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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Le point # 7 - Retour à Évariste Galois

- Tu viens de nous faire un bel emballage cadeau de ta théorie, avec ces dernières réflexions sur les limites de ton propre Imaginaire (Le Point # 6 - Retour à Spinoza), mais, concrètement, en quoi s'impose-t-elle, en quoi serait-elle d'une quelconque utilité ?

- En me permettant d'établir facilement des analogies entre des discours très différents, elle organise ma pensée  et je "vois" simplement ce qui autrement me resterait hors de portée.

- Et ça t'est venu comme cela, d'un coup ?

- Certainement pas. C'est à force d'écrire et de me relire, de remettre en cause mes croyances les plus ancrées, qu'au fil des années mes représentations se simplifient, même si ma démarche n'en est pas à son terme.

- Qui te dis en ce cas que ce que tu trouveras demain ne va pas renvoyer aux oubliettes ce que tu présentes aujourd'hui ?

- Rien bien sûr, mais je fais le pari que le champ de mes réflexions en se centrant sur des idées de plus en plus élémentaires, ne me fera pas dévier du chemin que j'emprunte.

- Mais comment savoir si tu vas dans la bonne direction ?

- Le meilleur critère me semble être l'élégance, la légèreté de la pensée.

- Par exemple ?

- Parlons de la révolution opérée par Évariste Galois.

J'ai commencé à sentir son importance fin 2018, lorsque j'ai voulu comprendre le bouleversement qu'apporte l'expérience du stade du miroir chez l'enfant, et je me suis accroché deux mois avant de jeter l'éponge (note 1).

- Une douzaine d'articles pour constater un échec, on ne peut pas dire, effectivement que tu sois très doué !

- C'est bien ce que je te disais. Fort heureusement pour moi, j'ai plus d'intuition que d'intelligence. Je suis comme un chien truffier, capable de sentir une truffe et incapable de les cuisiner.

- De quoi parles-tu ?

- De cette intuition que j'avais à l'origine qu'Évariste Galois révolutionne la pensée aussi radicalement que Descartes en son temps. Reviens à ce que j'ai dit au Point #6 concernant l'évolution des modes de pensée:

  1. Imaginaire "unipolaire mythique" = ⚤⃣א⃣ ♲⃣𓂀 
  2. Imaginaire "unipolaire cartésien" =  ∃⃣⚤⃣♲⃣𓂀
  3. Imaginaire "bipolaire" ou "post-cartésien" = ∃⃣⚤⃣א⃣♲⃣∅⃣𓂀

Dans mon esprit, cet Imaginaire "post-Cartésien" est proprement la révolution Galoisienne.

- J'ai du mal à y voir une "révolution", quand tu précises par ailleurs la communauté de structure entre la façon mythique ♲⃣𓁜 de surmonter une incohérence logique 𓁝⚤⃣ et l'approche Galoisienne. :

"...Ma thèse est que si le nombre et la nature des niveaux varient d'une culture à l'autre, en revanche les mécanismes mis en oeuvre sont similaires. Je te donne un exemple : lorsque je dis qu'Évariste Galois et un Jivaro naviguent de la même façon entre les niveaux ⚤⃣א⃣ de leur Imaginaire :

  • Galois ajoute une extension au domaine de définition d'un polynôme;
  • Le Jivaro fait l'extension de jalouse à potière pour caractériser la femme."

- En ce sens, n'est-ce pas plutôt une régression ?

- J'ai dis qu'il y avait une façon similaire pour le Sujet dans l'un et l'autre cas de jouer sur un registre de trois niveaux ⚤⃣א⃣♲⃣ au coeur du système Imaginaire, cependant le contexte n'est pas le même.

Galois intervient après avoir assimilé la révolution de Descartes, dans un Imaginaire tout imprégné d'une logique ∃⃣⚤⃣♲⃣ confrontée sans artifice à un Réel totalement inconnue du Jivaro qui, lui, se réfère toujours au Symbolique en posture ex ante 𓁝.

- Mais comment imaginer des individus totalement coupés de l'expérience du Réel ?

- Notre monde actuel nous montre à l'envie que c'est parfaitement possible, pense à toutes ces théories du complot, comme à ces djihadistes vivant dans l'abstinence sur Terre et se suicidant pour aller plus vite baiser et s'enivrer au paradis...

En résumé :

  • La révolution Cartésienne consiste à :
    1. N'accepter qu'un processus immanent, en posture ex post: 𓁝∃⃣⚤⃣𓁜 ;
    2. exprimer en ⚤⃣ un besoin de cohérence en ♲⃣ par les règles de la logique  i.e.:  ⚤⃣𓁝|𓁜♲⃣⏩∃⃣⚤⃣♲⃣𓁜 ;
  • La révolution Galoisienne consiste à
    1. réintroduire le niveau א⃣ de la pensée mythique ;
    2. rationaliser la posture de recherche 𓁝א⃣ en identifiant en ♲⃣ un besoin de symétrie  i.e.: א⃣𓁝|𓁜♲⃣⏩א⃣♲⃣𓁜 ;
    3. exprimer en ⚤⃣ les règles de symétrie i.e.: ⚤⃣א⃣♲⃣𓁜𓁝⚤⃣א⃣♲⃣ par la théorie des groupes 𓁝⚤⃣⏩⚤⃣𓁜.

