Notes de lecture de Scientia Egregia

- Je suis tombé par hasard, sur le site de "Scientia Egregia", d'Antoine Bourget, chercheur en physique théorique, qui présente une excellente introduction, très didactique en tout cas, de la théorie quantique des champs. C'était exactement ce dont j'avais besoin pour me relancer, après un coup de déprime devant mon incapacité à comprendre la vidéo d'Alain Connes à l'adresse des physiciens.

Je m'aperçois immédiatement du gouffre culturel qu'il me reste à combler pour espérer échanger un jour avec lui !

- Mais n'est-ce pas idiot de ta part de foncer ainsi tête baissée dans des domaines qui te sont complètement étrangers?

- Oui et non car, de cette manière, je garde toute la naïveté de l'enfant qui pose les questions les plus embarrassantes à son père, celles qui au fond, révèlent le mieux les limites de mon Imaginaire, comme celles de mon maître par la façon alambiquée qu'il a d'y répondre... Mais dès que je me coule dans le moule culturel de mon interlocuteur, j'oublie ma voie en écoutant celle du maître, ce dont précisément je veux me garder. D'où l'intérêt des traces que je laisse sur ce blog, quitte à me traiter d'imbécile à chaque pas que je fais. C'est aussi l'occasion de voir assez vite des connexions entre différents domaines, puisque mon questionnement est général et que les réponses apportées sont particulières.

L'objet de cet article est précisément de marquer des jalons, au fil de ma lecture de ces vidéos, pour y méditer ensuite à loisir.

Gradien, Rotationel, Divergence :

L'une de mes grandes frustrations de taupin a été d'apprendre bêtement à manipuler ces opérateurs, sans réellement les comprendre, or ici, Antoine Brunet les introduit à partir des notions de p-forme et de dérivée extérieure comme forme antisymétrique pour aboutir en R³ à ce petit tableau :

avec cette équation fondamentale : 

J'avoue que la présentation partant des tenseurs, m'endort un peu, et qu'il me faudra y revenir en détail pour comprendre le développement, cependant, je reconnais là ce que nous avons vu au sujet des groupes d'homologie (voir "Les groupes d'homologie du Sujet")!

- Tu sautes du coq à l'âne !

- Comme un enfant naïf pataugeant dans son verbiage, avant d'arriver à articuler une phrase. Avoue cependant qu'il y a comme une analogie entre les deux approches, en particulier, ce d²=0 où "d" est la "dérivée extérieure", fait furieusement penser à δ²=0 où "δ" est la "bordure" entre deux niveaux de décomposition de l'objet. D'ailleurs, nous passons ici comme là d'une dimension à une autre. Il y a une analogie entre

• les composantes de grad de dimension 1 : passage D0=>D1;
• l'expression du rot qui renvoie au calcul d'une surface : passage D1=>D2;
• la div à celle d'un volume : passage D2=>D3.

Je ne sais pas où cela va nous mener (suspens) toujours est-il que ce rapprochement change mon regard sur la notion de "dérivée" : ce ne serait plus lié à une notion de "petite quantité", mais à une "rupture" ou changement d'échelle dans la description de l'objet...

Ça rendrait tout au moins plus intuitives ces recettes de cuisine apprises en taupe : div(rot V) =0, rot(grad A)= 0 etc...

J'avoue que si le rapprochement se confirme en creusant le sujet, j'en serais très heureux, car je me sens bien plus à l'aise en topologie (où l'on spécifie les ruptures en IR par des orthogonalités) qu'en algèbre (où tout s'aplatit en I01)! 

Le zéro et l'infini : 

J'ai enfin compris que les objets mathématiques traitants de la théorie quantique des champs divergent en des points singuliers, et vers l'infini, tout en convergeant "localement", sur une certaine plage de distance.

Et la façon très cavalière de traiter la divergence d'une fonction au point singulier est tout à fait radicale: on remplace l'infini par zéro, en définissant un "ordre normal" :

La justification d'un tel traitement est que l'on définit l'énergie "à une constante d'intégration près", et donc, si elle est infinie en un point z₀, il suffit de lui soustraire l'infini : ∞ - ∞ =0

- C'est un peu brutal, non ?

- Oui, d'un point de vue strictement mathématique, mais cela est d'une grande profondeur philosophique !

- Nous voici dans la philo maintenant ?

- Je le pense. Reviens à notre étagement Imaginaire minimal, qui se présente comme I1<I01<IR<I#<I0.

