"Entropologie" des "catégories" # 8 - choix et détermination

J’ai retrouvé le fauteuil Voltaire dans la bibliothèque. Volets tirés, seul le bruit de la rue « des serpents » monte jusqu’à moi. Une pose dans les travaux de rénovation, loin des amis, de la famille laissés au pays, plus d’excuse donc pour retarder le moment de replonger dans la théorie des catégories.

J’en étais au chapitre 2 (p. 39), traitant des isomorphismes ; avec ce sous-titre : « rétractation, sections, idempotent, automorphisme ». Je n’ai même pas à traduire : l’anglais enracine ici son vocabulaire aux mêmes sources que le français. Après quelques révisions, qui me permettent de relire et annoter mes différents billets sur le sujet, j’arrive au plat de résistance (p. 45) intitulé « problème général de la division : détermination et choix ».

Et j’avoue que je bute depuis 3 jours sur ce que je lis. Non pas que les explications ou les démonstrations soient difficiles à suivre, au contraire, elles sont élémentaires. Non, ce que je n’arrive pas à suivre, c’est le cheminement de la pensée. Comment en est-on arrivé à appeler détermination un problème de ce type :

Ou bien choix, le processus suivant :

En fait, je bute moins sur l’aspect mathématique que sur des questions de langage. Preuve que je ne suis pas dans le bon axe (au bon niveau) pour appréhender ce dont on me parle. Mon approche, celle que je développe depuis un bon bout de temps est-elle erronée ou en décalage avec cette théorie ? Avouez que c’est une question existentielle de premier ordre ! Pourtant, pourtant, cette approche me semblait jusqu’à présent plutôt une aide à ma lecture qu’un frein (je pense en particulier aux derniers articles # 6 et # 7).

Regroupons-nous et reprenons : de quoi parlons-nous en fait ? De ce que nous faisons basiquement en parlant : des phrases ; avec une structure élémentaire : sujet / verbe / complément. La phrase est une carte (c’est assez simple en anglais avec le mot map, plus intellectuel en français avec celui de morphisme), conduisant d’un sujet ou domaine, vers un complément ou codomaine, via un verbe, ou une relation ou plus précisément : une application.

Bien. Qu’est-ce qu’un domaine ou un codomaine ? Une collection d’objets. Nous avons médité sur les implications de cette définition (#7) ; OK. Mais, et je m’en rends compte à force d’y revenir, là où le mathématicien me laisse sur place, c’est lorsque je m’attarde à réfléchir sur les objets, quand il s’intéresse à la collection.

Il y a par ailleurs, de l’un à l’autre (du domaine au codomaine), un gap diachronique. Nécessité que je vois, moi ; et non discutée par le mathématicien, qui n’intègre aucune théorie du temps, ni du mouvement. D’ailleurs, difficulté complémentaire, le mathématicien ne fait pas non plus de différence formelle entre les objets (i.e. formant domaine comme codomaine) et les fonctions ou applications qui les relient. Pourtant, de mon point de vue, ces fonctions sont à l’évidence des concepts diachroniques (i.e.: reliant des niveaux synchroniques disjoints). Mieux, le mathématicien tient formellement à cette indistinction, qui lui permettra, ultérieurement d’envisager une dualité entre lesdits objets et les fonctions. C’est dire que le mathématicien se tient à un niveau d’abstraction suffisamment élevé pour envisager de « voir » d’un seul œil, ces éléments du discours, qui pourtant arrivent à notre entendement en ordre dispersé. Je ne l’avais pas encore complètement appréhendé ; mais le dire ici, c’est presque en soi accepter de franchir le gap qui me sépare du mathématicien… En l’espèce, la parole est performatrice.

D’accord, franchissons ce gap. Qu’est-ce qui importe, donc, dans un objet vu comme une collection d'éléments ? La répétition du geste démiurge du mathématicien qui rassemble la collection, en affirmant à chaque fois qu’il choisit un élément pour l’y inclure : « il existe » x appartenant à A. Et si l’on fait abstraction des objets x, ce qui reste ce sont ces « « il existe », comme autant d’impacts sur une cible. Et ce qui intéresse le mathématicien, c’est uniquement le nombre d’impacts, pas le calibre de l’arme.

