Syntaxe du mode ♢ #1 — L'homologie

Syntaxe du mode syntaxique  ♢

• Homologie
• Cohomologie

Le 09/ 02/ 2025 :

- Mon exploration du livre de Grothendieck, "Récoltes et semailles", me pousse à préciser les mouvements du Sujet lorsqu'il se cantonne au mode syntaxique ♢.

- Tu nous en a déjà parlé dans ta syntaxe générale des modes ♧ ♢ ♡ (voir "Syntaxe de l'entropologie").

- Il nous faut mieux exprimer les mouvements du Sujet, lorsqu'il définit les groupes d'homologie et de cohomologie d'un objet.

- Tu t'y ai frotté à 3 ou 4 reprises (voir "La cohomologie #3 —re-reprise" et "Schémas d'action #8 une idee collante 3"), ce n'est pas encore clair ?

- Il faudrait trouver une façon simple et visuelle d'en "parler", si je puis dire, pour m'y habituer et le sentir comme "évident".

- Que te manque-t-il ?

- Dans notre syntaxe "générale sur 3 modes", je pense que l'on est arrivé à quelque chose d'assez cohérent, maintenant, il faudrait "formater" tout ce que nous avons pu dire de cette articulation entre ♧ ♢ ♡, en termes de "répétitions" strictement internes au mode ♢.

- Notre discussion d'aujourd'hui est donc une réflexion sur la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) ?

- Oui, a priori. Pour être compréhensible, parlons du plus simple :

Homologie

A/ Niveau topologique [#]_♢ (ou ♢^#):

- Je te rappelle le point de départ, le plus trivial qui soit, de la construction homologique : voir d.1/ de la présentation du 22/ 05/ 2024 à l'atelier CLE (ici).

"un bord n'a pas de bord"

1. J'espère que nous sommes tous deux d'accord pour dire qu'il s'agit d'un "jeu de mots", dans une voie purement (♧𓁜𓁝♡);
2. Pour parler d'un "bord", il faut avoir une idée
   1. De quel objet de dimension supérieur disons Dⁿ⁺¹, notre "objet" de dimension Dⁿ est le "bord";
   2. Dire que le "bord", de dimension D^n-1, de ce bord de dimension Dⁿ, est vide;
3. D'où la définition d'une fonction "bord" —notée ∂— qui va assurer le passage d'une dimension à l'autre, d'un objet X en Dⁿ⁺¹ à son bord ∂X en Dⁿ. Soit : ∂ : X↓∂X;
4. À l'aide de cette fonction (ou application) ∂, notre Lapalissade initiale s'écrit simplement : ∂²X=0.

Ça n'a l'air de rien, mais si tu fais appel à ta mémoire de taupin ou d'élève ingénieur, ça devrait te rappeler de très vieux souvenirs !

- OK, merci pour le rappel, mais pourquoi utiliser des flèches verticales et non horizontales?

- Ah ! Nous en venons à nos soucis de typographie et de navigation en mode ♢. Ce que nous venons de décrire est un mouvement imaginaire dans lequel le Sujet :

• a l'intention de décrire un "objet" ; 𓁝♡^#↓♢^#𓁜 et
• porte son attention sur ses constituants au niveau [#]_♢𓁜, ex : points, lignes, surfaces, volumes etc, en considérant leurs "rapports" (ce qui est le propre de la syntaxe_♢ et de la topologie_♢^{#​​​​​}).

Dans notre topologie de l'Imaginaire, nous sommes sur l'axe (♧𓁜𓁝♡), et par simplicité, convenons d'utiliser des flèches verticales pour passer d'un mode à l'autre, à niveau constant; ce qui conduit à cette convention : 

• Sur l'axe des choses (☯𓁜𓁝☯), circulation entre niveaux, notée  ←→;

• Sur l'axe des mots (♧𓁜𓁝♡), circulation entre modes, notée ↓↑.

