Foncteurs cartésiens - Jean Bénabou

- Je fais encore une aparté dans mon article sur les faisceaux, poussé vers le haut en quelque sorte, à ma lecture de vidéos de Jean Bénabou.

- Vers le haut ?

- Oui, parce que nous élargissons le débat, à la manière de Grothendieck lui-même, dans l'espoir que rétrospectivement, tout se mette en place simplement. Et justement, à ce propos, commençons par cette rage à peine rentrée de Bénabou contre une approche anglo-saxonne limitée à des catégories fibrées, alors qu'il adopte un point de vue beaucoup plus général, au-delà de l'équivalence entre pseudo-foncteurs et catégories fibrées initiale.

- Si je comprends bien, la fibre, et la fibration se décanteraient progressivement, comme tu t'évertues à le faire dans ton apprentissage (poussif il faut bien le reconnaitre), des faisceaux, quand Bénabou te laisse espérer aborder le sujet par le haut, si l'on s'en tient à ton intuition (voir "La cohomologie #2") que le mode syntaxique ♡ doit se décrire par des bi-catégories (où la réflexion porte sur les flèches et non les objets des catégories).

- Exactement, et dans cette bataille moderne Grothendieck/ Lawvere, je retrouve l'écho d'une dualité d'approche qui éclate philosophiquement entre Descartes et Bacon, entre structruralisme et empiriste...

- En bref entre deux mouvements contraires, vus par Spinoza et que tu représentes par S↑ et S↓ ?

- Oui, nous en sommes là.

- Bon, soit, mais si tu te lançais ?

- Depuis le 20/ 03, j'ai tourné en boucle, pour arriver à ce schéma concernant la pré-fibration, la fibre et le germe :

• La fibre comme saut ultime 𓁝[#]↓[#]𓁜 d'un processus [#]𓁜 (i.e. : une suite de restrictions);
• Le germe comme vue perspective locale 𓁝[#] de cette fibre [#]𓁜;
• Le point en [⚤]𓁜 comme expression discrète / algébrique du germe 𓁝[#];
• Le point comme élément 𓁝[⚤] d'un groupe𓁝[⚤]𓁜,

- Il ne reste plus qu'à repasser de la structure entre éléments du niveau [⚤] à [#].

- Où nous retrouvons Grothendieck s'intéresser à l'image réciproque des éléments d'une base 𝔹 dans une catégorie 𝕏 au-dessus de 𝔹.

Et ce qui mijotait à feu doux m'est apparu enfin comme une évidence :

• un point vu [⚤]𓁜 représenté par ℤ vu de 𓁝[⚤] (i.e.: les points de ℤ sont isomorphes), `
  correspondent à la restriction qui abouti à représenter
• une fibre en [#]𓁜 par un germe 𓁝[#] (i.e.: la fibre se protège sur le germe).

À partir de ce constat, qui n'est qu'un "point" de départ, si je puis dire, ma réflexion s'organise autrement.

- C'est-à-dire ?

- Après ce premier rapprochement [⚤]^♢/[#]^♢ (qui reprend une différence d'approche entre homologie ↓ et co-homologie ↑ déjà identifiée),  je n'ai plus à me focaliser sur la descente ♢↓♧ initiale, car j'ai acquis la compréhension d'une équivalence des points en [⚤]^♢ et des germes en [#]^♢, qui me permet de réorganiser rétrospectivement toute mon approche de mode objectif ♧; et ce qui m'intéresse maintenant, de façon générale, c'est la répétition du va-et-vient  [⚤]^♢⇅[#]^♢ purement en mode ♢ —dont la limite serait le saut de mode ♢↑♡. 

Nous faisons face à un changement de perspective qui, en mode ♧, correspondait au passage de la répétion de la succession ⇅ à celle d'orthogonalité ⊥. Ici, l'orthogonalité en [#]^♢ nous conduit à tourner notre regard d'un saut de mode ♢↓♧, à un saut de niveau [⚤]←[#] !

- Mais concrètement ?