Bien, donc, dans notre phrase sujet / verbe / complément, les deux termes mis en relation par le verbe ont même structure et sont caractérisés uniquement par le nombre de leurs éléments (même si, à ce stade, je n’ai pas encore d’idée sur ce qu’est un nombre : je peux représenter le nombre d’occurrences de « il existe » par autant de points sur une feuille de papier.) De même pour les applications : il s’attache moins à leur spécificité que de savoir combien il peut en construire. C’est ainsi que la spécificité de la fonction s’efface devant des questions d’existence ou de dénombrement, et est définissable en tant qu’objet.

La différence essentielle que le mathématicien établi entre domaine (le sujet) et codomaine (le complément), c’est qu’il dit quelque chose à propos de chacun des éléments du domaine. Même si le codomaine est plus ou moins bien ajusté au discours.

Ceci mérite que l’on s’y arrête.

Lorsque je dis « les Martin sont des voleurs », est-ce que, réellement, je parle individuellement de chacun des membres de la famille Martin ? Après tout, je n’ai jamais connu le grand-oncle Raoul, qui est parti aux États Unis, il y a 50 ans. Mon assertion est donc un « à peu près ». Ce que ne prend pas en compte le mathématicien : pour lui, soit je sais ce que je dis, soit je me tais. Certes, les développements dont nous parlons ici, permettront à terme, dans le cadre de la théorie même, de décrire une logique « modale », avec des notions telles qu’un jugement « localement » vrai (voir ici page 304) ; toujours est-il qu’au stade élémentaire de construction d’un domaine, lorsqu’en mathématicien je « caractérise » la famille Martin, soit je peux dire que Raoul est un voleur, soit il n’est pas repéré, et disparaît des radars. Donc, le mathématicien parle uniquement lorsqu’il sait. De façon amusante, nous commençons ici par où termine Wittgenstein son Tractatus logico - philosophicus :

"7. Sur ce dont on ne peut parler il faut garder le silence"

Bien, je pense qu’en développant un peu, nous retrouverions derrière ceci le principe de non-contradiction, n’en déplaise aux logiciens…

Je peux faire une assertion négative : « les Martin ne sont pas des voleurs », mais alors, il n’y a aucune flèche portant du domaine « Martin » vers le codomaine « voleurs », il n’y a donc pas de carte (pas de morphisme), et pas de discours mathématique. Et c’est là où le langage mathématique montre peut-être sa spécificité. En fait le mathématicien se fiche éperdument de savoir si les Martin sont ou non des voleurs, son discours porte sur le verbe, sur la liaison, la relation entre domaine et codomaine. Pas de verbe, pas de phrase; pas d'application, pas de morphisme... Pas de bras, pas de chocolat.

Voyez comme c’est délicat : le mathématicien utilise, par nécessité, un vocabulaire commun, compréhensible par tous, mais il ne parle pas de la même chose que vous et moi ! Si je veux, en mathématicien, dire que « les Martin ne sont pas des voleurs », il me faut « objectiver » mon assertion, et considérer, par exemple un codomaine dans lequel, à côté de l’objet « voleur », je distinguerais « honnête ». Ainsi, je pourrais assigner pour chacun de mes Martin connus, une flèche vers l’un des objets « voleur » ou « honnête ». C’est basique : pour donner une information, j’actualise une potentialité. Dans la phrase ordinaire « Les Martin ne sont pas des voleurs », j’en reste à une virtualité : rien n’est dit de ce qu’ils sont. En affirmant qu’ils sont honnêtes, je réduis mon discours à l’actualisation d’une potentialité : je choisis un bit entre voleur/honnête. Le mathématicien s’informe.

J’ai, en quelque sorte « délimité le champ des possibles » afin de pouvoir prendre en compte une négation. Ce qui fait qu’un codomaine peut avoir, contrairement au domaine, des objets qui ne sont pas impliqués dans la relation étudiée (i.e. : restés à l’état de potentialités).

Si je garde en tête, qu’en fait mes « objets » ne sont que la réification d’actions imaginaires de ma part (voir billet #6), portant les éléments dont ils sont composés au niveau Imaginaire où je peux concevoir les objets en question, je peux dire que dans le domaine, tous les « éléments / états » sont « actualisés », et que dans le codomaine, certains (au moins un) sont actualisés, quand les autres restent des potentialités.