Ceci posé, il nous reste à repérer la répétition à un niveau donné. Dans notre exemple, il faut 3 types d'éléments différents, par exemple "surface", "segments" et "points".

- Tu avais déjà utilisé le symbole des simplexes pour t'y retrouver :

- Oui, mais maintenant, il faut représenter les modes limites ♧ & ♡, et caractériser leurs liens avec le mode ♢.

- Ça me semble facile :

• En dessous de ∆⁰, il n'y a rien : le "point" de dimension D0 n'a pas de "bord". La description de l'objet s'arrête aux points ;
• Au-dessus d'un certain n, il n'y a plus de d'objet : par exemple, si l'on considère une "surface", les niveaux supérieurs à ∆² sont vides, et ceci jusqu'à l'infini ∆^∞.

- Reste à l'exprimer formellement. Je te propose ceci :

• Dans la descente de mode :

  ∆0	♢#𓁜	{point}
  	↓F
  	𓁝♧#	(point)

Où F est un "foncteur d'oubli"; qui dépouille l'élément ∆⁰ de toute relation, de toute structure de mode ♢^#.

• Dans la montée de mode :

  	♡#𓁜
  	↑
  ∆∞	𓁝♢#

Nous parlerons de "passage à la limite", en considérant que ♡^#𓁜 est le terme sémantique d'une série dénombrable de répétitions syntaxiques. Ceci correspond à ce que nous avons déjà vu du passage du "potentiel_♢" au "virtuel_♡".

- Si je te suis bien, il faudrait toujours parler de série dénombrable de répétition en mode ♢ ?

- C'est ce que l'on fait lorsque l'on parle des groupes d'homologie ou de cohomologie en prolongeant les groupes significatifs par des séries de groupes vides. Je me contente ici de le mettre en perspective dans un cadre plus large, dépassant la représentation que l'on s'en fait en mode ♢.

- OK, mais tu as toujours un problème typographique pour représenter cette répétition de façon simple.

- Nous pouvons convenir de l'écrire ainsi :
♧^#↑⁰♢^#↑...↑^n-1♢^#↑ⁿ♢^#↑ⁿ⁺¹♢^#↑...↑^∞♢^#↑♡^#

- Dans le cas de l'homologie, ce serait plutôt :
♡^#↓^∞♢^#↓...↓ⁿ⁺¹♢^#↓ⁿ♢^#↓^n-1♢^#↓...↓⁰♢^#↓♧^#

- Si tu veux, quoique dans la phrase "un bord n'a pas de bord", il faut considérer deux mouvements, pour définir un bord en ⁿ♢^#:

• Un passage ⁿ⁺¹♢^#↓ⁿ♢^#: c'est le bord ∂X en ⁿ♢^# de l'objet X en ⁿ⁺¹♢^#; exprimé par la fonction ∂_n+1 : X↓∂_n+1X;
• Un passage ^n-1♢^#↑ⁿ♢^# qui est le noyau en ⁿ♢^# de la fonction ∂_n : ∂_n(∂_n+1X)↓∅.

Il y a là une dualité ⁿ⁺¹♢^#↓♢^#↑^n-1♢^# entre "image"↓ et "image réciproque" ↑ qui, d'après ce que j'ai pu en comprendre, est au coeur de ce que Grothendieck va appeler son "yoga". C'est même au coeur des premiers éléments du cours sur les catégories de Lawvere, je te renvoie à "identité et idempotence".

- Sauf que dans le duo section—ⁿ♢^#↑ⁿ⁺¹♢^# / ⁿ⁺¹♢^#↓ⁿ♢^# —rétraction , il n'y a que deux étages.

- Oui, c'est entendu, mais il y a malgré tout un air de famille, garde le en mémoire, mon petit doigt me dit que nous en reparlerons dans pas longtemps.

Maintenant, il faudrait traduire cette représentation de niveau "topologique" [#] en langage algébrique [⚤], autrement dit comprendre le passage [⚤]_♢←[#]_♢.

