Schémas d'actions #3 — Une idée collante

Le 19/ 08/ 2024 — Madrid

- Comme souvent, c'est en écrivant vite fait (à l'heure de l'apéro), la fin de l'article d'hier, qu'une idée s'est faufilée dans l'interligne d'un échange, et profitant des 660 km de route d'aujourd'hui, elle ne m'a pas lâché depuis, d'où l'impérieuse envie de la scotcher sur ce blog, pour m'en débarrasser.

- De quoi parles-tu ?

- De ma réponse à ta remarque :

"... Il y a une réflexion à mener sur le fait que l'intercession du mode ♢ est nécessaire, pour assurer le passage de ♡𓁜 à ♧𓁜., et que ce passage, dans une perspective (☯𓁝𓁜☯) implique le passage de l'objet initial (i.e.: 𓁝[∅]) à l'objet final (i.e.: [∃]𓁜), ce qui rejoint un grand principe : "du vide tout peut advenir".
- À classer au même titre que "un bord n'a pas de bord" ?
- À ceci près que nous avons changé de perspective entre les deux principes."

Or, en ruminant le non-dit, il me semble que derrière leur apparente banalité, ces deux "principes" peuvent se révéler d'une grande fécondité, pour peu l'on se donne la peine de les mettre en perspective.

- C'est fumeux ton truc, accouche donc !

- Dire que "du vide tout peut advenir" est d'une très grande banalité, mais c'est également une "propriété universelle" absolument indispensable en théorie des catégories. Et avec la propriété universelle complémentaire concernant l'objet final, c'est ce qui structure complètement la perspective objective (☯𓁝𓁜☯)...

- Tu radotes, mon ami, tu radotes : c'est acquis depuis des lustres...

- Oui, certes, mais pose-toi la question : si n'importe quoi peut advenir à partir du vide 𓁝[∅]☯, qu'est-ce qui va déterminer l'objet de ton attention dans le retournement 𓁝☯⏩☯𓁜?

- Tu es encore en tête une dualité intrication/ décohérence entre :

des états corrélés (virtuels) dans l'attitude d'expectative 𓁝☯,
avec le retournement de posture provoquant l'actualisation ☯𓁜 d'une virtualité ?

- Tout juste. Mais tu n'as pas répondu à la question : qu'est-ce qui déclenche l'actualisation particulière que tu vas pouvoir identifier, représenter ou mesurer ?

- Je sèche...

- Nous sommes ici dans l'attention du Sujet...

- OK, l'intention du Sujet se discute dans une approche orthogonale (♧𓁝𓁜♡)!

- Voilà, et là, tu retrouves notre seconde lapalissade : "un bord n'a pas de bord". Et donc "l'objet de discours" qui se dessine dans le retournement premier (𓁝☯⏩☯𓁜), détermine la frontière dudit discours !

- Ou bien, c'est cette frontière qui délimite l'objet...

- Si tu veux : nous ne sommes plus ici dans un schéma de cause à effet, limité à une logique du 1^er ordre... Je ne sais pas si tu te rends compte de tout le travail de relecture qui nous attend !

- Pas trop...

- Lorsque JP Changeux parle de rencontre entre un concept et un percept, nous avions en tête une sorte de dualité simple : le percept monte des sens, le concept descend des lobes cérébraux, et la rencontre se fait dans l'hypothalamus, c'est bel et bon, mais l'erreur vient de mettre sur un même plan les deux systèmes, quand :

La montée des percepts se fait en (☯𓁝𓁜☯),
La descente des concepts se fait en (♧𓁝𓁜♡).

Pareil pour les deux premiers entendements de Spinoza : j'ai longtemps utilisé les symboles S↑ et S↓ pour parler du duo immanence—S↑ / S↓—transcendance, mais là encore, se glisse une orthogonalité entre les deux perspectives:

Immanence—S↑ en (☯𓁝𓁜☯)
Transcendance—S↓ en (♧𓁝𓁜♡)

Il faut tout reprendre, mon vieux...

- Mais est-ce éclairant?

- Comme le phare d'Ouessant par une nuit sans Lune!

Reviens une seconde sur la forme canonique de Lévi-Strauss. La femme ne colle pas avec son totem "engoulevent". Que fait le conteur du mythe ?

Il détruit Engoulevent, et donc le Sujet qui l'écoute, en posture 𓁝☯ est objectivement face à un vide 𓁝[∅]☯
Vide d'où tout peut advenir, même l'impensable comme le fait qu'une femme (facteur de désordre), puisse maîtriser une technique délicate, et pour cela,
Il suffit que le conteur en ait l'intention !
- Engoulevent qui monte au Ciel pour y mourir laisse le Sujet en 𓁝[∅]☯
- L'attention du Sujet est ensuite focalisée sur le surgissement de la terre à poterie, mais l'actualisation de cette virtualité dans le mouvement (𓁝☯⏩☯𓁜) est déclenchée par :
- L'intention du conteur ♡𓁜↓ transmise au Sujet 𓁝♧ (Note 1)

- Tu sais à quoi ça me fait penser ?

