Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
5 Février 2025
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La cérémonie funèbre (suite)
Le 05/ 02/ 2025 :
1/ Le devoir accompli ou l'instant de vérité
- Quel rapport entre ta lecture et "Un singe en hiver"?
- J'étais parti à la recherche d'une image de la scène finale, lorsque Fouquet et sa fille Claire prennent le train, laissant Quentin, seul à tout jamais, sur le quai de gare; rappelant quelque peu la scène de Deligne et sa fille s'en allant vers un ailleurs lointain en laissant A.G. à ses ruminations moroses. Et puis Quentin comme Grothendieck rêvent tous deux de la Chine, l'un du Yang-Tsé-Kiang, l'autre du Yin Yang...
- Drôle de façon d'embrayer sur un enterrement.
- C'est que je ne suis pas très à l'aise car il faut à présent m'interroger sur les motifs de cette lecture.
- Desquels parles-tu ?
- Des miens tout d'abord : pourquoi m'obstiner à vouloir entrer dans un univers qui me dépasse largement?
- Pour tester ta syntaxe, non ?
- Oui, certes, mais quand arrêter l'exercice ? A.G. attaque Deligne sur la question de la paternité du concept de "motif", qu'il introduit dans le SGA 5, quand Deligne rédige ensuite le SGA 41/2, prétextant que son travail, bien que postérieur au SG 5, est techniquement un fondement logique de ce dernier, ce que A.G. récuse furieusement. Si A.G. consacre 1334 pages pour en arriver à ce déchirement sur un quai de gare, tu comprends bien que l'enjeu de la dispute me passe largement au-dessus de la tête !
J'ai péniblement tâté du pied le champ de la cohomologie, comme un démineur avançant en terrain ennemi, pour tenter une percée jusqu'aux concepts de topos et de schémas :
Cela fait déjà beaucoup à explorer, mais à peine en vue de cette crête, l'horizon s'élargit bien au-delà de mon modeste entendement. Dernièrement, en parlant de la "mesure", ("espace et mesures" & "covariance contravariance"), nous avons senti l'importance du calcul tensoriel, faisant le lien en [#]♢ entre [♻]♢ et [⚤]♢ ; i.e. [⚤]♢→[#]♢←[♻]♢. Puis, en abordant le monde p-adique, nous trouvons un bouclage tout neuf pour moi et une belle symétrie [#]♢/[♻]♢ ; i.e. [♻]♢→[⚤]♢←[#]♢ à ingurgiter, digérer et sentir comme intuitif. ("Bouclage de la quantité sur les nombres #1" et "#2").
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- Bref en circulant sur ton manège, cherchant à passer d'une monture à l'autre, tu te heurtes à chacun des chevaux de bois qui s'activent en cadence, et tu te demandes comment décrocher la queue du singe que le forain t'agite sous le nez...
- Ce que A.G. agite sous mon nez en l'occurrence, c'est ce concept de motif, une sorte de Saint Graal disputé par Galaad—Grothendieck et Lancelot—Deligne.
- Tu nous égares avec tes singeries, redescends de ton manège.
- J'essaie de te faire sentir que notre topologie Imaginaire ne peut pas être justifiée par une somme de considérations partielles, mais qu'elle doit s'ajuster d'un bloc pour être un outil consistant, comme les éléments d'une bombe atomique pour atteindre la masse critique.
- Bien compris : il faut aller jusqu'au bout. Laissons donc de côté tes motifs, pour aborder le concept de motif. Tu avais déjà tâté du sujet il y a deux ans ('La folle journée : de Grothendieck à Conne").
- Oui, à la relecture, certains indices m'amènent à l'hypothèse suivante :
- Tu peux étayer ?
- Non, car il faudrait revenir au texte de Pierre Cartier ("Un pays dont on ne connaît que le nom"), pour tourner en boucle, sans avancer dans "Récoltes et semailles". Je te propose de garder ce point GPS des trajets à explorer comme hypothèse pour nous orienter dans cette lecture, quitte à le jeter aux orties en cas d'erreur...
- Juste d'un mot ?