Avec le recul, cette première révolution se rattache à l'acquisition du concept d'objet chez l'enfant, quand la seconde est liée au stade du miroir. Je n'y reviens pas en détail, mais ça résulte de toutes nos réflexions sur le sujet.

- D'accord, mais en quoi ceci t'aide-t-il à comprendre ce qui t'échappait il y a encore deux ans dans l'approche de Galois ?

- Je n'arrivais pas à voir l'articulation entre extensions galoisiennes et théorie des groupes, bien que comprenant les deux concepts pris séparément.

- Peut-être serait-il utile de parler plus concrètement pour qui n'a aucune idée des travaux de Galois ?


Reprise le 13/11/2020

- J'étais un peu réticent à l'idée de revenir sur ma lente (et infructueuse) exploration des travaux de Galois, c'est pourquoi sans doute, l'esprit flottant et porté par la curiosité de voir dans les statistiques du blog qu'il était encore visité, j'ai relu lundi matin mon article "axiomes de choix et de continuité" en prenant mon café, ce qui reculait d'autant l'échéance...

Au fil de ma relecture cependant, j'ai bloqué sur une histoire de "clôture" et "d'adhérence". J'ai donc écrit un note datée du 09/11 pour tenter d'éclairer ce point, mais le sujet ne m'a pas lâché de la journée et j'ai du me rendre à l'évidence: j'avais écrit une connerie. D'où une note de correction du 10/11 qui s'allongeait outre mesure. J'étais gêné par un retour à mon ancienne écriture (R/ I1/ I01/ IR/ I#/ I0/ S) pour rester cohérent avec celle utilisée dans le corps du texte, aussi ai-je tout laissé en plan, pour reprendre mes réflexions dans "Le point # 8 - Logique topologie".

- Pourquoi revenir en détails là-dessus ?

- Pour partager avec toi mon étonnement, car il m'a fallu préciser le lien menant du concept de successeur à celui d'ordre, ce dont je ne m'étais encore jamais préoccupé, et d'un coup, j'ai "compris", enfin, l'essence même de la révolution Galoisienne.

- Mais de quoi parles-tu ?

- Du lien qu'Évariste Galois établit entre ses extensions et ses groupes de symétrie.

Mais reprenons les choses dans l'ordre (note 2). La question porte sur la recherche des racines d'un polynôme de degré n quelconque telles : P(x)=xn+ a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an=0

Nous savons, par le théorème de d'Alembert-Gauss, que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine complexe. Ce qui revient à affirmer que notre polynôme P(x) peut s'écrire sous la forme : P(x)=(x-α1)(x-α2)...(x-αn). 

(a)Reste à trouver une procédure générale pour trouver effectivement ces racines. Au cours des siècles, et bien avant Gauss, on avait déjà des formules générales pour trouver les racines des polynômes de degré 2, 3 et assez tardivement 4, mais personne n'avait trouvé de formule générale pour les polynômes de degré 5.

- Stop ! Je t'arrêtes tout de suite ! Cet article est sensé faire le point sur ta méthode, et tu m'annonces la bouche en coeur que tu as "compris", pour m'asséner ensuite une énième revisite de Galois. Tu tournes en rond, en plein automatisme de répétition. Change de disque et fais-nous part de ta trouvaille franchement, nous ferons le tri après.

- Tu as raison. J'en étais donc à cette notion d'ordre qui m'échappait jusqu'à ce que je comprenne enfin qu'avant de mettre de l'ordre dans ses affaires, il faut pouvoir les aligner en rang d'oignon, c'est là que j'ai fait le rapport avec le concept de "successeur", ce que j'ai résumé ainsi :

  • "Successeur": ∃⃣⚤⃣𓁜, nous sommes dans la répétition du morphisme identité élémentaire (*)↑{1};
  • "Ordre": ⚤⃣𓁝|𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝|𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝א⃣𓁜, nous portons sur le concept d'ensemble E en ⚤⃣ un regard ex post depuis א⃣ (puisque nous passons de N  à R) et ce n'est possible, qu'après la première réflexion 𓁝|𓁜𓁝|𓁜 du Sujet.
  • "Orthogonalité" c'est l'itération du saut précédent, vu ex post en א⃣𓁜, qui se traduit par des orthogonalités ⊥.

- Et alors ?

- Je me suis dit que Galois en cherchant des symétries entre les racines d'un polynômes avait fait le contraire d'une recherche d'ordre en partant du principe qu'en écrivant le polynôme sous cette forme : P(x)=(x-α1)(x-α2)...(x-αn) l'écriture focalise notre esprit sur un ordre entre α1/ α2/.../ αn qui n'existe pas !