- Raconte...

- Aux amplis ops de ma jeunesse. L'intention agit comme le triggeur (signal très faible) qui permet de déclencher le passage ou pas du courant principal...

- Si tu veux dire qu'une intention de faible énergie en (♧𓁝𓁜♡) peut mobiliser une importante énergie du Sujet en (𓁝☯⏩☯𓁜), oui, pourquoi pas; en tout cas ce serait une analogie intéressante à développer. (Note 3)

Bon, j'arrête là ce court texte (Midori commence à avoir faim), mais il faudra bien entendu y revenir sérieusement car, j'espère que tu l'auras compris: tout le développement de la cohomologie doit se réduire à l'articulation de ces deux lapalissades...

- Chiche de le développer avant le colloque de Mondovi (Note 2) ?

- Pas évident.

Le 21/ 08/ 2024 — Madrid :

- J'aimerais bien que tu développes un peu ton " tout le développement de la cohomologie doit se réduire à l'articulation de ces deux lapalissades", car au risque de te décevoir, ça ne me paraît pas évident au premier coup d'oeil.

- Reviens à cette vidéo de Pierre Billet qui m'avait beaucoup donné à réfléchir lorsque nous nous intéressions au sujet : (voir "La cohomologie et toutes ces sortes de choses")

Basile PIllet - Cohomologie des figures impossibles

Il s'agit de montrer que la construction du triangle de Penrose est impossible.

Ce que nous disions à l'époque n'est pas faux, mais j'ai loupé malgré tout cette orthogonalité entre l'objet du problème et la façon d'y réfléchir. Reprends notre discussion d'alors :

"- ... Si je suis le fil de cette vidéo, je comprends que le Sujet s'interroge en mode relationnel ♢ passant de la géométrie à la topologie, ce qui lui permet de décomposer la figue 2D en parties_#^♢ U1, U2, U3, pour tenter de comprendre leur recollement (aux points A1-A2, B1-B3 & C2-C3) dans un tout identifiable.

L'approche cohomologique se caractériserait alors par la transformation d'un question géométrique_#^♧ en une question algébrique_⚤^♢portant sur des recouvrements_#^♢. C'est ce que symbolise cette image de la vidéo de Pillet.

- Mais en quoi, précisément consiste ce passage ([⚤]𓁝⋂𓁜[#])^♢ ?

(ε)- Si tu restreins le questionnement à une seule dimension, en l'occurrence la profondeur, ou distance de l'objet au Sujet (i.e. ℝ), alors tu introduis une notion d'ordre en [⚤]𓁜 entre des points vus 𓁝[#]. C'est le même problème que celui des pistes de ski (portant sur l'altitude cette fois-ci), présenté par Bourget comme 1^er exemple, à 7' de sa vidéo. Et c'est ce que nos deux auteurs présentent comme le fait d'attacher un nombre à des êtres topologiques.

Je crois qu'il est là le changement de perspective :

En 𓁝[#] ^♢, une figure est représentable comme un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel;
En [⚤]𓁜^♢,les relations entre éléments portent sur une relation linéaire sur une seule coordonnée.

Vois-tu maintenant, comment la dualité
— espace vectoriel V / Espace des applications linéaires V*=L(V,ℝ)— permet d'exprimer le passage ([⚤]𓁝⋂𓁜[#])^♢ dans un langage matriciel ?."

Il est certain qu'il est bien en mode ♢ "relationnel", que j'appelle aujourd'hui "mode syntaxique";
Il y a bien une régression du niveau géométrique_#^♧ au niveau algébrique_⚤^♢;
Il est vrai que l'on ne traite que d'une dimension à la fois;

Mais je n'ai pas conduit ma réflexion assez loin et je vais patiner comme cela au fil de nombreux textes, je te fais grâce de la liste. Reprenons la problématique de façon à mettre en lumière notre duo (𓁝☯⏩☯𓁜)/(♧𓁝𓁜♡).

De point de vue objectif (𓁝☯⏩☯𓁜), il s'agit de passer d'une collection de 3 images en 2D à un hypothétique triangle de Penrose en 3D;
Le problème s'exprime par le langage mathématique en (♧𓁝𓁜♡);
Le niveau de la rencontre se fait en [⚤]𓁜^♢

Mais il faut désormais comprendre que l'essence de l'algèbre est d'être un discours (♧𓁝𓁜♡) qui ne sait dire qu'une chose : ""un bord n'a pas de bord".

