Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
6 Juin 2019
- Anatole Khélif me propose de faire ma présentation le 12 juin, et l'article que je lui ai soumis à appui de ma demande me semble bien insuffisant pour satisfaire l'appétit des mathématiciens auxquels je vais m'adresser.
Je vais donc me mettre en mode "charrette" pour expliciter au mieux l'idée à laquelle j'étais arrivé (note 1), à savoir:
Je vais me focaliser sur ce passage I01/ IR, et le caractériser à l'aide du langage catégorique.
Pour mémoire, je rappelle qu'à partir de I01, le Sujet peut adopter soit :
L'intuition que j'ai, c'est qu'en fait le point de vue global seul n'est possible qu'en I01, et que dès le saut I01/IR, le point de vue local est privilégié, voire le seul possible.
Historiquement, ceci correspondrait à l'introduction du concept d'extension par Évariste Galois, conduisant à celui de faisceau chez Jean Leray.
Cette intuition se fonde sur la notion fondamentale, en théorie des catégories, de propriété universelle, qui consiste à définir de quelle façon "rabattre" correctement une Catégorie quelconque sur celle de Ens, la première, la plus élémentaire à être définissable en I01. (note du 13/05/21)
Nous sommes donc de plain-pied dans la situation I'm <I01 <IR, avec une approche locale d'une propriété à caractériser par un foncteur F: C→Ens, avec ici:
À noter que :
La condition à satisfaire est la suivante ;
À tout X de C, lié à A par un morphisme g "horizontal", correspond un morphisme "plongeant" f dans Ens tel que F(g)h = f.
Du point de vue de I'm : à tout morphisme de C en IR: g: A⟼X correspond une image par F(g) : F(A) ⟼ F(X) de niveau I01, en Ens, ce qui achève de définir une "transformation naturelle". (note 2)
fig. 1
Je ne peux m'empêcher de rapprocher ce morphisme h: A ⟼ F(A) du "point de capiton" dont nous parle Lacan, comme rattachant l'Imaginaire au Réel, ce qui nous permet de temps en temps de nous "raccrocher" à lui.
Il y a ici quelque chose de cet ordre: tout le "tissu" de C est pour ainsi dire rattaché à A, qui lui-même est rattaché à F(A).
"Vu de dessus", pour employer un terme de dessinateur, en écrasant I01 et IR, et en faisant coïncider A sur F(A), ce point particulier rappelle le "point fixe de Banach".(note 3).
La notion est simple à comprendre: un foncteur F tel que défini précédemment entre C et Ens, est "représentable" par un morphisme h, si nous avons réussi à rattacher à son domaine A chacun des objets de C, et si toutes les transformations naturelles ainsi définies commutent.
Avec les théorèmes de Brouwer en tête, la représentation qui me vient, c'est qu'il est équivalent de dire qu'un foncteur est représentable, ou bien que la "carte de C" en Ens coïncide en F(A) avec le point A en C qu'elle "représente".
Foncteurs covariants et contravariants
Maintenant, il faut distinguer entre deux façons symétriques de faire ce rattachement. Notre objet A étant un élément du domaine de F, alors :
| Â =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A) | Â =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X) |
 |
 |
| F contravariant | F covariant |
fig. 2
Tu noteras une différence fondamentale sur laquelle nous reviendrons (note du 08/03/2020):
Lemme de Yoneda (note du 08/03/2020)
Les transformations naturelles de  par F correspondent bijectivement aux éléments de F(A).
Voilà qui est merveilleux !
- Pourquoi cet enthousiasme?
- Parce qu'il s'agit très précisément de ce que j'appelle la "réification" d'un mouvement diachronique :
- Sauf qu'il s'agit ici d'une descente et non d'une montée !
- D'un point de vue global, pour Im, mais pas localement vu de I'm (note 2). Au passage tu constateras la symétrie par rapport à I01 entre morphisme et fonceur:
D'un point de vue global (vu de Im), il s'agit à présent, en IR, de rendre "symétrique" cette approche locale d'un "foncteur représentable". Ceci passe par la définition d'une "transformation naturelle" en IR, débarrassée de toute référence à Ens, en I01.