Le 10/ 02/ 2025 :

B/ Traduction algébrique :

- Comme tu le sais, l'algèbre n'est pas mon terrain de jeu favori, et j'ai tendance à oublier le sens de ce que je lis d'une formule au fur et à mesure de sa lecture. Je comprends les figures, mais suis totalement sourd aux formules mathématiques, ce qui est mon handicap personnel. Je n'y peux rien : il me manque une case et je dois faire avec. Et donc pour avancer, je ne peux que revenir à cette vidéo d'introduction de N.J. Wildberger, qui me sert de point d'ancrage depuis 2020 (voir "Les groupes d'homologie du Sujet").

- J'espère que tu commences à comprendre ce qu'il dit ?

- Oui, mais c'est l'écriture algébrique que j'oublie vite : mon cerveau n'imprime pas, tout simplement.

- Forme-toi des images mentales à partir de son discours.

- C'est ce à quoi devrait nous servir notre représentation topologique de l'Imaginaire. La question à laquelle nous nous sommes arrêtés, était de transcrire sous forme algébrique, cette idée topologique "qu'un bord n'a pas de bord". Suivons Wildberger pas à pas, dans sa description algébrique de son graphe :

1. Il commence par identifier les points x, y, z et les décrire comme éléments d'une "structure algébrique" permettant d'écrire, par exemple "5x+3y-7z", soit une "chaîne de dimension 0" ou "4a+6b-7c+9d" une "chaîne de dimension 1". Il y a donc à la base le choix d'un "corps" k , soit 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜; 
2. Il nomme C₀ le groupe des chaînes de points et C₁ le groupe des chaînes de segments;
3. Il définit une application ∂ : C₁→C₀, qui à chaque segment lui associe ses bords, soit dans l'exemple :
   • ∂(a)= (y-x)
   • ∂(b)=(z-y)
   • ∂(c)=(x-z)
   • ∂(d)=(x-z)
4. Il définit un cycle "t" dans C₁ comme un chemin (formé de segments) sans "bord" : ∂(t)=0;
5. Le premier groupe d'Homologie H₁ de ce graphe est le sous-groupe des cycles dans C₁. Dans l'exemple, ce sous-groupe est constructible à partir des deux cycles (a+b+c) et (a+b+d). H₁ est ici isomorphe à ℤ+ℤ....

- Tu as déjà fait ce parcours maintes et maintes fois, ne nous ressors pas ce cours, qui se suffit à lui-même...

- Oui, c'est vrai et chaque fois je me fais embarquer par la logique du discours sans que me reste un sentiment de "compréhension" : ça glisse comme de l'eau sur les plumes d'un canard.

- As-tu remarqué, vers la fin, lorsqu'il introduit le solide C entre les faces A et B, à 37'20" ? Le bord de C est  ∂(C)=A-B, et le groupe d'homologie H₂(X₄) (celui des segments dans la figure X4 où l'on a introduit un solide C entre les faces A et B) s'écrit :
H₂(X₄)=Z₂/B₂=ker∂₂/Im∂₃=⟨A-B⟩/⟨A-B⟩=0:
il y a là un passage d'un élément unique —le quotient ⟨A-B⟩/⟨A-B⟩— à 0 qui m'interpelle.

- Je crois que nous tenons là quelque chose. Tout le discours de l'orateur tourne autour de la délimitation de "vides" : un cycle est une circulation autour d'un "vide", et l'adjonction d'un élément d'ordre supérieur pour "boucher" un vide, transforme un cycle "comblé" en lacet qui se réduit à zéro. C'est l'essence du discours en [⚤]_♢ qu'il faut rapprocher du discours tenu en [#]_♢.

Tout d'abord, c'est cohérent avec le concept de "lacet" introduit par Poincaré pour définir le groupe fondamental Ω. Lorsque le "vide" est comblé, tu peux réduire le cycle sur un point. Prends le cycle (c-d) comme le parcours circulaire entre deux pieux x et z posés sur le pourtour d'un étang, sans barque, il faut faire le parcours (c-d) pour revenir à ton point de départ (qu'il soit ici x ou z). Si tu tires une corde derrière toi, elle va suivre le bord de l'étang. Maintenant, si tu assèches ton étang, tu peux, d'un point quelconque du bord, tirer sur ta corde pour balayer toute la surface et la ramener tout entière à ton point fixe.