Le plan Imaginaire I01, qui caractérise la logique, est celui où tu arrives à conjoindre l'objet final (*) en I1 et l'objet initial ( ) en I0, dans l'objet discriminant {0;1}. Bien, nous avons vu ensuite qu'à cause d'un changement de posture du Sujet, lorsqu'il passe de Im à I'm, se posent des questions de continuité, séparabilité et d'infini en IR. Cette façon un peu désinvolte de traiter l'infini me conduit à penser qu'en IR, la façon la plus élégante de représenter l'objet initial, c'est de le voir comme cette singularité ∞.

Autrement dit la "représentation" de l'objet initial en I01, est le 0, et sa "représentation" en IR est cette divergence autour d'un pôle singulier z₀ (ou 0) de valeur ∞.

De cette façon, l'automatisme de répétition qui permet la logique et l'algèbre en I01, nous amène une infinité potentielle de singularités en IR. De la singularité de l'élément initial, vide, en I0, nous passons à sa démultiplication en IR. 

Pour renforcer la symétrie de notre Imaginaire, on pourrait faire l'hypothèse suivante : 

• En I01, le Sujet démultiplie l'objet final (*)_∈I1 ;
• En IR, le Sujet démultiplie l'objet initial ( )_∈I0 .

On pourrait ajouter que faute de pouvoir identifier globalement ( )_∈I0, le Sujet est condamné à tourner localement autour, et d'une certaine façon, cette "plage de stabilité", ni trop près, ni trop loin de l'objet signerait l'approche définitivement locale de l'objet en délimitant spatialement la place de l'observateur, à savoir I'm.

Le 11/10/2020

Après des heures sur ces vidéos en début de semaine, j'ai passé ces derniers jours en roue libre. Mais j'ai toujours cette pensée en tête : si la différenciation n'est pas ce que je croyais, alors l'intégration non plus... Et puis il y a cette façon de considérer l'élément différentiel comme une métrique...

- Comment cela ?

Intégrale / différentielle :

- Dans le gradient, les dx, dy et dz, sont des éléments de longueur. De la même façon les coordonnées du rotationnel, de la forme dz-dy sont des aires élémentaires et pour la divergence, dx.dy.dz est un élément de volume. C'est dire que si l'élément considéré est d'ordre local, avec ces mesures infinitésimales, les coordonnées grâce auxquelles s'expriment grad, rot et div nécessitent un repérage global, et surtout la notion de "norme", en I#.

Autrement dit, lorsque le Sujet décrit localement l'objet en IR, il utilise un langage mis à sa disposition en I#, la scène complète étant : I'm≤IR<I#≤Im. Un changement de repère implique donc un aller retour I'm≤IR⇅I#≤Im ce qui s'exprime sous forme matricielle (voir "Matrice").

- Rien de bien neuf, je crois que tu en étais resté là en parlant des g_μν si présents en relativité (voir "Relativité et clôture Imaginaire").

- Cette façon de voir marque bien le gap entre IR et I#, et il est intéressant de la retrouver en physique classique ou quantique, avant même d'en venir à la relativité. Le lien entre les trois tenant à ce changement de posture du Sujet que nous venons de caractériser.

- Soit, mais où veux-tu nous mener ?

- Je n'en sais trop rien: je laisse filer ma plume, on verra ce qu'il en ressort.

Il y a d'une part cette répétition d'un saut, lorsque l'on change de référentiel, et d'autre part, une répétition d'un autre type lorsque l'on saute d'une p-forme à la suivante, typiquement en passant de grad à rot, puis à div, ou dans un langage plus topologique, lorsque l'on passe d'une forme à ses "bords". J'aimerais marquer la différence entre ces deux types de "répétition".

L'expression la plus philosophique qui résume l'enchaînement de tels sauts est qu'un bord n'a pas de bord. Ça paraît idiot dans sa simplicité, mais résume bien notre façon de "tourner autour" de l'objet initial pour le délimiter faute de pouvoir le dénoter. Je "délimite" un volume par sa surface extérieure, et une surface par sa clôture, comme un berger délimite son pré. Si je réussis à "faire le tour" de l'objet, par principe cette clôture elle-même est dépourvue d'ouverture.

• L'expression locale de ce principe se résume soit par d²=0 en termes de p-formes où d est le produit extérieur, soit par δ²=0 en termes d'homologie, où δ est la bordure, dans la posture  I'm≤IR,
• Son expression globale est le théorème de Stokes : ∫_M dω=∫_∂M ω, ce qui mène au théorème fondamental de l'intégration (pour une fonction C^∞ d'une variable réelle) : ∫_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a) , dans la posture IR≤Im.

Il y a donc une différence fondamentale entre mon observation, étape par étape, d'un objet dans un repère donné d'avance, et un changement de repère.

- Je le vois bien, mais où ceci te mène-t-il ?