- Les schémas partent du continu de la topologie, les motifs utilisent des outils de l'analyse. L'origine de cette perspective viendrait d'André Weil (du côté [♻]♢→[⚤]♢) quand Serre attaquait de l'autre bord (i.e.: [⚤]♢←[#]♢):
"André Weil, dans ses Foundations of Algebraic Geometry, avait appliqué à la géométrie algébrique abstraite (c’est-à-dire sur un corps quelconque, non nécessairement celui des nombres réels ou complexes) la méthode de recollement par cartes locales que son maître Élie Cartan avait utilisée en géométrie différentielle (après Carl Friedrich Gauss et Jean Darboux). Mais la méthode de Weil n’était guère intrinsèque, et Chevalley s’était demandé ce qui était invariant, dans une variété au sens que lui donnait Weil. La réponse, inspirée des travaux de Zariski, fut simple et élégante : le schéma de la variété algébrique est la collection des anneaux locaux des sous-variétés se trouvant à l’intérieur du corps des fonctions rationnelles. Pas de topologie explicite, à l’opposé de Serre qui, à peu près au même moment, introduit ses variétés algébriques au moyen de la topologie de Zariski et des faisceaux." (ici)
Et puis, il y a cette symétrie entre espaces l-adique [♻]♢, et espaces vectoriels [#]♢ qui semblent se refléter en [⚤]♢.
- Soit, avançons à partir de cette hypothèse. Nous en étions donc sur le quai de la gare d'Orange, avec Grothendieck renvoyé à lui-même, à une heure à peine de celle de Perpignan, centre du Monde).
2/ Les points sur les i
- Totalement largué, je ne sais comment m'y prendre...
- Fait déjà une première lecture, et tente de repêcher les mots qui t'évoquent quelque chose. Et puis, il faut bien que tu reviennes sur tes premiers développements concernant la cohomologie en tirant parti de la dualité des voies des choses(☯𓁜𓁝☯) et des mots (♧𓁜𓁝♡), ça doit bien manquer quelque part, non ?
Le 08/ 02/ 2025 :
- Ces derniers jours, j'ai consciencieusement poursuivi ma lecture jusqu'à la page 1383, ce qui m'a conduit à laisser les notes 3 & 4 dans l'article #13; mais je m'enlise.
- Tu as bien glané quelque chose ?
- Oui, je te livre ma récolte sans trier :
Et c'est ce qui déprime A.G. . Je retiens qu'il avait en tête une vision ouvrant sur un immense chantier, qu'il abandonna en 1970 à ses héritiers laissés sur le carreau à l'IHES. Et il s'aperçoit quinze ans plus tard que cette vision est abandonnée par les ouvriers partis sur d'autres chantiers, ou ayant bâti leurs propres maisons en réutilisant les matériaux laissés là, comme Le Caire s'est construit en dépouillant les pyramides.
Mais je t'avoue m'ennuyer à force de ramer, et un doute me prend : et si Deligne avait raison ? Si la belle vision de A.G. n'était qu'un fantasme?
- Sors la tête du sac, va prendre l'air...
- C'est ce que je tente de faire en me souvenant de la droite de Berkovich, vue dernièrement (voir "Bouclage [♻]→[⚤] #2 — Les nombres p-adiques"). D'où une question naïve à mon IA préférée :
- Et ça t'avance à quoi ?
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- Au lieu de m'esquinter les yeux à vouloir suivre Grothendieck, j'aimerais me focaliser sur le bouclage [♻]→[⚤] qui, au fond, est ce qui m'intéresse : ai-je raison de coller [∃] au revers de [∅] pour fermer ma bande de Moebius ? Ai-je raison de "voir" les nombres p-adiques comme une écriture "à l'envers" des nombres classiques, et penser que le passage [♻]→[⚤] est associé aux nombres p-adiques, quand le passage [⚤]←[#] fait appel au chiffrage traditionnel des nombres, désolé pour le manque de précision, mais ce n'est qu'une piste à suivre...
Après-midi de farniente, à digérer la cuisine Taïwanaise (à ne pas confondre avec la cuisine Chinoise!), je me prends à tirer sur le fil de ce matin. Tout d'abord, je ne suis pas convaincu du lien indiqué, et donc je remonte à la source indiquée ("Géométrie analytique p-adique : la théorie de Berkovich — Antoine Ducros").