=> En écrivant ceci, je me demande si "l'objet" vu comme quotient ⟨A-B⟩/⟨A-B⟩ que j'ai jusqu'ici situé en [⚤]_♢ à cause de son écriture algébrique ne serait pas plutôt une prise de conscience de la "substance" de l'objet de niveau  [♻]_♢ , au-delà de sa représentation topologique, et non en deçà.

- Qu'est-ce qui t'amène à cette remise en cause?

- Avant d'en arriver là, Wilberger nous fait un rappel sur le concept de quotient, qui me renvoie à ce que nous avons vu dernièrement des nombres p-adiques, qui sont une "écriture en base p" des nombres, avec toutes les réflexions tournant autour du mouvement [♻]→[⚤]. C'est encore vague, mais il y a dans l'histoire un passage par le vide [∅] pour nous retrouver en [⚤].

- Autrement dit, il y a dans [♻]→[∅]→[⚤], une nécessaire prise en considération de l'élément vide ∅, puisque le discours pivote autour de [∅] ?

- Oui, et le déclic s'est fait dans cet exemple de la vidéo où l'on passe d'un constat d'existence sous la forme ⟨A-B⟩/⟨A-B⟩ à l'élément neutre de l'addition "0" qui représente le vide "∅". Il me faut un peu de temps pour méditer là-dessus.... En fait, je pense qu'il faut radicaliser le propos : un quotient est, part nature une "mesure", et donc, doit naturellement se placer en [♻]...

- Il faut tout revoir !

- Disons qu'il faut accorder plus d'importance au niveau [♻] que je ne l'ai fait jusqu'à présent, focalisé comme je l'étais sur les niveaux [⚤] et [#].

Et quand j'emploie le terme de "quotient", il vient tout de suite qu'il faut penser à quelque chose de plus fondamental, non limité à une expression algébrique.

- Tu penses à quoi ?

- Au niveau [#]_♢, dans l'expression du "bord" le mouvement que nous avons décrit par  ⁿ⁺¹♢^#↓♢^#↑^n-1♢^# est en quelque sorte, lui aussi un "rapport" entre deux mouvements. 

- Mais dis-moi, tant que nous y sommes, es-tu sûr de l'étagement [⚤][#][♻], n'est-ce pas plutôt [⚤][♻][#] ?

- Après réflexion, je ne le crois pas, car nous avons de très bonnes raisons de voir ce niveau [#] comme introduit tardivement dans la pensée Occidentale, autour d'une recherche de symétries entre les racines d'un polynôme. Le maître mot de [#] est "symétrie", celui de [♻] est "quantité", plus primitif. Et donc, je comprends [#] comme médiateur entre le domaine du multiple en [⚤] et celui de la substance en [♻] chez Platon et Aristote.

- Désolé pour la digression, mais il fallait bien poser la question. Nous en étions donc à comprendre un quotient comme une mesure, en [♻] et non en [⚤], mais comment passes-tu de l'un à l'autre ?

- Dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) "courte" si j'ose dire vue comme un triangle. En suivant cette nouvelle perspective : l'objet "bord" serait avant tout défini par un "rapport" :

• Dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) :  Au niveau ⁿ♢^# entre Im ∂_n(X) et Im^-1∂_n-1(∅);
• Dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) :
  • Au niveau ⁿ[♻]_♢ on marque une équivalence entre deux écritures, qui se comprend, en termes de groupes comme : "le vide est le complément de ce qui est bordé"; autrement dit (☯[∃]𓁜⇆𓁝[∅]☯)
  • Au niveau ⁿ[#]_♢ (ou ⁿ[♻]_♢) entre Im ∂_n(X) et Im^-1∂_n-1(∅);
  • Au niveau ⁿ[⚤]_♢ les cycles entourant un "vide" sont le complément du sous-groupe des bords.

