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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Axiomes de choix et de continuité

- Depuis un mois, je me joins le mercredi à quelques assidus du groupe de Logique Catégorique d'Anatole Khélif pour assister à une présentation via Zoom. La dernière portait sur "Topologie et axiomes HC et AC".

- Avoue que tu n'as pas le niveau et que tu nages complètement !

- Oui, je le dis sans réticence. Cependant, j'en capte assez pour comprendre que je suis plus noyé par une débauche de vocabulaire que par la complexité des raisonnements. De plus j'ai l'intuition que la discussion à laquelle j'ai assisté se tient précisément à la charnière entre ce que j'appelle "pensée logique/ approche topologique".

- En as-tu fait part au groupe ?

- Non, car je n'ai pas encore, malheureusement pour moi, le vocabulaire à disposition pour entrer pleinement dans la discussion. Mais je sens qu'il y a là quelque chose à creuser.

- Quand je te dis qu'il te faut travailler sérieusement les maths.

- Tu connais ma très grande fainéantise ! Mais je crois avoir trouvé un couteau à huître pour entrer dans le vif du sujet. Les questions qui les agitent viennent de l'utilisation conjointe des concepts venus de la théorie des ensembles et de la topologie. Or, de mon point de vue, la première relève d'une "posture logique", quand la seconde relève d'une "posture topologique".

- Et le rapport avec ces deux axiomes ?

- J'ai eu l'intuition, en écoutant les échanges, que l'axiome de choix est nécessaire en topologie pour recréer un "ordre" qui disparaît lorsque tu quittes la pure "posture logique". (note 1)

- Je ne comprends pas ?

- Si tu es sur une droite, par exemple N, où tu passes de 1 à 2, puis à 3 etc. Il y a un "ordre" quasiment instinctif qui découle de la possibilité d'utiliser un décompte (cardinal) d'objets dans un ensemble pour classer un nombre (ordinal) dans une suite. Par exemple tu placeras un sac de billes avec 2 billes entre un sac d'une bille et un autre de trois billes. Nous sommes là dans la théorie des ensembles.

Maintenant, suppose que tu sois dans un espace à deux dimensions, tel que NxN. Imagine par exemple un échiquier comme un espace de 64 points sur lesquels tu peux poser tes pièces. Tu n'as aucun guide logique pour dire que la case a1 est avant ou après la case h8. Le classement dépend d'un choix. Par convention, aux échecs, la case a1 est celle de la tour du roi blanc.

Vois-tu le point de bascule? Tu n'as aucune difficulté à repérer les lignes de l'échiquier de a à h et les colonnes de 1 à 8, parce que là, tu es sur "une ligne", un segment de la droite N, mais dès que tu "imagines" un "espace" NxN entre ces deux lignes orthogonales, sans "commune mesure", tu es perdu. Il te faut donc faire un "choix" pour fixer ton attention, et surtout en parler. J'ai dans l'idée que cette nécessité conduit à définir la propriété universelle en théorie des catégories, comme le lemme de Yoneda. (note 2)

À mon sens, c'est le noeud du problème: tu utilises la théorie des ensembles pour te repérer dans N, mais dès que tu quittes la posture strictement limitée à la logique, et même sans idée de continuité ou de séparabilité comme en R, en restant dans un espace discret NxN, le simple changement de posture, en passant à une approche topologique, t'oblige à faire un choix, d'où cet axiome AC qui signe pour ainsi dire le changement de posture en question.

Voilà l'intuition qui m'est venue en écoutant les échanges lors de cette présentation. Maintenant, pour en discuter sérieusement, il va falloir m'approprier le langage des autochtones.

Et comme par hasard, la discussion nous amène directement aux limites du concept de continuité, par lequel Samuel démarre sa présentation. Je vais donc me laisser guider par cet exposé, en élaguant autour de chaque concept qui me pose problème, c'est-à-dire, en pratique, à chaque mot qu'il emploie ! 

Premier slide: "Lemme de Jones:

Si X contient un ensemble dense D ainsi qu'un sous-espace topologique S fermé et relativement discret tel que |S|≥2|D|, alors X n'est pas normal."

C'est dans ces moments-là que je me sens comme un imbécile !

- Y a-t-il un quelconque intérêt à étaler ainsi ta profonde ignorance des maths ?

- Je suis toujours l'idée proprement psychanalytique selon laquelle ce sur quoi je bute est signifiant. Et puis, j'apprends comme un enfant qui se raccroche à ce qu'il peut discerner pour se repérer dans un environnement étranger.

Par exemple: je repère le mot "ensemble" que je comprends à peu près, étant un "enfant Bourbaki", élevé au jus des ensembles depuis la 6ème (note 0). Il y a aussi "sous-espace topologique" qui me dit quelque chose, mais allons y voir de plus près, en surfant sur Wikipedia.


Sous espace topologique

Tout d'abord l'article "espace topologique" nous confirme que la topologie est élaborée à l'aide du langage ensembliste, c'est-à-dire autour de la notion de "structure", grâce à un "ensemble d'axiomes".

Ensuite, ça se complique un peu, car il y a au minimum quatre façons de définir une "structure topologique" :

Par les ouverts (la plus naturelle), par les fermés, ou par les adhérences et enfin les voisinages. Bien entendu, mes amis matheux nagent là-dedans comme qui rigole, mais au fond, il s'agit de jongler avec le vocabulaire, après l'avoir correctement assimilé.