Le 23/ 08/ 2024 — Pau :

- Retour à Pau pour la fin de l'exposition de Midori. La ville est magnifique et paisible. Pas trop envie de m'y mettre, cependant, une question parvient à flotter dans cette ambiance paisible :
"es-tu sûr que cette petite phrase "un bord n'a pas de bord" soit une nouveauté dans notre façon de penser ?"
Et d'abord à quand remonte son utilisation ?

Par curiosité, j'ai posé la question à mes 2 IA préférés ChatGPT et Mistral, qui toutes deux m'ont renvoyé à Zénon d'Élée et Aristote/ Platon. Chat GPT en dit un peu plus en faisant référence au Moyen Âge à Nicolas de Cès ou Giordano Bruno, mais leur préoccupation porte plutôt sur les concepts de finitude ou d'infinitude du Monde.

- On reste donc dans une approche (𓁝☯⏩☯𓁜)?

- Oui, j'ai alors voulu être plus précis en parlant d'utiliser cette propriété pour étayer un raisonnement quelconque.

- Résultat ?

- Peu concluant, j'ai repris la réponse de Mistral en Note 4, pour que tu juges sur pièces. Le seul lien à suivre pourrait être Jean Cavaillès, que j'avoue ignorer (bien qu'à la réflexion plusieurs amis aient déjà tenté de m'y intéresser)...

- À suivre donc ?

- Oui, et au plus vite (voir #4) d'après ce que j'ai lu de sa fiche Wikidépia !

Hari

Note 1 :

J'y vais à la louche. Pour une exposition détaillée du cas, il faudrait recentrer tout le discours en mode ♢ et préciser les niveaux. Mais ce qui nous intéresse ici, surtout, ce sont les mouvements du Sujet 𓁝𓁜, et de quelle façon ce mouvement en (☯𓁝𓁜☯) est conditionner par une réflexion sémantique en (♧𓁝𓁜♡). Comme le dit Lacan (et il n'est certes pas le seul), l'Homme est un être de parole !

Note 2 :

Séminaire "Topos in Mondovi" du 4 au 11 septembre de l'Instituto Grothendieck, avec comme comité scientifique :

Olivia Caramello;
Alain Connes;
Laurent Lafforgue

J'ai hâte d'y être !

Note 3 :

Bien entendu le plus immédiat dans cette analogie avec les amplis op, c'est que la sortie, bouclée sur l'entrée entretient le signal. Autrement dit, l'observation en (☯𓁝𓁜☯) une fois déclenchée s'auto-entretient et n'a plus besoin d'une intention explicite en (♧𓁝𓁜♡) pour perdurer... Lorsque je "vois" une roue de voiture, je n'ai plus conscience qu'il s'agit d'une "roue de voiture pour moi", au point même que d'utiliser cet exemple de "roue" pour parler de l'intention qui a conduit à sa réalisation et guide son usage, passe au-dessus de la tête de la plupart des gens...

Dans cet ordre d'idée, il faudrait reprendre ce que nous avons pu dire de l'habitus de Bourdieu, et de l'aisance avec laquelle les sociétés se font manipuler, comme des spectateurs par un magicien sur scène... Comme tu le vois, il y aurait beaucoup à développer!

Note 4 :

Échange avec Mistral :

"Q— L'assertion logique que "un bord n'a pas de bord" a-t-elle été étudiée par les philosophes s'intéressant à la logique, depuis les Grecs jusqu'à Descartes ?

R— L'assertion logique "un bord n'a pas de bord" est une proposition qui peut être interprétée de différentes manières et qui a été abordée par divers philosophes à travers l'histoire, bien que pas nécessairement sous cette forme exacte. Voici quelques perspectives philosophiques qui pourraient être pertinentes :

Les Présocratiques : Les philosophes présocratiques, comme Parménide et Zénon d'Élée, se sont intéressés aux paradoxes et aux limites de la réalité. Parménide, par exemple, a soutenu que le changement et la multiplicité sont des illusions, ce qui pourrait être lié à l'idée qu'un bord (une limite) n'a pas de bord (n'a pas de limite).
Platon : Dans ses dialogues, Platon explore souvent les concepts de limites et de formes idéales. Par exemple, dans le "Timée", il discute des propriétés géométriques et des limites des objets, ce qui pourrait être interprété comme une réflexion sur les bords et leurs propriétés.
Aristote : Aristote, dans sa "Métaphysique" et ses "Catégories", aborde les concepts de limites et de frontières. Il discute des propriétés des objets et de leurs limites, ce qui pourrait être pertinent pour comprendre l'assertion "un bord n'a pas de bord".
Les Stoïciens : Les philosophes stoïciens, comme Chrysippe, ont exploré les paradoxes logiques et les limites de la connaissance. Leurs travaux sur la logique et les paradoxes pourraient offrir des perspectives sur l'assertion en question.
Les Médiévaux : Les philosophes médiévaux, comme Thomas d'Aquin, ont discuté des concepts de limites et de frontières dans le cadre de leurs réflexions sur la métaphysique et la logique. Ils ont souvent abordé des questions similaires à celles des Grecs, mais avec une perspective théologique et logique.
Descartes : René Descartes, dans ses "Méditations métaphysiques" et ses "Principes de la philosophie", explore les concepts de limites et de frontières, notamment en ce qui concerne la distinction entre l'esprit et le corps. Bien qu'il ne traite pas directement de l'assertion "un bord n'a pas de bord", ses réflexions sur les limites de la connaissance et de la réalité sont pertinentes.