- Tu pourrais avoir α1< α2<...< αn, non ?

- Non, puisque le théorème de d'Alembert-Gauss nous indique déjà que nous sommes en C (non ordonné), autrement dit après l'itération du saut ⚤⃣↑א⃣ qui détruit l'ordre en R, constitué à l'issu du 1er saut.

Je vais le formuler autrement, d'un point de vue plus élevé en ♲⃣𓁜 :

Le 2è saut  2א⃣𓁜  résout une dissymétrie repérable jusqu'en 1א⃣𓁜 .

Dans cette régression Imaginaire, l'ordre m'apparut tout à coup comme une rupture de symétrie, et je tombai en arrêt comme un épagneul levant un canard.

- Tu veux parler de Noether et de son triptyque : quantité conservée/ symétrie/ incertitude (note 3)?

- Précisément.

- Et ça t'éclaire ?

- C'est ce que nous allons voir.


Le 14/11/2020 :

- J'ai un énorme blocage depuis hier, qui me fait douter de mon approche, au point d'être près de raccrocher... Grosse déprime.

- Qu'est-ce qui t'arrive ?

- Je vais tenter d'exprimer mon blocage; ça m'aidera peut-être :

J'étais parti pour expliquer chaque addition d'une "extension galoisienne" au corps de définition d'un polynôme, en pratique ses coefficients dans R ou C, comme un "saut diachronique" de type 𓁝א⃣𓁜𓁝א⃣𓁜, qui mènerait par une série de tels mouvements à la construction d'une "formule" permettant de trouver nos racines, tout au moins jusqu'à la puissance 4.

Mais d'un autre côté, j'ai expliqué depuis bien longtemps que l'on passe de R à C en un seul saut :

  •  ⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩𓁝א⃣1𓁜 : construction de R à partir de N
  • 𓁝א⃣1𓁜𓁝א⃣1𓁜𓁝א⃣2𓁜  : construction de C par itération du 1er saut

Or, si un seul saut suffit à constituer le corps de rupture C de ma suite d'extensions, comment comprendre cette "suite de sauts" sensée m'y conduire ? Par définition, UN "saut diachronique" n'est pas décomposable... Je peux être en mode de répétition, mais pas de découpage...

- En es-tu si sûr ? Dans quelle posture es-tu toi-même pour porter ce jugement ?

- Je crois que tu as mis le doigt dessus je suis en ⚤⃣𓂀, or cette idée de découpage qui se jette là sous ma plume se pose en 𓁝∅⃣. Il faut donc que j'élargisse mon point de vue pour m'en sortir.

Repartons de ce que j'ai ressenti comme une intuition, à savoir ce passage de "successeur" à "ordre", puis rupture de l'ordre dans le passage de R à C. Galois n'est certes pas l'inventeur des nombres complexes et il a bien fallu trouver un succédané à ce manque d'ordre en C, ne serait-ce que pour établir le théorème fondamental de l'algèbre (voir note 1).

- Tu veux parler du module d'un nombre complexe ?

- Oui, autrement dit, une mesure, et là ça se passe en ∃⃣♲⃣𓁜, cette notion de "mesure" allant de paire avec celle "d'aire" d'une "surface".

Ouf, je crois que je vais m'en sortir de cette façon : si à C en א⃣ on associe la notion de "volume" que l'on a vu pour les groupes d'homologies (ici un volume 2D) en ♲⃣𓁜 alors, je peux regarder une "extension galoisienne" comme un sous-espace de C, en changeant de posture, tout simplement : ⚤⃣𓁜⏩♲⃣𓁜; i.e. :

⚤⃣𓁝𓁜א⃣♲⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⚤⃣⏩♲⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩⚤⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩⚤⃣א⃣♲⃣𓁜𓂀 (1)

Le plus terrible dans tout ça, c'est de me rendre compte à quel point je suis à la traîne de Galois, deux siècles plus tard, puisque je me surprends encore dans un mode de penser simplement Cartésien ∃⃣⚤⃣𓂀 pour exposer ce que je présentais en introduction comme une révolution intellectuelle post-cartésienne! En fait cette question me pourrit la vie depuis août 2018 (voir "Etc.") ce qui montre mon inertie intellectuelle et explique sans doute ma très grande difficulté à avancer dans mon exploration du langage mathématique!

- Il faut lâcher prise mon ami, tout est dans le lâcher prise ! Mais si nous en revenions à Galois ?


Le 15/11/2020 :

- Nous en étions (en a) à la recherche d'une procédure pour trouver les racines d'un polynôme de degré quelconque; d'une procédure utilisant des radicaux, comme par exemple dans x2-2=0 dont les racines sont +2̅ et -2̅.