Soit:
Une transformation naturelle η de F→G est la donnée pour tout X de C de ηx : F(X)→G(X); telle que pour tout X et Y de C ainsi que pour tout morphisme f de C le diagramme commute:
| η contravariant | η covariant |
 |
 |
fig. 3
J'ai utilisé comme précédemment un schéma en 3D, pour représenter tout ceci, mais sans préjuger cette fois-ci d'une "différence de niveau Imaginaire" entre le domaine C et le codomaine D de F et G. (note 5)
Pour ne pas faire de jaloux, je les ai représentés verticalement. Il s'agit juste d'un confort de lecture. (note du 11/03/2020)
Soit C et D deux catégories et F et G deux foncteurs tels que :
Par définition:
F est adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F, s'il existe un isomorphisme naturel Φ du foncteur Hom(F(-);-) vers le foncteur G(-;G(-)); ceux-ci allant de Cop x D → Ens.
J'avoue avoir séché un bon moment avant de comprendre la motivation d'une telle construction.
- Et tu t'en es sorti ?
- Je n'en sais rien encore. Je vais suivre un fil conducteur en espérant qu'il ne me mènera pas dans un sac de noeuds. Ma présentation au CLE sera l'occasion d'en discuter.
Revenons aux fondamentaux.
L'idée générale c'est qu'une "prise de conscience" procède d'une rencontre entre un percept "montant" de nos sens et d'un concept "descendant" du cortex (voir J-P. Changeux).
Selon moi, chaque "niveau synchronique" est un tel lieu de rencontre, là où je contextualise l'objet.
Pour un topos, qui serait l'objet de notre "niveau synchronique", c'est la conjonction d'une catégorie et d'un crible (ou d'une topologie). Avec cette idée que l'objet "monte" quand l'environnement "descend": j'inscris mon observation dans un espace construit d'avance, comme l'oiseau construit son nid afin d'y pondre un oeuf.
Autrement dit, cette prise de conscience implique la rencontre entre "quelque chose" se référant à l'objet final (ce qui monte) et "autre chose" se référant à l'objet initial (dans la descente).
Tout rapport à l'objet initial étant de l'ordre de la multiplication quand les rapports à l'objet initial sont de l'ordre de l'addition, ceci se traduit par la coexistence au niveau de la prise de conscience, de ces deux opérations duales. (note du 08/03/2020 ter)
- Tu vas chercher loin !
- N'étant pas mathématicien, il faut bien que je me raccroche à ce qui m'est évident. Toujours est-il (et là j'anticipe), que l'on peut rattacher :
Le film que je me fais est alors le suivant: pour qu'il y ait "rencontre", l'oeuf monte (foncteur contravariant) quand le nid descend (foncteur covariant) pour se présenter l'un à l'autre en Ik: I01≤ Ik ; et le résultat est représenté en I01, c'est-à-dire dans la catégorie Ens.
- Tu parles de "monter" et "descendre", dans une vision globale, depuis Im, n'est-ce pas?
- Effectivement, la différence est relative à Im ou I'm, et ce qui est "montée" pour l'un est "descente" pour l'autre, mais la différence en elle-même est intrinsèque, et repérable des deux points de vue.
D'où l'importance de définir une sorte de complémentarité entre foncteurs covariant et contravariant, permettant de dire que l'oeuf voyage dans son nid ou que le nid transporte l'oeuf, sans que l'oeuf tombe du nid lorsque je change de syntaxe ou de point de vue (note 6).
- Admettons, mais concrètement ?
- Il faut toujours en revenir à la propriété universelle, consistant à rabattre nos descriptions en dernier ressort sur la catégorie Ens.
Or, si tu reviens à nos deux schémas (fig.2), tu vois tout de suite que pour comparer les catégories C et D, domaines de foncteurs respectivement contravariant et covariant, il faut rapporter Cop et D à Ens pour espérer y superposer leurs images.