En résumé, bien que l'assertion "un bord n'a pas de bord" ne soit pas explicitement discutée sous cette forme par les philosophes de l'Antiquité à Descartes, les concepts de limites, de frontières et de paradoxes logiques ont été largement explorés par ces penseurs. Leurs travaux offrent des perspectives riches et variées pour comprendre et interpréter cette assertion."

De cet échange, seul ressort la possibilité d'une correspondance avec les Stoïciens.

"Q— Donne un exemple chez les stoïciens.

R— Les Stoïciens, en particulier Chrysippe, sont connus pour leur intérêt pour les paradoxes logiques et les limites de la connaissance. Un exemple pertinent de leur réflexion sur les limites et les bords peut être trouvé dans leur discussion des paradoxes de mouvement et de division.

Le Paradoxe de la Dichotomie : Un des paradoxes les plus célèbres associés aux Stoïciens est le paradoxe de la dichotomie, souvent attribué à Zénon d'Élée mais également discuté par les Stoïciens. Ce paradoxe affirme qu'un objet en mouvement ne peut jamais atteindre sa destination parce qu'il doit d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la distance restante, et ainsi de suite à l'infini.
Chrysippe et les Limites : Chrysippe, un des principaux philosophes stoïciens, a abordé des questions similaires en discutant des limites et des divisions. Par exemple, il a exploré l'idée que toute division d'un objet en parties plus petites peut être poursuivie indéfiniment, ce qui pose des questions sur la nature des bords et des limites.
Le Paradoxe du Tas : (Sorite) Un autre exemple pertinent est le paradoxe du tas (ou sorite), qui a été discuté par les Stoïciens. Ce paradoxe pose la question de savoir à quel moment un tas de grains de sable cesse d'être un tas lorsqu'on en retire des grains un par un. Ce paradoxe soulève des questions sur les limites et les bords, car il met en lumière la difficulté de déterminer où se situe la limite entre un tas et un non-tas.

Réflexions sur les Limites :
Les Stoïciens, en général, étaient intéressés par les questions de limites et de frontières dans le cadre de leur logique et de leur métaphysique. Ils cherchaient à comprendre comment les objets et les concepts peuvent être délimités et comment ces limites peuvent être définies de manière cohérente. Conclusion:
Bien que les Stoïciens n'aient pas nécessairement formulé l'assertion "un bord n'a pas de bord" de manière explicite, leurs discussions sur les paradoxes de mouvement, de division et de limites offrent des perspectives riches et variées pour comprendre et interpréter cette assertion. Leurs réflexions sur les limites et les frontières montrent qu'ils étaient profondément engagés dans des questions similaires à celles soulevées par cette assertion."

Comme tu le vois, nous faisons chou-blanc : nous restons toujours en (☯𓁝𓁜☯)

Pour corser la chose, j'étends la demande aux philosophes postérieurs à Descartes, en me souvenant d'une passage où Deleuze parle de la différence de perception des frontière d'un champ entre un pasteur (espace ouvert) et un agriculteur "clôture de l'espace". Curieux de voir si Mistral va me ressortir la référence.

"Q— même question concernant les philosophes postérieurs à Descartes

R— Après Descartes, de nombreux philosophes ont continué à explorer les concepts de limites, de frontières et de paradoxes logiques. Voici quelques exemples de philosophes postérieurs à Descartes qui ont abordé des questions similaires à l'assertion "un bord n'a pas de bord" :

