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Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Bouclage de la quantité sur les nombres [♻]→[⚤]

Le 14/ 01/ 2025 :

- Combien de fois sur ce blog me suis-je traité d'imbécile à ne comprendre qu'après coup, ce que j'avais sous le nez depuis bien longtemps ? Je souffre d'une inertie intellectuelle confinant à l'imbécilité qui me déprime plus que je ne saurais dire !

- De quoi parles-tu ?

- En résumant la syntaxe de notre Entropologie (voir ici), l'Image qui se formait au fil de l'écriture était celle d'un oignon. Les "bordures" de type [∃] au contact du Réel [∃]𓁜, (i.e: ∃ des choses, ∃ des formes, ∃ des quantités / ∃ des mots; ∃ des langues, ∃ un sens) et le vide ∅ d'où tout peut advenir du côté du Symbolique 𓁝[∅] forment la première peau extérieure de cet oignon, c'est notre épiderme.

Ensuite vient l'endoderme, une couche Imaginaire, disons "primitive", qui nous fait donner sens aux chose, de façon quasi immédiate,. C'est ce qui "borde" la voie des choses ([∃]𓁜,𓁝[∅]) par les modes ♧ et ♡ collés tête-bêche, et raboutés façon ruban de Moebius, tel que nous l'avons repéré dans la pensée Grecque léguée par Platon (voir "Qui a tué Platon").

- Tu ne vas pas nous refaire tout le parcours ?

- J'attire juste ton attention sur la dialectique chez Platon entre l'Un en objet initial 𓁝[∅] qui se boucle sur le multiple en [∃][⚤]𓁜, le retournement 𓁝𓁜 venant de la torsion du ruban de Moébius à une seule face.

Or nous avons une dialectique équivalente, dans la voie (♧𓁜𓁝♡) avec une multiplicité de choix qui s'offre au Sujet en mode ♡ concernant la syntaxe ♢ utilisée pour représenter ses expériences de l'objet en mode ♧. Dans notre Imaginaire Moébius, limité aux modes ♧ et ♡, avec une sémantique hors syntaxe, l'espace du choix est de l'ordre de la virtualité.

C'est là que, par simple souci de symétrie, j'ai écrit que :

  • si la limite inférieure du mode syntaxique ♢♧ était "comme un foncteur d'oubli" de ladite syntaxe pour ne voir que les identifiants,
  • alors, la limite supérieure ♢♡ devait être comprise (i.e.: dans un saut : 𓁝𓁜) comme l'ensemble des syntaxes potentiellement représentables, après éventuellement un "passage à la limite" ∞ clôturant un processus dénombrable.

- Autrement tu relies la conservation de l'objet, telle qu'elle s'expérimente en mode ♧, à la fermeture des façons d'en rendre compte ?

- Voilà. Il faudra encore tamiser tout ceci, mais il y a un principe économique sous-jacent consistant à "couper court" ou "passer à la limite", permettent de limiter l'automatisme de répétition [α]𓁜𓁝[β] absolument épuisant pour le cerveau, par  𓁝[β]𓁜𓁝[β]𓁜  et ceci dans les deux voies déterminant notre surface topologique Imaginaire. 

- OK, et ces limites du mode ♢ forment en quelque sorte la deuxième pelure de l'oignon ?

- Voilà, et au coeur du mode ♢ nage notre Sujet "raisonnant" dans son Imaginaire comme un poisson dans l'onde d'une syntaxe pure...

- Et ?

- Et sur ce mode unique, notre Sujet reproduit ce qu'il sait faire depuis toujours, à savoir tourner en rond sur un ruban de Moébius... Ce qui est interne au mode ♢ doit refléter en miroir ce qui lui est externe. Point de vue qui renforce l'idée de sa place de médiateur au coeur de l'Imaginaire. 

voie des mots (♧𓁜𓁝♡)    voie des choses (𓁜𓁝

- Mais concrètement ?

- Si nous "oublions" les modes limites ♧ et ♡ pour rabouter les extrémités [∃] et [∅] de notre mode ♢ façon Moébius, tu dois voir le niveau [⚤] comme un miroir inversant deux approches : [♻][⚤][#].

- Comment caractériser ces deux approches des nombres ?

- À l'origine, les nombres sont ordonnés dans une vision "géométrique", on parle par exemple de la "droite des réels"  ℝ en [#] dans laquelle on "plonge" les entiers naturels ℕ en [⚤]. Dans l'action  [⚤][#], la succession initiale est liée à une idée de "droite" géométrique.  Par répétition #, on passe ensuite à ℝ2, ℝ3 etc. ℝ ∞, en récupérant au passage l'idée de coordonnées cartésiennes pour repérer les "points" de l'espace géométrique.

- Mais en partant de [♻] ?

- Il faut revenir à l'essence même du niveau [♻] qui est la mesure; pour aboutir par [♻] aux nombres p-adiques, et chose merveilleuse, ces nombres p-adiques sont comme le "reflet" en [♻] des nombres réels en [#] ! Et je dois me familiariser avec cette vision toute nouvelle pour moi, jusqu'à en sentir l'évidence !