Extensions galoisiennes :

Les premières questions à se poser sont donc:

  1. Qu'est-ce qu'une racine ?
  2. Pourquoi la retrouve-t-on ici ?

Comme nous sommes maintenant en ⚤⃣א⃣♲⃣𓁜𓂀 les réponses sont évidentes : au second saut, en א⃣2, c'est le côté a d'un carré en 2א⃣𓁜 d'un aire donnée a2 en ♲⃣𓁜 et ça, nous le savons depuis Socrate (note 4). Autrement dit : 

le signe "" marque une régression Imaginaire
⚤⃣א⃣𓁝♲⃣𓁜⏩⚤⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣𓁜⏩⚤⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣𓂀

- Sauf que nous avons deux radicaux + et - pour une seule aire !

- Ah ! Là tu touches à un point proprement épistémologique ! N'oublie pas qu'une montée diachronique ↑ se traduit par la réduction d'une symétrie dans un nouvel objet, et que le passage d'un niveau à l'autre est entaché d'une indétermination.

Dans le cas qui nous occupe, à savoir le passage de ±a↑a2, nous avons :

  • Une symétrie autour de zéro en entre deux racines א⃣;
  • La quantité émergente en ♲⃣ est l'aire d'une surface;
  • L'indétermination est celle du signe ± dans le passage de א⃣ à ♲⃣.

On peut donc s'attendre à l'issue d'un 1er saut ♲⃣↓א⃣, en posture ex ante 𓁝1א⃣ à trouver deux éléments symétriques de type c=a±√b̅, dans le corps (R,b) c'est suffisant pour un polynôme du second degré et l'on s'arrête là; sinon il faut itérer l'opération ↓, d'une façon qu'il nous reste à caractériser... On peut néanmoins penser que :

  • degré 2 =>2
  • degré 3 =>3√ ...

Maintenant, compte tenu de sa position ex post générale ∃⃣⚤⃣א⃣♲⃣𓁜∅⃣𓂀, Galois peut repérer l'écho de chacune des régressions ♲⃣↓א⃣ et l'exprimer en ⚤⃣. Par exemple le signe ± entre deux racines ± est de niveau ⚤⃣, et pour répondre à une attente en  𓁝iא⃣, il n'a d'autre choix que d'utiliser le matériau (i.e.: l'algèbre) à disposition en ⚤⃣𓁜 pour le combiner à cet étrange signe  tombé du ciel.

Pour répondre à une attente de type 𓁝א⃣, le Sujet se retourne ⚤⃣𓁜 afin de trouver la formule attendue combinant un langage algébrique en ⚤⃣ au signe  en א⃣, dans un mouvement ⚤⃣↑א⃣... La recherche sera couronnée de succès quand il y aura rencontre entre les deux mouvements antagonistes ⇅, c.-à-d. :

  1. Descente ↓ : א⃣♲⃣𓁜⏩א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩𓁝א⃣
  2. Montée  ↑ : ⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩א⃣𓁜

La descente ↓ structure l'intention du Sujet et son attente en 𓁝א⃣, tandis que son attention, portée vers ∃⃣⚤⃣𓁜 nécessite un travail de recherche et une montée ↑, couronnée ou pas de succès, se résumant alors par un retournement 𓁝א⃣⏩א⃣𓁜 en cas de succès et condamnée à une répétition sans fin en cas d'échec, et tu retrouves comme à la parade, la rencontre d'un concept et d'un percept chère à JP Changeux.

- Soit, mais le travail de Galois ne se résume pas à cela, quid des groupes de symétrie ?

Groupes de symétrie :

- Pour que la construction aboutisse, il faut que chaque attente ♲⃣↓א⃣ soit associée à une montée ⚤⃣↑א⃣ fructueuse, et donc que chaque itération du processus résolve une brisure de symétrie et c'est ça qui a fait tilt dans ma tête lorsque j'ai fait le rapprochement avec la filiation : successeur en N/ ordre en R/ rupture de l'ordre en C !

Or, nous avons d'emblée le groupe de permutations Sassocié au processus, puisqu'un seul saut Imaginaire 1א⃣2↑א⃣ a suffit à passer de R à C où nous savons par avance

  1. y trouver toutes nos racines;
  2. qu'elles n'y sont pas ordonnées.

Ce désordre en א⃣2 s'exprime simplement  par le groupe de permutations des n racines du polynôme (1,2...,n) en ⚤⃣ par le Sujet qui peut faire le rapprochement entre les deux, dans la position ex post ⚤⃣א⃣♲⃣𓁜 où il se trouve.

Cette limite extrême étant connue du Sujet a priori, chaque réponse ⚤⃣↑א⃣ à un questionnement♲⃣↓א⃣ limitera son incertitude dans la définition par radicaux des racines, jusqu'à ce qu'il trouve l'identité finale entre formule et racines.

Or, la théorie des groupes qui ne traite que d'éléments facilement identifiables, en position ex post, tournée vers l'objet final en ∃⃣ se traite simplement au niveau ⚤⃣ (i.e.: ∃⃣⚤⃣𓁜) dans une pensée purement rationnelle logique.

