur Conceptual Mathematics de Lawvere.

Voir ici le point où j'en étais alors:

Note 6 :

Par exemple, pour un polynôme du second degré P =ax2+bx+c, je vais adjoindre au corps de départ la racine du déterminant Δ=(b2-4ac).

Les deux racines du polynôme peuvent alors s'écrire à partir du corps de départ  muni de l'extension √Δ : 

  • x1=(-b+√Δ)/2a
  • x2=(-b-√Δ)/2a

La symétrie x1 / x2 se marque par le + ou - devant √Δ.

Il faut ajouter que cette extension est "orthogonale" au corps auquel elle est rajoutée, comme l'axe des y est orthogonal à celui des x pour se repérer dans le plan. Chaque extension apporte donc une dimension orthogonal supplémentaire au corps de départ, et la symétrie est située dans ce nouvel espace; ce qui nous renvoie à une discussion récente concernant la droite réelle et l'espace imaginaire: 

Note 7 :

Voir à ce sujet les développements récents que j'ai fait concernant le stade du miroir et le renversement de perspective entre Im et I'm qui en découle :

Note 8 :

Nous en avons déjà parlé au sujet de la mesure de Lebesgue, et de la définition d'une "tribu".  Voir:

Note 9 :

Dans l'article "V.I.T.R.I.O.L.", je discute de cette relation Sujet/ Objet et de quelle façon, à partir du miroir, objet et Sujet peuvent échanger leur rôles dans la constitution de l'un par l'autre.

Note 10 :

Nous avons suivi un long cheminement, pour arriver à cet article :

Note du 05/11/2020 a

J'y reviens en détail dans :

Note du 05/11/2020 b

J'ai trouvé dernièrement une vidéo faisant le lien entre électromagnétisme et théorie de jauges très clair. On y voit en particulier comment cette différence idempotence/ identité introduit une "liberté de jauge", j'y reviendrai certainement en détail mais je marque ici le lien afin de pouvoir le retrouver facilement : (voir à 1h02')

 

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jc 24/03/2020 17:46

HS: "Thom ne permet pas d'aborder la mécanique quantique, ni la relativité... ".
Thom a passé beaucoup de temps -il l'écrit quelque part- à essayer de géométriser la mécanique quantique, sans y réussir. Pour lui les mathématiques sont la conquête du continu par le discret, de la géométrie/topologie par l'arithmétique/algèbre, ce qui me paraît une position tout-à-fait normale pour un "vrai" géomètre/topologue. Je flaire que Grothendieck c'est tout l'inverse, que pour lui la mathématique est une conquête du discret par le continu, je le sens plus dans la lignée de Pythagore ("Tout est nombre") et de Galois.
Thom est un herméneute dans la caverne de Platon, qui essaie de reconstituer le monde à partir des ombres (contours apparents) qu'il voit se projeter sur le fond de la caverne: il est dans la pénombre yin et il essaie de voir ce qui se passe en pleine lumière yang. Il a proposé une méthode et un langage -sa théorie des catastrophes- pour théoriser la biologie et la linguistique et l'une de ses intuitions profondes est que c'est le vivant qui peut expliquer l'inerte, et non l'inverse¹. Et il dit à plusieurs reprises qu'une définition formelle du vivant est possible¹. Il est clair que pour lui comme pour vous, l'une des premières choses à faire est d'immerger le sujet pensant dans les mathématiques, ce que vous vous efforcez de faire.
Quantique renvoie évidemment au nombre, à l'arithmétique, à l'algèbre, mais la double présentation langagière et géométrique des groupes de réflexion, suggère que la solution viendra peut-être comme on grimpe dans une cheminée, en s'appuyant sur les parois algébrique et géométrique. Je pense que le théorème d'Arnold qui classifie les catastrophes élémentaires thomiennes (qui sont liées au vivant si on accepte la théorie biologique de Thom) peut fournir de bonnes intuitions. Faim, peur, amour. Faim et peur sont réglées par le conflit prédateur-proie lié à la fronce, donc à A3. Je verrais bien l'amour réglé par la double fronce et je rêve qu'elle soit Arnold-classifiée par quelque chose comme E8², pour rester à la fois dans la lignée de Platon et de Garrett Lisi. Le dernier chapitre de SSM, "Pensée et langage", ouvre selon moi d'intéressantes perspectives sur les capacités humaines (voir le paragraphe sur les automatismes du langage). Pour moi, plus que jamais, il faut apprendre à se connaître soi-même.
Bien à vous, jc.
¹: "(...) la science veut construire la vie à partir de la mécanique, et non la mécanique à partir de la vie."; "(...) l'animé sait exploiter les régularités naturelles pour stabiliser des connexions qui dans le monde inanimé seraient accidentelles, non génériques. Il y a donc là (en principe) une possibilité formelle de caractériser l'état de vie, problème qui jusqu'à présent a défié la pensée biologique."
²: Peut-être une diachronisation kaléïdoscopique du synchronique E8? http://www.madore.org/~david/weblog/d.2018-08-30.2548.html