Tout tient au statut de la "frontière" d'un ensemble, ou entre ses parties. Soit elle appartient à l'ensemble (ou l'une ou l'autre de ses parties) et c'est un fermé; soit elle lui échappe et c'est un ouvert, l'adhérence tenant à la possibilité de "clore" un ouvert par un fermé.

- Ce sont des préoccupations pastorales !

- Oui, absolument. La géométrie est apparue lorsqu'il a fallu clore les champs, lorsque le chasseur-cueilleur s'est sédentarisé. Mais allons dans le détail, et puisqu'un jour ou l'autre il faudra bien s'y résoudre autant le faire aujourd'hui:

1/ Définition par les ouverts:

"Un espace topologique est un couple (E,T) où E est un ensemble et T une topologie sur E, à savoir un ensemble de parties de E -que l'on appelle les ouverts de (E,T)- vérifiant:

1/ L'ensemble vide et E appartiennent à T;
2/ Toute réunion
quelconque d'ouverts est un ouvert, c.-à-d. que si (Oi)i∈I est une famille d'éléments de T, indexée par un ensemble I quelconque (pas nécessairement fini, ni même dénombrable), alors i∈IOi∈T;
3/ Toute intersection
finie d'ouverts est un ouvert, c.-à-d. que si O1,...On sont des éléments de T, alors O1...On∈T"

Est-ce que tu vois déjà le changement de point de vue par rapport à la définition de l'objet discriminant qui fonde proprement la "posture logique"? (note 3)

- Oui: l'objet discriminant est construit autour de l'élément (*) de l'ensemble singleton {*}. Il est constitué de l'ensemble des parties de {*}, soit (*) et l'élément vide ( ); quand ici, on part de l'élément vide ( ) au sein d'un ensemble T qui définit E par ses parties.

- Exactement: d'un point de vue topologique, c.-à-d. en considérant les parties d'un ensemble, l'objet discriminant est une limite inférieure, mais il y a une bascule entre les deux points de vue qui est évacuée par le mathématicien.

- Peut-être est-ce toi qui établis artificiellement une différence ?

- Je prétends au contraire qu'elle induit toutes les discussions auxquelles j'assiste.

- Peux-tu préciser ?

- Dans la logique du premier ordre, celle des Grecs, qui est celle à laquelle toutes les autres se raccordent, une chose est blanche ou noir, mâle ou femelle, dedans ou dehors, avec entre les deux, une frontière bien marquée. Ceci est lié à ta posture: I1<I01<Im. Mais dès que tu as franchi le stade du miroir, en apprenant à jouer avec les changements de posture I'm< / <Im (local/global), te permettant de représenter en Im ce que ton image en I'm verrait par-dessus ton épaule, à savoir l'objet initial, vide, en IO, avec I'm<Im<I0, alors tu passes d'une identification sûre, au concept d'idempotence, et il y a entre les deux une certaine indétermination qu'il te faut fixer par des choix. (note 4).

- Mais ce que tu me dis là n'est pas audible par les matheux. Comment pourrais-tu t'adresser à eux, avec leurs propres mots ?

- C'est pour ça qu'il faut s'approprier leur vocabulaire ! Prenons la seconde définition d'un espace topologique:

2/ Définition par les fermés :

1/ Les ensembles E et vide sont des fermés;
2/ Toute intersection
quelconque de fermés est fermée;
3/ Toute réunion
finie de fermée est fermée.

Tu vois tout de suite que notre belle logique élémentaire coince un peu aux entournures: E et l'ensemble vide sont à la fois fermés et ouverts. Par ailleurs, tu sens bien qu'entre intersection/réunion et quelconque/finie se développe toute une casuistique qui va faire les choux gras d'une cohorte de thésards !

Toutes les discussions tiennent à la limite entre un ouvert et un fermé, à savoir quel est le plus petit fermé qui puisse contenir un ouvert (ou quel est le plus grand ouvert contenu dans un fermé). La question n'est pas que mathématique: lorsque tu manges une patate cuite sous la braise, jusqu'où peux-tu gratter la peau de l'intérieur avant d'attaquer la partie brûlée? Tu conçois bien que cette limite soit floue, mais que de toute façon, tu ne peux pas aller au-delà de cette peau. La question est de cet ordre: tu ne sais pas trop jusqu'où s'étend la partie comestible de ta patate, les seules choses que tu saches avec certitude étant qu'elle est contenue dans sa peau, et qu'une fois mangée, tu n'auras plus en main qu'une épluchure vide.

Mais, au-delà de cette expérience sensible, le problème résiduel tient à la filiation qu'il y a entre la notion de limite, proprement topologique (ton épluchure), et celle d'ordre, liée à la logique. 

- Je ne te suis pas ?

- Pour approcher d'une limite sans la toucher, il faut définir une procédure, c.-à-d. construire une suite, et donc ordonner les éléments de cette suite pour passer d'une étape de la procédure à la suivante. En mangeant ta patate, tu la creuses en te rapprochant de la peau au fur et à mesure que tu l'entames par tes coups de cuillères.

- Mais tu introduis une notion de temps là où il n'y en a pas forcément !