Tu vois donc notre Sujet Évariste Galois qui 

  • d'une part définit une procédure par radicaux en ♲⃣𓁜;
  • d'autre part, sait par avance en ⚤⃣𓁜 qu'à chaque étape du processus, la formule en construction réduit les symétries entre racines, autrement dit les reserre dans un sous-groupe du groupe initial de permutations

La suite tient aux caractérisées des groupes de symétrie, nous en avons déjà parlé (note 1).


Le 16/11/2020

- Il serait temps de vérifier sur pièces ↑ ce que tu avances ↓, qu'en penses-tu ?

- Autrement dit, il est temps de travailler ? Tu connais ma fainéantise... Mais tu as raison, si cette théorie n'est pas vérifiée, elle ne vaut rien

Je te propose de la mettre à l'épreuve en suivant cette présentation de la théorie de Galois par NJ Wildberger (note 2):

Group theory II - NJ Wildberger

Je suis obligé de laisser de côté un certain nombre de réflexions qui me viennent à cette relecture (note 5), pour en arriver à son exemple portant sur les symétries entre les racines d'un polynôme de degré 4. 

Wildberger montre parfaitement de quelle façon l'ajout d'une extension s'accompagne d'une restriction du nombre de symétries, en passent d'un groupe initial à des sous-groupes inclus l'un dans l'autre comme des poupées Russes. 

En développant les liens entre sous-groupes de symétrie, il introduit le concept de "sous-groupe normal", et je pense que ça mérite de s'y attarder un instant.

- Tu ne vas pas y arriver si tu t'arrêtes à chaque image de cette vidéo.

- Désolé pour la longueur de l'article, mais je trouve la leçon de Wildberger absolument passionnante ! Que n'ai-je eu un prof de cette envergure dans ma jeunesse...

Pour en revenir à nos moutons, l'idée d'un sous-groupe "normal" en ⚤⃣𓁜, n'est pas "immanente", et si l'on interroge le terme de "normal" lui-même, renvoyant à la conformité par rapport à une "norme", on comprends une double, voire une triple acceptation du terme :

  1. L'idée d'une "appartenance",
  2. La conformité par rapport à une "norme".
  3. Entre les deux, s'ajoute l'idée géométrique d'orthogonalité, comme lorsque l'on parle d'un vecteur "normal" à une surface.

Dans notre jargon, cela revient à dire que le terme "normal" fait le lien entre trois niveaux de discours :

  1. ⚤⃣𓁜 nous nous intéressons à l'appartenance (note 12);
  2. א⃣𓁜 cette "appartenance" se traduit par une "orthogonalité"
  3. ♲⃣𓁜 l'orthogonalité se traduit en termes de "norme", ce qui équivaut à introduire une notion "d'aire d'une surface".

- Je ne comprends pas le passage  (2)↑(3)?

- Considère deux segments de droites concourantes et considère le losange construit sur cette base. Ils sont orthogonaux lorsque l'aire du losange qu'ils déterminent est maximum, à savoir lorsque ton losange est un rectangle; et dans mon esprit, ce mot de "déterminant" a un sens très profond en mathématiques (note 7).

(b)Maintenant, il est intéressant de considérer le passage (2)↓(1) comme une idempotence: considère un plan et un point quelconque de l'espace : tous les points d'une ligne orthogonale à ce plan se projettent en un seul et même point sur ce plan : cette "orthogonalité" se traduit donc par une "appartenance".

Par ailleurs, tu retrouves ici, à l'état quasi natif du concept, ce dont nous avons discuté en termes de sous-espaces normaux à propos des quaternions  (note 6).

- Tu ne vas pas faire de cet exercice un chemin de croix en t'arrêtant à chaque station, chaque développement mathématique ?

- Quand je te dis que Galois est révolutionnaire, il faut comprendre qu'à partir de ses travaux les mathématiques explosent dans toutes les directions, façon puzzle! Il faut vraiment être le nez dedans pour ne pas y voir une rupture épistémologique.

Pour en revenir à notre propos immédiat, nous pouvons déjà situer les concepts de sous-groupes normaux/ extensions normales ainsi : 

  • extensions normales : א⃣↓♲⃣𓁜; i.e. : (א⃣♲⃣𓁜⏩א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩א⃣𓁝𓁜♲⃣)-1
  • sous-groupes normaux : ⚤⃣↑א⃣𓁜; i.e.:(⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣א⃣𓁜)

et tenter de les repérer dans le mouvement général de Galois auquel nous étions arrivés (1)()() (nota: je représente la descente par ()-1).

(⚤⃣𓁝𓁜א⃣♲⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⚤⃣)⏩♲⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣)⏩⚤⃣א⃣𓁝𓁜♲⃣⏩⚤⃣א⃣♲⃣𓁜)𓂀 (1)

Dans ce schéma général, la rencontre entre les deux mouvements :

  • () ascendant ↑;
  • ()-1 descendant ↓;
  • doivent se "correspondre" lors du retournement entre parenthèses pour que la circulation puisse se faire et le rapprochement conçu en ♲⃣𓁜 être vérifié en retour. 