- J'ai dans l'idée que le dialogue physique classique/ quantique se situe dans ces changements de posture I'm≤IR≤Im quand la relativité traite essentiellement des changements de métriques, autrement dit I'm≤IR≤Im⇅I#≤Im.

Ceci m'amène à penser que l'incertitude tient essentiellement à la volte-face :  I'm≤IR⇆IR≤Im autour de l'objet en IR et non à un "saut diachronique" IR⇅I#.

En effet, en y réfléchissant bien, lorsque je change de métrique, en I#, ceci affecte aussi bien I'm que Im autour de IR, et non le passage de l'un à l'autre: c'est un pur changement de langage, ex post, tourné vers l'objet initial : I1<...<Im, quand le renversement I'm⇆Im marque irrémédiablement un changement fondamental de perspective : on passe de I'm<...<I0 à I1<...<Im.

Il faudra donc que je revois en ce sens tout ce que j'ai pu écrire jusqu'ici à ce sujet... Gros travail de réécriture, (je pense à l'article sur le principe d'incertitude, en particulier) mais qui fondamentalement ne change pas le sens de ma démarche.

- Juste une question : tu as écris à plusieurs reprises que l'on ne pouvait pas avoir une théorie unitaire permettant à la fois une description quantique et relativiste de l'Univers, reviens-tu sur cet a priori (voir "L'impossibilité d'une théorie unitaire")?

- Tant que je n'aurai pas fait le tour de la question, c'est une hypothèse que je dois vérifier à chaque étape de ma progression.

Si, comme je l'imagine ici, la démarche relativiste, tournant autour du concept de "norme", avec ces g_μν en pagaille et autres questions de courbure et d'équivalence espace-temps se développe bien au niveau I# de l'Imaginaire: et si d'autre part le principe d'incertitude est lié intimement au changement de posture du Sujet I'm/Im, alors il faudrait voir ce qu'il en adviendrait à ce niveau I#, c.-à-d.  I'm≤I# ⇆ I#≤Im .

Mais tu vois immédiatement que l'idée de I#≤Im nous renvoie assez vite à celle de Im=I0...  

- Autrement dit à des principes d'ordre quasiment philosophiques, n'est-ce pas?

- Exactement. Le sujet en vient à des choix d'ordre éthiques ou esthétiques, tels que le principe de moindre action. Ces choix fondamentaux s'expriment en I# par les principes que l'on sait (i.e.: Fermat, Maupertuis, Noether), et l'affirmation de certaines "conservations", de vitesse, d'impulsion, d'énergie etc... Mais le Sujet n'a certainement pas la possibilité d'appréhender un objet aussi vaste que l'Univers en son entier autrement que par l'affirmation des ces quantités (i.e.: I1<...<I#=Im).

En particulier, la notion de "courbure" de l'espace ne peut s'expérimenter que localement. Si I# est le lieu où le Sujet affirme la conservation "globale" de certains objets à partir de choix faits en I0, il ne peut en faire l'expérience que "localement", dans la position I'm<I#., sauf à se prendre pour Dieu, et là ça relève de la psychiatrie.

Nous avons une situation symétrique de celle à laquelle nous nous sommes heurtés en I01 :

• En I01, l'expérience du Sujet est primitivement d'ordre global : I1<I01<Im; purement logique (avant même le stade du miroir);
• En I#, l'expérience du Sujet reste d'ordre local : I'm<I#<I0; purement topologique.

La dualité du point de vue, non dégénérée en quelque sorte, joue à plein en IR, et j'ai toujours en tête cette image des Dupontd lors du changement de direction de la fusée lunaire de Tournesol :

Dans cette allégorie, la Terre serait le niveau I1, la Lune le niveau I0. et nous serions ici en IR, avec cette ambiguïté quant à notre propre posture, nous rassurant par notre image en miroir I'm/Im comme les Dupontd se raccrochant l'un à l'autre !

- Ta belle symétrie serait malgré tout brisée, car tu peux suivre ton incertitude jusque dans le saut élémentaire I1⇅I01.

- Oui, et heureusement !

Reviens au rôle de notre Imaginaire, que l'on peut voir comme un effort général du vivant pour se prémunir des chocs du Réel. Il y a donc un amortissement du choc à chaque saut que tu fais, pour te retrouver quasiment en harmonie avec le vide en I0, sans choc aucun, puisque tout t'apparaît alors comme "constant". Je vois cette "harmonie" ou absence d'aléa comme le fondement même de la "relativité". De ce point de vue il y aurait comme une incohérence à vouloir conserver un principe d'incertitude lorsque tout tend à s'unifier. Le tort d'Einstein dans sa dispute avec Bohr a sans doute été de vouloir appliquer en IR un principe valide en I#, issu d'un choix philosophique en I0.