Et c’est une façon très ancienne de procéder. Pour compter les morts après une bataille, les tribus primitives utilisaient un principe analogue. Avant de partir au combat, chacun des guerriers sortant du village prenait une pierre pour la déposer dans une urne (construction du codomaine). De retour, chacun (l’ensemble formant le domaine) retirait (la relation) une pierre de l’urne. Le nombre de pierres restantes correspondait au nombre de tués. Le procédé réifie bel et bien une absence.

D’accord, d’accord… Tout ceci m’amène à penser que, finalement, ce qui importe au mathématicien, c’est cette dissymétrie entre le domaine et le codomaine… À la réflexion, il fallait bien en revenir à ce concept fondamental de la physique, n’est-ce pas : une brisure de symétrie ;-)

Nous voici donc avec un domaine, un codomaine, et des flèches entre les éléments du premier vers ceux du second. Rien, sur la « forme » ou toute autre caractéristique des objets à l’exception du nombre de leurs éléments. Et de quoi pourrions-nous parler, hormis, précisément de leur « taille » respective ? Avec cette distinction entre les deux que tout élément du « domaine » doit avoir une cible dans le « codomaine ». Nous avons ainsi, me semble-t-il, dégraissé le problème jusqu’à l’os.

Suis-je maintenant au même niveau Imaginaire que notre mathématicien ? Non, sans doute pas, car je ne comprends toujours pas les définitions qui me sont proposées de détermination et de choix.

J’en suis resté là trois jours durant, et j’ai surfé sur internet (seule liaison avec le monde, ici à Abidjan) pour avancer.

Je suis tombé sur divers cours d’Alain Poutré, concernant la logique catégorique, et les déterminants. Écriture claire, qui m’a fait me sentir un triste imbécile ergotant sur ce qu’il ne comprend pas. Après un moment de grande solitude devant ce gouffre d’ignorance, dont je prenais conscience, je me suis repris. Après tout, je ne suis pas ici pour faire des mathématiques, mais pour suivre les cheminements de ma propre pensée. Ce qui m’importe, en définitive, c’est d’identifier les pierres qui me font achopper. Je veux les déterrer pour les voir en pleine lumière, et nettoyer mon propre chemin pour avancer.

Toutefois, de ce survol, j’ai retiré l’impression que mes préoccupations n’étaient pas si idiotes que ça. En particulier, que la notion de dualité était centrale. Je tourne autour de cette notion dans quelques billets récents, voir ici de mes difficultés avec les déteminants.

Et je crois que c’est là le nœud du problème : la dualité entre objets (domaine / codomaine) et fonctions, qui à un niveau supérieur de l’Imaginaire peuvent être appréhendées comme des objets. J’y étais presque, en discutant de la fonction identité, et de la réification de mes actes en « objets ». Mais je ne suis pas allé jusqu’au bout du raisonnement : si les objets sont vus comme une réification d’actions (i.e.: les éléments a au niveau I_a, forment un objet A au niveau I_A, avec Ia < I_A), de mouvements diachroniques entre I_a et I_A, repérés en I_A ; ce qui est proprement le rôle créateur de la fonction identité 1_A (voir billets #5 et #6, où nous parlons de 1_A comme d’un ascenseur diachronique), il y a donc une dualité concevable à partir de ce niveau I_A entre « objet », concept synchronique et « mouvement », concept diachronique. Le tout étant de se situer suffisamment haut dans l’Imaginaire, pour en parler…

Une fois le pas franchi, la chose est assez banale en fait : puisque par nécessité, nous sommes toujours dans notre Imaginaire (en position ex post, bien sûr !), ce qui peuple cet Imaginaire ne peut résulter que d’une action de ma part, de même qu’un ordinateur, même lorsqu’il ne « fait rien », tourne des programmes en boucle. Tout ceci reste très cohérent et nous renvoie au point où nous étions arrivés (voir billet #7 causa sui). Une pierre sur mon chemin n’est qu’une reconstruction continuelle de mon cerveau à partir de mes organes sensoriels, ou de ma mémoire. Rien de figé, pour moi, rien « d’essentiel » dans cette représentation toute personnelle d’une pierre qui me barre le chemin. La seule réalité qu’elle puisse avoir, c’est de me faire trébucher, avant que je l’aperçoive, c’est-à-dire au moment où elle me « réveille », où elle focalise mon attention, en s’introduisant dans mon Imaginaire…

Le 17/01/2017

Vous savez combien j’ai l’esprit occupé par les questions de symétrie et de brisure de symétrie. Aussi la question qui me vient est la suivante :

Parmi les fonctions, à quoi peut correspondre la distinction que je fais, parmi les objets, entre domaine et codomaine ? Quel est, pour les fonctions, le dual de cette brisure actuel / potentiel identifiée chez les objets ?