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): Leibniz, un contemporain de Descartes, a beaucoup réfléchi sur les questions de limites et de divisions. Il a développé la théorie des monades, qui sont des unités indivisibles et indépendantes. Selon Leibniz, les monades n'ont pas de parties et, par conséquent, n'ont pas de bords. Cette idée peut être vue comme une exploration de la notion de limites et de frontières à un niveau fondamental.
Emmanuel Kant (1724-1804) : Kant, dans sa "Critique de la raison pure", explore les limites de la connaissance humaine. Il discute des antinomies, qui sont des paires de propositions contradictoires qui semblent toutes deux vraies. Par exemple, l'antinomie de la divisibilité de la matière pose la question de savoir si la matière est divisible à l'infini ou si elle est composée de parties indivisibles. Cette discussion est pertinente pour comprendre les limites et les bords des objets.
Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) : Hegel, dans sa "Science de la logique", aborde les concepts de limites et de frontières dans le cadre de sa dialectique. Il discute de la manière dont les concepts se transforment et se dépassent, ce qui peut être interprété comme une exploration des limites et des bords des concepts eux-mêmes. Hegel soutient que les limites ne sont pas fixes mais sont en constante évolution.
Ludwig Wittgenstein (1889-1951) : Wittgenstein, dans ses "Recherches philosophiques", explore les limites du langage et de la pensée. Il discute des jeux de langage et de la manière dont les mots acquièrent leur signification dans des contextes spécifiques. Cette réflexion sur les limites du langage peut être vue comme une exploration des bords et des frontières des concepts linguistiques.
Bertrand Russell (1872-1970) : Russell, dans ses travaux sur la logique et les paradoxes, aborde des questions similaires à celles des Stoïciens. Par exemple, le paradoxe de Russell, qui concerne l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, pose des questions sur les limites et les bords des ensembles. Ce paradoxe montre que certaines limites logiques peuvent conduire à des contradictions.

Conclusion :
Les philosophes postérieurs à Descartes ont continué à explorer les concepts de limites, de frontières et de paradoxes logiques. Leurs réflexions offrent des perspectives variées et riches pour comprendre et interpréter l'assertion "un bord n'a pas de bord". Que ce soit à travers la théorie des monades de Leibniz, les antinomies de Kant, la dialectique de Hegel, les jeux de langage de Wittgenstein ou les paradoxes de Russell, ces philosophes ont tous contribué à notre compréhension des limites et des bords.

- Bertrand Russel peut-être ?

- À vérifier, mais je l'ai relancé sur Deleuze :

"Q— Et Deleuze ?

R— Gilles Deleuze (1925-1995) est un philosophe contemporain dont les travaux offrent des perspectives uniques sur les concepts de limites, de frontières et de bords. Deleuze est particulièrement connu pour ses réflexions sur la différence, le devenir et la multiplicité, qui peuvent être pertinentes pour comprendre l'assertion "un bord n'a pas de bord".

La Différence et la Répétition Dans son ouvrage "Différence et répétition" (1968), Deleuze explore les concepts de différence et de répétition. Il critique la notion traditionnelle de l'identité et de la représentation, et propose une ontologie de la différence. Pour Deleuze, les objets et les concepts ne sont pas définis par des limites fixes, mais par des processus de différenciation et de devenir. Cette perspective peut être interprétée comme une exploration des bords et des frontières en tant que processus dynamiques plutôt que comme des limites statiques.
Le Pli : Leibniz et le Baroque : Dans "Le Pli : Leibniz et le Baroque" (1988), Deleuze s'inspire de la philosophie de Leibniz pour développer une théorie du pli. Il explore comment les objets et les concepts peuvent être vus comme des plis dans un tissu continu. Cette idée de pli peut être interprétée comme une manière de penser les bords et les frontières non pas comme des limites rigides, mais comme des points de flexion et de transformation.
Mille Plateaux : Dans "Mille Plateaux" (1980), co-écrit avec Félix Guattari, Deleuze développe une philosophie du rhizome, qui s'oppose à la structure arborescente traditionnelle. Le rhizome est une structure décentrée et non hiérarchique, où les connexions et les relations sont multiples et dynamiques. Cette perspective peut être vue comme une exploration des bords et des frontières en tant que zones de connexion et de transformation plutôt que comme des limites fixes.
La Logique du Sens : Dans "La Logique du Sens" (1969), Deleuze explore les concepts de sens et de non-sens. Il propose une logique du sens qui ne repose pas sur des catégories fixes, mais sur des processus de différenciation et de devenir. Cette perspective peut être interprétée comme une exploration des bords et des frontières en tant que zones de transition et de transformation.

Conclusion :
Les travaux de Deleuze offrent des perspectives riches et variées pour comprendre et interpréter l'assertion "un bord n'a pas de bord". En critiquant les notions traditionnelles de l'identité et de la représentation, et en proposant une ontologie de la différence et du devenir, Deleuze invite à penser les bords et les frontières non pas comme des limites fixes, mais comme des processus dynamiques de transformation et de connexion. Ses concepts de pli, de rhizome et de logique du sens sont particulièrement pertinents pour cette réflexion."

Là, je crois que l'on assiste chez Deleuze—Guattari à une prise de conscience de la possibilité d'un autre discours que celui tenu ordinairement !

Par ailleurs cette idée de "pli" dans un tissu correspond tout à fait à notre repérage par niveaux/ modes, comme points d'accrétion des idées sur notre Imaginaire représenté par une surface topologique. Il faudra creuser un peu...

Ceci dit, l'orthogonalité qui nous occupe n'est pas vue : rhizome et structure arborescente sont tous deux compris dans une perspective (☯𓁝𓁜☯)...