- Tu m'expliques ?

-  C'est encore neuf et je cherche mes mots. Je dois m'habituer à "voir" ℚ en  [♻]... Ça me fait drôle :

- Mais alors, où placer  ℂ ou ℍ ?

- La répétition ℝ, ℝ²,... ℝ^∞ reste en [#]: c'est la répétition d'une orthogonalité ⊥, de niveau  [#], mais la structure algébrique associée à ℝ² ou ℝ⁴ (i.e.: respectivement ℂ ou ℍ) est d'un autre niveau.

- Alors ? [⚤] ou [♻] ?

- Dès que l'on a le concept de "mesure" et de "métrique" on est en [♻], et donc, il convient de dissocier pour ℕ ℚ ℤ ℝ ℂ ℍ :

• En [♻] : tout ce qui se rapporte à la mesure ;
• En  [⚤] : Les opérations, comme x et +, et plus complètement, la structure algébrique;
• En [#] : les représentations géométriques (comme "la droite ℝ" ou "le plan ℂ").

- Ça complique leur représentation dans ta topologie de l'Imaginaire...

- Elle n'y est pour rien : c'est notre façon de parler qui demande à être clarifiée, et comme tu le vois, notre syntaxe nous pousse à le faire, bon gré, mal gré. 

- Tu as employé le terme "la voie des choses courte", à quoi faisais-tu référence ?

- À une circulation sans passage aux limites 𓁝ⁿ[∅]↑ⁿ⁺¹[∃]𓁜, et sans bouclage de la bande de Moébius, c.-à-d. comme l'indique notre triangle, un "point de vue général" porté de  [♻], qui se décline en  [⚤] et [#].

Tu remarqueras, que ce point de vue respecte l'idée de "rassemblement" en [♻] de ce qui est divers. Ici la diversité tient à la différence des représentations algébriques et topologiques d'un seul et même "objet" dont la "substance" comme les "mesures" sont de niveau  [♻].

- Pour en revenir à l'homologie, il y aurait donc :

• Dans la voie (♧𓁜𓁝♡) : la démarche "homologique" au niveau [#], associé à une circulation ⁿ⁺¹♢^#↓ⁿ♢^#↑^n-1♢^# 
• Dans la voie (☯𓁜𓁝☯) : une transcription d'un constat en ⁿ♢^#= ⁿ[#]_♢, sur les niveaux ⁿ[⚤]_♢ et  ⁿ[♻]_♢ ?

- Oui, car, malgré les apparences, en considérant qu'un quotient est une "mesure", il faut partir de ⁿ[♻]_♢;  ce qui m'avait échappé au début de notre réflexion.

- Dans sa présentation, Wildberger distingue bien des étapes dans sa construction des groupes d'homologie, tout en restant au niveau [⚤] du discours...

- Oui et non : il s'appuie bien sur une représentation graphique pour faire sa présentation, mais je te concède qu'il doit être possible de se passer totalement du niveau [#] et de faire une présentation "à la Française", en alignant des équations indigestes au possible pour être sûr de bien noyer toute l'assistance. Notre topologie ne l'interdit pas, mais ce n'est pas mon truc.

Je préfère revenir aux fondements d'une dualité qui (ce n'est qu'une intuition) devrait nous rapprocher du "yoga" de Grothendieck.

- De quoi parles-tu ?

- Wildberger fait un aparté sur un rapprochement entre l'expression d'un quotient et la structure de groupe, qui me semble bien intéressante. 