- C'est tout le problème ! La topologie voudrait ne traiter que d'espace, voire traiter le temps comme un espace, mais son langage ensembliste induit d'une manière ou d'une autre une notion d'ordre qui implique elle-même l'idée d'un déroulement en étapes successives.

Allons au fond des choses en regardant, toujours dans Wikipedia, ce que l'on entend par "opération de clôture":

Opérateur de clôture :

"Un opérateur sur un ensemble ordonné (E,≤) est une application c:E→E vérifiant les trois propriétés suivantes pour tout x,y de E:

1/ x≤c(x)(c est extensive)
2/ si x≤y alors c(x)≤c(y) (c est croissante)
3/ c(c(x))=c(x) (c est idempotente)"

Et tu vois explicitement se pointer en 3ème position la notion d'idempotence qui nous a déjà bloqués pas mal de temps (note 4 toujours) et que nous avons vue comme le marqueur du changement de posture logique/ topologique !

Je ne sais si j'ai les mots pour l'exprimer clairement, mais nous avons là un point de portée proprement épistémologique.

- Comme tu y vas !

- Oui, oui: lorsque je dis que n+1 est le successeur de n, j'arrive, dans un processus temporel indéfini à construire pas à pas l'ensemble N. Maintenant, lorsque je parle d'atteindre une limite définie au terme d'une procédure indéfinie, il faut bien admettre qu'à partir d'un certain seuil je commence à patiner: cn+1(x)=cn(x), avec cette circonstance extrême que dans le cas d'une "opération de clôture", je patine dès le second pas vers cette limite; c'est ce qu'exprime c(c(x))=c(x) (note 5)!

Je pense avoir parfaitement défini cette articulation entre les deux points de vue logique/ topologique en termes de théorie des catégories (toujours la note 4). Eh bien ce principe de "patinage", se retrouve à la remorque des deux premières conditions (extension et croissance) qui, a priori, ne font pas sourciller.

Passons de cette définition de l'opération de clôture à celle d'adhérence, utilisée pour définir une topologie:

3/ Définition par les adhérences :

 "Dans un espace topologique, les adhérences vérifient :"

fig. 1
  • La 1ère propriété indique l'extension de la fonction;
  • La 2ème propriété caractérise l'idempotence;
  • La 3ème propriété nous renvoie directement à la définition de l'addition comme union disjointe (note 6). Rien d'étonnant à cela puisque l'addition est typiquement de l'ordre de la topologie, avec l'objet initial vide en point de mire, comme élément neutre. Cependant, cette addition porte sur les images de X et Y, sans que la condition s'étende aux objets eux-mêmes. C'est dire combien nous sommes ici dans le domaine de la "représentation";
  • Quant à la 4ème, que le vide soit sa propre limite n'a rien d'étonnant, puisqu'il s'agit de l'objet initial, sans "rien" d'imaginable au-delà.

En d'autres termes, cette adhérence est une préclôture.

- Tu n'as pas défini une application de préclôture.

- Oui, je vais un peu vite... Il s'agit de fixer des limites à l'opération de clôture.

"Si l'ensemble E ordonné considéré possède un zéro, et si toute paire {x,y} possède une borne supérieure x∨y, un opérateur de préclôture est une application pc: E→E vérifiant, pour tout x,y de E:

  • pc(0)=0
  • x≤pc(x) ; pc est extensive;
  • pc(x∨y)=pc(x)∨pc(y)

le dernier point implique la croissance car si xy, alors pc(y)=pc(x∨y)=pc(x)∨pc(y)≥pc(x).(note 7-1&2)

Une fois cette application ‾ définie, revenons à la définition d'une topologie par les adhérences :

"...étant donné un ensemble E, toute application‾ de l'ensemble de ses parties P(E) dans lui-même (i.e.: ‾: P(E)→P(E)) qui vérifie  ces 4 propriétés appelées "axiomes de fermeture de Kuratowski", permet de définir sur E une topologie dont ‾ est l'application d'adhérence, en décrétant que les fermés de cette topologie sont les X tels que X=X‾.
(désolé, mais l'éditeur du blog n'accepte pas le langage LateX).  
En effet les axiomes 1 et 3 de la définition par les fermés sont triviaux et l'axiome 2 l'est aussi car cette application ‾ est un opérateur de préclôture, donc croissant, ce qui permet de montrer que l'intersection X de toute famille de fermés Xi est fermée:" (note 7-3)

J'ai repris l'article de Wikipedia, car j'avoue que tout ceci me donne le tournis! Je me sentais plus à l'aise en discutant des "revêtements" (note 4), présentés par Étienne Ghys.

- Qu'est-ce qui te semblait simple avec Ghys et qui te trouble ici ?

- La position du Sujet !

- Tout ceci me semble confus. Tout d'abord, quelle est la nature exacte de cet objet (E,T); moitié ensemble, moitié "parties" d'un ensemble ?

- Ça ressemble à un topos, limité à la catégorie des ensembles.

- Dire ça, n'avance à rien ! Non, concrètement j'ai un sac de billes que j'ouvre pour séparer mes billes en paquets sur le sol. Bien, et maintenant, tu me dis de considérer d'un même oeil, mes billes et mes paquets de billes. Tu vois bien que ça ne fonctionne pas ! Soit je regarde les billes, les objets, soit j'y pense comme "regroupements", mais il est totalement artificiel d'effacer la nature des billes pour les considérer comme des "regroupements".