-... Et donc, l'unification de la physique passe par la prise en compte de la place du Sujet dans la théorie elle-même...

- CQFD !

Le 13/10/2020 :

J'ai un souvenir très précis du moment où l'élève ingénieur que j'étais abandonna tout espoir d'approfondir sa compréhension de la physique. C'était pendant les vacances d'été 72 ou 73, à la bibliothèque de Florence. J'y passais des heures pendant que ma fiancée d'alors faisait un travail de recherche sur le monde des photos-romans très en vogue à l'époque. J'avais apporté avec moi un livre fort imposant intitulé, de mémoire, "La théorie unitaire", de je ne sais plus qui. Je me souviens juste de la couleur jaune de la couverture. Très vite, l'auteur aborde la relativité restreinte et amène sur le tapis les notions de vecteurs "variants" et "contravariants", sans plus d'explication : certaines valeurs étaient d'une sorte, les autres de l'autre, point barre. J'ai refermé le livre en me disant que j'avais atteint mon niveau de Peter et je suis passé à autre chose...

Variance et covariance :

- Mais tu es revenu sur le sujet dernièrement, en abordant la théorie des catégories, n'est-ce pas ?

- Oui, c'est même un point de fixation chez moi, je ne cesse de tourner autour, mais ça me fait toujours un peu mal quand j'appuis (note 1). C'est comme la dualité entre vecteurs et formes linéaires. Je "comprends" intellectuellement de quoi il s'agit, mais pas comme une évidence première. Un peu comme un autiste arrive à "comprendre" le lien social et l'empathie, sans parvenir à les ressentir instinctivement.

- Essaie d'utiliser ton approche pour mieux te représenter ce qui ne se présente pas de soi...

- C'est bien mon intention.

Un opérateur comme grad, est covariant (la valeur de ses composantes varie avec celles du repère), tandis qu'un grandeur physique contravarie. Par exemple, si tu changes d'échelle pour mesurer le poids d'un objet, sa mesure varie en raison inverse de l'échelle de poids. (voir ici).

- Ça paraît assez simple, non? Dire "un kilo de pommes de terre" ou "mille grammes de patates" revient au même.

- La question c'est pourquoi ? Pourquoi le gradient est-il covariant ? Lis tout ce que tu veux à ce sujet, tu trouveras toujours une sorte d'appel à "l'évidence" de la chose, mais jamais d'explication, or moi je suis sourd à cette évidence et il faut m'expliquer.

J'en viens donc à la représentation suivante, basée sur la différence que nous venons d'identifier entre:

• Le pur saut diachronique IR≤Im ⇅ I#≤Im, concernant le changement de base utilisé en IR par I'm comme Im ;
• Le retournement de Im autour de l'objet en IR, lorsqu'il passe d'une p-forme à l'autre (ou d'une homologie à l'autre), que je symbolise ainsi pour l'instant (il faudra que je normalise toutes mes représentations un jour ou l'autre) : I'm≤IR⇆ IR≤Im.

L'idée qui me vient, c'est que le gradient est "covariant", parce que son utilisation se fait dans une base donnée.

- C'est-à-dire ?

- Lorsque tu utilises le gradient pour passer d'une p-forme à l'autre, ou lorsque tu passes d'un groupe d'homologie à l'autre, en bref d'un niveau de décomposition de l'objet à l'autre (i.e.: d'un groupe d'homologie à l'autre), tu n'es pas sensé changer de base : les mouvements I'm< ⇆ <Im s'expriment dans une même base.

Lorsque tu changes de base, en faisant un aller-retour IR⇅I#, les quantités qui se rapportent à l'objet lui-même sont conservées ; c'est même pour garantir cette "conservation" que le Sujet construit le niveau I#; mais le changement concerne toujours le cadre général de la description, autrement dit, tu restes dans la même posture ex post : I1<...<Im. 

- Je pense que tu devrais revoir la vidéo sur le sujet :

... en méditation...

Le 14/10/2020 :

- Aujourd'hui, il n'est pas question de se défiler : je regarde cette vidéo plume en main.

L'auteur se concentre d'abord sur la dérivée, qu'il présente en termes d'application : f(x+h)=f(x)+f'.h. Expression dans laquelle f(x) et h sont des applications de R→R. , et f' un coefficient de proportionnalité dépendant du point x.

En passant à R², l'expression devient f(x+h₁;y+h₂)=f(x,y)+h₁∂f(x,y)/∂x+h₂∂f(x,y)/∂y+... En s'arrêtant aux termes du premier ordre, l'expression de la "dérivée" est donc linéaire en h₁ et h₂ de la forme (h₁, h₂)⟼h₁∂f(x,y)/∂x+h₂∂f(x,y)/∂y, autrement dit une application de R²=>R, se qui se généralise facilement à Rⁿ=>R.