- En repensant à toute notre discussion autour de l'identité et de l'idempotence, je suis tenté de redresser ainsi la perspective, une fois acquis le concept de fibre, et le retournement germe — 𓁝/ 𓁜 —point :

	discontinu algèbre		continu topologie
	𓁝[⚤]𓁜			𓂀♢
	𓁝[⚤]𓁜	←	𓁝[#]𓁜

Reprise, après réflexion (voir ici dans "Cohomologie - #3") :

	discontinu algèbre		continu topologie
	𓁝[⚤]𓁜	⇆		𓂀♢
	↑		↓
	𓁝[⚤]𓁜	⇆	𓁝[#]𓁜

Et du coup, tout me paraît plus simple., avec en prime l'évidence que la grande question en [#]^♢ doit porter sur l'orthogonalité elle-même. (Note 1)

- Et c'est par là qu'attaque Bénabou ?

- Oui, en introduisant ses "flèches cartésiennes".

Le 12/ 10/ 2023 — Udaipur :

- Durant ma petite escapade au Rajasthan, j'avoue tourner au ralenti.

Mais du coup, ça me donne le temps de méditer sur le concept d'orthogonalité, que je développe en aparté dans l'article suivant, car la question m'oblige à reprendre pas mal de choses encore mal ficelées, en particulier en physique.

Le 15/ 10/ 2023 — Pushkar :

- J'en reste toujours à.mon questionnement concernant l'orthogonalité et, après les errements de l'article précédant, il me vient qu'il s'agit en fait d'une question syntaxique, à traiter en mode ♡, ce qui me ramène à ce passage de Bénabou, à 41' de sa présentation.

- Tu montes dans les tours alors que tu n'as encore rien compris aux éléments de base du discours...

- À mon avis, tout s'éclairera d'un coup. Pour l'instant, suivons comme nous le pouvons notre Bénabou à la recherche d'une propriété universelle permettant de définir la construction de Grothendieck (i.e.: définissant un pseudo-foncteur P comme une catégorie fibrée 𝔾r(P)).

Posons que nous sommes en mode ♡.

L'extension de la construction P : 𝔸^op ⇸ ℂat au-delà de ℂat qu'il propose est de passer à un distributeur (voir la vidéo pour les détails), ce qui l'amène à considérer un foncteur de A → Ens^B ou B̂. Or, un "gros objet" de B̂ pointant sur un objet de B, me semble être l'équivalent en mode ♡, d'une préfibration en mode ♢.

- Et tu espères qu'avec son distributeur Bénabou t'amène sur un plateau la connexion entre les trois modes Imaginaires, grâce à ses jeux d'écriture ?

• Du mode ♡ vers ♢ : en passant par les concepts de fibration et de feuilletage; 
• Du mode ♡ vers ♧ : dans l'expression B^op x A →  Ens.

- Oui, il y a quelque chose de cet ordre à mettre à jour, à partir de la compréhension

• En mode ♡ : de B̂ comme colimite des objets de B. (voir à 44')

La question syntaxique qu'il aborde étant celle de la composition des foncteurs de type A→B̂.

Je reproduis ici son développement concernant la composition de deux distributeurs φ et ψ :

Qui se transforme en composition de foncteurs :

Où B̂ est une colimite des objets B.

Ensuite, il utilise cette syntaxe ♡ pour reprendre très globalement son discours en ♢, à partir de 47'.

Du coup, si j'ose dire, je pars en ballade avec cette idée en tête : l'orthogonalité a à voir avec les colimites, et donc, plus fondamentalement, avec la posture ex post 𓁝, à partir de laquelle nous avions identifié une coupure radicale entre ☯[∃][⚤]𓁜 et 𓁝[#][♲][∅]☯, primitive pour tout dire, car elle nous renvoie au stade du miroir que chaque enfant a vécu un jour ou l'autre.

Ça nous permettra sans doute de comprendre de façon plus universelle le premier retournement 𓁝/𓁜 en mode ♧. La posture locale 𓁝 permet en effet de rapprocher ces différences caractéristiques :

• vu de 𓁝[#] un objet fait partie d'un tout (hypothèse de la continuité);
• le principe de répétition attaché à [#] est associé à une orthogonalité ⊥;
• l'orthogonalité se définissant très généralement comme la position particulière du Sujet dans un espace où ce qu'il perçoit 𓁝[#] d'un ensemble d'objets est identifié [⚤]𓁜 comme "point". Typiquement :
  • en 𓁝[#]^♧ ; une droite orthogonale à un plan se projette en un point;
  • en 𓁝[#]^♢; une fibre se projette sur un germe;
  • en 𓁝[#]^♡; un objet B̂ est une colimite d'un objet de B.

Je pars ruminer ceci au pas chaloupé de mon dromadaire...

