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Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Bouclage [♻]→[⚤] #2 — Les nombres p-adiques

Poineau — la Droite de Berkovich sur c(t)

- Maintenant que tu as situé le domaine des p-adiques dans le mouvement Imaginaire [♻]→[⚤] (voir "Bouclage de la quantité sur le nombre"), il est temps d'aborder sérieusement cet univers plein de promesses.

- Effectivement, nous n'avons fait que situer le cadre de l'action. Hier, nous nous sommes un peu familiarisés avec l'écriture sous forme p-adique des nombres déjà connus en ℕ et ℤ , mais nous sommes restés au bord du chemin, car il nous reste à comprendre en quoi ℤp est une extension de ℤ, au même titre que ℝ du côté [⚤]←[#], pour comprendre la symétrie entre les deux approches.

Je te propose de revenir sagement sur les bancs de l'école pour suivre la présentation de Phil Caldero (Note 1). 

1/ Définition de  ℤp:

"On définit p comme l'ensemble des suites (an) avec n∈ℕ : 
an∈[0, Pn+1-1] dans ℤ tel que : ∀ m>n ; an ≡ am mod Pn+1
comme an∈[0, Pn+1-1]; ∃! ui avec 0≤i≤n tel que ui∈[0, P-1] et :
an= u0+u1p1+...+uipi+... que l'on écrit d'habitude de droite à gauche : ...uipi+...+u1p1+u0=an.

La première différence entre un élément de ℤ et de ℤp est que d'un côté, en [⚤] un "élément" est précisément "un élément" in dissécable, quand en [♻] l'élément est un "tout", composé de parties en nombre indéfini, les suites (an).

- Une différence de l'ordre du Un au multiple ?

- Oui, rappelle-toi que le principe de répétition en oeuvre en [♻] est un principe de réduction du multiple vers le Un. Tu vois ici une actualisation de cet automatisme caractéristique du niveau [♻].

- OK, un "élément" de ℤp est une suite, mais alors, de quoi avons-nous parlé hier ?

- De l'écriture de chaque terme de la suite an :  ...uipi+...+u1p1+u0=an. Phil Caldero donne immédiatement un exemple :

"On peut voir un entier z de ℤ, comme une suite (an), en prenant pour an, le reste de z modulo pn+1. Si z est positif, la suite (un) associée est juste l'écriture de z en base p. Posons p=7

  • 1 ↦ (1,1,1,...,1,1...) ↦ ...000001 ;
  • 76 ↦ (6, 27, 76, 76,...,76,...) ↦ ...000136.   "       (à 7'54" de la vidéo)

N'étant pas familier de l'écriture mathématique, je n'avais pas fait suffisamment attention à la différence entre :

  • L'élément (an) de ℤ7, qui est cette suite (an) = (6, 27, 76, 76,...,76,...) et
  • La représentation en base 7 par un nombre (ici ...000136) de cette suite (an), permettant de retrouver notre entier z=76∈ℤ : 6+3x7+1x49 =76.

Je suis désolé de mon manque de souplesse, et qu'il me faille si longtemps pour voir le passage d'une suite infinie de termes en [♻] représentée en [⚤] dans le passage [♻][⚤], par un élément de ℤ.

- C'est comme en tout : il faut manipuler pour apprendre, à force de répétition des gestes...

- Sans doute, toujours est-il que je comprends mieux à présent que les nombres z ∈ ℤ puissent correspondre, en sens inverse [♻][⚤]  à des formes particulières de suites (an∈ ℤp.

- Particulière ?

- Oui : la suite  (an)=(6, 27, 76, 76,...,76,...)∈ℤp correspond à 76∈ℤ; mais prends une suite au hasard comme (6, 26, 76, 76,...,76,...), elle ne correspond à rien dans ℤ...

Ensuite, il est facile de prolonger en ℤp les opérations dans ℤ. Seule la division pose problème, sauf pour P premier. (Note 2)

2/ Valuation et distance ultramétrique :

"Soit a∈ℤp, on note νp(0) = +∞ et νp(a)=m le nombre de zéros au début de sa série formelle a=n≥munpn, um≠0, si a est non nul.

  • On a νp(ab) = νp(a) + νp(b) et νp(a+b) ≥ min{νp(a),νp(b)};
  • On définit la norme : IaIp= 1/pνp(a) et 
  • La distance dp(a,b)= Ib-aIp;
  • L'inégalité triangulaire est respectée, mais de façon bien plus spécifique dp(a,c)≤ max{dp(a,b),dp(b,c)}. "                   (à 15' de la vidéo)

Comme tu le vois beaucoup de choses en peu de mots !