Franchement l'aspect application m'avait échappé dans ma jeunesse; mais à la réflexion, ce passage de Rⁿ à R, caractérise bien une régression Imaginaire, telle qu'on l'a définit en IR.

Bien, ceci dit, l'écriture matricielle s'impose d'elle-même par sa simplicité (faute de pouvoir écrire correctement des vecteurs en html, j'utiliserai si nécessaire l'écriture de Dirac, avec la kets |V⟩ pour les vecteurs colonnes, les bras ⟨V| pour les vecteurs lignes et les barres verticales pour les matrices|M|). Pour R²=>R, Ceci nous donne l'écriture df: |h₁,h₂⟩⟼|∂f(x,y)/∂x,∂f(x,y)/∂y|h₁,h₂⟩.

Ici notre matrice définissant l'application df se réduit à une forme linéaire d'une ligne à deux éléments :(∂f(x,y)/∂x;∂f(x,y)/∂y).

En adoptant la même écriture pour définir les applications dx et dy, nous avons :

• dx: |x,y⟩⟼|1,0|x,y⟩ d'où la représentation en ligne dx ⇆ (1,0);
• dy: |x,y⟩⟼|0,1|x,y⟩ et dy ⇆ (0,1)

Et c'est là le tournant que j'avais zappé : dx et dy forment une base pour exprimer nos applications linéaires, mais pas une base vectorielle ! L'erreur vient de notre facilité à confondre notre application dx avec un vecteur colonne |1,0⟩.

En évitant cette confusion, on peut comprendre que df= dx.∂f/∂x+dy.∂f/∂y est l'expression de l'application df dans une base (dx,dy).

- Je vois bien que tu commences à capter le point de vue de l'auteur, mais qu'en est-il de ton propre discours ?

- Si je garde en mémoire que l'état d'un système est défini par un vecteur colonne ou ket |ψ⟩, l'action que je lui applique lui est orthogonale, et nous pouvons restituer le drame dans la scène suivante :

• Ce vecteur |ψ⟩ est repéré par rapport à une base vectorielle |e₁,e₂,...e_n⟩, comme un élément dans un ensemble, et donc, d'un point de vue ex post global, avec |ψ⟩∈Rⁿ en IRⁿ≤Im permettant d'appréhender en même temps le vecteur et l'univers dans lequel il s'inscrit. (nota: n en puissance de IRⁿ indique le nombre d'itérations sur IR permettant de concevoir l'objet du discours).
• L'application df est une régression Imaginaire de Rⁿ=>R, (i.e.: notée IRⁿ=>IR)
  1. qui s'applique localement dans une approche topologique sur chaque élément |ψ⟩, après un retournement IRⁿ≤Im=>I'm≤IRⁿ
  2. pour s'exprimer algébriquement (i.e.: un concept acquis en I01) dans une posture rationnelle logique  I'm≤IRⁿ=>IR≤Im.
• Ce changement de pied se traduit par une orthogonalité (i.e.: en IR, l'automatisme de répétition comme la régression, porte sur des orthogonalités).
• Nous avons vu que l'expression du changement d'objet, lorsque l'on passe de I1<Im à I'm<I0, se traduit par un langage matriciel (voir "Matrice" ). 

- C'est un peu compliqué, non ?

- Oui parce que nous décortiquons l'action du Sujet en termes très élémentaires et que nous perdons tout ceci de vue dans notre pratique quotidienne. Mais retiens la différence entre les deux mouvements 1 & 2, je pense que nous y reviendrons très vite.

1. Le mouvement IRⁿ≤Im=>I'm≤IRⁿ consiste à "tourner autour" de l'objet sans changer de focale: un volume reste un volume ;
2. Le mouvement I'm≤IRⁿ=>IR≤Im a plus à voir avec ce que nous avons déjà repéré dans les chaînes d'homologie : l'objet se délite, en passant du volume  dans Rⁿ aux point dans R.   

Je te propose d'avancer dans notre lecture, pour nous arrêter à la notion de tenseur.

Tenseur covariants :

- Je suis électricien de formation, et je n'ai pas étudié le "tenseur", dont je n'ai connaissance que par ouï-dire. Si je comprends bien la présentation qui nous en est faite ici, à un espace vectoriel E (i.e.: dans Rⁿ), on associe une espace dual E* défini par l'ensemble des applications α telles que : E*: {α: E→R | α linéaire}. Autrement dit : α∈E* s'écrit par n coefficient dans une base de n "vecteurs lignes" que l'on peut représenter par ⟨e_i| dans l'écriture de Dirac; mais ici, il vaut mieux reprendre la convention d'Einstein, en notant les "vecteurs" e_i d'une base de E avec un indice et les "covecteurs" eⁱ d'une base E* avec un exposant.