- Tu n'as pas ajouté grand chose...

- Sauf à montrer que l'ascension ↑ portant sur les sous-groupes de symétrie vont en se rétressissant d'une étape à l'autre, quand la descente correspond à une expansion du domaine de définition.

Schéma qui reste impossible à "comprendre" dans une approche purement rationnelle logique !


Le 26/11/2020

- Je suis terrifié à l'idée de ne pas avoir terminer ma démonstration, alors que j'ai proposé d'en faire une présentation au groupe CLE (note 8) lundi prochain. Je tourne en rond comme une mouche sous une cloche à fromage. Je passe et repasse en boucle toutes les vidéos que j'ai pu dénicher, mais je n'arrive pas à trouver le joint pour déconstruire l'édifice.

- Commence par la fin, à quoi faut-il aboutir ?

- Au fait qu'un polynôme quintique n'est pas soluble par radicaux (sauf cas particuliers). Je sais que ça tient au fait que le groupe cyclique A5 est simple.

- Eh bien, repart de là.

---- en suspens (note 12) ----


Le 27/11/2020

Je vais couper court à toutes mes élucubrations en partant de la représentation matricielle des groupes de symétries.

Nous avons déjà beaucoup parlé de l'expression matricielle comme d'un renversement de perspective :  ∃⃣𓁝|𓁜∅⃣. (note 13)

Nous pouvons donc représenter un groupe de symétries :

  • en ∃⃣⚤⃣𓁜 dans un langage algébrique;
  • en 𓁝⚤⃣א⃣ comme une base vectorielle;
  • en ⚤⃣א⃣𓁜 comme des vecteurs ;
  • en ♲⃣𓁜 par le déterminant d'une matrice.

Ici la démarche itérative du Sujet est soumise à une condition simple :

  • En א⃣𓁜 chaque addition d'une extension ⊥ conduit 
  • En ⚤⃣𓁜 à rechercher un sous-groupe distingué de symétries dans le groupe défini à l'étape précédente,
  • la cohérence entre les deux démarches s'exprime en ♲⃣𓁜 par l'équivalence des deux acceptions du terme "normal" en א⃣ et ⚤⃣ sous forme de déterminant (ou de volume) en ♲⃣
    • maximal pour exprimer ⊥ en א⃣
    • =+1 pour exprimer un sous-groupe distingué en ⚤⃣

extensions ⊥ en א⃣ <=> déterminant de la matrice du groupe de symétries =1

Avec l'idée que notre objet "ensemble des racines" est parfaitement défini dès que le sous-groupe de symétries se réduit à l'élément e.

Une méthode "bourrin" consiste alors à explorer l'arbre des possibles à partir des polynômes de degré 2; ça bloque dès le degré 5 car le sous-groupe de symétrie A5 de S5 est simple, c'est-à-dire non commutatif, et donc n'est pas normal. 

Pour plus de détails : 

Voilà, voilà, il n'y a plus qu'à en faire une présentation simple pour lundi !

Hari

Note 1 :

Voir :

Note 2 :

Pour écrire cet article, je suis revenu à ces deux cours de NJ Wildberger dont j'apprécie toujours la clarté :

Note 3 :

On peut dire que c'est un thème récurrent sur ce blog :

Note 4 :

Voir :

Note 5 :

Réflexions que je note ici pour y revenir à loisir :

1/

L'écriture sous forme de matrice des permutations,  permet d'y associer un déterminant, et de définir les sous-groupes de permutations impaires ou groupes alternés Ax comme de déterminant =1, ce qui renvoie directement un groupe de niveau ⚤⃣𓁜 à une notion de volume de niveau  ♲⃣𓁜.

 2/

Le programme d'Erlangen de Klein, à savoir ramener la géométrie à des considérations sur les groupes de symétries traite très explicitement du soucis d'un passage de א⃣𓁜 à ⚤⃣𓁜.

Note 6 :

Voir :

Note 7 :

Sur les déterminants voir cette série de cours de Gilles Bailly Maître :

Note 8 :

Voir le schéma de la présentation ici :

Note 9 :

Mes développements se resserrent autour des questions d'homologie :

Note 10 :

Pour les sous-groupes distingués voir ces vidéos de Josua Epequin:

Note 11 :

Je l'avais noté à l'époque pour son élégance, mais il y a bien plus; et ça nous amène au programme d'Erlangen de Klein: ramener toute la géométrie à des questions de symétries (note 5)


Note 12 :

Hier, j'ai eu une intuition dont je n'arrive pas à faire le tour, je laisse donc ici ces cogitations non abouties, pour y revenir à loisir.

C'est en rapport avec un rapprochement que j'ai fait en (b) entre l'idée d'idempotence, dans un mouvement ⚤⃣⇅א⃣ et la propriété d'un sous-groupe distingué H d'un groupe G : ∀y∈G : y-1Hy∈H. 

