Du vecteur à l'espace affine

Depuis mon dernier billet (cf.: "mathématiques et aspects quantiques des processus psychiques"), je m'applique comme rarement à revoir mes connaissances scolaires concernant les groupes et les ensembles. Il faut rappeler que je suis un enfant de la "génération Bourbaki", plongé dans la théorie des ensembles dès la 6^e par des professeurs pas nécessairement convaincus des bienfaits de cette révolution dans les programmes scolaires.

J'ai donc appris tout ceci assez mécaniquement d'une génération de profs eux-mêmes en formation. Je fus malgré tout fasciné d'entrevoir qu'au-delà des nombres, les opérations usuelles comme x et . pouvaient intéresser d'autres objets, d'où sans doute une certaine tournure d'esprit qui m'est restée.

Bref, pour moi "groupes" et "ensembles" venaient tout d'un bloc, et il a fallu m'y replonger récemment pour prendre conscience que la théorie des groupes se rattache aux travaux d'Évariste Galois, exhumés par Liouville en 1843 dix ans après sa mort, quand la théorie des Ensembles se rattache à ceux de Greg Cantor, à la fin du siècle. Ensuite viendront Hilbert, puis Bourbaki (je vais vite, comme toujours, sinon je perds le fil).

C'est comme si les liens entre objets avaient été vus avant que l'on s'occupe des objets eux-mêmes; pour arriver à la démarche axiomatique de Bourbaki datée de 1930 (ref. 1) qui ne s'intéresse plus qu'aux structures liant ces ensembles. Il y a donc, un vaste mouvement intellectuel parcourant les XIX^ème et XX^ème siècles qui, partant du mouvement pour définir les objets, se boucle sur les structures qui en résultent.

Comme je pars (fort maladroitement et de façon lacunaire j'en conviens) du résultat pour en comprendre la genèse, je m'applique donc à revisiter le vocabulaire associé à ces structures pour poursuivre mes travaux archéologiques. Très globalement, Bourbaki distingue 3 types de "structures mères":

• La structure algébrique (ce sont les diverses lois de composition des ensembles);
• La structure d'ordre;
• La structure topologique.

Que puis-je en dire, du point de vue qui est le nôtre, à savoir une distinction très nette entre différents niveaux Imaginaires ?  Nous avons identifié :

• I0 : niveau où peut s'imaginer l'objet initial { } ;
• I1 : niveau où peut s'imaginer l'objet final {*};
• I01: niveau où peut s'imaginer l'objet final et ses parties {{ };*};
• IR : niveau où peut s'exprimer l'hypothèse du continu;
• Avec : I1 < I01 < IR < I0.

Pas de problème avec la structure d'ordre: elle peut s'imaginer dès que le Sujet en Im peut rapporter l'objet final en I1 à l'objet classifiant {{ };*} en I01. Et donc, dans la position : I1 < I01 ≤ Im. La discussion autour de l'axiome de choix tenant à la différence entre I1 < I01 = Im et I1 < I01 < Im.

Pour les structures topologiques, il faut pouvoir définir un "ouvert" autour d'un objet qui s'échappe en I0, nous en avons déjà parlé longuement, ce qui ne peut se faire qu'après avoir fait l'hypothèse du continu, et donc à partir de IR. Il s'agit de la bascule que je commence à percevoir assez clairement autour du niveau I01.

- Bien, c'est en gros un rappel de ton dernier billet, mais que dire des structures algébriques proprement dit?

- Je ne voudrais pas entrer ici dans le détail, mais il me semble que tout ceci tend à réifier en I01 tous les mouvements que l'on peut faire pour associer aux éléments d'un ou deux ensembles un élément d'un troisième ensemble, à partir des deux opérations élémentaires . et + dont nous avons déjà longuement parlé.

- Il y a quand même la matière d'un livre dans ce que tu avances !

- Oui, mais je voudrais en rester là pour l'instant, afin d'aller à une réflexion qui m'est venue hier au réveil, et qui se rapporte au mouvement même des idées en mathématiques.

Ce qui me frappe lorsque l'on tente de classer entre elles les trois types de "structures mères" définies par Bourbaki en les rapportant aux niveaux Imaginaires à partir desquels ont peut les construire, c'est un mouvement portant de l'une à l'autre : 

structures d'ordre < structures algébriques < structures topologiques

Avec les structures algébriques en I01 au centre, ce qui renforce le rôle pivot jouer par ce niveau Imaginaire.