- Nous en avons parlé hier... (voir "Bouclage de la quantité sur le nombre").

- Oui, mais là, c'est plus formel, et il faut acquérir de nouveaux réflexes : la valuation de zéro (une série infinie de zéros) est l'infini, la norme de  IaIp diminue lorsque a grandit, et puis cette distance au comportement étrange...


Le 18/ 01/ 2025 :

- Afin, peut-être de mieux sentir toutes ces choses, je délaisse un moment Caldero pour revenir à la première vidéo de Poineau qui m'était tombé sous la main hier. (Note 1). Je tente de me familiariser avec ce qui avait attiré mon attention en première lecture. Sur un espace sur un corps p-adique k :  (Note 3)

  • => un "ouvert" autour d'un point est également un "fermé";
  • => l'espace associé à k est fait de "points" et n'est pas connexe;
  • => l'espace associé n'est pas forcément localement compact;

La démonstration que la surface est constituée de "points" tient au fait qu'un ouvert est à la fois ouvert et fermé. 

Soit donc un disque D(x,r) autour d'un point x de cet espace, et de rayon r : on peut inclure un disque de rayon r1<r, et donc D(x,r1)⊂D(x,r). Mais comme un ouvert est également fermé, par définition D(x,r) n'est pas connexe. Tu recommences avec D(x,r1) et r2<r1, et par récurrence le seul espace connexe est le point x lui-même... Ça ne te rappelle rien ?

- Les faisceaux de Leray ?

- Ah ! J'aimerais bien en parler avec J.J.L, malheureusement il est un peu loin... Mais ce n'est que partie remise. Gardons-le en mémoire en attendant.

- Il y a une chose qui me dérange un peu, c'est l'utilisation du rayon "r", que l'auteur semble manipuler comme s'il était défini dans  ℝ ? 

- C'est une initiation au domaine p-adique, je pense que l'expression p-adique du rayon ne doit pas modifier l'esprit de cette introduction? À vérifier. Nous en sommes donc au parallèle que l'auteur fait entre un espace classique, sur un corps tel que ℂ, et un espace p-adique sur un corps tel que ℚp , quoique ℂ((t)) à la réflexion soit construit en ℂ (là je suis encore dans le bleu !). je te propose ce tableau en attendant une meilleure compréhension :

Propriété  Espace sur un corps  p-adique Espace sur un corps tel que ℂ
  [♻][⚤] [⚤][#]
connexité non oui
localement compact pas forcément oui

En fait ℤp (anneau des entiers p-adiqes) est connexe alors que ℚp (corps des nombres p-adiques) ne l'est pas (Note 3). J'avoue m'y perdre un peu dans ce mélange de notions algébriques et topologiques, en me raccrochant toutefois au duo archimédien/ non-archimédien; qui semble fondamental. Il y a deux types de corps non-archimédiens : (Note 4)

  • Les corps p-adiques tels que ℤp ou ℚp ; (ou "trivialement valués")
  • Les corps de séries de Laurent ℂ((t)).

- Si tu te reportes à la définition, il est évident que des espaces ℤp ou ℚp sont non-archimédiens, puisque d'une part ils ont un point à l'infini, et qu'il y a des infiniment petits, ce qui découle directement de la définition de la norme ultramétrique.

- Oui, et je comprends l'utilisation de ces séries de Laurent pour atteindre des points de ℂ par un processus non-archimédien. Pour ce qui nous intéresse ici, ℂ((t)) est un ensemble de séries de la forme  {f=∑n≥n0antn | n∈ℤ , an∈ℂ}; si an0 ≠0, la valuation de est |f|=|t|n0...

- Si tu restais sur notre exploration des corps p-adiques ?

Pierre Gomez

- Tu as raison, il est focalisé sur la droite de Berkovitch, et va un peu trop vite pour moi. Je reprends un cours de Pierre Gomez (ici) dans lequel je me suis noyé la première fois : (Note 1) Très sincèrement, je ne sais pas à qui il s'adresse, mais c'est tellement sec ! Bref, je pêche malgré tout l'existence du théorème d'Owstroski de 1916; d'où il découle que les seuls complétés de ℚ sont : (à 4'20")

  • ℝ le corps des réels muni de la norme classique;
  • p  le corps des rationnels p-adiques muni de la norme ultramétrique.

Et là ça m'intéresse beaucoup, parce que ça marque bien l'idée d'une symétrie entre [♻][⚤] et [⚤][#] , avec cette opposition : une infinité de ℚp  face à l'unicité de ℝ.

