"Entropologie" des "catégories" #10 - Rétractions et idempotence

Les choses s’éclaircissent au fur et à mesure que j’avance dans ma lecture de «Conceptual mathematics». Et d’un billet à l’autre je peux suivre ma propre évolution. C’est comme une mue continuelle, qui s’accélère avec la pratique. Finalement, cette gymnastique redonne un peu de plasticité à mes cellules grises; ça remplace le Sudoku !

Par exemple, j’ai eu un mal de chien à comprendre les notions de "choix" et de "détermination" (voir #8). Ce n’est pas encore automatique, mais j’acquiers un peu plus d’aisance à chaque fois que j’y reviens. Surtout depuis qu’après avoir poussé une pointe vers les catégories topologiques, je suis revenu sur mes pas pour mieux appréhender le concept d’idempotence (voir #9).

Au-delà des mathématiques, ce concept me semble fondamental pour la compréhension des mécanismes d’apprentissage. J’ai parlé un peu de l’apprentissage du langage, sans épuiser un sujet que les auteurs abordent eux-mêmes dans leur chapitre « Retracts and idempotents ». Je vous propose donc de refaire avec les auteurs, un dernier tour de piste, avant d’avancer vers des catégories plus complexes que celle des ensembles finis.

Le point fondamental est peut-être celui-ci :

Je garde l’énoncé en anglais, car je découvre mon sujet dans cette langue dégagée pour moi de toute épaisseur (j’ai une pratique de l’anglais très basique, forgée dans la négociation et la chicane de contrats internationaux). Et lorsque pour me sécuriser je cherche des équivalents en français, je m’effraie d’y trouver une complexité, une sécheresse de ton, que je ne retrouve pas en anglais, plus familier. Je préfère le terme « map » à celui de « morphisme » qui se hausse du col. Nota: le nom de la fonction « s » renvoie à « section » et celui de « r » à « rétraction. »

Ceci dit, le terme important ici est « split » ou séparer, diviser (avant d’avoir en tête le mécanisme de la division).

Et, nous avons là, en quelque sorte, une réponse à la question éthique que je me posais concernant le droit que je m’octroie, moi éducateur, d’imposer à un élève mes propres catégories pour structurer ses représentations. Ce qui est dit ici, c’est que s’il structure sa vision de B de façon à y repérer des « points fixes », c’est-à-dire s’il trouve une forme e, idempotente de B => B, alors notre élève a de facto la possibilité de définir un objet A lui permettant « d’expliquer » la fonction e. C’est ce que l’on pourrait appeler l’apprentissage par la répétition, ce qui nous ramène à Piaget. Et, ce mécanisme se retrouve, avant toute articulation d’un langage, par exemple dans la structuration de notre vision.

Mais avant d’y arriver, suivons nos auteurs qui, à partir de cette définition, nous expliquent qu’il y a fondamentalement trois types de questions concernant le découpage de B, à partir de la prise de conscience d’un morphisme idempotent e : B => B.

1/ Problème du directeur de muséum

Pour une exposition concernant les mammifères, notre directeur doit choisir un spécimen particulier pour « représenter » chaque classe retenue. Soit A = le groupe des « mammifères » et B l’ensemble des spécimens à sa disposition. Une première opération serait de « regrouper » les spécimens selon leurs classes respectives, ce qui donne le schéma suivant :
 

Nous comprenons peut-être mieux ainsi le terme de « rétraction » : il s’agit de regrouper les éléments de B en fonction des critères de A. Ici, la rétraction est l’acte initial et le terme me semble-t-il, prend tout son sens.

Maintenant, notre directeur doit trouver pour chaque classe, un spécimen pour la représenter. Si l’on considère sur le schéma précédant notre groupe B comme une sorte de patatoïde, une section, c’est comme une coupe qui passerait dans chacune des cases, par l’un de ces points. Quelque chose comme ceci:

Autrement dit, il y a plusieurs « choix » possibles pour faire cette section : ça y est, nous retrouvons ce choix qui m’avait tant intrigué, et le lien avec un problème de « section ».

Pour notre directeur, le choix est une fonction seconde, après avoir « trié » ses spécimens c’est-à-dire défini une application du plus grand ensemble B vers le plus petit A.

Si par exemple, j’ai regroupé les spécimens « Kiki, Médor et Molosse » sous l’appellation commune « Chien ». C’est là ma rétraction r. Maintenant, je choisis le spécimen Kiki comme emblématique de « Chien ». C’est mon choix, qui opère une section s dans l’ensemble de mes trois éléments. Et cette fonction seconde, renvoie bien vers l’un des éléments de B. Ce qui nous donne :

r (Médor) = chien et s (chien) = Kiki = > s (r (Médor)) = Kiki

Maintenant, Kiki est notre point fixe car s (r (Kiki)) = Kiki. Je peux faire autant de boucles sr que je veux, cette égalité va se conserver jusqu’à fatigué et j’aurai toujours Kiki sous les yeux : sr = e

2/ Problème de l’observateur d’oiseaux

Le point de vue de notre observateur diffère de celui du directeur de muséum, en ce sens qu’il cherche à définir à quelle espèce peut correspondre l’oiseau qu’il observe. Pour s’aider, il dispose d’un manuel avec, pour chaque type d’oiseau répertorié, une photo ou une image « caractéristique ». Dans son cas, la « section » lui est donnée : c’est le choix effectué par l’auteur du catalogue. Il va donc chercher, par différences et répétitions (oui, Deleuze : c’est mon côté germanopratin), voir si son oiseau « se rapproche » de telle ou telle figure emblématique de son catalogue. La question qui vient alors, seconde par rapport à la section, c’est de définir la rétraction : nommer son oiseau.

Il s’agit donc ici de vérifier que le manuel A est complet ; autrement dit que rs = 1_A.

Entre parenthèses, c’est une grande partie du travail scientifique : vérifier qu’il n’y a pas de faille dans les représentations que nous donnent nos théories !

3/ Le cas de l’enfant

C’est tellement limpide que je vous livre le texte lui-même :

J’aimerais savoir ce que des pédagogues ou spécialistes du développement de l’enfant, pourraient en dire ?

Je pense que ces questions de divisions ou de regroupements sont les plus délicates à appréhender. Ensuite, il s'agit plutôt de "raisonner" sur des acquis: nous évoluons vers plus de manipulation du langage, en nous éloignant de ce que je vois comme des ressorts très élémentaires, voire observables chez les animaux, avant l'articulation de la pensée.

Bon, je vous laisse là-dessus, pour avancer en topologie: et là nous allons tout de suite tomber sur les trous et manques si chers à nos Lacaniens.

Bonne rumination

Hari