Une question d'orthogonalité

Le 12/ 10/ 2023, Udaipur

- Je profite des longs trajets d’une ville à l’autre du Rajastahan, pour repenser tranquillement à mes derniers articles (voir ici), en écoutant en boucle les deux vidéos de Jean Bénabou concernant les «flèches cartésiennes» et les «foncteurs cartésiens» (Note 1). J’en suis réduit à méditer ses paroles, faute de pouvoir écrire en voiture. Et la question qui s’impose à moi, depuis Jaisalmer en gros, c’est «qu’est que l’orthogonalité entre deux actions?».

- Je ne comprends pas, peux-tu développer?

- Il s’agit toujours de ma difficulté à penser «actions du Sujet», ou flèches ou foncteurs en mode ♢ quand mon esprit veut à tout prix une représentation géométrique, de type [#]^♧. J’en ai pris conscience tout simplement lorsque Bénabou, parlant de la projection d’une flèche de morphisme d’une catégorie X sur une base quelconque B, définit orthogonalité d’une «flèche verticale» en X par sa projection sur l’identité en B; là où je voyais instinctivement un point de projection, comme sur un dessin.

D’où ma méditation autour du concept plus général d’orthogonalité entre actions..., puisque le mode ♢ est essentiellement celui de l'action du Sujet comme des rapports qu'il établit entre objets.

- Tu en as déjà une petite idée avec la structure des groupes séparés en [⚤]^♢.

- Oui, certes. Dans un groupe de (translations t + rotations r), l’action combinée r-¹•t•r ou t^-1•r•t te donne dans le premier cas une translation t et dans le second une rotation r, c’est ainsi que l’on définit la séparation entre sous-groupes; mais je te parle ici d’une représentation au niveau du continu [#]^♢.

- Et bien remets-t’en à Bénabou, puisque c’est précisément de cela qu'il parle.

- Mais ce n’est pas simple, car j’ai l’intuition qu’il parle en fait sur deux modes distincts:

• En mode ♢: d’une orthogonalité entre flèches;
• En mode ♡: d’une orthogonalité entre foncteurs.

- À quoi tient cette intuition ?

- Au fait que Bénabou nous parle d’élargir la problématique initiale de Grothendieck en passant à une définition des foncteurs cartésiens, non plus à partir d’une catégorie, mais de ce qu’il définit comme des «générateurs». Or, et c’est là ce qui m’a chamboulé la tête, il pense à ces «générateurs» dans une relation directe à la catégorie la plus élémentaire Ens, et je vois immédiatement dans ce court-circuit, notre relation triangulaire entre les modes ♧, ♢ et ♡, dans laquelle le mode ♢ est vu comme un mode intermédiaire s’intercalant entre ♧ et ♡ à la suite de la révolution Galoisienne…

Moebius 3 bandes	Coupe

D’où une remise en perspective assez profonde de ma façon d’envisager notre propre développement Imaginaire, comme d’une croissance «par le milieu», entre ♧ et ♡ et non plus au-dessus, comme l’ajout d’une couche de nappage sur un gâteau déjà constitué.

- C’est quelque chose que tu avais déjà envisagé en parlant de philosophie. 

- Et ça se confirme ici. Il faut comprendre très généralement la révolution Galoisienne comme l’ajout concomitant du niveau [#] & du mode ♢ au coeur même d’un Imaginaire déjà structuré sur deux modes ♧ & ♡ et deux niveaux [⚤] & [♲].

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- Bon, soit, c’est d’un intérêt historique, mais est-ce véritablement important pour avancer dans ta compréhension de la topologie algébrique ?

- Tu manques la perspective qui s’offre à nous. J’avais écrit un article tentant de cadrer le discours du physicien, et ce qui s’impose ici à moi, indique que je me trompais alors. La mécanique quantique n’est pas une «surcouche» en mode ♡ d'une mécanique classique de mode ♢, mais s’insère en mode ♢ entre un mode syntaxique ♡définissant ses principes fondamentaux — en particulier avec les travaux de Lagrange et Maupertuis — et les observations que l’on en tire en mode ♧.

- Et c’est grave docteur?

- J’avais imaginé que l’objet initial de la méca Q était ih, en insistant sur ce «i» marquant l’orthogonalité fondamentale entre temps et espace, quand on sait par ailleurs leur lien relativiste. Il apparaît maintenant qu’en inversant l’ordre d’entrée en scène de la mécanique classique (vu maintenant en ♡) et la méca Q (vue en ♢), tout devient plus évident.

- De quelle évidence parles-tu?

- De notre difficulté à placer le concept de spin par exemple.

• La mécanique classique se pense sur deux modes ♧ & ♡, se bouclant l’un sur l’autre comme un ruban de Moébius (voir les 4 modes Imaginaires), sur une surface Imaginaire isotrope (une main gauche peut se superposer à une main droite, lorsque l’on passe d’un niveau à l’autre);
• La méca Q brise cette isotropie avec une surface Imaginaire comme un tore. Et l’on peut considérer que l’expérience de Stern et Gerlach repère cette anisotropie sous forme de «spin», correspondant à l’introduction du mode de pensée ♢.

D’autre part, si tu considères la méca Q en ♢ comme une expression sémantique d’une syntaxe plus globale, dont elle ne serait qu’une image particulière alors, il me semble plus facile d’inscrire dans cette perspective la théorie de jauge, chaque «jauge» étant l’expression physique d’un groupe de symétrie particulier en [⚤]^♢. Il y aurait dans le passage de ♢ à ♡ comme la représentation par un atlas de cartes d’un territoire inaccessible.

- Quel est le lien avec notre orthogonalité?

- Je n’en sais trop rien, je te parle juste ici d’une méditation autour d’un discours de Bénabou que je maîtrise encore mal. Je le note simplement au passage, pour y revenir ou pas par la suite, en fonction de ma propre évolution. L’impression encore toute fraîche que je retire de Bénabou, c’est qu’il nous parle sur deux modes différents ♢ & ♡, et qu’en mode ♡, la définition d’un foncteur cartésien implique fortement l’axiome de choix.

À suivre donc...

Hari

Note 1 :

Voir : une présentation de 1h 27'

et une présentation très ramassée de 45'