Ensuite, l'auteur nous dit que ℤp est un anneau compact, et ℚp un corps localement compact... Là il faudra que je comprenne mieux pour faire le rapprochement avec ce que Poineau disait plus haut... (Note 3)

Plus clair pour moi : ℤ est dense dans ℤp (voir ici), Là encore, symétrie avec ℝ qui est dense dans ℤ (voir ici).


Le 20/ 01/ 2025 :

- Par curiosité, j'ai visionné le cours de Pierre Gomez pour voir où il allait, mais c'est trop compliqué pour moi.

- Rien à retenir ?

- Si : la conviction que ces espaces p-adiques sont bien en [♻], et que l'approche p-adique est en phase avec l'analyse classique, les intégrales de Riemann et de Lebesgues. Il y a par ailleurs des concepts facilement représentables en ℂ, comme e2iπ=1, conduisant à un équivalent p-adique =0, ce qui est source de grandes difficultés. (vidéo à 31')

- Ne serait-ce pas lié à ce que tu appelais un choix de point de vue : en p-apique, l'infini ∞ est à un pas du zéro, et donc, faire un "tour complet" sur soi, au point "zéro" en ℂ, reviendrait en ℤp à marcher en ligne droite jusqu'à se retrouver au point de départ ?

- Il faudrait en parler avec un mathématicien ayant le temps et le goût de parler philo, mais se sera difficile : à propos justement de ce e2iπ, Pierre Gomez dit que "personne veut entendre parler de l'axiome de choix"... 

Pour notre propos, qui est le passage [♻]c[⚤], je retiendrais surtout que "la chose" en [♻] ou "quantité conservée" de Noether conduit à la réduction des représentations de niveau [#], jusqu'à la "fermeture" de cette chose. Ici, en ℤp c'est sa norme, puisque l'ensemble ℤp peut être vu comme une "boule fermée" de rayon 1 : ℤp=Bf(0, 1)=x∈ℚp | |​​​​​​x​|p≤1. En physique, je ne reviens pas sur toutes les constantes qui véritablement "ferment" nos représentations.

- OK, on arrête là ?

- Pour tout dire, j'en suis venu à ces nombres p-adiques, en lisant dans "Récoltes et semailles" combien Grothendieck bataillait avec/ contre son élève/ ami Deligne à propos de théories tournant autour d'espace l-adiques, et je me suis dit qu'il devait y avoir un lien... Là, je ne vais pas faire le malin et je te ressors le laïus de Perplexity :

— Q : Chez Grothendieck, qu'est-ce qu'un espace l-adique ?

🤖 : (voir iciUn espace l-adique est un concept mathématique introduit par Alexandre Grothendieck dans le cadre de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique. Voici une description détaillée de ce qu'est un espace l-adique : 

Définition

Un espace l-adique est un type d'espace topologique qui se base sur la notion de "valeur l-adique", où "l" est un nombre premier. Ces espaces sont utilisés pour étudier des propriétés arithmétiques et géométriques des variétés algébriques.

Caractéristiques Principales

  1. Topologie l-adique : La topologie l-adique est définie à partir d'une valuation associée au nombre premier "l". Cette valuation permet de mesurer la divisibilité des éléments par "l" et d'établir une distance p-adique, similaire à la distance p-adique utilisée pour les nombres p-adiques.
  2. Espaces de faisceaux : Les espaces l-adiques sont souvent considérés dans le cadre de catégories de faisceaux, où ils permettent d'étudier des propriétés géométriques et topologiques des variétés sur des corps de nombres.
  3. Applications en géométrie algébrique : Les espaces l-adiques jouent un rôle fondamental dans les théories de la cohomologie étale et cristalline, qui sont essentielles pour comprendre les propriétés des variétés algébriques sur les corps finis et les corps de nombres.

Importance

Les espaces l-adiques sont cruciaux dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment :

- Géométrie algébrique : Ils permettent d'étudier les propriétés des variétés algébriques en utilisant des méthodes arithmétiques.
- Cohomologie : Les espaces l-adiques sont utilisés pour définir des théories de cohomologie qui fournissent des informations sur la structure des variétés.
- Théorie des nombres : Ils aident à relier les propriétés géométriques aux propriétés arithmétiques, facilitant ainsi des résultats profonds en théorie des nombres.

Conclusion

En résumé, un espace l-adique est un cadre mathématique qui permet d'explorer les interactions entre la géométrie et l'arithmétique à travers une topologie définie par une valuation associée à un nombre premier "l". Ces espaces sont fondamentaux dans le développement moderne de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres.