Pour en revenir à nos dx et dy, que l'on peut généraliser en dxⁱ, notre base de E* : dx¹=(1,0,...0); dx²=(0,1,...), dxⁿ=(0,0,...,n), et la représentation matricielle |α| de α se résume à α=α_idxⁱ, avec la convention d'Einstein sur la sommation des indices, quand un vecteur de E s'écrit v=vⁱe_i.

Bien; maintenant la définition d'un p-tenseur covariant (avec p∈N) : c'est une application α : T: E⊗E⊗E...⊗E=>R.

Le 15/10/2020

- En me relisant, il est clair qu'hier je recopiais ma leçon faute de la comprendre. Pour être tout à fait franc, je n'arrivais pas à visualiser le tenseur en question, car j'étais bloqué sur l'idée que les "vecteurs" de l'espace, R³ par exemple, se lisent en colonne dans une matrice 3X3 et qu'une "application linéaire" se lit en ligne ; et dans ma tête j'essayais de faire tourner cette matrice  |α| pour "voir" l'espace dual E*, et faire coïncider les covecteurs d'une application linéaire en lignes, à l'image que je me fais de vecteurs ordinaires en colonnes.

Cette tentative de visualisation se heurtait à la définition d'un tenseur qui donne une sorte d'épaisseur à notre matrice, comme une troisième dimension.

Ça s'est débloqué dans ma tête lorsque j'ai réalisé qu'en fait une application linéaire α correspond à une matrice donnée (i.e.: son espace de définition E serait la pochette contenant un disque, et l'application un arrangement particulier dans cet espace, sous forme de disque) et non à une ligne dans une matrice. L'orthogonalité dont je parlais ne consiste donc pas à simplement transposer cette matrice. Il faut voir une application linéaire α comme un disque et l'espace de définition du torseur E⊗E⊗E...⊗E comme une collection de pochettes dans un bac de disquaire. Pour choisir une application particulière, il faut en quelque sorte "feuilleter" la collection, en passant d'un disque à l'autre.

Avec ce schéma en tête, l'espace dual E* serait la tranche d'une pochette de disque, et une application α un titre sur cette tranche. Ensuite, convenons que l'écriture des titres est calibrée : chaque titre sur la tranche d'une pochette comprend n lettres; et chaque classement des pochettes dans le bac de p disques forme n "mots" de p "lettres" lus perpendiculairement aux pochettes. Dans cette allégorie, l'algèbre du torseur T définit les règles de permutation des disques dans le bac de telle sorte que les mots formés soient acceptables.

- À ceci près que l'espace dual E* a la même dimension que l'espace E.

- Oui, c'est bien ce qui me perturbe, et c'est la raison pour laquelle je veux donner un sens à la transposition de notre matrice; mais revenons à la définition de E*: {α: E→R | α linéaire}...

- Tu raisonnes comme une casserole ! Si ton espace dual E* t'apparaît comme celui où s'inscrit la ligne de titre de ta pochette, la surface de la pochette qui représente une matrice n'est pas l'espace E, ce dernier peu être vu comme l'ouverture dans la pochette carrée par laquelle passe le disque, autrement dit E est un espace perpendiculaire et de même dimension que E*...

Je crois avoir cerné ton erreur: tu confonds l'espace ExE* (au sens d'un produit) où s'inscrit |α| et l'espace vectoriel E où s'inscrit |v⟩ !

Dans ton allégorie, l'espace ExE* est la pochette permettant d'y introduire un disque physique (en E) et de le repérer par son titre α (en E*), la matrice |α| étant soit une belle illustration sur la pochette ExE*, soit un encryptage digital du son physique du disque, comme un codage mp4 sur une base finie de fréquences définissant E. Dans ce dernier cas, le titre α est une clef en E* permettant de retrouver le son physique en E, et il s'écrit avec autant de lettres en E* qu'il y a de fréquences dans la base de E. 

- D'accord, mais notre torseur de dimensions p reste quant à lui l'empilement de p pochettes de dimension n².