- Parce que tu restes dans une posture logique (*)<I1<IBilles<Ipaquets<Im. Mais tu t'occupes ici de topologie: tu n'as plus accès aux billes, toutes cachées à ta vue, enfermées dans des sacs qui sont les seuls que tu puisses voir. Qu'ils contiennent des billes ou des girafes, peu importe, puisque tu n'y a pas accès! C'est pourquoi l'objet avec lequel tu joues à cache-cache n'est plus le singleton, mais le vide. Tu en es réduit à t'imaginer localement en I'm, comme un petit lutin  se glissant dans le sac pour "voir" les billes, avec I'm<IBilles<Ipaquets<Im<( )⊂I0, avec toute l'ambiguïté qu'implique le changement de pied I'm/Im. Tu veux représenter rationnellement globalement (<Im) une situation qui t'échappe localement (I'm<). C'est pourquoi Im ne peut plus  "identifier" des objets, mais juste vérifier leur "idempotence" lorsqu'il tourne autour en sautillant d'un pied sur l'autre, et toute cette gymnastique concerne les parties de E. (note 4)

 Maintenant, la définition dans cet ensemble P(E) d'un ordre entre les parties de E si naturelle dans la théorie des ensembles entre les éléments de E, se heurte à la difficulté de savoir si les sacs font partie de l'ensemble E au même titre que les billes, comme fait le charcutier en te vendant le papier d'emballage au prix du jambon. En ce sens les termes de clôture et d'adhérence sont particulièrement bien choisis ! Dire qu'un fermé adhère à sa clôture me semble faire sens, au-delà du langage mathématique: une patate c'est ce qui est contenu dans sa peau.

- D'accord, mais j'ai besoin d'un peu de temps pour jongler avec tout ceci !

- Attends, ce n'est pas fini ! Nous venons de voir que la définition par les adhérences nous renvoie à la définition par les fermés. La dernière va nous renvoyer aux ouverts.

4/ Définition par les voisinages :

"Un espace topologique est un couple (E,V), où E est un ensemble et V une application de E vers l'ensemble P(P(E)) obéissant aux 5 conditions ci-après, dans lesquelles les éléments de V(a), pour a∈E sont appelés "voisinages de a":

  • Tout sous-ensemble d'un voisinage de a est un voisinage de a;
  • L'intersection de 2 voisinages de a est un voisinage de a;
  • E est un voisinage de a;
  • Tout voisinage de a contient a;
  • Pour tout voisinage V de a, il existe un voisinage W de a tel que V soit voisin de chacun des points de W.

Il existe alors une et une seule topologie sur E (au sens de la définition par les ouverts) telle que pour tout point a de E, V(a) soit égal à l'ensemble des voisinages de a pour cette topologie, c'est-à-dire à l'ensemble des parties de E incluant un ouvert qui contient a.

Les ouverts de cette topologie sont les parties O de E telles que pour tout a de O, O appartienne à V(a)."

- Ça paraît bien tordu ! Qu'ajoutes-tu par rapport à la notion d'ouvert ?

- Cette notion de voisinage tient à la difficulté qu'il y a à dire que deux points ou éléments a et b de E sont proches ou voisins l'un de l'autre dans la mesure où tu as autant de difficulté à identifier b que a. D'où cette idée que V(a) équivaut à  "l'ensemble  des parties de E incluant un ouvert qui contient a".

- Dans l'histoire, b s'est évaporé !

- Exactement: les éléments du voisinage sont représentés par "des parties de E incluant un ouvert qui contient a". D'où la définition de V comme une application V : E→P(P(E)). La subtilité, c'est qu'en définissant tout objet b, voisinage de a, de cette façon, tu évites toute discussion concernant sa frontière, qui se pose lorsque tu parles de fermé ou d'adhérence.

- Soit, il va falloir que tout ceci infuse lentement dans ma cervelle, pour que j'en sente réellement l'évidence, mais nous restons bien loin d'avoir compris cette première slide de la présentation ! Qu'est-ce qu'un sous-espace topologique fermé relativement discret ?

- Samuel le précise sur la slide 2:

"Y étant un sous-espace topologique de X, il est relativement discret ssi:"

∀y∈Y , ∃U∈VX,y : U∩Y= {y} 

Sous-espace :

Je te mets en garde tout de suite: un "sous-espace" n'est pas une "partie" d'un espace plus grand au sens où tu entasses des feuilles dans un coin du jardin, et qu'il en reste encore ici ou là clairsemées sur la pelouse. Un "sous-espace" est défini sur l'espace entier considéré, par une propriété explicite. Par exemple, tu repéreras les feuilles du jardin qui sont de couleur rouge. Ceci ne demande aucune manipulation de ta part, aucune procédure temporelle.

- Autrement dit, il y a deux niveaux de langage !

- Exactement: tu introduis un critère de jugement qui "crible" l'objet de ton discours, dans une posture rationnelle: Iobjet<Icritère<Im. En l'occurrence, le rapport entre X et Y s'établit ainsi : IX<IY<Im.