Le 11/ 02/ 2025 :

- Difficile d'exprimer de quelle façon une petite idée fait son chemin pour éclore à la conscience. Il y a, bien entendu cette dualité des postures du Sujet 𓁜𓁝, que j'ai pris comme principe premier, et dont personne ne parle, mais que l'on retrouve à l'évidence dans la propriété universelle [∃]𓁜𓁝[∅].... Faute de parler du Sujet, on identifie le duo d'objets initial/ final, dans la voie des choses. Et puis, le chemin se dédouble, deux voies s'offrent alors au Sujet, qui valse entre les mots 𓁝⇅𓁜 comme il valse entre les choses 𓁝⇆𓁜. En musique de fond, j'ai bien ce yoga évoqué par Grothendieck, mais c'est une valse à 3 temps que j'ai en tête sur 3 niveaux [⚤][#][♻] dans un sens et 3 modes dans l'autre ♧ ♢ ♡.

Voilà, ce matin je pense à notre topologie de l'Imaginaire comme au parquet d'une salle de bal Viennoise, avec un couple 𓁝𓁜 valsant un, deux, trois, de droite à gauche, un, deux, trois et de haut en bas, un, deux, trois, balayant ainsi toute la salle du regard.

Prenons l'axe (☯[∃][⚤][#][♻][∅]☯).

Le pivot central [#] est celui où s'articule le plus clairement la distinction :  local—𓁝[#]𓁜—global; avec l'idée qu'à l'origine, en [⚤]_♧𓁜, le Sujet identifie les objets. Nous y avons vu le multiple de Socrate, (les abeilles toutes semblables du Ménon). Dans le passage ([⚤]𓁜⇅𓁝[#]​​​​​​)←([⚤]𓁜⇅𓁝[#]), finalement, le plus fondamental, "rustique", est le passage : élément_♧^⚤𓁜←𓁝partie_♧^#.

Tu vois tout de suite le pas suivant : et que se passe-t-il d'aussi "fondamental" dans le passage symétrique ([#]𓁜⊥𓁝[♻])→([#]𓁜⊥𓁝[♻]) ? 

Bien s-ur, en [#]𓁜, nous avons un "tout", appelons-le "ℝ" (ou ℵ) par exemple; bien sûr, avec Cantor, on peut démultiplier à l'infini cette "totalité", et là nous sommes dans la répétition ⊥, mais comment caractériser l'idée de 𓁝[♻]; autrement dit de quoi un "ℝ^∞" pourrait-il être une "partie" ?

- Du vide ?

- Voilà !

- Mais le vide n'est-il pas appréhendé ex ante : 𓁝[∅] ?

- Je pense que c'est toute l'histoire de l'espace [♻]𓁜⇆𓁝[∅] qu'il nous faut à présent bien comprendre, et par pur souci d'économie de notre énergie intellectuelle, il faut penser en termes de symétries.

- J'ai compris : en  [⚤]_♧𓁜, de l'unité, [∃]→[⚤]𓁜 on passe au multiple, par la répétition, et donc, symétriquement, d'un vide primordial 𓁝[∅], dans la répétition du mouvement [♻]𓁜←𓁝[∅] on va compter des trous ?

- Ça se tient : le "tout" topologique [#]​​​​​​𓁜 se ramène en [♻]𓁜 à un décompte de trous, c'est l'essence même de la "topologie".

- Et comment vas-tu concilier ceci avec la notion de "substance", de "mesure" ou de "quantité" ?

- C'est là qu'il ne faut pas quitter des yeux notre ami Lao Tseu :

"On perce des portes et des fenêtres pour faire une maison. C'est de leur vide que dépend l'usage de la maison.
C'est pourquoi l'utilité vient de l'être, l'usage vient du non-être." (Tao Te King)

L'objet est en relation avec le vide par ses bords (les portes et fenêtres), et Poincaré nous fournit les lacets pour lier l'objet au vide, si je puis dire.

- Oui, j'ai compris, mais comment passes-tu de l'unité de l'objet, dans son épaisseur ou sa substance, avec comme nous l'avons vu dernièrement une "unité" intrinsèque (voir Note 1 dans "#13").

- C'est là qu'intervient le déclic qui s'est fait en moi en revoyant cette vidéo de Wildberger hier (ici), lorsqu'il parle des groupes quotients du type ℤ/nℤ.