J'apprends que les travaux de Borkovich datent de fin des années 1980 (alors que A.G. écrit Récoltes et Semailles) et sont :
"Motivée à l'origine par des questions de théorie spectrale, l'approche de Berkovich s'est révélée extrêmement féconde."
Voilà qui me semble intéressant.
- On peut savoir ?
- Une simple association d'idées : la "mesure" d'un "objet" en mécanique quantique, finit toujours par l'identification d'un spectre de fréquences, et ça ressemble bien à notre bouclage [♻]→[⚤]. Continuons :
"Le rôle majeur joué par les corps p-adiques en géométrie arithmétique a incité à développer sur ces derniers, et plus généralement sur tout corps ultramétrique complet, une géométrie analytique analogue à celle pratiquée sur ℂ";
Là encore, je vois bien une symétrie entre [♻]→[⚤] et [⚤]←[#] de bon aloi.
Ensuite —et toujours compréhensible dans la même perspective— l'intention est d'utiliser les outils de l'analyse (avec les infiniments petits, et tout ce qui nécessite la continuité dans l'analyse classique; donc en passant de [#]→[♻]), à un corps k totalement discontinu, ce que l'on s'attend à avoir dans le passage [♻]→[⚤]. Vient le nom de Tate :
"L'idée de Tate ([46]) a consisté à décréter qu'en géométrie analytique ultramétrique, on considère une propriété comme étant de nature locale s'il suffit de la tester sur un recouvrement ouvert admissible de l'espace ambiant.
Il n'est pas question de donner ici la définition d'un recouvrement admissible; disons simplement qu'il s'agit d'un recouvrement dans lequel il y a suffisamment de chevauchements entre les ouverts pour que les conditions de coïncidence sur les intersections constituent des contraintes dignes de ce nom. Le recouvrement de la droite affine par la boule unité fermée et son complémentaire est l'exemple typique à exclure.
Un espace analytique au sens de Tate (c'est ce qu'on appelle un espace analytique rigide) apparaît ainsi comme un espace topologique totalement discontinu sur lequel on distingue certaines familles d'ouverts, dont on dit qu'elles forment un recouvrement admissible de leur réunion; si l'on veut être plus précis, il y a lieu de recourir au formalisme des topologies de Grothendieck."
Et là, paf un lapin ! J'ai une connexion avec A.G. Ensuite viennent les travaux de Raynaud, (qu'il faudrait comprendre, bien entendu), pour arriver à Berkovich. La suite m'échappe totalement, mais je suis content d'avoir dégagé un point de vue dans mon Imaginaire, pour y accrocher ce qui doit s'organiser dans une symétrie [♻]→[⚤] / [⚤]←[#]. Je file le texte, pour m'arrêter à ce qui accroche mon regard au chapitre "Fécondité de la théorie de Berkovich" :
Ces dessins d'enfants me rappellent quelque chose en lien avec A.G., vu (ici) :
" 🤖 : Les dessins d’enfants sont des objets combinatoires utilisés pour énumérer les classes d’isomorphisme de revêtements étales de la droite projective privée de trois points. La théorie des dessins d’enfants, initiée par Grothendieck, vise à comprendre l’action de Gal(ℚ̅/ℚ) en termes géométriques et combinatoires."
Le 23/ 02/ 2025 :
- Pour avancer, il m'a fallu rectifier mon propre point de vue, ce qui m'a pris 3 semaines.
- En résumé ?
- J'ai commencé par préciser la syntaxe du mode ♢ :
Et c'est lors de cette rédaction que j'en suis venu à comprendre l'orthogonalité fondamentale entre l'homologie initialement purement en [#]♢, sur la voie des mots (♧𓁜𓁝♡)et la cohomologie sur la voie des choses (☯𓁜𓁝☯).
Ce qui m'a conduit à reprendre le début de Récoltes et semailles, pour remettre en scène les concepts de topos, schémas et motifs :
Remise en ordres et ruminations sur notre représentation de l'Imaginaire qui finalement m'ont conduit à privilégier le bouclage Imaginaire en forme de cross-cap :
- OK, on s'arrête à ça pour les motifs, et tu embraies sur la suite dans :
- Oui, et ouf ! J'espère que le lecteur s'y retrouvera entre tous ces allers-retours !
- Pas pire que les notes entremêlées de Grothendieck !
- Amen
Hari
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