Posez la question, c’est y répondre : il s’agit de la différence entre avant et après, ou la distinction que je fais entre f • g et g • f. La question du temps, faute d’être explicitement traîtée par des mathématiques ignorant la distinction que nous faisons entre concepts synchronique et diachronique, nous revient donc, ici encore, en pleine face : la succession des actions (diachronique) se représente par une brisure de symétrie graphique (synchronique) entre gauche et droite.

Nous avions déjà discuté de l’identité ou de la différence entre deux objets A et B en termes de symétrie ou de brisure de symétrie (voir billet #5 & #6), il en est donc de même pour les fonctions, avec sans doute pour passer des objets aux fonctions, un décalage diachronique dans les discours : le temps pour passer de A à B n’est pas du même ordre que le temps de la succession entre f et g. Nous retrouverions ici, en creusant un peu, ce que nous avons déjà vu en physique, avec toutes les conséquences qui en découlent, comme, par exemple pour la notion de masse (voir ici).

Et une fois que nous avons compris ce rapport métaphorique entre objets et fonctions, alors, le même schéma se retrouvera pour toutes les formes de la pensée (c’est précisément l’objet de la théorie des catégories), et ce qui est dit ici, se retrouvera au niveau des foncteurs (pour passer d’une catégorie à une autre) ou des transformations naturelles (pour passer d’une catégorie de foncteurs à une autre)…

D’où l’intérêt de s’attarder un peu sur les prémisses d’une théorie aussi englobante, au moment d’en figer les notions élémentaires !

Sommes-nous suffisamment armés pour aborder enfin nos problèmes de choix et de détermination ? En fait, la question est si difficile à appréhender que les auteurs y reviennent à de nombreuses reprises. Il serait peut-être plus simple de commencer par les deux notions liées de section et de rétraction ?

Essayons, en revenant à notre tribu primitive.

1. La première chose à faire, effectivement, c’est de construire le codomaine B, qui potentiellement permettra de séparer les morts des vivants. D’une certaine manière, le codomaine correspond à la prémisse majeure d’un syllogisme, par exemple « tous les hommes sont mortels ». C’est en fait le cadre, l’environnement ou mieux : le contexte de notre discours. On délimite le champ des possibles, des potentialités en B.
2. Ensuite on détermine le domaine A qui nous occupe. Dans notre cas, les guerriers survivants. L’équivalent de la mineure de notre syllogisme, là où nous focalisons notre attention, pour en faire le sujet de notre discours : « Socrate est un homme ». On actualise le domaine A.
3. L’action en elle-même consiste à appliquer chacun des éléments actuels de A, sur l’une des potentialités de B : les guerriers rentrant au village prennent une pierre dans l’urne B. C’est l’équivalent de la proposition (l’attribution « est ») de notre syllogisme : Socrate est mortel.

Toutefois, la construction du domaine des possibles à laquelle je procède afin de pouvoir caractériser l’action qui m’occupe pour, finalement, « en parler », reste implicite, souterraine.

Et pourtant d’une façon ou d’une autre, cette construction antérieure à l’action est bel et bien conditionnée par le sujet A de mon discours : les guerriers ne mettent pas une pierre dans l’urne B par hasard, sans raison, de même que l’énoncé de la majeure « tous les hommes sont mortels » n’a aucun intérêt, hors de son contexte, si je n’ai pas quelque idée de son utilité et de sa place dans mon syllogisme.

Il y a donc un jeu à articuler entre les deux brisures de symétries que nous avons mises en évidence, entre actuel / potentiel et antérieur / postérieur. Essayons de mettre en lumière cette problématique dans les définitions qui nous sont proposées:

On voit, assez simplement que la succession temporelle des actions : f suivie de r, s'accompagne d'une bascule potentiel / actuel des états (ou éléments) de B. La question posée étant de savoir si, dans l'opération, les éléments de A (dans la bascule complémentaire actuel / potentiel) reste ou non inchangés. Est-ce que l'application f me permet de revenir sur A ou pas; telle est la question. D'où sans doute le terme de "rétraction" ? Question subsidiaire: trouver la fonction r.