Pour résumer notre allégorie:

• Vue face aux pochettes ExE*, nous avons l'espace des
  • Applications |α| dans ExE*;
  • Vecteur colonnes  sur une base |e_i⟩ ou e_i dans l'espace vectoriel E
  • Covecteurs lignes  sur une base ⟨eⁱ| ou eⁱ dans l'espace dual E*
• Vue de dessus nous avons un p-uple E*⊗E*⊗E*...⊗E* dans lequel les p titres dans E* donnent n expressions de p lettres parmi n.
• Vue du côté des ouvertures des pochettes nous avons un p-uple E⊗E⊗E...⊗E et le torseur T est une application T: E⊗E⊗E...⊗E→R renvoyant les sons repérés dans la base de E aux "mots" d'une sémantique en IR acceptés par une syntaxe (ou algèbre) en I01.

- C'est un vrai Rubik's Cub ton histoire !

- Nous avons déjà rencontré la même difficulté lorsqu'il a fallu représenter ensemble les morphismes, foncteurs et transformations naturelles (voir "Présentation du 12 juin au CLE"), ou l'enchaînement des groupes d'homologie et c'est directement lié à la nature de l'automatisme de répétition en IR, qui donne à chaque itération des orthogonalités.

Si notre allégorie fonctionne à peu près c'est parce qu'ici notre espace vectoriel E est rudimentaire; avec une base discrète et finie de fréquences. En général, notre espace physique E est plus souvent R³ ou R⁴, C ou H voire C^∞, ce qui complique au-delà du raisonnable tout espoir de représentation ! 

Je suis désolé pour cet arrêt sur image, mais je ne pouvais plus avancer sans avoir fait un peu de ménage dans ma tête et situé grosso modo ces concepts d'espace vectoriel E, d'espace dual E* et de torseur T les uns par rapport aux autres.

Le 17/10/2020 :

- Je rumine depuis deux jours cette idée qu'une matrice serait un objet ExE*, mais c'est faux, d'où mes ratures du texte en question. Je le raye sans l'effacer, parce qu'à mon avis il s'agit du symptôme d'un manque. Je ne sais pas encore ce que j'ai raté, mais c'est là-dessus qu'il me faut travailler.

Je me suis pourtant appliqué à comprendre le concept de "Matrice", mais pas encore suffisamment pour être à l'aise  et jouer avec. Il faut absolument que je fasse le lien entre cette inversion de matrice et le changement de posture I'm<⇆<Im pour véritablement apprivoiser ce concept et avancer sereinement.

En voulant comprendre la géométrie non-commutative d'Alain Connes, j'ai vu la nécessité de compléter ma culture concernant le modèle standard de la physique quantique, ce qui me renvoie à mon plus vieux cauchemar de taupin: l'inversion d'une matrice... Décidément, ce blog me sers à exorciser mes propres démons !

Hari

Note 1 :

Voir en particulier :

• "Covariance et contravariance" du 31/12/2016
• "Produit et coproduit"  du 16/06/2019
• "Matrice" du 19/06/2019

Note du 20/ 10/ 2022 :

Étonné que cet article apparaisse encore dans les statistiques de lecture, j'essaie de m'y replonger et je m'y noie !

À l'évidence, je n'avais pas tous les outils pour cerner les idées dont je discute!

Me vient alors l'idée suivante, qu'il faudra travailler à tête reposée, (ou bien la rejeter).

Il y a cette comparaison évidente entre grad/ rot/ div et les groupes d'homologie, et si je n'arrive pas à faire le lien, c'est peut-être parce qu'à l'époque, je n'avais pas encore eu l'idée de la différence entre "modes de pensées".

En gardant en tête que :

• Le passage d'une position ex post 𓁜 à ex ante 𓁝 se rencontre :
  • dans un mode donné :
    • passage de "global" [∃][α]𓁜 à "local" 𓁝[α][∅]
    • changement de niveaux : [∃][α]𓁝/𓁜[β][∅]
  • dans les sauts de mode ♢↓♧  : 
    • Contravariant 𓁝[α]^♢↓[α]^♧𓁜 ou [α]^♢𓁜↓𓁝[α]^♧
    • Covariant :
      • Même espérance ou empathie  𓁝[∅]^♢↓𓁝[∅]^♧,
      • Foncteur d'oubli :  [α]^♢𓁜↓[α]^♧𓁜.

J'ai envie de tenter ceci :

• Les "groupes d'homologies" sont des concepts topologiques, et en toute rigueure, concernent le mode ♢;
• Les notions de grad/ rot/ div, expriment des variations en termes géométriques,
  • donc en posture "locale" :  𓁝[α]
  • et par opposition à la topologie, se situerait donc en mode ♧ :  𓁝[α]^♧ d'où :
    • grad en posture : 𓁝[⚤]^♧
    • rot en posture : 𓁝[#]^♧ (attention, dans mon texte de 2018, le niveau I# correspond à [♲])
    • div en posture : 𓁝[♲]^♧

Pour établir une correspondance entre groupes d'homologie et la notion de "dérivée extérieure", nous serions donc dans le schéma général suivant :

Je crois qu'il me faut prendre le temps de réfléchir à partir de là, mais il faut bien avouer que je dois me replonger dans ces groupes d'homologie, qui sont bien loin de la querelle des universaux qui m'occupe actuellement ! 

