Dialectique et orthogonalité

Réécriture du 03/ 04/ 2024 :

- Le hasard me conduit vers cet article, au moment où je reviens sur les questions d'orthogonalité et de dialectique dans les articles :

Depuis cette époque j'ai, bien entendu, étoffé mon Imaginaire, en le déployant selon deux axes orthogonaux entre eux, justement : niveaux et modes.

- Laisse donc cet article aux oubliettes...

- Oui et non, car je m'intéressais alors à des questions qui me sont sorties de la tête.

- Par exemple ?

- Cette idée qu'une mesure est une réponse à une question me semble intéressante, et puis mes réflexions autour du passage de IR à I01 me renvoient aujourd'hui à la notion de schéma de Grothendieck autour de laquelle nous tournons ces temps-ci (voir "Parole et création #2")

Je te propose donc de reprendre tout le texte en utilisant ma nouvelle écriture. Pour faire simple, mas ajouts seront écrits en bleu, à droite du texte original.

Rappel : Correspondance entre l'ancienne et la nouvelle notation des niveaux:

I1	I01	IR	I#	I0
[∃]	[⚤]	[#]	[♲]	[∅]

- J'étais si content d'avoir caractérisé le concept de matrice comme jonction entre deux approches, l'une logique et l'autre topologique (note 1), que je suis revenu ce matin à "Principles of quantum mechanics" de Dirac, pressé d'atteindre enfin la physique.

Puis, picorant dans Wikipedia les définitions des termes employés par Dirac, je tombe, en fin de surfing, sur "les trois axiomes de la mécanique quantique" proposés par Constantin Piron; et sur le concept d'orthogonalité. Et là je fais un arrêt sur image.

- Tu me donnes le tournis avec ta façon de papillonner de-ci de-là alors qu'il te faudrait des semaines de travail sérieux pour bien assimiler tout ce que tu découvres!

- Parce que je ne cherche pas tant à "faire de la physique" ou "faire des maths" qu'à comprendre où je me situe dans mon Imaginaire lorsque j'utilise tel ou tel concept; et m'applique à y repérer les brisures de symétries, qui sont comme autant de signifiants pour le psychanalyste.

Lorsque Dirac parle de vecteurs et définit l'état A d'un système comme un "ket" : |A⟩ bien que le corps K de base d'un espace vectoriel se définisse à minima en I01, Dirac précise qu'en l'occurence, ce corps est celui des complexes C, et donc, avec ce que nous avons vu de la continuité et de la séparabilité, nous sommes en fait en IR. Tout ce qu'il dit ensuite à propos de la "superposition" des états, à l'aide de combinaisons linéaires B d'états donnés représentés par des "bra" : ⟨B| ne change rien à la donne. De même lorsqu'il est question d'opérateur Hermitien, d'espace de Hilbert ou d'observable...

On peut situer la méca Q en mode ♢ et le passage I01←IR s'écrit [⚤]^♢←[#]^♢,

Autrement dit, il s'agit d'un schéma de Grothendieck.

Je suis toujours a minima en IR, et tu remarqueras qu'il s'agit bien ici d'une pensée pleinement topologique, puisque l'on parle essentiellement d'addition.Dirac commence même son traité en insistant sur cette nécessité de comprendre "l'addition" des états quantiques. Fondamentalement le principe de superposition des états d'un système est une approche topologique de sa description.

On utilise l'inclusion pour définir les préfaisceaux en [#]^♢. Il y a une réflexion à mener pour rapprocher ceci de l'addition, en mode [#]^♧.

Donc, en me reportant à l'article de Wikipedia sur les 6 postulats de la mécanique quantique, je sais où je navigue avec les 3 premiers d'entre eux : en IR.

Et j'ai tout de suite le sentiment que cela va coincer avec les 3 suivants !

- Soit tu lis très vite, soit je suis un imbécile !

- Non, non, il s'agit tout simplement de comprendre que l'on cherche à rabattre des concepts de niveau IR sur I01 pour effectivement les observer à partir du Réel; en effet :

Le temps est primitivement un concept diachronique entre I1 et I01;
Les probabilités se conçoivent dès I01;
Quant à la réduction du paquet d'ondes, elle concerne tout simplement le passage de IR à I01.

Il s'agirait d'un schéma en [⚤]^♢←[#]^♢

Le temps entre [∃]^♧/[⚤]^♧;
Probabilités en [⚤]^♧
la réduction du paquet d'ondes serait un mouvement[⚤]^♢↓[⚤]^♧

Lorsque tu prends conscience de ton propre point de vue, il n'y a plus qu'à dérouler la pelote; et sans même "maîtriser" le sujet, tu situes déjà les brisures de symétries dans le discours.