- Et Russel ?

- Les paradoxes qu'il soulèvent sont toujours en (☯𓁝𓁜☯). Non, bien qu'il y ai certainement à creuser du côté de Deleuze (quoiqu'il se soit bien planté en filant le train à Henri Bergson pour nous parler du temps !), a priori aucun philosophe n'a perçu la nouveauté du raisonnement mathématique qui préside à la construction des groupes d'homologie.

Pour en avoir le coeur net, j'ai poursuivi le dialogue avec Mistral (l'habitude vient vite pour un flemmard comme moi !)

"Q— qui a introduit en maths le concept de groupe d'homologie

R— Le concept de groupe d'homologie a été introduit en mathématiques par Henri Poincaré (1854-1912), un mathématicien français qui a joué un rôle fondamental dans le développement de la topologie algébrique.

Henri Poincaré et la Topologie Algébrique : Henri Poincaré est souvent considéré comme le fondateur de la topologie algébrique. Dans son célèbre article "Analysis Situs" (1895), Poincaré a introduit les concepts de base de la topologie combinatoire, qui est une branche de la topologie algébrique. Il a développé des méthodes pour étudier les propriétés topologiques des espaces en utilisant des outils algébriques.
Les Groupes d'Homologie : Les groupes d'homologie sont des invariants algébriques qui permettent de classer les espaces topologiques en fonction de leurs propriétés de connexion. Poincaré a introduit les premiers groupes d'homologie, connus sous le nom de groupes de Betti, pour étudier les propriétés topologiques des variétés. Ces groupes sont nommés en l'honneur d'Enrico Betti, un mathématicien italien qui avait travaillé sur des concepts similaires avant Poincaré.
Développements Ultérieurs : Après Poincaré, le concept de groupe d'homologie a été développé et formalisé par d'autres mathématiciens, notamment Emmy Noether, Leopold Vietoris, Walther Mayer, et Solomon Lefschetz. Ces mathématiciens ont contribué à la théorie de l'homologie en introduisant des concepts plus rigoureux et en développant des techniques plus avancées pour calculer les groupes d'homologie.

Conclusion :
Henri Poincaré est le mathématicien qui a introduit le concept de groupe d'homologie dans son article "Analysis Situs" en 1895. Ce concept a été fondamental pour le développement de la topologie algébrique et a permis de classer les espaces topologiques en fonction de leurs propriétés de connexion. Les travaux de Poincaré ont jeté les bases de cette branche des mathématiques, et ses idées ont été développées et formalisées par de nombreux mathématiciens ultérieurs."

Tu vois donc la charpente mathématique de l'épistémè que nous sommes en train de dégager :

Évariste Galois;
Henri Poincaré;
Emmy Noether;
Alexandre Grothendieck

Mais, encore une fois sous réserve d'inventaire, aucun philosophe n'a pris véritablement conscience du séisme intellectuel contemporain (2 siècles ce n'est rien dans l'histoire de l'Humanité)...

- Vérifie quand même...

"Q— Quels philosophes ont-ils discuté du travail de Galois ou de Poincaré autour de la théorie des groupes ?

R— La théorie des groupes, développée par des mathématiciens comme Évariste Galois et Henri Poincaré, a eu un impact significatif non seulement en mathématiques, mais aussi en philosophie. Plusieurs philosophes ont discuté des implications philosophiques de ces travaux, en particulier en ce qui concerne la nature de la connaissance mathématique, la structure de la réalité et les fondements de la logique. Voici quelques exemples de philosophes qui ont abordé ces questions :

Ernst Cassirer (1874-1945) : Ernst Cassirer, un philosophe néo-kantien, a discuté des travaux de Galois et de Poincaré dans le cadre de sa philosophie des formes symboliques. Dans son ouvrage "Substance et Fonction" (1910), Cassirer explore comment les concepts mathématiques, y compris ceux de la théorie des groupes, influencent notre compréhension de la réalité. Il voit dans ces concepts des exemples de la manière dont la pensée humaine structure et interprète le monde.
Bertrand Russell (1872-1970) : Bertrand Russell, un philosophe et logicien britannique, a également discuté des implications philosophiques de la théorie des groupes. Dans ses travaux sur les fondements des mathématiques, notamment dans "Principia Mathematica" (co-écrit avec Alfred North Whitehead), Russell explore comment les structures algébriques, y compris les groupes, peuvent être formalisées et intégrées dans une théorie logique cohérente.
Jean Cavaillès (1903-1944) : Jean Cavaillès, un philosophe et mathématicien français, a été profondément influencé par les travaux de Galois et de Poincaré. Dans son ouvrage "Sur la logique et la théorie de la science" (1947), Cavaillès discute des implications philosophiques de la théorie des groupes et de la topologie. Il voit dans ces concepts des exemples de la manière dont les mathématiques révèlent des structures fondamentales de la réalité.
Gilles Deleuze (1925-1995) : Gilles Deleuze, bien que principalement connu pour ses travaux en philosophie continentale, a également été influencé par les mathématiques, y compris la théorie des groupes. Dans ses ouvrages comme "Différence et Répétition" (1968), Deleuze utilise des concepts mathématiques pour explorer des questions philosophiques. Bien qu'il ne discute pas directement des travaux de Galois ou de Poincaré, ses réflexions sur la différence et la multiplicité sont influencées par des structures mathématiques similaires.
Alain Badiou (né en 1937) : Alain Badiou, un philosophe contemporain, a intégré des concepts mathématiques, y compris la théorie des groupes, dans sa philosophie. Dans son ouvrage "L'Être et l'Événement" (1988), Badiou utilise des concepts mathématiques pour développer une ontologie fondée sur la théorie des ensembles. Il voit dans les structures mathématiques des outils pour comprendre la nature de l'être et de l'événement.

