Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
26 Novembre 2024
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Le 26/ 11/ 2024 :
- As-tu remarqué qu'en faisant une recherche sur cet aphorisme "un bord n'a pas de bord", qui t'a conduit à Badiou par des voies détournées, celui-ci te renvoie à des réflexions sur le passage caractérisé par une dualité d'approches :
- Oui, et en y repensant, ce glissement inconscient cache peut-être quelque chose d'intéressant.
- Une idée affleurante, comme tu les aimes ?
- C'est un exercice subtil que de rester attentif aux divagations de ses idées. Comme elles en prennent à leur aise dès que tu leur laisses la bride sur le cou! Bref, pour en revenir à notre "bordure", comment la caractérises-tu ?
- C'est le passage du volume à la surface, de la surface à la droite et de la droite au point... Pas de mystère.
- Tu ne regardes pas où il faut: il s'agit de régresser à chaque fois d'une dimension.
- Oui et alors ?
- En pensant à cette "dimension manquante", passe de l'homologie à la cohomologie. À l'inverse, tu t'intéresses à présent à l'ajout d'une dimension. Dans les deux cas, tu focalises ton discours sur une dimension.
- Nous faisons la même chose en parlant de la "mesure" : en choisissant une "mesure", tu associes un nombre au repérage de l'objet sur une "échelle" de valeurs.
- Nous sommes bien d'accord; et la raison en est simple : la notion d'ordre est limitée à une et une seule dimension. Mettons tout ceci en musique :
| Ensembles — Logique | Géométrie | Analyse |
| [⚤] | [#] | [♻] |
| D1 ou ℕ | Dn ou ℝn | Dn → D1 |
| Peano Relation d'ordre |
- C'est un constat que nous avons fait il y a bien longtemps, avant même de définir les différents modes de penser.
- Exact, et rétrospectivement, ce schéma, est de mode objectif ♧.
Lorsque nous parlons d'homologie ou de cohomologie, nous nous intéressons aux relations entre objets, en passant des Ensembles aux Catégories, et d'une suite indéfinie en ℕ, nous passons aux groupes, soit finis de type ℤ/nℤ, soient "infinis" de type ℤ en introduisant un point ∞.
- OK, et donc, nous passons de l'indéfini en [⚤]♧ à un "bouclage" en [⚤]♢; c'est l'essence de la révolution Galoisienne et de l'introduction de la théorie des groupes ?
- On peut dire que Galois a recourbé l'espace Imaginaire (oui : Dune) et Nietzsche parlera de "l'éternel retour" à l'époque où la théorie des groupes révolutionne les mathématiques...
- Reviens aux maths.
- Oui, bon, nous en sommes à la montée de mode ♧↑♢, qui modifie profondément l'idée originelle de "successeur", puisque sur un groupe de symétries, par nécessité cyclique, tu repasses toujours par ton point de départ...
- Idée de fermeture que tu retrouves dans celle de "bord" ou de "frontière" ?
- Exactement. Comme tu t'en souviens sans doute, nous sommes arrivés à situer
- Ce qui t'as amené à présenter de façon très générale toute équation algébrique comme un "bord" ?
- Oui, j'en ai parlé dans mon exposé à l'atelier d'Anatole Khelif (voir ici). Tu peux effectivement comprendre le zéro qui apparaît dans une équation du type (.....)=0, comme le constat d'une fermeture.
- Les objets traités dans une équation peuvent avoir plusieurs dimensions, voire une infinité...
- Certes, mais ce qu'en dit l'équation est :
- OK, et donc, ce qui est implicite pour toute équation, devient évident pour les cochaines qui, elles, traitent les dimensions une par une ? C'est bien ça l'idée ?
- Oui, en quelque sorte la cohomologie est une façon de reconstituer l'objet couche par couche, comme le ferait une imprimante 3D, en "circulant" autour de l'objet, strate par strate.
- Et donc ?
- Je crois pouvoir dire que cette approche, se fondant sur une propriété purement "formelle" de ce qu'est un "bord", est une approche de type (♧𓁝𓁜♡).
- J'ai compris : nous avons ici une approche, disons "fonctionnelle", quand l'objet une fois "présent", peut être "représenté" de façon "géométrique", dans une approche (☯𓁝𓁜☯).
- Voilà, tu m'as vu venir avec mes gros sabots : dans l'écriture matricielle, qui m'obsède depuis si longtemps (voir "Matrice"), il y a effectivement un changement de posture du Sujet 𓁝𓁜:
Mais, lorsque tu inverses une matrice, il y a un changement de nature entre :
Et ce changement de perspective me semble être l'essence même du principe de répétition à l'œuvre en mode ♢.
- C'est-à-dire ?
- Les relations entre objets deviennent objet de discours, dans un premier temps, puis ce premier discours est articulé dans un métalangage, et ainsi de suite.
- Pas clair.
- Plus facile à décrire en parlant de "simplexes" ∆n représentant l'objet, pour caractériser la répétition en mode ♢, dans son expression topologique et sa traduction algébrique. (Note 1) :
| Cohomologie | Homologie | |
| ∆n+1 | [⚤]♢ | [#]♢ |
| ↑ cobord | bord ↓ | |
| ∆n | [⚤]♢ | [#]♢ |
Maintenant il s'agit d'installer notre Sujet dans ce dispositif scénique, en nous focalisant sur le niveau [⚤], celui du langage matriciel.