- Ça fait encore pas mal de matière à ingurgiter pour pouvoir en parler sérieusement, quand même !

- Oui, sauf à caractériser plus fondamentalement encore ce point de rupture entre I01 et IR, qui nous permettrait de forcer l'allure.

- Et je présume que tu l'as trouvé ?

- Oui ! Car, en parcourant l'article sur les 3 axiomes dont je viens de parler, je tombe sur cette notion d'orthogonalité qui fait tilt dans ma tête.

- Tu m'excuseras, mais j'ai besoin d'être guidé...

- Tu as la mémoire courte ! Souviens-toi de ma présentation au CLE (note 1): j'ai insisté sur le fait que les concepts de morphisme, foncteur et transformation naturelle sont "orthogonaux" entre eux, ce qui rendait difficile leur représentation sur un seul et même schéma, or cette difficulté apparaît précisément dans le saut diachronique I01/IR.

Pour faire image: lors du premier saut I01=>IR, je construis R, comme radicalement étranger à N, Z, Z/nZ ou Q. Puis, dans la répétition du saut, je peux construire C = R², etc. Tu vois comme moi, je l'espère, que la répétition du saut se traduit par une orthogonalité : il n'y a pas en C de "commune mesure" entre 1 et i, avant de définir un concept d'ordre supérieur, en I#, qui est précisément une "métrique". Cette "métrique" passant par la symétrisation de l'espace lui-même.

Dans mes derniers articles, je ne traite que de l'orthogonalité entre modes ⊥ niveaux, imaginable par 𓂀^♢.

L'idée à développer, serait celle d'orthogonalité entre modes par 𓂀^♡, à partir de la circulation générale entre modes

Donc, pour en rester à notre propos, cette possibilité d'une "orthogonalité" est propre à la répétition du saut I01/IR, et se caractérise ex post en IR en terme "angulaire".

Ici, j'en reste au premier saut de mode ♧ entre niveaux [⚤]^♧/[#]^♧ ; il s'agit d'une représentation géométrique.

Il faudrait prolonger par une orthogonalité :

En mode ♢ entre niveaux,
En mode ♡ entre modes.

Ceci est à rapprocher de la succession (temporelle) des morphismes entre I1 et I01, qui se repère ex post en I01 par une "dialectique" entre 0 et 1.

Reprendre ce que je développe dans l'article "Hegel - La dialectique".

D'où mon intérêt pour ces 3 axiomes.

- Ça me rappelle un ancien article "Linga-Yoni" dans lequel tu développais un peu la même distinction, mais dans une approche bien différente !

- Si tu veux, mais pour en rester à ces 3 axiomes, il est intéressant de relever que Piron part du concept de "question" !

C'est cette idée que j'avais perdue de vue, et qu'il serait intéressant de revisiter !

Magnifique, n'est-ce pas?

- Pourquoi cet enthousiasme?

- Mais enfin, ne vois-tu pas que toute question introduit le Sujet au coeur même de sa description de l'Objet ? Autrement dit, nous partons lui et moi du même pied.

- Si c'est fondamental, il faudrait peut-être prendre le temps de préciser, non?

- D'accord, alors précisons.