Conclusion :
Les travaux de Galois et de Poincaré sur la théorie des groupes ont eu un impact significatif sur la philosophie, en particulier en ce qui concerne la nature de la connaissance mathématique et la structure de la réalité. Des philosophes comme Ernst Cassirer, Bertrand Russell, Jean Cavaillès, Gilles Deleuze et Alain Badiou ont tous discuté des implications philosophiques de ces concepts, en les intégrant dans leurs réflexions sur la logique, la métaphysique et l'épistémologie."

- Bon, tu avais raison, j'ai encore beaucoup à apprendre, en particulier de Jean Cavaillès que j'ignore totalement. Cependant, l'expression de Mistral sur "les structures fondamentales de la réalité" me laissent présumer qu'il doit rester en (☯𓁝𓁜☯). Quant à Deleuze, il s'agirait de savoir à quels concepts mathématiques il fait référence.

- Il n'y a qu'à demander :

"Q— À quels concepts mathématiques particuliers Deleuze fait-il explicitement référence dans différence et répétitions ?

R— Dans "Différence et Répétition" (1968), Gilles Deleuze fait explicitement référence à plusieurs concepts mathématiques pour illustrer et développer ses idées philosophiques. Voici quelques-uns des concepts mathématiques particuliers qu'il utilise :

Calcul différentiel et intégral : Deleuze utilise le calcul différentiel et intégral pour explorer les notions de différence et de devenir. Il s'intéresse particulièrement à la manière dont les dérivées et les intégrales permettent de comprendre les processus de changement et de transformation. Le calcul différentiel, en particulier, est utilisé pour illustrer comment les différences infinitésimales peuvent générer des structures complexes.
Séries et suites : Deleuze discute des séries et des suites pour explorer les concepts de répétition et de différence. Il utilise les séries convergentes et divergentes pour illustrer comment les répétitions peuvent produire des différences qualitatives. Les séries mathématiques sont vues comme des modèles de processus dynamiques où la répétition n'est pas simplement une reproduction identique, mais un processus de différenciation.
Fonctions et variables : Deleuze utilise les concepts de fonctions et de variables pour explorer les relations entre les éléments et les ensembles. Il s'intéresse à la manière dont les fonctions mathématiques peuvent représenter des relations dynamiques et des processus de transformation. Les variables sont vues comme des éléments qui peuvent varier et se différencier au sein de structures plus larges.
Topologie : Bien que Deleuze ne se concentre pas explicitement sur la topologie dans "Différence et Répétition", il utilise des concepts topologiques pour explorer les notions de continuité et de discontinuité. La topologie est vue comme une manière de comprendre les structures spatiales et les relations entre les éléments dans un espace continu.
Géométrie non-euclidienne : Deleuze fait référence à la géométrie non-euclidienne pour illustrer comment les structures mathématiques peuvent défier les conceptions traditionnelles de l'espace et de la réalité. La géométrie non-euclidienne est vue comme un exemple de la manière dont les différences peuvent émerger dans des structures qui ne sont pas conformes aux axiomes euclidiens.
Théorie des ensembles : Deleuze utilise des concepts de la théorie des ensembles pour explorer les relations entre les éléments et les ensembles. Il s'intéresse à la manière dont les ensembles peuvent être définis par des relations de différence et de répétition. Les ensembles sont vus comme des structures dynamiques où les éléments peuvent se différencier et se répéter.

Conclusion :
Dans "Différence et Répétition", Deleuze utilise une variété de concepts mathématiques pour illustrer et développer ses idées philosophiques. Le calcul différentiel et intégral, les séries et suites, les fonctions et variables, la topologie, la géométrie non-euclidienne et la théorie des ensembles sont tous des outils qu'il emploie pour explorer les notions de différence, de répétition et de devenir. Ces concepts mathématiques lui permettent de développer une philosophie dynamique et processuelle qui défie les conceptions traditionnelles de l'identité et de la représentation."