La suite est juste une affaire de gymnastique pour se représenter la chose aussi simplement que possible! J'avoue avoir retranscrit les transformations naturelles sur un cube de carton pour tourner autour et trouver le meilleur angle de représentation, en gardant cette contrainte de projeter le tout en I01 (i.e.: CopxD→Ens).
fig. 4
La représentation de l'ensemble est délicate, en effet s'il me faut 2D pour représenter une famille de morphismes (les catégories C et D sur un "plan"), la 3ème dimension est prise par les foncteurs. Il en faudrait une 4ème pour les morphismes Φ entre foncteurs F et G... Le plan jaune du schéma serait ce 4ème plan, gardant juste une trace ponctuelle des morphismes de type Hom(FX),Y) ou Hom(X,G(Y). (note du 08/03/2020 bis)
J'espère que le schéma est assez clair pour vérifier que s'il commute, alors pour tout morphisme r de Hom(F(X),Y) : F(X)⟼Y, nous avons : Φx'y'((g◦r◦F(f)) = G(g)◦Φxy(r)◦f.
Remarque comment l'on passe d'une construction sémantique élémentaire mais fournie: les objets et morphismes de C et D (notre cube) à une syntaxe les regroupant (la projection en IR), sans compter le dernier pas qu'il reste à franchir pour tomber sur I01. J'ai l'étrange impression que notre effort pour maîtriser la multitude d'objets qui s'offrent naturellement au regard, nous pousse à complexifier les rapports que nous tissons entre leurs représentations. Une complexité chasse l'autre.
J'ai prétendu qu'un niveau synchronique était le lieu de rencontre entre l'oeuf et le nid, le premier en référence à l'objet final, le second à l'objet initial. Et bien il est temps de vérifier tout ceci.
- C'est-à-dire?
- Que les traces de ces objets doivent être repérables par quelque chose de l'ordre de l'identité, comme le morphisme identité remonte le concept d'objet final de I1 à I01. Pour cela, nous allons partir de ce cube (fig. 4) qui m'a donné tant de mal.
Unité
Co-unité
fig. 5
Cette fois-ci, la représentation la plus simple est frontale, celle de la feuille de papier. En gardant cet angle de vue, il est aisé de comprendre que tout morphisme de Φ peut s'exprimer à partir des unité et co-unité:
| Unité | Co-unité |
 |
 |
fig. 6
- Mais quelle est l'intérêt de toute cette gymnastique ?
- Je te rappelle que nous nous intéressons aux symétries et surtout aux ruptures de symétrie.
C'était évident avec la définition d'une "propriété universelle", ou du lemme de Yoneda, et concernait directement la projection d'un catégorie topologique en IR, vers Ens en I01. La discussion portait sur une symétrie entre morphismes constituant les foncteurs projetés en I01 (i.e.:covariant/ contravariant).
Ensuite, nous avons discuté d'une mise en rapport par un isomorphisme Φ de deux foncteurs de sens opposé (F: C→D et G: D→C) entre catégories quelconques. Brisure qui amène à distinguer adjoint "à gauche"/ "à droite" et aboutit à une différence entre unité et co-unitée qui apparaît dans les deux relations: ΦX,Y(r)=G(r)◦ηX et Φ-1X,Y(u)= εY◦F(u).
Il nous reste à suivre la trace de cette différence jusqu'en Ens, pour nous en faire un tableau d'ensemble.
Produit
Soit
Coproduit (ou somme)
Soit
| Produit | Coproduit |
 |
 |
fig. 7
Dans ces définitions, quoique la "distance" entre la catégorie domaine et codomaine soit effacée, la problématique est semblable à celle que nous avons vue au sujet des foncteurs variant/ contravariant.
- Sauf que dans le cas présent, le morphisme f qui serait ici l'équivalent du morphisme représentant un foncteur F change de sens. La dissymétrie ne porte plus sur la différenciation entre une catégorie C (topologique a priori) et Ens, mais au sein d'une même catégorie entre X⟼Y et Y⟼X.
- Tu as raison, à vouloir tout mettre dans le même moule, je risque de passer à côté de l'essentiel... Je te propose d'en rester là pour ce billet, et de reprendre cette question sous un autre angle dans le prochain.
Aux remarques de l'auditoire à qui j'ai fait cette présentation, et bien que je me sois contenter d'évoquer les notions les plus élémentaires de la théorie, il semble bien que mon questionnement, comme ma mise en perspective, demandent d'y méditer !