La notion de "question" découle de l'idée de "mesure": une question est une mesure sur un système physique dont la réponse est "vrai" ou "faux".		Il vient immédiatement un questionnement sur la logique utilisée.
Une "question" portant sur une observation en Ik, est par définition un discours "rationnel", cherchant à caractériser cette observation par rapport à un filtre en *Ik+1, avec Ik< Ik+1< Im*, et pour nous, à cause de son rattachement au concept de "mesure", c'est un concept de niveau I# (ou [♲]) (note2).		Concernant le 5 niveaux, il y a ceux où l'on situe : Objet initial en [∅]; Objet final en [∃]. Quant aux 3 autres, il s'agirait de concilier en [♲] ce qui relève: du "discret" en [⚤] du "continu" en [#].
Nous en avons déjà longuement parlé (note1) et ceci se traduit essentiellement par une "clôture" des possibles envisagés a priori par le Sujet (i.e.: nous avons vu en détail que dans une pensée topologique, le point de vue local du Sujet en *I'm* est limité aux potentialités que le même Sujet, en Im, envisage globalement).		La clôture en question tient au passage de [⚤]^♢←[#]^♢, avec les implications concernant la logique employée dont nous venons de discuter dans mes derniers articles.
Ceci se traduit ici explicitement par le fait qu'à partir de toute question on puisse associer une question inverse (i.e.: correspondant au fait que dans une tribu, le complémentaire de chacun de ses éléments en fasse partie).		À rapprocher du processus cohomologique où l'on restreint l'univers des possibles. Il est intéressant de relever qu'ici j'arrive au même questionnement en utilisant le passage du concept d'ouvert en [#]^♢ à celui de tribu en [⚤]^♢; et implicitement à un changement de logique.
- Mais quelle est la différence entre une question portant sur un objet et une description que tu pourrais en faire?		Le passage de ce que l'on dit de la chose à ce qui est de la chose peut être vu comme un passage direct du mode ♡ syntaxique au mode ♧ objectif : ♡↓♧.
- Ah! Ceci tient à la réintroduction de la notion primitive de temps (entre I1 et *I01) au niveau de la mesure (en I#): il y a une "prédiction" avant* la mesure, puis une mesure, et la comparaison après, qui donne un résultat : Vrai/ Faux; alors que nous sommes en pleine topologie. Tu vois déjà le hiatus avec la Relativité ! Impossible à partir de là d'imaginer une théorie quantique-relativiste...		Le passage [⚤]^♡↓[⚤]^♧ réintroduit le temps. Du coup, ceci permettrait, a posteriori, de comprendre la nécessité d'en revenir en mode ♡ à la logique du 1^er ordre, par cette nécessité liée à notre perception immédiate du temps, pour faire des observations. Mon texte initial tourne à vide parce que je tente d'exprimer par un mouvement entre niveaux ce qui révèle d'un changement de modes. Le hiatus avec la relativité tient au fait que : l'espace/temps relativiste en [♲] faisant lien entre discret—[⚤]/[#]—continu, est un mouvement du Sujet entre niveaux en mode objectif ♧; Le temps quantique est un principe de mode ♡ observable en mode ♧. Le point important, c'est que l'idée de "question" en méca Q, impose le point de vue du Sujet et porte la discussion en mode ♡.
Mais ce n'est pas ce qui nous préoccupe pour l'heure; suivons le fil de l'histoire. On arrive assez vite à une notion d'ordre entre les questions: elles sont plus ou moins "larges", et l'on aboutit à des classes d'équivalences entre questions...		Il est plus simple d'en revenir à la démarche cohomologique / homologique.
La classe d'équivalence a d'une question α est une propriété P.		L'idée de "classes d'équivalence" rappelle que nous sommes en mode ♢, et plus particulièrement en [⚤]^♢.
L'approche est intéressante, car elle renvoie directement me semble-t-il aux théorèmes de Noether, et donne une structure mathématique à ma propre façon de concevoir l'objet comme ce qui est constant lorsque je change de point de vue.		À rapprocher du questionnement de Grothendieck sur les dexcantes (voir "Parole et création #2")
Une propriété est dite "actuelle" si les questions associées sont vraies à coup sûr. Au contraire, si les réponses à ces questions sont incertaines voire toujours fausses, on dit que la propriété est potentielle.		À rapprocher de la cohomologie.
Là encore, nous voyons la fermeture de la description sur des potentialités qui ne peuvent être que définies par le Sujet...		Rien de changé : l'Imaginaire se clôt progressivement sur des concepts de plus en plus simples et globaux. On pourrait ajouter : concernant des objets de plus en plus gros (ce qui à bien y réfléchir relève de la tautologie : Dieu rêve le Monde...).
Ensuite on définit L comme l'ensemble des propriétés d'un système, et j'aime beaucoup le commentaire de l'auteur de l'article Wikipedia: Une chose remarquable est, que sans aucune autre supposition, nous pouvons déjà avoir une certaine information sur la structure L. En effet, la relation de préordre sur Q (i.e.: l'ensemble des questions q) impose le fait que L soit partiellement ordonné. Et donc L est toujours un treillis complet.		Il faut reprendre mes réflexions à partir de la cohomologie. L'aspect procédural de la cohomologie (i.e. : la restriction algébrique se fait sur la dernière dimension) introduit de facto l'idée de pré ordre.
Il est bien évident que L est déjà un objet très fortement structuré, compte tenu du niveau Imaginaire très élevé I# où il est envisageable!		En pensant au schéma de Grothendieck, L est moins en I# (i.e.: [♲]^♧) mais plutôt en [⚤]^♢.