1. Disons qu'en [♻]𓁜 je me fasse une idée "substantielle" de l'objet, que j'approche par le "dehors", comme la mise en forme d'un litre d'eau (substance) dans une casserole (la surface);
2. On sait caractériser un "objet" par les "trous" de sa structure (en tournant autour);
3. La question c'est le passage 𓁝[♻]→[♻]𓁜, à comparer au passage [♻]𓁜←𓁝[∅].

L'idée qui me vient, et que je voudrais décanter avec toi est celle-ci : pour s'en sortir, il faut prendre en compte le fait que la situation décrite ici comme relevant de la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) est déjà conditionnée par des choix faits en mode ♡, impliquant une approche également dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡).

- Je ne vois pas où tu veux en venir ?

- Poursuivons dans cette voie des mots. L'idée d'une "unité" de l'objet est du domaine de la voie des mots : l'objet est "un" pour moi, et non en soi. Lorsque par exemple je dote un point d'une structure algébrique ℤ, c'est un choix d'écriture 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜. De même, lorsque je lui donne comme "mesure" 1, c'est un choix 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜.

- Autrement dit tu décides de "voir" un objet au lieu du vide ?

- Essayons de voir où ça nous mène. Mon choix détermine l'unité. Par exemple la vitesse de la lumière est l'unité de vitesse, ou pour les nombres p-adiques : la mesure de la distance entre 0 et ∞ dans ℤp vaut "1". Ensuite, mesurer consiste à rapporter une observation à cette "unité".

- D'où tes réflexions d'hier sur la position en [♻] du concept de "quotient", et de ℚ en particulier ?

- Exactement. Avec la structure de groupe, tu peux couper en 3 parties un objet infini, par exemple ℤ, en l'écrivant sous la forme ℤ/3ℤ; je te renvoie à la vidéo à 16'.

Maintenant, et là c'est subtil : les groupes d'homologie Hn sont définis comme quotient : Hn=ker∂_n/Im∂_n+1 autrement dit, Hn est le complément dans ker∂_n de l'image de l'objet en Dn+1,

H_n compte les trous de la structure.

Si l'objet est "plein", dans l'exemple ici : H₂(X₄)=Z₂/B₂=ker∂₂/Im∂₃=⟨A-B⟩/⟨A-B⟩, alors sont complément est vide et H₂(X₄)=0.

- En quoi ton écriture nous éclaire-t-elle ?

- Je l'interprète ainsi :

• En [#]​​​​​​𓁜 : je décris l'objet par ses "bords";
• Dans [#]​​​​​​𓁜→𓁝[♻], l'attention est dirigée vers l'objet initial, vide [∅];
• L'expression du quotient H_n=ker∂_n/Im∂_n+1 se fait dans un double mouvement 

  		𓁝♡♻
  		↓
  𓁝[♻]♢	→	([♻]♢𓁜)♢♻𓁜

• L'objet est "plein" ou de quotient=1 quand le complément est vide : il n'est le bord de rien au-dessus de lui.
• Ensuite : [♻]_♢𓁜→𓁝_♢[∅]. D'une suite indéfinie de H_n=0 à partir d'un certain rang, tu peux dire que l'objet est situé dans le vide; ce qui est en phase avec l'idée d'équivalence des postures [♻]𓁜⇆𓁝[∅].

- Où le vide est le complément du 1 comme dans la logique du 1^er ordre, non ?

- Nous ne parlons plus du singleton (*), et de ses parties {*} et { }, mais d'un objet lui-même décomposable en parties. Ceci dit, sans doute y a-t-il une symétrie de cet ordre entre les niveaux [⚤]_♧ et [♻]_♧.

Il y aura encore beaucoup à méditer sur le sujet, pour que tout ceci devienne limpide, j'en ai conscience. Mais il me faut du temps.

- Un premier test sera de voir si cette approche éclaire un peu la démarche cohomologique.

- À suivre.

Hari