Hari
J'ai tourné autour de cette notion assez longtemps et cette présentation qui me semble aujourd'hui évidente, a suivi un chemin bien tortueux avant de m'apparaître clairement, signe de mon grand âge, sans doute !
Pour la petite histoire: mon idée première était de la situer dans un étagement "général" après les deux autres notions de base: morphisme et foncteur.
Mais tout ce travail est fondé sur une vue globale du Sujet en Im, en position ex post : Isémantique < Isyntaxe < Im . Voir :
J'avais à l'époque tout juste noté la dualité local/ global:
sans prendre conscience de toute sa portée, impliquant le renversement noté en préambule : I'm < Isyntaxe < Isémantique . (note 1)
Ceci implique une relativité des points de vue de I'm et Im quant à l'élaboration des concepts syntaxiques en I01 à force de répétition (toujours le "etc."). Autrement dit : non avons là une symétrie, qui se brise en dessous de I01.
Le vrai saut diachronique I01/ IR ne tient donc pas à la nature d'outils, déjà là, mais à la différence entre le discret et le continu (i.e.: l'hypothèse du continu et de séparabilité). C'est pourquoi il importait ici d'introduire en premier le concept de propriété universelle.
Note sur la démarche:
Que l'on me comprenne bien: il est toujours utile, dans une phase de construction de procéder par étapes, en discriminant autant que faire ce peut entre concepts diachroniques/ synchroniques, mais la construction qui en résulte se révélera a posteriori, une fois les schémas de pensée "assimilés", assez évidente pour "s'aplatir" d'elle-même.
Les seuls sauts qui restent après décantation sont de véritables ruptures de symétrie (toujours Noether) dans l'Imaginaire du Sujet; qui se repèrent en mathématiques comme "axiomes": du choix, du continu etc...
En l'occurrence :
Ceci nous ramène à mes réflexion de début 2017 sur les théorèmes de Brouwers, que j'avais découvert en lisant "Conceptual mathematics" de Lawvere.
Voir ma façon d'y arriver dans "présentation au Groupe de travail CLE" à partir de la notion de tribu.
Il y a un petit effort de représentation à faire à ce sujet:
Réflexion qui nous ramène à Lebesgue: le volume est fondamentalement l'espace naturel de nos représentations.
Nous en revenons toujours à une discussion qui nous a beaucoup occupé, concernant la différence entre une simple répétition du même et un véritable saut diachronique.
La nécessité est de même nature que celle pointée par Galilée pour expliquer la chute des corps.
C'est ici le point de départ de toutes mes cogitations ultérieures concernant la différence de points de vue entre Im et I'm., allant jusqu'à reconsidérer notre représentation du temps en IR.
Pour en suivre le fil pas à pas, il faut se rapporter à l'article :
Concernant le lemme de Yoneda: j'en reparle ici, après bien des réflexions sur la constitution du Moi du Sujet:
L'espace 3D, purement Imaginaire nécessaire à la représentation de mes deux foncteurs en IR me fait irrésistiblement penser à des réflexions qui me sont venues dernièrement au sujet des algèbres de Clifford et du quaternion:
Voir les développements ultérieurs à partir de là:
Voir le mise au point que j'ai faite sur ce schéma qui m'a donné plus de fil à retordre que l'on pourrait le penser.
Après avoir écrit l'article "bouclage Imaginaire", il me faut reprendre tout mon développement concernant les foncteurs et transformations naturelles.
J'en profite pour relever ici une compréhension fautive de ma part de ce qu'est une "propriété universelle", qui se définit comme "la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur. De très nombreux objets classiques des mathématiques, comme la notion de produit cartésien, de groupe quotient, ou de compactifié, peuvent être définis comme des solutions de problèmes universels".
Soit F un foncteur d'une catégorie C dans la catégorie des ensembles ; un couple (A, θ) où A est un objet de C et θ ∈ F(A) est « solution du problème universel posé par F » si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :
Le foncteur F est le foncteur associé à la propriété universelle.
Lorsqu'il existe une solution (A,θ) au problème universel posé par F, la propriété universelle établit:
Ceci dit, on retombe bien sur le lemme de Yoneda, qui m'intéresse dans cette présentation.
Ce que je développe dans l'article n'est donc qu'une des multiples facettes de la propriété universelle.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une propriété universelle est
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