- Te voila bien avancé. et que peux-tu en tirer ?

- Et bien à mon réveil, il s'est produit un court-circuit entre deux fils d'idées.

La veille en effet, j'avais trouvé bien emberlificoté tout un laïus tricoté autour des rapports entre "espaces vectoriels" et "espaces affines". Puis, en creusant un peu la genèse de la notion de vecteur, il s'avère que c'est à l'origine le repérage d'un mouvement (voir Wikipedia : "vecteur"), en astronomie et par Newton lui-même pour démontrer la seconde loi de Kepler, nous l'avons déjà vu. Quand à la définition d'un espace affine, il s'agit de définir la position d'un "objet" aussi élémentaire que le point. Or, pour axiomatiser cet espace, il faut utiliser la notion de vecteur. C'est-à-dire que, là encore, la position du point doit être vue comme une sorte de réification d'un mouvement.

Autrement dit, si je cherche à structurer mon discours en termes de niveaux Imaginaires, il y aurait :

• I_obj : niveau où j'ai conscience de l'existence d'un point;
• Vecteur : concept diachronique (i.e.: entre I_obj  et I_aff);
• I_aff : niveau où je rapporte la position du point dans un espace affine, défini à partir de la répétition mouvement (i.e.: repérer 2 points définit une droite, 3 points une surface etc...).

- Mais il y a bien une réification du concept de "vecteur" puisque l'on peut définir un espace vectoriel...

- Oui, bien sûr, et il est difficile de démêler, comme je m'y efforce, ce qui relève du diachronique et du synchronique, puisque aux niveaux Imaginaires où nous nous trouvons (i.e.: à partir de IR), tout est déjà réifié en quelque sorte, le temps lui-même étant pourvu d'une structure continue.

Mais si tu prends un peu de recul, tu ne peux manquer de remarquer dans ce rapport entre espace vectoriel et espace affine au niveau des structures topologiques, la structure générale d'un mouvement, qui conjoint un concept diachronique à un concept synchronique.

- Et en quoi consiste ce court-circuit dont tu parlais ?

- Il consiste à rapprocher ce "mouvement" dans la pensée topologique au "mouvement" élémentaire, qui est le concept de morphisme lui-même dans la théorie des catégories, et qui porte à juger de l'objet final en le rapportant à son classifiant, et donc, dans l'espace Imaginaire {I1 ; I01}.

- En quoi ceci peut-il nous aider?

- Je ne le sais pas encore précisément, mais, d'une certaine manière, cela m'aide à clarifier mes idées tout en ouvrant encore d'avantage ma réflexion.

- Par exemple ?

- Et bien, ceci m'aide à prendre conscience que les sauts diachroniques I1 => I01  et I01 => IR, sont de nature radicalement différente.

• Pour "sauter" de I1 à I01, mon Imagination se limite in fine à ma conscience de l'existence d'un objet, l'objet final.
• Pour "sauter" de I01 à IR, mes vecteurs s'appuient sur un objet muni d'une structure algébrique (i.e.: un corps K), définie en I01.

- Ce qui te ramène à Évariste Galois...

- Effectivement. Il y a dans les développements mathématiques comme un cycle qui se répète et s'approfondit à chaque tour, comme la roue du Dharma.

Galois amorce le "mouvement" qui mènera à la définition d'une "extension" sur un corps, et conduira à la topologie, avec cette dualité espace vectoriel/ espace affine qui nous occupe ici, pour arriver (je l'anticipe, sans en avoir encore parcouru effectivement toutes les étapes) au mouvement portant des faisceaux de Jean Leray au topos d'Alexandre Grothendieck.

J'espère arriver à faire sentir, au-delà de la complexification progressive des objets, la structure très élémentaire de nos mécanismes de pensée: dans tout "mouvement" :

• soit je fixe l'objet en tuant le mouvement lui-même,
• soit je repère le mouvement, en perdant de vue l'objet.

Il y a encore bien du chemin à parcourir, mais il me semble que j'arrive enfin, après tant d'années, à apprécier ce que j'avais si mal reçu de mes professeurs.

Il fait un temps à s'évader en soi, bonne méditation.

Hari.

ref. 1 :  cf. François Le Lionnais dans un article "l'architecture des mathématiques" in "Les grands courants de la pensée mathématique" de 1948 réédité en 1997