— Q : Y a-t-il un rapport avec les nombres p-adiques ?

🤖 : (voir iciOui, il existe un rapport entre les espaces l-adique et les nombres p-adiques. Voici une explication détaillée de cette relation :

Espaces l-adique et Nombres p-adiques

  1. Nombres p-adiques
    Les nombres p-adiques sont un système de nombres qui étend les nombres rationnels en utilisant la valeur p-adique, qui mesure la divisibilité par un nombre premier "p". Ce corps, noté ℚp , est construit en complétant avec respect à la distance p-adique, définie par :dp(x, y) = |x - y|p où |x|p est la valeur absolue p-adique de "x".
  2. Espaces l-adiques
    Les espaces l-adique sont des structures similaires mais se basent sur une valuation associée à un autre nombre premier "l". Ces espaces sont utilisés pour étudier des propriétés arithmétiques et géométriques des variétés algébriques. En effet, chaque espace l-adique est associé à un corps local qui utilise la valuation l-adique, ce qui permet d'analyser les propriétés des objets mathématiques dans le cadre de la théorie des nombres.
  3. Relation entre les deux
    • Structure Analogue : Les espaces l-adique et les nombres p-adiques partagent une structure similaire en ce sens qu'ils utilisent tous deux des valuations basées sur des nombres premiers. Cela permet d'appliquer des méthodes analogues dans leur étude.
    • Applications en Géométrie Algébrique : Les deux concepts sont fondamentaux dans le développement de la géométrie algébrique moderne. Les nombres p-adiques sont souvent utilisés pour traiter des problèmes arithmétiques, tandis que les espaces l-adique permettent d'étendre ces idées à d'autres contextes, notamment dans la cohomologie étale.
    • Théories Associées : Les théories de cohomologie étale et cristalline font appel à ces constructions pour relier les propriétés géométriques aux propriétés arithmétiques. Les espaces l-adique permettent d'étudier des variétés sur des corps de nombres en utilisant des techniques similaires à celles utilisées pour les nombres p-adiques.

Conclusion

En résumé, il existe une relation étroite entre les espaces l-adique et les nombres p-adiques, tous deux étant basés sur des valuations associées à des nombres premiers. Ils jouent un rôle crucial dans l'arithmétique et la géométrie algébrique, permettant d'explorer des propriétés mathématiques complexes à travers différentes perspectives." Perplexity

Comme tu le vois c'est très général, (j'ai appris à me méfier des IA...).  Maintenant, il conviendrait de définir les connexions imaginaires entre "espace l-adique et "nombres p-adiques".

- A priori les nombres p-adiques sont au niveau [♻] en rapport avec des groupes [♻][⚤], comme ton exploration le montré, quant aux "espaces l-adiques", surtout avec les faisceaux de Leray, ils sont en [#], et la cohomologie en [⚤], dans un rapport déjà identifié : [⚤][#], où tu as déjà installé a priori les schémas de Grothendieck.

- Oui, mais toute la question est de savoir si la projection est directe , comme tu viens de l'écrire [⚤][#], ou s'il faut partir de [♻] : tel que [⚤][#][♻] ?

- À moins qu'il ne faille reprendre la fermeture Imaginaire:

- Je doute que nous nous déplacions purement sur la voie des choses, il faudra sans doute naviguer également sur la voies des mots, comme nous l'avons vu à propos du passage  [♻]→↑[⚤], qui n'est pas si simple qu'il en a l'air ! (voir #1

voie des mots (♧𓁝𓁜♡)    voie des choses (𓁝𓁜

- Pas mal de pain sur la planche ! 

- Eh oui, à suivre donc.

Hari

Note 1 :

Liste des sites traitant du sujet :

Jérôme Poineau :

Phil Caldero :

Eric Rowland :

Superscript :

VisualMath :

Pierre Colmez :

Note 2 :

Cela tient à l'unicité de la division dans un corps tel que ℚ, c.-à-d. l'existence d'un inverse pour chaque élément du corps.

  • Un corps est défini comme un ensemble dans lequel chaque élément non nul a un inverse multiplicatif. Cela signifie que pour tout élément non nul a, il existe un élément a-1 tel que : a.a-1=1
  • Si nous supposons qu’il existe un diviseur de zéro dans ℚ, disons un élément non nul "a" tel que a.b=0:
  • Pour un certain élément non nul b, nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par l’inverse de  a (qui existe puisque a est non nul) :
  • Cela signifie que : a-1(a.b)=a-1.0; et implique que b=0, ce qui contredit notre hypothèse que b est non nul.
  • Par conséquent, il ne peut pas exister de diviseur de zéro dans un corps.