En quoi est-ce un problème de "détermination" ? On peut dire que B suffit à qualifier les éléments de A. En ce sens, la disposition du schéma recoupera implicitement, celui plus familier, pour nous, d'une représentation des niveaux Imaginaires impliqués. Que B soit au-dessus de A, marquerait une différence de niveaux synchroniques, avec I_A < I_B; et dans ce cas, les actions f et r, par définition diachroniques (reliant I_A à I_B) caractérisées, par un "saut diachronique:":

• f, comme une "montée diachronique";
• r, comme une "descente diachronique",

Ce que je peux schématiser ainsi :

Dans cet ordre d'idées, la question posée serait : "peut-on à partir de B caractériser complètement A, c'est à dire en retrouver chacun des éléments" ? Ce qui est à proprement parler déterminer A à partir de B, de la façon qui nous est déjà familière. (voir nota 1 du 05/02/2017)

La compréhension du problème posé est plus délicate: en effet, la question porte sur ce qui précède l'action centrale, connue, f, et sur le codomaine B et non sur A, qui est sensé être le sujet, le coeur du discours.

Pour rester cohérent avec notre schéma Imaginaire précédent, et donc I_A < I_B, il faudrait inverser le schéma proposé, comme ceci :

En rapprochant ce schéma du précédent, nous pouvons dire que la question n'est pas du même niveau Imaginaire : la rétraction, portait sur l'existence ou non de A, avec la vérification de 1_A; notre attention porte maintenant sur B, situé en I_B, (avec I_A > I_B) et l'exercice consiste à vérifier 1_B à ce niveau.

Cette représentation offre à mes yeux l'intérêt de ramener la notion de "temps" liée à la succession des actes (ici nos fonctions), à celle d'un saut diachronique; et nous en avons déjà analysé les conséquences en physique (voir ici), indépendamment de tout "langage mathématique".

Le problème dans sa généralité porterait sur la possibilité de "boucler" un aller-retour diachronique en respectant dans un cas, l'existence de A, dans l'autre celle de B, ce qui implique, pour le locuteur, un changement de niveau de discours.

Est-ce utile à notre compréhension ?

Pour avancer, mon exemple précédent est un peu compliqué car les morts n'agissent pas, ce qui oblige à des contorsions pour "les faire parler". Prenons un cas plus simple: Une tribu séparée en clans, ayant chacun un totem distinctif.

• Soit A la tribu formée de chacun des individus qui la composent;
• Soit B l'ensemble des totems.

Notre fonction f, serait alors celle qui, en appliquant chaque élément de A sur ceux de B, divise la tribu en clans. Le morphisme f(A) => B, est bien une "partition" de A, ou une section de A. La question est de savoir si en partant de B, pour qualifier chacun des individus de la tribu, et ensuite, en demandant à chacun d'annoncer son totem, cet ensemble B est "complet"; c'est à dire que tout individu de A a bien un totem, et il n'y en a pas d'autres que ceux pris en compte dans B.

Ce qui me bloquait depuis le début, c'était l'idée a priori que la partition résulterait de s. Non, en fait, l'acte f est bien en soi le choix (ou l'attribution) à tout individu d'un totem. L'ensemble des retours, s sert à vérifier que chaque individu a bien un totem. Opération consistant à vérifier que : f • s = 1_B est vrai, avec les conventions d'écriture déjà connues.

Je vous laisse là-dessus pour aujourd'hui. Il faut que j'y réfléchisse encore.

Il est temps de faire une petite marche avant le coucher du soleil, s'il est encore possible de circuler dans Abidjan....
 

Bonne méditation.

Hari

Nota 1 du 05/02/2017:

Ma réflexion était ici trop limitée; parce que je n'avais pas encore compris l'importance de la notion "d'idempotence". Je laisse dans le blog la fin du développement afin de garder une trace de ma propre évolution en la matière... Mais j'y reviendrai.

Je me rends compte qu'il doit être possible d'écrire mes propres développements en utilisant le langage de cette théorie des catégories. Ça prend forme dans le prochain billet #9, avec ce que nous apporte la catégories des espaces topologiques et les théorèmes de Brouwer et Banach ! C'est lié à l'idempotence.