Le 16/ 10/ 2023 — Jaipur :

- Désolé de tourner autour de ce texte pour m'en imprégner, mais mon ignorance me force à cette approche tarabiscotée : ma compréhension se construit par essais et erreurs. Je reviens donc plus en détail au début de l'exposé (à 8') où Bénabou définit la catégorie 𝔾r(P):

1. à une catégorie 𝔸, on associe un pseudo-foncteur P : 𝔸^op ⇸ ℂat, (i.e. : 𝔸 est vu comme cible du pseudo-foncteur P et ℂat est la Catégorie des catégories ;

2. 

   dans la catégorie 𝔾r(P) :
   • Les objets de 𝔾r(P) sont des couples (A,X) où :
     • A ∈ 𝔸
     • X ∈ P(A) : la fibre au-dessus de A
   • Un morphisme (A',X')→(A,X) est un couple (α,f) où :
     • α : A'→A
     • f : X'→α*(X) (Bénabou ne définit pas α*, d'après le contexte j'en déduis que α*∈P(α))
3. 𝔾r(P) est une catégorie fibrée sur la base  𝔸 : 𝔾r(P)↓𝔸

J'ai un peu de mal comprendre la suite, car Bénabou embraie directement (à 13') sur les flèches cartésiennes,  et prend un foncteur p d'une catégorie 𝕏 sur une base 𝔹 (soit p: 𝕏↓𝔹), en indiquant que ce 𝕏 reprend "toute la smala précédente" (à 13"20), ne sachant pas si dans son geste, il embrasse les faisceaux sur 𝔸 ou si son nouvel 𝕏=𝔸^op ⇸ ℂat. Dans ce dernier cas les deux bases 𝔸 et 𝔹 sont distinctes :

• 𝔸 est interne à 𝕏;
• 𝔹 est une base externe à 𝕏.

- J'ai l'impression d'une diaphonie entre les deux modes de discours (♢ & ♡) qui nous occupaient hier. 

- Oui, mais suivons-le sur le terrain des flèches cartésiennes, pour voir comment il revient à 𝔾r(P) ensuite.

Soit une flèche k: X'→X dans 𝕏; la projection p : 𝕏↓𝔹 envoie

• X'↓p(X')
• X↓p(X)
• k↓p(k)

k est "cartésienne" ssi 

• ∀Y∈𝕏 avec f: Y→X
• ∃ ! r : Y↓X' 
• p(r)= Id_𝔹 (i.e. : Y et X' ont même projection en 𝔹)

Définition : 

Le foncteur p : 𝕏↓𝔹 est une fibration au sens de Grothendieck si,

• 1/ pour tout couple :
  • X∈𝕏
  • α∈𝔹 : →p(X) — i.e. : une flèche α dont le but est p(X)

Il existe une flèche cartésienne k∈𝕏 telle que p(k)=α

• 2/ Le composé de deux flèches cartésiennes (composables), est cartésien.

- Franchement, j'arrive à lire tout ceci, mais je reste sur ma faim. Je n'arrive pas à imaginer ce que serait un "feuilletage" de 𝕏, à partir d'une fibration qui, elle, me semble plus facile à me représenter. Pourquoi cette unicité de r dans la définition, par exemple, et comment interpréter cette remarque finale de Bénabou sur la nécessité d'avoir "suffisamment" de flèches ?

- Pour l'unicité, j'ai ma petite idée. Reporte-toi au triangle de Penrose (voir ici dans "La cohomologie et toutes ces sortes de choses"): pour reconstruire globalement une image 3D à partir d'éléments séparés, il faut que 2 points sur l'un de ses élément conservent leur ordre de présentation dans l'arrangement global, c'est ce qu'explique Basile Pillet dans sa présentation. En cohomologie, cette nécessité s'exprime algébriquement, en [⚤]^♢𓁜; ici, Grothendieck l'exprime directement en 𓁝[#]^♢ : il n'y a qu'un seul r, et le point point A1 du triangle ne peut pas être à la fois devant (localement) et derrière (globalement) B1. Et cette unicité intéresse précisément l'axe qui n'est pas perceptible depuis 𓁝[#]^♢, à savoir la fibre au-dessus de A1.