État et Propriétés-états:

Par définition, l'état E d'un système physique est l'ensemble de toutes ses propriétés actuelles. Il vient E ⊂ L.

Un état E est un sous-ensemble de L tel que la propriété p est actuelle quand toutes les propriétés contenues dans E sont actuelles. on peut donc définir un état ainsi : E = {x∈L | p<x }.

Une telle propriété p définit entièrement E et est appelée propriété-état.

Je m'attarde un peu sur cette définition, car je serai sans doute amené à la reprendre sous une forme ou une autre dans la mise au propre de ce que j'avance ici. L'idée étant que ce que j'appelle l'état du système est conçu ici comme une "limite" à mon questionnement. Là encore l'approche est purement topologique.

Il est effectivement temps d'y revenir.

L'emploi de l'inclusion E ⊂ L indique que nous partons de [#]^♢, ce qui va bien avec ce que nous avons vu du schéma qui s'inscrit dans le passage [⚤]^♢←[#]^♢.

Atome:

Les atomes sont les éléments minimaux de L\{0}. Autrement dit, une propriété p∈L est appelée atome si:

p≠0, p est différente de la propriété minimale définie par la question ĩ (l'inverse de la question triviale) et que
∀x∈L, x<p ⇒(x=p ou x=0)

Les atomes sont des propriétés-états. En effet un atome p∈L étant non nul, il existe un état E du système dans lequel p est actuel. La borne inférieure de E minore p et est non nulle; par conséquent elle est égale à p.

Je m'excuse de reprendre ainsi in extenso cette définition directement de Wikipedia, mais elle me donne à réfléchir.

- Par rapport à ton approche?

- Oui, car nous sommes ici dans une approche purement topologique, comme je ne cesse de le répéter, et donc avec l'objet initial, vide, { } comme référé ultime. D'où cette nécessité d'approcher l'objet par des suites s'emboîtant les unes dans les autres comme des poupées Russes dont cet objet initial, serait le vide central.

Les suites s'emboitant les unes dans les autres renvoie aux pré faisceaux, et donc au mouvement [#]^♢↓[#]^♧.

Et nous retrouvons ici l'orthogonalité entres 2 mouvements, qui nous occupe actuellement (voir "S'imaginer un topos")

Mais je ne peux pas me contenter de tourner ainsi indéfiniment autour du pot, il faut bien que j'arrive d'une façon ou d'une autre à retourner mon point de vue, pour me référer à l'objet final, lui seul me permettant l'accès au Réel. C'est ici, comme nous l'avons vu, que le concept de matrice prend tout son sens, mais la question pendante reste : sur quel objet appliquer cet outil?

- Et en quoi ceci t'aide-t-il ?

- Il y a comme un jeu de miroir autour de *I01, comme nous l'avons déjà vu, avec à la limite du dicible I'm* en I1 comme reflet de Im en I0 : i.e.: *I1=I'm< I01 < Im=I0*.		C'est pour préciser ceci que j'ai changé d'écriture, avec I'm = 𓁝 Im = 𓁜 Ce qui donne: [∃]𓁝[⚤]𓁜[∅] La question pendante étant la possibilité de la posture 𓁝[⚤] en mode ♧, mais pas de problème en mode ♢.
C'est bien joli sur le papier, mais si je quitte ma position du Lotus pour retrouver le monde de la physique, Im retombe à un niveau moins éthéré tel que I#, où je peux concevoir les principes les plus hauts de la physique (i.e.: le principe de moindre action), comme des mathématiques (i.e.: les volumes et les mesures). Or donc, si je me restreins à I#, dans une descente diachronique *I0 =>I#, mon miroir I01* ne renvoie plus l'image de l'objet final sur l'objet initial, mais sur ces "états" que je construis en I#.		C'est là que la nécessité d'aller au-delà d'une pensée limitée à un seul mode ♧ se fait sentir !
Et là, toute cette mise en forme de Constantin Piron me semble faire sens: l'outil matriciel manipule des états.		Est-ce que l'outil matriciel reste d'actualité au-delà du mode ♧ ? Il y a une réflexion à mener...
- Avec toutefois cette question du temps... - Oui, certes: en réintroduisant le temps comme succession, il casse la possibilité de le définir comme dimension d'un espace de Minkowski. Mais chaque chose... en son temps, précisément!		La réintroduction du temps implique, à mon sens, l'introduction du mode syntaxique ♡. Là encore, il faudra y revenir !