- Comme tu le vois, les mathématiques ne sont pas un outil qu'il utilise pour construire ses raisonnements, mais ne sont convoquer qu'à des fins d'illustration... Tout ça pour discuter du passage discontinu—[⚤]𓁜/𓁝[#]—continu.... Tout est envisagé d'un point de vue (☯𓁝𓁜☯).

- Et Badiou ?

- Nous l'avons déjà croisé à propos de Grothendieck (voir "Alain Badiou à Sciences Po"), il est vrai, mais qu'en a-t-il tiré? Allons voir vite fait :

"Q— Quels concepts mathématiques Alain Badiou a-t-il utilisé dans sa philosophie ?

R— Alain Badiou, un philosophe contemporain, a intégré de manière significative des concepts mathématiques dans sa philosophie, en particulier dans ses ouvrages "L'Être et l'Événement" (1988) et "Logiques des mondes" (2006). Voici quelques-uns des concepts mathématiques qu'il utilise et leur rôle dans sa pensée philosophique :

Théorie des ensembles : La théorie des ensembles est centrale dans la philosophie de Badiou. Dans "L'Être et l'Événement", il utilise la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC) pour développer une ontologie formelle. Badiou identifie l'être avec le multiple pur, c'est-à-dire avec les ensembles mathématiques. Il soutient que la théorie des ensembles fournit une structure fondamentale pour comprendre la nature de l'être.
Axiome de fondation : Badiou discute l'axiome de fondation (ou axiome de régularité) dans le cadre de la théorie des ensembles. Cet axiome stipule que tout ensemble non vide a un élément qui est disjoint de lui-même, ce qui empêche les chaînes infinies descendantes d'appartenance. Badiou utilise cet axiome pour explorer les questions de fondation et de hiérarchie dans la structure de l'être.
Forçage : Le concept de forçage, développé par le mathématicien Paul Cohen, est utilisé par Badiou pour explorer la notion d'événement. Le forçage est une technique qui permet de construire des modèles de la théorie des ensembles en ajoutant de nouveaux ensembles à un modèle existant. Badiou interprète le forçage comme une manière de penser l'événement comme une rupture avec l'ordre établi, une introduction de nouveauté dans la structure de l'être.
Catégories et topos : Dans "Logiques des mondes", Badiou utilise des concepts de la théorie des catégories et des topos pour développer une logique des mondes. Les topos sont des structures mathématiques qui généralisent la notion d'espace topologique et permettent de formaliser des concepts logiques et géométriques. Badiou utilise les topos pour explorer comment les mondes (ou situations) sont structurés et comment les objets apparaissent dans ces mondes.
Groupes et structures algébriques : Badiou fait également référence aux groupes et à d'autres structures algébriques pour explorer les notions de symétrie et de transformation. Les groupes sont des structures mathématiques qui capturent les symétries d'un objet ou d'une situation. Badiou utilise ces concepts pour explorer comment les structures de l'être peuvent être transformées et comment les événements peuvent introduire de nouvelles symétries.
Nombres transfinis : Badiou discute les nombres transfinis, introduits par Georg Cantor, dans le cadre de sa réflexion sur l'infini. Les nombres transfinis sont des nombres qui dépassent l'infini des nombres naturels. Badiou utilise ces concepts pour explorer les notions d'infini et de multiplicité dans sa philosophie de l'être.

Conclusion:
Alain Badiou utilise une variété de concepts mathématiques pour développer sa philosophie. La théorie des ensembles, le forçage, les catégories et les topos, les groupes et les structures algébriques, ainsi que les nombres transfinis sont tous des outils qu'il emploie pour explorer les notions d'être, d'événement, de multiplicité et de transformation. Ces concepts mathématiques lui permettent de développer une philosophie rigoureuse et formelle qui intègre des structures logiques et géométriques dans une réflexion sur la nature de la réalité et de l'existence."

Bon, se serait amusant de développer, mais déjà l'intention de base de l'auteur 𓂀_Badiou, à savoir formaliser une ontologie : (☯𓁝𓁜☯)𓂀_Badiou, montre les limites de l'approche ! Nous en sommes restés à Platon, avec l'identification de l'être au multiple !

- Il y a quand même une réflexion sur les symétries ...

- Mais il faudrait changer de registre (☯𓁝𓁜☯)⟲(♧𓁝𓁜♡) pour en parler en ayant pris conscience de la révolution Galoisienne ! Là comme chez Deleuze, Badiou plie le discours mathématique à son intention, au lieu d'y faire attention dans l'espoir d'en apprendre quelque chose...

- Reste donc Jean Cavaillès ?

- Oui, mais là, il faudra un peu plus de temps, car je ne connais rien de lui.