Relativement :

Maintenant, ce qui est intéressant dans cette expression d'une "relativité", c'est que tu utilises ta connaissance de X pour caractériser les objets de Y.

- Je ne te suis plus ?

- Considère la situation d'un pêcheur qui veut attraper du poisson dans son filet. Formellement, il "crible" le poisson à travers les mailles du filet, et intellectuellement, nous sommes bien dans la situation : Ipoisson<Ifilet<Im. Maintenant, pour être un bon pêcheur, il est préférable qu'il sache ce qu'il compte ramener dans ses filets. Notre pêcheur "espère" ramener des poissons d'une certaine taille, dans la situation I'm<Ipoisson . Autrement dit, c'est cette connaissance locale du poisson, qui va le guider, dans sa réflexion globale et rationnelle pour définir les mailles de son filet.

Et bien c'est précisément ce que l'on doit comprendre de VX,y : c'est l'utilisation d'un voisinage défini sur X pour caractériser l'élément y de Y.

Vois-tu le décalage par rapport à une posture logique simple ?

- Je le pense. Dans la posture logique rationnelle, Im utilise un critère pour porter un jugement sur un objet; tandis qu'ici, on utilise l'objet en question pour définir le critère de jugement, et c'est fondamentalement une approche topologique, impliquant un va-et-vient entre I'm et Im.

Discret :

- C'est ça. Maintenant, la proposition de Im est la suivante: U∩Y= {y}.

Dans notre métaphore Bretonne (le marin est Breton), si tu compares la maille de ton filet à tous les poissons que tu connais, en passant du requin à l'anchois, il y en a un qui fait pile-poil la taille de ta maille, ce qui aboutit concrètement à la norme EN 14757 en Europe.

Tu remarqueras que l'on parle de l'ensemble {y} et non de l'élément (y) de ce singleton, preuve s'il en est qu'il s'agit d'une représentation de l'objet et non de l'objet lui-même. À ce niveau, encore une fois, il faut oublier tout espoir de le voir brut de décoffrage. La "discrétisation" des éléments de Y s'arrête à leur emballage ensembliste.


- Il me semble que tu as laissé de côté cette notion "d'ensemble dense" ?

- Parce qu'il fallait avant cela définir ce qu'est une topologie, car la notion de "densité" est une propriété topologique.

Partie dense :

"Soit X un espace topologique et A une partie de X. On dit que "A est dense dans X" ou encore "partout dense" si l'une de ces propriétés équivalentes est satisfaite :

  • Tout ouvert non vide de X contient des éléments de A;
  • L'adhérence de A est égale à X;
  • Tout point de X est adhérent à A;
  • Le complémentaire de A est d'intérieur vide.

Un point x de X est dit dense dans X si le singleton {x} est dense dans X.

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable."

Tu remarqueras qu'ici nous définissons A comme une "partie" de X par une propriété générale, comme nous venons de parler d'un "sous-ensemble". Il n'est donc pas question ici non plus de ratisser le jardin pour faire un tas de feuilles. Non, je te rappelle que le sujet qui nous intéresse, c'est le passage du discontinu (ou discret) au continu, que nous n'avons pas encore défini.

- Mais quelle est la différence entre "sous-espace" et "partie" de X?

- Lorsque je parle de sous-espace, je pense par exemple à la droite de dimension 1 qui est un sous-espace du plan, de dimension 2. Ce qui me permet de représenter ensuite tout point de cet espace en 2D à l'aide d'un couple (x,y) de coordonnées cartésiennes. En ce sens, il y a une "épuration des concepts", lorsque Im monte dans son Imaginaire, jusqu'à l'objet initial, vide ( ) en I0. Autrement dit : Iespace<Isous-espace<Im.

Ici, la question de fond est de qualifier l'ensemble X à partir des "parties" dont il est constitué.  Mon ensemble X forme-t-il un film continu, ou bien un lit de sable fin, ou encore une sorte d'écume ?
Autrement dit : Iparties<Iensemble<Im

Ce qui me permet de préciser la nature de l'opération d'adhésion: elle est descendante X↓A, comme nous l'avons vu au sujet des revêtements (voir note 4 si ce n'est déjà fait).

Et dans cette position, le point fondamental de l'assertion "Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable"  tient au terme "dénombrable"!

Le point d'accrochage est là ! Tant que nous sommes dans le dénombrable, nous restons en I01

Mais pour avancer dans la discussion, il faudrait encore préciser notre vocabulaire. En premier, passons en revue les axiomes de séparation de la topologie: 

Axiomes de séparation en topologie :

Là je te renvoie directement à l'article de Wikipedia: les définitions sont simples à comprendre. Je voudrais juste reprendre ici la filiation qui mène de la plus simple à la plus complète.

T0 : Espace de Kolmogorov:
"Pour deux points distincts de X, l'un au moins des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point."

T1 : Espace accessible ou de Fréchet:
"Pour tout x, l'intersection des voisinages de x est réduite au singleton {x}"

T2 : Espace de Hausdorff:
C'est la propriété la plus classique, qui définit un "espace séparé": 
"Pour tout couple d'éléments distinct (x,y) de E, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre y."

T3 : Espaces réguliers : (je passe)

T4 : Espaces normaux

"Soit X un espace topologique. On dit que X est normal s'il est séparé et si de plus il vérifie l'axiome de séparation T4 : 

Hypothèse du continu :

Nous devons sa formulation ensembliste à Cantor (note 1).