Je te propose ceci :
| ♡ | 𓁝[⚤]♡ | |||
| choix | ↓ | |||
| ∆n+1 | Formes linéaires/ cochaines | 𓁝[⚤]♢𓁜 | structure algébrique | |
| cobord | ↑ | |||
| ∆n | [⚤]♢𓁜 | représentation vectorielle de l'objet |
Ce qui te permet peut-être de mieux comprendre les cochaînes comme délimitant des "parties" 𓁝[⚤]♢ de l'imaginable [⚤]♢𓁜, au sens où, en coupant une tarte, tu délimites "une part" à offrir.
- En quelque sorte, ta compréhension primitive (en ☯𓁝𓁜☯) d'une matrice, masquait ce motif de répétition propre au mode ♢, et qui serait une approche de type (♧𓁝𓁜♡)?
- Oui, la preuve en est qu'une démarche —qui se veut constructiviste— nécessite malgré tout le choix de la part du mathématicien, d'une structure algébrique —notre tarte— pour exprimer les formes linéaires.
- Si je te suis bien, après le premier mouvement, il n'y a plus de distinction formelle (♧𓁝𓁜♡) entre vecteurs et formes linéaires ?
- Ah, là, nous tenons peut-être quelque chose !
- À savoir ?
- Il subsiste une différence fondamentale entre les deux. Lors d'un changement de base, vecteurs et formes linéaires varient de façon opposée. Et là, nous réintroduisons nécessairement le Sujet dans le paysage. (Note 2)
- Tu peux nous la faire simple ?
- Je te propose ceci :
Pour en revenir à nos deux compères Einstein et Bohr, il y a deux relativités de types différents.
- Je vois que tu reparles du niveau [♻] et nous ramène à une discussion essence/ existence ?
- Oui, oui, il faudra remettre notre discussion d'aujourd'hui dans son contexte, mais le point fondamental, parce qu'il s'impose à l'algébriste dès [⚤]♢, c'est cette dualité covariance/ contravariance.
- Et tu le raccroches à cette évidence qu'un bord n'a pas de bord...
- Voilà, nous touchons ici, me semble-t-il au coeur même de la révolution Galoisienne, et ça me semble justifier que l'on parte de là.
- Tu penses au Livre ?
- Toujours.
Hari
Note 1 :
- Il faudra rectifier ce que j'ai pu en dire à l'époque où je démarrais mon intrusion en cohomologie : ici dans "La cohomologie et toutes ces sortes de choses";
"dans la série (∆0, ∆1, ∆2, ∆3), tu te demandes comment caractériser le principe de répétition à l'oeuvre ?
- Cette fois tu y es. Si je suis l'idée que le mode objectif ♧ est caractérisé par le singleton (*) en [∃]♧, et le monoïde •⟲ en [∃]♢, je démarre une série de modes caractérisés chacun par un simplexe au niveau [∃], de cette façon :
Et je me retrouve avec une série dénombrable de modes Imaginaires..."
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Depuis nous avons limité les modes à ♧♢♡, en comprenant les modes ♧ & ♡ comme limites du mode ♢ où se développe la théorie des catégories, avec un bouclage des trois modes.
La répétition portant de ∆i à ∆i+1 est donc bel et bien une caractéristique de l'automatisme de répétition propre au mode ♢ lui-même.
Note 2 :
J'ai interrogé Perplexity à ce sujet, histoire d'avoir une base de discussion assez simple :
🤖 : Les formes linéaires sont considérées comme contravariantes dans le contexte des transformations de bases en algèbre linéaire. Voici une explication détaillée de ce concept :
Définition de Forme Linéaire
Une forme linéaire est une application linéaire φ : E→K, où E est un espace vectoriel et K est le corps de base (comme ℝ ou ℂ ). Elle peut être représentée par une matrice ligne, et son noyau correspond à un hyperplan dans l’espace vectoriel.
Concept de Contravariance
Le terme contravariance se réfère à la façon dont les formes linéaires réagissent lors des changements de base. Lorsqu’une base d’un espace vectoriel change, les composantes des vecteurs dans cet espace changent également. Cependant, les formes linéaires, qui sont des applications allant vers un corps, se transforment selon une règle qui inverse la transformation appliquée aux vecteurs.
Transformation des Formes Linéaires
Si l’on considère une transformation de base à une nouvelle base, les coordonnées d’un vecteur dans la nouvelle base peuvent être différentes de celles dans l’ancienne. Pour une forme linéaire, sa représentation change en fonction de la transformation inverse de la matrice associée à la base. Cela signifie que si les vecteurs se transforment d’une manière (par exemple, en multipliant par une matrice), la forme linéaire se transforme d’une manière opposée.
Implications
Cette propriété de contravariance est essentielle dans le cadre du calcul tensoriel et de l’étude des tenseurs, car elle permet de maintenir la cohérence des résultats lors des changements de bases.
En résumé, les formes linéaires sont considérées comme contrariante parce qu’elles réagissent aux transformations de manière inverse par rapport aux vecteurs."
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