(suite du 26/11/2020)

- D'accord. Repartons des sous-groupes auxquels nous étions arrivés :

  • sous-groupes normaux : ⚤⃣↑א⃣𓁜; i.e.:(⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝𓁜א⃣⚤⃣⏩א⃣𓁜)

et suivons NJ Wildberger :

Galois Theory II à 23'

Nous en étions au fait que ces sous-groupes sont inclus les uns dans les autres comme des poupées Russes, et ceci implique deux choses qu'il faut comprendre clairement pour avancer :

  • Les sous-groupes sont normaux; ça nous en avons parlé.
  • Les sous-groupes quotients du type Gn/Gn-1 sont cycliques et c'est ce qu'il nous reste à comprendre.

- Comprendre quoi ?

- Un groupe cyclique est engendré par la répétition d'un générateur.

Reviens au cercle unitaire sur C et un nombre z=e2iπ/n, chaque itération z, z2, z3... zn-1 te fait tourner d'un angle π/n pour te retrouver au point de départ 1=e2iπ après n itérations, et bien, le concept de groupe cyclique ramène cette rotation représentable en 2א⃣𓁜, aux groupes cycliques en ⚤⃣𓁜.

Par ailleurs, en voyant cette forme Gn/Gn-1, je ne peux m'empêcher de faire le rapprochement avec ce que nous avons vu des groupes d'homologie (note 9)...

- Tu passes du coq à l'âne...

- Non, la notion de groupe d'homologie découle des travaux de Galois, disons que les idées se sont décantées depuis lors.

Rappel : Histoire de fixer les idées, reviens à l'exemple de Wildberger. (ici)

An introduction to homologie (cont 1) NJ Wildberger

 

Le rapprochement qui me vient à l'esprit est celui-ci :

Passage d'un groupe d'homologie au suivant :

  1. On augmente les "objets" de la topologie d'une dimension : "points" X0 repérés dans le groupe d'homologie C0/ "arrêtes" X1 dans C1/ "surfaces" X2 dans C2/ "volume" X3 dans C3;
  2. Les passages sont repérés grâce à l'application bordure δn : Cn→Cn-1
  3. La propriété fondamentale qu'un bord n'a pas de bord conduit à l'expression des groupes d'homologie H1(X2)= Ker δ1/Img δ2,

Recherche des racines d'un polynôme :

  1. Addition d'une extension x :  Kn =(Kn-1, x)
  2. Les passage sont repérés par le groupe de symétrie Gn inclus dans Gn-1  
  3. Le groupe Gn-1/Gn est cyclique.

J'espère que tu vois comme moi l'analogie : 

- Pas vraiment...

- La différence tient au changement de posture entre les deux mouvements :

  • Homologie : nous nous intéressons au passage d'une dimension à l'autre d'un objet point => arrête ou arrête => surface, il s'agit de l'itération d'un "saut diachronique" ⚤⃣↑א⃣, avec le Sujet en situation ex post en ⚤⃣א⃣♲⃣𓁜 pour avoir une pleine conscience de la signification des éléments tels que "point", "arrête", "surface", "volume";
  • Radicaux d'un polynôme : nous n'avons pas de certitude quant à l'existence ou non de ces radicaux, puisque nous les recherchons, et nous sommes typiquement dans la position intermédiaire ⚤⃣𓁝𓁜א⃣ qui nous a donné tant de mal à caractériser.

En décomposant le mouvement du énième changement de posture, nous avons :

étape/ saut posture champs en א⃣  ss-groupe en ⚤⃣
étape n-1   ⚤⃣n-1א⃣𓁜  Rn-1  Gn-1
saut n ↑  ⚤⃣𓁝𓁜א⃣⏩⚤⃣𓁝א⃣𓁜 Rn=Rn-1(x)  
étape n   ⚤⃣nא⃣𓁜 Rn Gn

Le rapport entre les Ri et les groupes de symétrie Gi correspondants est analogue à celui que nous avons vu entre l'algèbre de définition Ci d'un objet au niveau i, et ses "bordures" de dimension inférieure...


Le 27/11/2020

- J'étais médiocrement satisfait de ce que j'écrivais hier avec la mauvaise conscience d'entasser des mots pour masquer plus que dévoiler le rapport entre un groupe de symétrie et une bordure, que je n'arrivais pas à cerner; et ce matin, dans les brumes de l'éveil, paf, un lapin !

- Précise, pour ceux qui n'étaient pas dans ton lit.

- Laissons tomber les maths pour envisager le sous-groupe distingué H d'un groupe G comme l'expression en ⚤⃣𓁜 de la "bordure", vue de 𓁝א⃣ d'un "objet" qui ne serait "compréhensible" qu'en א⃣𓁜.

Reporte-toi à la construction des groupes d'homologie.

  1. On commence par définir une algèbre très générale basée sur un ensemble de "points";
  2. Dans un second temps, on introduit les "arètes" que l'on caractérise par les deux points qui bordent chacune d'elles.