Si ℵ0 est le cardinal de N, alors Cantor démontre que ℵ1, le cardinal de R vaut ℵ1=20, et son hypothèse du continu s'exprime ainsi :

"En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu (HC) affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal des entiers naturels et celui des nombres réels."

En suivant l'histoire du concept, tu verras que Gödel a démontré en 1938 que cette hypothèse n'est pas réfutable (bonjour Popper) et reste indécidable dans la théorie des ensembles (version ZFC); ce qui nous ramène directement au saut Imaginaire I01/IR 

- Il faudrait rentrer dans les détails !

- Certes, et tu l'as déjà fait, mais avec ta mémoire de poisson rouge tu as tout oublié (note 1)! Note simplement l'introduction d'une puissance de 2 que nous retrouvons dans le lemme de Jones.

Et maintenant, la question à 100€ : comment concevoir un espace continu, dans lequel les points seraient malgré tout séparables ?

- Quelle drôle d'idée ! Tu cherches à marier la carpe et le lapin ?

- Pas moi ! Je suis personnellement très à l'aise dans le grand écart discret/ continu : il suffit de comprendre qu'en changeant de niveau de langage, nos concepts comme notre façon d'en parler évoluent (note 1), ce qui me permet d'envisager qu'un Sujet puisse parler tantôt de quantas, tantôt d'espace-temps sans problème. Mais faute de ces ruptures dans un discours qu'il considère comme plat, le matheux tente de construire une passerelle pour passer de l'un à l'autre, exactement comme Évariste Galois utilise des "extensions" pour passer du corps d'un polynôme à celui de ses racines.

D'où cette litanie d'axiomes qui définissent une sorte de progression entre une continuité, qui serait proche de l'axiome T0, et le discret proche de T4.

Et j'ai compris que la discussion dans laquelle j'essayais de ne pas perdre pied, se situait dans cette problématique.


Revenons au lemme de Jones :

"Si X contient un ensemble dense D ainsi qu'un sous-espace topologique S fermé et relativement discret tel que |S|≥2|D|, alors X n'est pas normal."

Après tout ce qui précède, on peut résumer le propos comme un effort pour rapprocher un problème topologique du langage ensembliste.

- De quelle façon ?

- Lorsque le Sujet parle d'un "ensemble dense", nous avons vu qu'il est dans la position ID<I(X,T)<Im, avec une application d'adhérence descendante X↓D. De plus, D étant "au plus dénombrable", nous pouvons situer ce niveau Imaginaire d'arrivée en I01=ID.

Par ailleurs, le sous-espace topologique S de T se situe au-dessus de notre ensemble: I(X,T)<IS<Im, avec l'utilisation des voisinages de X pour construire ce sous-espace dans T.

Visuellement, tu vois bien notre objet (X,T) tiraillé entre deux niveaux de discours...

- Tu penses à Grothendieck et son topos comme le "lit commun du discret et du continu" ?

- Bien sûr, mais restons-en à ce lemme de Jones. L'objectif est de rapprocher ces deux points de vue de Im portés sur (X,T) par une proposition concernant X et mettant en oeuvre les deux outils à notre disposition :

  • L'opération d'adhérence rapportant D à (X,T) d'un côté
  • L'existence d'un sous-espace fermé S relativement discret de l'autre côté de (X,T).
  • La posture rationnelle du Sujet étant : ID<I(X,T)<IS<Im.

Intuitivement, on voit bien où la discussion va nous mener: si D est au plus dénombrable, alors |S| a la puissance du continu, (X,S) est continu, et les éléments de X se brouillent un peu: ils ne sont plus aussi discernables que l'élément (*) de notre singleton {*}.

C'est une limite à la séparabilité des éléments d'un ensemble qui serait continu.

- Je comprends bien le rapport entre ce lemme et cette question de continuité, mais où intervient l'axiome de choix ?

Article modifié (note 8)

- En fait, Samuel n'a pas eu le temps d'aborder ce thème, nous y reviendrons, sans doute après la suite qu'il prépare. En attendant, poursuivons.

Du côté "sous-espace", Samuel nous fait remarquer qu'à partir de tout élément T (désolé pour ce changement de termes: jusqu'à présent "T" indiquait la "topologie de notre ensemble X", et il note "S" cette dernière) des parties de X, il est possible de faire  correspondre deux fermés T et S∖T (S privé de T); en gros T et son complémentaire dans S. Autrement dit, au sens des morphismes, une application entre chaque élément d'une catégorie de cardinal |X| vers un objet de cardinal 2. Ce qui nous donne 2|X| applications possibles, et donc au minimum ce nombre d'éléments de S. Avec évidemment 2|D|≤2|X| puisque les éléments de D correspondent à un choix d'ouverts dans (X,S) et en toute logique : 2|D|≤|S|.

Mon raisonnement n'est pas une démonstration; il s'agit juste de donner un sens à cet énoncé pour tenter de suivre mes matheux dans leur discussion ! 

- Admettons-le, jusqu'à ce que tu le consolides sérieusement, mais quelle est la suite ?

- Elle est assez simple : si D est très grand, à la limite dénombrable, alors 2|D| devient  ℵ1=20, et la topologie S a au minimum la "puissance du continu". 