Représentation de Cartan

Je le note ici pour m'y référer à l'occasion:

Par définition de la relation d'équivalence sous-jacente aux propriétés, une propriété est entièrement déterminée par les états du système dans lesquels elle est actuelle.

On formalise cela ici : soit S l'ensemble de tous les états possibles du système. Nous pouvons définir µ de L dans P(S) l'ensemble des parties de S:

µ : a → µa = {E ∈ S | a ∈ E}

Cette application s'appelle le morphisme de Cartan, et l'image de L dans P(S) est appelée la représentation de Cartan.

Cette application est injective et préserve l'ordre et la borne inférieure.

Je pense que ce sera utile pour raccrocher les wagons dans notre démarche catégorique...

Notion d'orthogonalité:

Il faudra revenir en détail sur ce rapprochement entre les notions d'orthogonalité, de logique du 1^er orde et de mesure dans un article à part. (Voir la suite ici)

- Enfin nous y sommes !

- Eh oui, comme en peinture: le plus dur c'est la préparation des murs !

On dit que deux états E₁, E₂ ⊂ E sont orthogonaux (noté E₁⊥E₂) s'il existe une question α telle que :

α est vrai pour E₁ ;
α˜ est vrai pour E₂ .

L'auteur prend pour exemple l'énergie d'une particule quantique piégée dans un puit de potentiel, qui ne peut prendre qu'un ensemble de valeurs discrètes. On peut donc définir deux états E₁ et E₂, où la particule quantique a respectivement les énergies e₁ et e₂.

Ces deux états sont orthogonaux par la question α : "la particule a une énergie e₁", vraie dans l'état E₁ et fausse dans l'état E₂. Dans la représentation usuelle des états quantiques de la particule par un espace de Hilbert, les états E₁ et E₂ seront orthogonaux au sens du produit scalaire.

On dit de deux propriétés a,b ∈ L qu'elles sont orthogonales (noté a⊥b) si tous les états µa sont orthogonaux aux états µb:

a⊥b si et seulement si µa⊥µb

J'insiste peut-être un peu lourdement, mais j'espère te montrer de quelle façon extrêmement simple le concept d'orthogonalité, qui s'élabore à partir de I#, pour s'appliquer en IR, renvoit comme en miroir au principe de dualité (ou dialectique) qu s'élabore entre I1/I01 et s'explicite en I01 à partir de la plus élémentaire des catégories, celle des Ensembles.

Dans cette mise en perspective, se dégagent deux problématiques pour le physicien:

Comment passer de IR à I01 pour "faire des mesures", et c'est tout l'enjeu des 3 derniers postulats de la mécanique quantique, découlant de l'interprétation de Copenhague, et sans doute est-ce ici qu'Alain Connes pointe son nez. (note 3)
Comment passer de la mécanique quantique à la relativité, et là, le hiatus tient à la définition double du temps: (note 4)
- temps local relativiste,
- temps global du questionnement.

Maintenant, pour l'individu lambda qui doit chaque matin faire des choix et développer une politique pour définir son action, il est bien évident que la simple dialectique est un outil bien élémentaire !

Bon, j'étais parti pour une petite lecture bien tranquille de Dirac, et j'ai passé le plus clair de cette journée à n'avancer que de quelques pages préliminaires dans son traité... La sagesse voudrait que je passe à l'apéro avant la nuit tombée!

Hari.

Note 1

Cet article est dans une lignée que je file depuis ma présentation à l'atelier de logique catégorique d'Anatole Khelif, à Paris Diderot.

Voir cette présentation comme sa motivation dans les articles :

Ce dernier article étant lui-même motivé par une réflexion sur la différence morphisme/ foncteur:

"Du morphisme au foncteur - théorie des catégories #3"

Ligne de réflexions qui m'a mené à préciser la différence produit/ coproduit :

"Produit et coproduit"

Cet approfondissement m'a permis de décanter un peu mon approche :

"Pause-philo"

Me permettant de situer comme je le rappelle ici le concept de "matrice" comme pivot entre deux modes de pensées:

"Matrice"

Nous en sommes là...

Note 2

En résumé:

En I1 : l'axiome de choix différencie l'actuel du virtuel;
En I01 : au fur et à mesure des répétitions, on passe de la dichotomie à la symétrie C4;
En IR : l'hypothèse du continu fait passer, de symétries d'ordre Cn à la rotation continue;
En I# : on passerait d'une géométrie non-commutative à une géométrie commutative;
En I0 : tout est isotrope, uniformément possible.