En ce qui concerne le "suffisamment", ça reste plus vague. Nous n'avons pas de difficulté à "voir" des objets, habitués que nous sommes à ce que le moindre d'entre eux soit éclairé par une quantité proprement astronomique de rayons lumineux faisant le lien entre eux et l'observateur. Suppose que nous n'ayons pour nous repérer que les éclaboussures de goutes d'eau sur une surface translucide, c'est déjà moins évident à repérer, surtout si la pluie est éparse. Voilà pour la fibration. Ajoute à cela que tu ne vois plus ces impacts des gouttes sur la surface, mais en soit réduit à les entendre, et pour corser le tout, à les entendre sur une bande étroite, voir discrète, par exemple en te limitant à un octave, non seulement les fibres sont peu nombreuses, mais encore les flèches entre points d'impact sont si faibles, que tu aurais du mal à te représenter le contour d'un volume. Voilà pour l'instant le peu que j'en comprends.

- Tu ce que tu veux, mais je n'ai toujours pas mon "feuilleté".

- Et tu ne l'auras qu'en choisissant de le voir.

- Je ne comprends pas ?

- Nous sommes ici dans la construction d'une image réciproque, en partant d'un point de vue strictement local 𓁝[#]^♢, et tu n'as aucun moyen immanent de passer de 𓁝[#]^♢ à [#]^♢𓁜. Et c'est Bénabou qui va te donner la réponse, plus loin dans la vidéo en revenant à l'axiome de choix qui lui est nécessaire, lorsqu'il parle de la seconde condition concernant la définition d'un foncteur cartésien, autrement dit dans un discours de mode syntaxique ♡.

- Quel énoncé de l'axiome de choix ?

- Très simple : si tu as une application surjective f : 𝕏 → 𝔹, alors il existe (ou tu peux choisir) un section s : 𝔹→𝕏, autrement dit, telle que f.s= Id_𝔹. Et ton idée d'avoir un feuilletage tout simple, fait de couches parallèles bien propres sur elles qui s'imposerait à toi comme un gâteau prêt à croquer relève du fantasme; ou d'une construction pâtissière.

- Il doit bien y avoir une sorte de principe économique qui va me faire préférer construire des nappes perpendiculaires aux fibres, non ?

- Tu l'as dit : un principe économique, ou de moindre action, mais pour cela, il faut une sorte de norme, de niveau [♲] pour régler le niveau [#], mais c'est en dehors du cadre où nous nous situons. Nous en restons pour l'heure à la possibilité de réaliser une chaîne de flèches cartésiennes au-dessus de 𝔹 (grâce à l'axiome 2 & l'axiome de choix), qui repose in fine sur l'unicité de r, dans la définition d'une flèche cartésienne; il est là ton feuilletage.

Le 20/ 10/ 2023 — Ranthambhore :

- Pas vu la queue d'un tigre ce matin... En attendant de remettre ça cet après-midi, je corrige encore mon texte, et dois bien reconnaître que j'ai du mal à cerner toute la présentation de Bénabou.

Je manque de culture mathématique, c'est évident, néanmoins, je pense avoir saisi en grande partie les notions de fibration et de feuilletage, et c'était ce que j'étais venu chercher, en conséquence, il est temps de remonter d'un cran dans cette suite d'articles imbriqués pour enfin, je l'espère comprendre le passage d' pré-fibration à fibration.

- Amen, et si tu vois un tigre cet après-midi, laisses-nous une photo !

- Promis.

Hari

PS :

- Tout ce que j'ai pu voir d'un tigre est cet écusson :

- Tu peux toujours te consoler en y pensant comme une image inverse de cette représentation...

Note 1 :

En relisant Identité et idempotence, je me rends compte que mon questionnement comme mon approche  restent inchangés. Je n'avais simplement pas la possibilité de développer à l'époque, faute d'avoir  pensé à la distinction niveau/ mode.

Je m'amuse de voir qu'Étienne Ghys commence son cours en tournant sa parabole de 90° pour représenter verticalement la projection de 2 points symétriques, quand je le fais moi-même ici pour projeter ces mêmes 2 points horizontalement de [#]^♢ vers [⚤]^♢. Ce qui conduit à représenter verticalement ce qui devrait être horizontal... Ça montre une "orthogonalité" entre  [#]^♢ et [#]^♧; ce n'est pas plus mal finalement...

Mais cette relecture me ramène à l'essentiel : ce que je vois en  [⚤]^♢𓁜, ce sont les symétries d'une situation appréhendée 𓁝[#]^♢. C'est l'essence même de ce retournement, à rapprocher de la connexion homologie/ cohomologie.

posons unicité - Mais concrètement ?