Dans notre jargon : dans la posture ID<I(X,T)<IS<Im, si ID=I01, alors, nécessairement, le saut diachronique  IDI(X,T) nous amène au minimum à I(X,T)=IR, puisque nous ne pouvons rien "imaginer" entre le discret et le continu.

Comme le lemme de Jones démontre que si 2|D|≤|S| les éléments de X ne sont pas normaux, ceci implique que dans un espace topologique continu, les points de cet espace ne sont pas normaux.

- Mais rien dans ce que tu as présenté, ne l'empêche d'être "séparé", au sens de T2 ?

- Tout à fait.

- Avoue que ce sont des discussions Byzantines !

- Je me dis souvent qu'une discussion entre matheux ramènerait un congrès de Jésuites au rang de jardin d'enfants...

Hari

Note 0 :

C'est un peu vieux, mais nous en avons parlé avant de nous attaquer à la théorie d'Évariste Galois. Voir cette série d'articles, en commençant peut-être par celui-ci:

Note 1 :

Nous allons revenir ici sur ce que j'ai pu comprendre  de Cantor et développer autour de l'axiome de choix il y a déjà trois ans et m'a rongé une année entière! 

Note 2 :

Ce sont des thèmes autour desquels je tourne depuis un certain temps déjà. Voir en particulier :

Note 3 :

Voir, par exemple :

... "Là encore j'abrège pour en arriver à ce que le mathématicien appelle "l'objet discriminant".

  • On identifie notre singleton précédent à un ensemble muni d'un seul élément, que je représente souvent par {*} ;
  • Les parties de cet ensemble {*} sont :
    • d'une part l'élément (*) lui-même que je représente par "1";
    • d'autre part ce qui reste dans l'ensemble en dehors de cet élément, à savoir " rien" que je représente par "0" ;
    • Nous dirons, et c'est l'un des axiomes fondamentaux de cette page de lecture, que les parties d'un ensemble E forment un ensemble P(E)"

Note 4 :

Voir : 

Se reporter à la vidéo d'Étienne Ghys (voir ici), du groupe Henri-Paul de Saint Gervais, reprises dans le blog "Analysis situs" du CNRS.

Je m'y réfère déjà dans quelques articles, en particulier :

Note 5 :

À rapprocher du fait que la métrique "naturellement" attachée à C est une métrique hyperbolique; la "clôture" de C étant un point à l'infini. J'ai du en parler quelque part sur ce blog, après avoir vue une présentation des "fonctions fuschiennes de Poincaré".

Note 6 :

Voir toutes nos discussions tournant autour de la différence produit/coproduit, en particulier le dernier, pour remonter la chaîne:

Note 7 :

Je note ici mes difficultés pour en parler à Anatole (better call Anatole) !

1/ J'ai du mal à déduire pc(y)=pc(x∨y) de la définition de la préclôture.

Samuel m'a répondu le premier :

"C'est parce que x≤y implique x v y = y.
- En effet, x≤y et y≤y, donc x v y ≤ y (car, par def, x v y est la borne supérieure de {x,y}, donc inférieur ou égal à tout majorant de {x,y}),
- et par ailleurs y ≤ x v y, car x v y est le plus petit des majorants (def)
- donc est lui-même un majorant de {x,y}."

Encore une fois je prends conscience de ma profonde inculture. En l'occurence j'avais oublié les rapports entre "bornes" et de "majorant/minorant" (voir Wikipedia). Finalement les concepts sont assez simples à comprendre. En se déplaçant sur une droite, le majorant étant donné, le "bornage" consiste à l'approcher par en-dessous (et par au dessus pour le minorant). Tout le reste en découle.

Je retiens de tout ceci que le concept de "borne" implique un "processus", et donc une séquence, et un temps... Nous sommes dans la logique et je ne peux pas m'imaginer ailleurs que dans un espace de dimension 1 (l'ordre se ramène toujours à un arrangement linéaire).

2/ Je ne vois pas la filiation qui porte de cette préclôture à la clôture, avec en particulier l'absence de l'indempotence dans la définition de la préclôture.

Samuel:

"En effet la préclôture est différente de la clôture, sa définition n'est pas équivalente ; elle est strictement plus générale.
Dans la page Wikipedia en anglais (
https://en.wikipedia.org/wiki/Preclosure_operator) on trouve que la préclôture définit une prétopologie au lieu de définir une topologie. Un exemple est donné avec l'opérateur de préclôture séquentielle : on peut montrer que la caractérisation des ouverts avec seulement des suites convergentes (suite = "séquence" en anglais) est insuffisante pour des espaces topologiques avancés (du type espace de fonctions), mais donc on peut étudier ce qui se passe si on se force quand même a travailler avec des suites, et c'est ce que permet cet outil. (les espaces qui restent des topologies même quand on travaille uniquement avec des suites s'appellent des espaces séquentiels https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space)"

C'est dire que la discussion n'est pas close !  Je retiens qu'en dessous de la "topologie" au sens le plus complet, ou parle "d'espaces séquentiels", et donc que l'on n'a pas pu se dégager du concept de temps...

3/ Je n'ai pas compris l'implication: Pour tout i, de X⊂Xi on déduit X‾⊂Xi‾=Xi d'où l'inclusion de X‾dans X et donc l'égalité.