Le 14/ 03/ 2022 :

Impossible de revenir à Alain de Libera, car je reste bloqué sur une bêtise écrite hier. J'ai revu ce matin la viédo d'Antoine Bourget sur les p-formes et le théorème de Stockes, avec beaucoup de difficultés car je ne suis plus du tout dans les maths ces temps-ci.

J'ai néanmoins capté ceci : grad/ rot/ div sont des "p-formes" antisymétriques. Le plus important étant la notion d'antisymétrie. Au contraire, une "métrique" se traduit par une forme symétrique.

Or, si je place la notion de "quantité conservée" en [♲], le plus simple est d'y associer la notion de "métrique", et de là comprendre le passage de [♲] à [#] comme une rupture de symétrie, qui nous ferait passer:

• D'un p-forme antisymétrique et plus précisément la racine carré de son déterminant (la quantité conservée)
• à son "enveloppe", définie localement par une p-forme antisymétrique.

En termes très généraux : on passe de "l'objet en soi" en [♲] à son enveloppe en [#]. Dans ce schéma, le passage d'une p-forme de dimension n à une autre de dimension n-1 consiste en une régression de [#]ⁿ à [#]^n-1, pour aboutir en R au niveau [#]¹.

- Donc tu abandonnes ta correspondance :

- Oui : elle était idiote, puisque les p-formes ont vraiment à voir avec la notion de surface que l'on retrouve en 2D dans la forme antisymétique a₁b₂-b₁a₂. Ici, l'automatisme de répétition en [#] a trait à l'orthogonalité ⊥: 

Il faut faire le rapprochement :

Et tu retrouves naturellement les g_μν de la métrique relativiste en [♲].

Il nous reste maintenant à passer à la topologie.

La remarque fondamentale est que "un bord n'a pas de bord".

- Il y a de quoi méditer un bon moment sur la signification philosophique de cette affirmation purement mathématique !

- On peut le prendre autrement, et s'interroger sur l'ignorance de la question dans le champ philosophique ...

L'idée qui me vient immédiatement, c'est que :

1. Le "bord" se définit localement comme une sorte de "demi-ouvert" (voir la vidéo à 2h01')), et introduit donc une dissymétrie ;
2. Le bord de dimension n, "borde" un volume de dimension n+1;
3. Nous avons la notion de continuité.

Autrement dit:

• Le bord serait vu localement par le Sujet en posture 𓁝[#]^♢; la dissymétrie étant vue localement au niveau de l'ouvert;
• Corrélativement, le "volume" bordé serait vu globalement [#]𓁜^♢.

Maintenant, il nous reste à trouver comment doit évoluer le regard du Sujet, pour que la formule de Stockes ( vidéo à 2h17') lui paraisse "évidente" : 

• Soit V une variété compacte : V⊂Rⁿ orientée, de dimension p;
• Soit α une forme de dimension p-1 :  α∈Ω^p-1 de classe C¹;
• Alors : ∫_V dα = ∫_∂V α (avec
  • dα pour la dérivée extérieure de α et
  • ∂V pour le bord de V.)

L'intuition que j'en ai, là maintenant (et c'est juste un pense-bête, pour y revenir) est celle-ci :

La représentation ne traduit pas très bien le fait que 𓂀^♢ et 𓂀^♧ sont sur les deux "faces" d'un ruban de Moebius pour s'exprimer, et donc :

Ce que l'on retrouve immédiatement dans l'exposé de l'auteur :

- Et bien entendu, l'égalité entre les deux termes conduit à un carré commutatif suggèrant que tout ceci doit être d'une grande évidence en passant par le langage catégorique ?

- C'est ce qu'il faudra découvrir cette année...

Mais je m'arrête là pour l'instant : il faut d'abord en finir avec notre querelle des universaux, à une époque où ce genre de développement est impensable, puisque le l'Imaginaire ignore le niveau [#] :

Le 17/ 03/ 2022 :

Cette mise en scène Imaginaire de la formule de Stokes à fait naître d'autres réflexions à suivre ici : "L'entendement de 3e espèce".

∂

(☯[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯)𓂀^♧

α  β \partial

μνΩ ∈⊂∫&partial;

∈ δ ∞ édarr;;↑{} ⇅ μν ∫ ω δ ⇆ ↓↑ ≤⟼←→∂

R(⟨I1|⟨I'm|I#|Im⟩|I0⟩)Sψχφα⊗απ