Cette algèbre de départ, c'est la façon d'exprimer en  ⚤⃣𓁜 toutes les possibilités d'arranger ces points entre eux. À cette étape initiale de la construction, la structure de l'objet dont ils font partie nous échappe totalement en 𓁝א⃣. C'est ce que l'on retrouve ici dans le groupe des permutations des n racines d'un polynôme de degré n.

Ensuite, passer de D0 à D1 permet de définir des arêtes. L'introduction de ces dernières entre les points précédents, restreint les combinaisons de points originelles. Nous avons ici le même schéma : l'introduction d'une extension permet d'exprimer de nouvelles symétries entre les racines du polynômes, qui restreignent les possibilités de départ.

Dans cette analogie, nous avons :

Posture racines d'un polynôme d° n homologies
⚤⃣𓁜 permutations Sn algèbre des points
א⃣𓁜 extensions galoisiennes  dimensions D1, D2...
𓁝א⃣ symétries arête, surface, volume...
  sous-groupes distingués bordure

Les deux premières lignes n'offrent pas de difficulté.

Maintenant, le rapprochement entre symétries et des concepts géométriques d'arêtes, surface etc. amène quelques commentaires. Nous y avions déjà été confrontés en parlant de la géométrie de Bachman (note 11). Pour raisonner sur un exemple élémentaire : un point est vu comme le produit de deux droites orthogonales. 

"Dans une construction algébrique abstraite, les droites sont identifiées aux symétries orthogonales et les points à leur produit quand ce produit est d'ordre 2. On ne manquera pas d'être interpellé par le fait que ce haut degré d'abstraction dans la représentation de la géométrie est, d'une certaine façon, ce que nous enseignons aussi à l'école primaire quand nous expliquons aux enfants qu'une droite, c'est le pli obtenu par le pliage (le maître demande parfois de "repasser le pli obtenu au crayon noir"). Le point est alors obtenu par un nouveau pliage du pli sur lui-même: voici un exemple où les gestes les plus élémentaires de la géométrie contiennent en essence l'abstraction la plus aboutie de l'objet appréhendé."

- Tu nous entraîne bien loin...

- Désolé, mais nous sommes ici pour aller au fond des choses, et Galois nous y force, précisément ! Il faut considérer notre "ensemble de n racines" comme un "objet" de nous chercherions à "voir". Cet "objet" abstrait n'aurait ni surface ni arêtes, mais juste des "symétries".

Voilà, nous avons un "objet" extrêmement primitif que nous ne pourrions déterminer étape par étapes que par ses symétries.

- D'accord, mais pourquoi assigner au Sujet la position 𓁝א⃣?

- Lis bien la définition : un point est la trace de l'intersection de deux droites, autrement dit:

  • Le repérage ex ante 𓁝א⃣ d'une construction faite ex post א⃣𓁜,
  • correspond à l'identification de l'objet final en 𓁝𓁜א⃣⏩∃⃣⚤⃣𓁝𓁜.

- Et pour nos symétries ?

- Le concept demande à être précisé. reporte-toi à la définition des symétries des 5 solides Platoniciens : 

Comme tu le vois sur la vidéo, pour définir les rotations qui laissent un solide invariant, tu commences par le prendre par l'un de ses sommets que tu fixes, pour ensuite "tourner autour".

Ce point de pivot, c'est la place du Sujet, d'où il est incapable de "voir" tout l'objet, autrement dit, nous sommes ici dans une description locale de l'objet, en position ex ante 𓁝א⃣. Par ailleurs, puisque cette position implique 𓁝∅⃣, tu ne peux rien faire d'autre que de tourner autour de ce qui t'échappe.

En tant que concept géométrique, la notion de "symétrie" est donc accessible au Sujet, en position locale (vu d'un sommet", mais également repérable par le professeur qui tient l'objet en main, en posture globale ex post א⃣𓁜.

En ce sens, la symétrie est encore repérable 𓁝∅⃣ quand le concept synchronique correspondant א⃣𓁜 a déjà disparu

Et tu retrouves le même retournement du Sujet ⚤⃣𓁝I𓁜א⃣ que pour la notion de point.

- Sauf que là tu ne te réfères plus à l'objet final !

- Non, nous en revenons à nos sous-groupes distingués.

L'analogie que je cherche à établir se heurte à une difficulté : ce qui se présente comme un montage de poupées Russes dans le cas des groupes d'homologies, se retrouve "à plat" en ⚤⃣: la succession des sauts ⚤⃣↑א⃣ se traduisant par une succession d'inclusions dans le groupe de permutations initial Sn.

C'est ici qu'il faut rapprocher les concepts de "sous-groupe distingué" et de "bordure".

- Pas très évident !

--- work in progress ---


Note 13 :

Nous nous intéressons au retournement de la posture du Sujet exprimé de façon très générale par une matrice  ∃⃣𓁝|𓁜∅⃣ :

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