  • X⊂Xi =>X‾⊂Xi‾=Xi , ça, oui : cela découle des définitions;
  • d'où X‾⊂Xi toujours OK
  • je ne vois pas la troisième étape X‾⊂X !

Samuel : 

"On a : cl(X) inclus dans Xi pour tout i, et pour tout i 
donc cl(X) est inclus dans l'intersection des Xi. (i.e.: puisqu'il est inclus dans tous),
Or il ne faut pas perdre de vue que X est justement défini comme étant cette intersection des Xi."

Ce qui montre mon peu d'agilité d'esprit ! 

Note 8

Dans une première mouture de l'article, j'ai écrit :

"- Ah! Il intervient dans la construction de D à partir de X. Je te passe le jargon pour t'en montrer l'idée: Parmi tous les voisinages VX,a des points a de D, je peux choisir un ouvert Ua dans X parmi les VX,a pour représenter a."

Il semblerait que j'ai tort car le "choix" d'un Ua parmi des VX,a résulte simplement de leur "existence". La discussion s'annonce donc plus complexe que je ne l'imaginais.

Samuel m'indique une référence : 
- "Consequences of axiom of choice" de Rubin
ainsi qu'un site de discussion:
https://math.stackexchange.com/questions/132717/do-we-need-the-axiom-of-choice-for-finite-sets,
avant de faire ce  commentaire plein d'enseignements que je retranscris ici :

"Pour ce qui est du choix d'un ouvert dans le voisinage d'un point, je comprends tout à fait ton questionnement !
D'ailleurs j'ai dû chercher sur internet pour en avoir le coeur net. Voilà ce que j'ai trouvé : 
https://math.stackexchange.com/questions/783022/confused-about-axiom-of-choice
Donc, le fait de prendre un élément d'un ensemble, par exemple en disant "il existe a dans A ... (et en l'utilisant par la suite)", c'est juste une utilisation tout à fait légitime du quantificateur existentiel. Je cite, dans la page de math.stackexchange : 

Let's analyze this proof. The case of n=0 is uninteresting, moving on. In the case of n+1 we had to choose A∈X, a choice fonction g and an element a∈A.
That's three choices (note that each choice is from a different set, by the way).
But all these choices didn't happen in the universe of set theory, they occurred as instantiation of existentialism quantifier in the meta theory."

Je l'ai repris in extenso à cause de la fin : "ces choix ne sont pas fait dans la théorie des ensembles, mais font partie d'une "métathéorie"...

Or, du point de vue que j'explore ici, cette "métathéorie" nous renvoie au cogito cartésien, dont nous venons tout juste de parler; voir :

- Tu t'éloignes du sujet, non ?

- Au contraire, Samuel nous y replonge !

- Précise ta pensée.

- Nous avons vu de quelle façon Descartes fonde la logique sur un axiome d'existence, la sienne en tout premier, qui devient, par un simple changement de focale de notre Imaginaire, l'existence de l'objet final (*) et de là toute la logique. Avec, en théorie des catégories, un morphisme qui ramène tout à cet objet. Ce n'est pas "tout finit par des chansons", mais "tout pointe sur l'objet final".

De ce point de vue, on peut sans doute dire que l'on "ne choisit pas", dans la mesure où l'on a déjà fait un "méga choix" qui est de tout ramener à (*).

Maintenant, revenons à notre jeu d'échecs en 2D. Nous avons vu qu'il était nécessaire de "faire un choix", pour introduire de l'ordre entre ses cases; de même que:

  • En géométrie projective, il faut choisir un point de vue ;
  • Pour "représenter" un foncteur F d'une catégorie C quelconque dans une autre E appartenant à la catégorie des ensembles Ens, il faut trouver un point x0 particulier pour y ramener tout élément x de C, et  définir un morphisme g: x0∈C↓g(x0)∈E pour représenter F. (note 2)

- Dans quelle mesure doit-on dire "x0" ou "je choisis x0" ?

- C'est tout l'objet de la discussion : dans la posture logique, et donc pour E, la question est tranchée une fois pour toute : ∀X∈E, il existe un morphisme f qui envoie tous les éléments de x∈X sur (*) (i.e.: f: X↓{*}). mais tu vois bien qu'au-delà de E, c'est-à-dire lorsque l'Imaginaire prend son envol au-dessus de I01, l'existence de x0 est de l'ordre du "potentiel" et non de "l'actuel"...

- Deleuze, as usual ?

- Bien entendu !

L'articulation entre "existence" et "choix", et celle dont nous venons de discuter entre "dénombrable" et "continu" sont, de ce point de vue, concomitantes.

Mais attendons le prochain exposé de Samuel, pour voir si cette concomitance fait sens :

"... Je pense que d'ici peu je vais tenter une nouvelle présentation cette fois-ci centrée sur l'axiome du choix, avec par exemple les démonstrations qui le lient au lemme de Zorn et au théorème de Zermelo."

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Shana 20/05/2020 20:41

J’aime beaucoup votre blog. Un plaisir de venir flâner sur vos pages. Une belle découverte et un blog très intéressant. Je reviendrai m’y poser. N’hésitez pas à visiter mon univers (lien sur pseudo) Au plaisir.