Hari Seldon 25/03/2020 09:37

"Thom a passé beaucoup de temps -il l'écrit quelque part- à essayer de géométriser la mécanique quantique, sans y réussir.",
Ça me paraît absolument évident, je ne savais pas que Thom lui-même s'en était rendu compte.
J'aborde la mécanique Q dans quelques uns de mes articles, et j'y reviendrai defaçon approfondie en fin de parcours.

jc 24/03/2020 15:38

C'est le titre (Identité et idempotence) qui m'incite à poster ici. Et je le fais après mon post à propos de la formule canonique du mythe. Car en rédigeant ce dernier, et en considérant les flèches allant d'un objet à l'autre comme diachroniques, ça m'a incité à considérer les flèches restant dans le carquois d'un objet comme synchroniques, c'est-à-dire cet objet lui-même comme synchronique. J'ai regardé en grande diagonale quelques cours sur les catégories mais je n'ai jamais vu donner donner aux flèches du carquois de chaque objet une quelconque interprétation sémantique. Autrement dit les dessins qui apparaissent le plus souvent occultent le rôle de ces groupoïdes(?): Ainsi on montre le dessin de deux flèches diachroniques pour illustrer la composition de A à C en passant par B, en omettant quasiment toujours de dessiner systématiquement à côté le cas où, par exemple, B=C et où la seconde flèche est alors synchronique (en forme de boucle orientée pointant l'objet sur lui-même, pour la distinguer d'une flèche droite, diachronique).
De ce constat je tire la conclusion partielle et provisoire qu'une catégorie est quelque chose comme un déploiement diachronique d'un(?) groupoïde qui, lui, serait synchronique, comme un espace affine l'est de son espace vectoriel associé. Je me demande si, dans cette optique, on ne "voit" pas apparaître naturellement de l'homologie et de la cohomologie là-dedans (je n'y connais quasiment rien, rien que du Wiki indigéré). Bien à vous, jc.

Hari Seldon 24/03/2020 17:05

Merci pour ce commentaire sur le fond.
Soit IK et Ik+1 deux niveaux synchroniques.
Toutes les flèches sont par essence "diachroniques" c'est à dire décrivent un "saut" entre Ik et Ik+1. Maintenant pour en parler, de es sauts, je ne peux le faire que depuis Ik+1.
Soit A en Ik et B en Ik+1. Soit #A le nombre d'éléments de A et #B celui de B; alors Le nombre de flèches potentiel est de (#A)puissance (#B)
Le nombre actuel de flèches est celui qui décrit effectivement l'application qui m'intéresse.
Concernant trois ensembles, j'en discute dans les articles "entropologie de la théorie des catégories", il y en a une dizaine, mais je devrais les reprendre. Le plus intéressant étant les allés-retour, quand c=A, et c'est le sujet de l'article identité et idempotence.
Un groupoïde est formé à partir d'un ensemble élémentaire, le singleton, et des flêches pointant sur lui. On peut le voir comme une forme plus élémentaire ou dégénérée, mais c'est surtout fait pour éviter d'utiliser le concept "d'objet": au lieu de parler d'un "objet" en Ik+1, on parle de sa création à partir du singleton en Ik et des flèches Ik/Ik+1. Mais au fond, ça ne chance pas grand chose, pour ce qui m'intéresse.
Tout ceci se passe avant d'imaginer un espace affine (en IR avec l'axiome de continuité), et avant celui d'espace vectoriel (construit en IR sur un corps en I01).
L'homologie est un concept topologique, nécessitant la distinction I'm/Im.
Si vous voulez vraiment y voir clair, il faut savoir où l'on se situer pour mettre en relation les concepts entre eux.

jc 24/03/2020 11:05

HS: "Mon ami avait une certaine image de moi, sans être capable de s'imaginer à ma place."
Thom: "L'intelligence c'est la capacité de s'identifier à quelque chose, à autrui."
HS: "...ce faisant, j'ai pris conscience d'avoir gardé malgré moi une posture "rationnelle logique", alors même que je discutais de "l'approche topologique"."
Thom: "L'intelligence c'est la capacité de s'identifier à quelque chose, à autrui."
Le but ultime c'est de s'identifier à soi-même, comme nous l'a enseigné Socrate. Je me demande si le grand âge n'est pas propice à ça: on finit de boucler la boucle, on retombe en enfance, on regarde comment on s'est comporté dans sa vie, et on s'aperçoit qu'à la base il y a en nous le prédateur (j'ai faim), la proie (j'ai peur), l'amoureux. (j'aime). C'est tout?
Thom: "En Science, seul le mathématicien a le droit d'être intelligent."¹
Thom: "Finalement, le problème de la démarcation entre scientifique et non scientifique n'est plus guère aujourd'hui qu'une relique du passé ; on ne le trouve plus guère cité que chez quelques épistémologues attardés – et quelques scientifiques particulièrement naïfs ou obtus."¹ (1988, La science et l’intelligible)

¹: Regarder où Thom place les mathématiques sur sa carte légendée du sens: http://strangepaths.com/forum/viewtopic.php?t=41

Hari Seldon 24/03/2020 13:16

Merci pour les parallèles avec René Thom : il y a rencontre, mais le point de départ est radicalement différent, et les conséquences très importantes. Exemple : Thom ne permet pas d'aborder la mécanique quantique, ni la relativité...