Note 3 :

Il semble y avoir une légère confusion quant à la complétude et la compacité de ℤ et ℚ (voir la suite du texte.

Je m'y perds un peu dans la terminologie employée.et je me mélange facilement les notions. Perplexity me donne :

  • ℤp est un anneau, comme  ℤ;
  • ℚp est un corps (l'auteur parle ici d'un corps k) , comme ℚ.

Compétude : Toute suite de Cauchy converge (dépend de la métrique):

  • ℤp Cet ensemble est un anneau complet pour la norme p-adique, ce qui signifie que toute suite de Cauchy dans  converge vers un élément;
  • Le corps ℚp, quant à lui, est défini comme le complément de ℚ pour la valeur absolue p-adique. Il est également complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy dans  converge vers un élément de ℚp. En fait, la construction de ℚp repose sur l’extension de la valuation p-adique à l’ensemble des rationnels ℚ, permettant ainsi de définir une distance qui satisfait les propriétés d’une métrique ultramétrique.

Connexité : Présence de trous ou pas.

  • ℤp : l’anneau des entiers p-adiques  est un espace topologique qui n’est pas connexe. En effet, il peut être décomposé en une union de deux parties disjointes : les entiers p-adiques positifs et les entiers p-adiques négatifs, avec le zéro comme point de séparation. De plus, la structure de base p des nombres p-adiques montre qu’il existe des “trous” entre les différentes classes d’équivalence sous la valuation p-adique, ce qui empêche la connexité.
  • ℚp : Le corps des nombres p-adiques ℚp est, en revanche, un espace connexe. Cela découle du fait que tout élément non nul de ℚp peut être écrit sous la forme Pk.u, où k est un entier et u est un élément inversible dans ℤp. Par conséquent, il n’existe pas de séparation en deux parties disjointes dans ℚp.

Compacité : propriété topologique des boules fermées.

  • ℤp : L’anneau des entiers p-adiques  est compact. Cela découle du fait que toute boule fermée dans cet espace est compacte. En effet, les sous-ensembles de ℤp qui sont fermés et bornés (dans le sens de la topologie p-adique) sont compacts, ce qui est une propriété clé des espaces topologiques en général. Plus précisément, les boules fermées Bf(x,n) de la forme : x∈ℤp | νp(x)≤n sont compactes pour tout entier n. Par conséquent, ℤp est un espace compact.
  • ℚp : En revanche, le corps des nombres p-adiques ℚp n’est pas compact. Bien qu’il soit localement compact (ce qui signifie qu’il est compact à l’intérieur de chaque boule fermée), il ne satisfait pas la propriété de compacité globale. En effet, une caractéristique d’un espace non compact est qu’il existe des suites qui n’ont pas de point d’accumulation dans l’espace considéré. Par exemple, les suites de Cauchy dans ℚp peuvent diverger vers l’infini, ce qui empêche la compacité.

Résumé
    •ℤp     : Compact, car toutes les boules fermées sont compactes.
    • ℚp    : Non compact, bien qu’il soit localement compact.

Bon, à comprendre et apprendre jusqu'à ce que se soit instinctif.

À noter que ℤp peut être vu comme la "boule fermée" de rayon 1 :   ℤp=Bf(0, 1) = x∈ℚp |  |​​​​​​x​|p≤1.

Note 4 :

Les deux corps non archimédiens les plus connus sont :

  1. Les nombres p-adiques ℚp : Ce corps est construit à partir des nombres rationnels en utilisant la valuation p-adique, qui mesure la divisibilité par un nombre premier. Dans ce cadre, il existe des éléments qui sont “plus petits” que tous les rationnels, ce qui empêche l’application de la propriété archimédienne.
  2. Les nombres hyperréels : Ce corps étend les nombres réels en incluant des éléments infinitésimaux et infiniment grands. Les hyperréels permettent de traiter des concepts d’analyse non standard, mais ils ne satisfont pas la propriété archimédienne car il existe des éléments qui sont plus grands que tous les réels, ainsi que des éléments qui sont plus petits que tous les réels positifs.

Ces deux corps illustrent bien les propriétés non archimédiennes, où il est possible d’avoir des éléments qui échappent aux contraintes habituelles de la taille relative observées dans les corps archimédiens comme ℚ ou ℝ.

En fait, c'est l'analyse, en introduisant les infinitésimaux, qui a besoin de corps non-archimédiens, ce qui nous fait bien une séparation entre deux mondes [#] et [♻]. 

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