Mais avant même de commencer notre apprentissage, nous avons déjà un cadre assez clair, venant de l'idée de "conservation", à partir de "répétitions" :

  • Dans la voie (♧𓁜𓁝♡) : la répétition doit porter sur les changements de syntaxe, ce qui se voit directement dans le rappel des bases "p" permettant d'écrire les nombres p-adiques, vus comme autant de "représentations" des quantités;
  • Dans la voie (𓁜𓁝) :
    •  là où le successeur est unique, dans l'intuition immédiate du saut diachronique [∃]⇅[⚤]𓁜, nous définirons les nombres comme des "séries" dénombrables (notre multiple), ce qui indique au passage, un 1er tour [⚤][#][♻], pour avoir le concept de  ℕ, permettant d'y référencer des indices, avant d'y retourner : [♻][⚤];
    • Comme il s'agit d'une évolution [⚤][⚤], cela sous-entend que nous repassons par la case départ [∃] et que du singleton (*) de la théorie des Ensembles de Peano et ℕ en [⚤], nous passons à une structure de groupe (tels ℤ ou nℤ) en [⚤]♢ (i.e.: le mode ♧ résultant rétrospectivement de l'oubli de cette structure de mode ♢).
  • Dans la voie (♧𓁜𓁝♡) : le principe d'universalité précédent, tenant à la mesure (avec le choix des p) au niveau [♻] doit se retrouver dans la liberté de choix des structures algébriques au niveau [⚤]. Un ensemble de choix clos, comme nous l'avons vu, puisque nous sommes confinés au mode ♢.

Il nous reste à voir comment les p-adiques sont construits en [♻] comme extension de ℤ et ℚ en [⚤] en regard des nombres réels en [#].


Le 15/ 01/ 2025 :

- Je navigue depuis deux ou trois jours sur le net à la recherche de présentations simples des nombres p-adiques. Inutile de préciser que je tombe sur des présentations fort savantes de la théorie qui me font me sentir comme un singe tentant de conduire un tracteur. Mes neurones n'ont plus la souplesse de mes vingt ans, et ma mémoire me fait tellement défaut, qu'il faut revenir à chaque mot à des définitions oubliées aussitôt que rappelées. Je fais donc un usage intensif de Perplexity comme pense-bête (c'est plus rapide et focus que les articles de Wikipédia).

- Tu nous racontes ta vie ?

- Juste ma frustration de ne pas avancer aussi vite que je voudrais, sans doute parce que j'attaque le sujet par les deux bouts : un aspect "manipulatoire" qui m'écorche les doigts, avec déjà une certaine compréhension de la philosophie d'ensemble, comme si je voulais apprendre la guitare avec des moufles en me bornant à écouter Santana.

- OK, balance le tout, on fera le tri ensuite.

1/ Métrique "ultramétrique"

- En accordant ma fréquence d'écoute aux émissions du web, la première chose que je capte, d'un cours de Jérôme Poineau à l'X (Note 1), c'est une forme particulière de mesure utilisée pour définir ces nombres p-adiques. Voir à 2'30" de la vidéo #1 :

" Soit un corps (k, |.|), valué ultramétrique avec une valeur absolue notée |.| ; avec :
∀ x,y ∈k : |x+y|≤max (|x|, |y|)"

De là, vient assez simplement (même moi j'ai compris !):

  • => qu'un "ouvert autour d'un point est également un "fermé";
  • => que l'espace associé à k est fait de "points" et est pas connexe; (Note 5)
  • => qu'en regard de la "droite ℝ" en [#], on aboutit en [♻] à la "droite de Berkovich" (à 54' de la vidéo).

- Autrement dit, tu vois déjà dans cette introduction cet "espace en miroir"  que tu cherchais ?

- Oui :  l'important me semblant être que l'espace est "pointé" en [♻], quand l'espace, disons "euclidien" en [⚤], est nativement "continu".  Cela tient à la particularité des ouverts d'être ici également des fermés, ce qui naturellement implique une différence de logique associée en [⚤], où le tiers (la bordure) n'est pas exclue de "a ou ¬a". Tout ceci s'enchaîne merveilleusement !

- Ne t'emballe pas, qu'est-ce qu'une valuation ?

2/ L'ensemble ℤp :

- Ah ! C'est là qu'il faut faire ses gammes et revenir au ras des pâquerettes, en apprenant à manipuler nos nombres p-adiques. pour me guider, j'ai d'abord suivi cette introduction de Phil Caldero (Note 1). 

"On définit p comme l'ensemble des suites an avec n∈ℕ : 
an∈[0, Pn+1-1] dans ℤ tel que : ∀ m>n ; an ≡ am mod Pn+1
comme an∈[0, Pn+1-1]; ∃! ui avec 0≤i≤n tel que ui∈[0, Pn+1-1] et :
an= u0+u1p1+...+uipi+... que l'on écrit d'habitude de droite à gauche : ...uipi+...+u1p1+u0=an.

L'important de la présentation est pour moi ce rapprochement  que l'auteur laisse filer presque en passant (à 4'15" de la vidéo) : 

"De la même manière que, quand on a des endomorphismes on a des matrices pour les représenter, ce sont des outils de calcul, l'outil de calcul ici c'est la suite des ui c.-à-d; le développement p-adique des an."

Là encore, et avant même d'y penser en termes mathématiques, je fais le rapprochement entre ces matrices utilisées dans le rapport [⚤][#], en miroir d'un rapport [♻][⚤] exprimé ici par une "expression" algébrique, qui somme toute me rappelle une "restriction" des possibles, ou un "bouclage", semblable dans sa forme à une cochaîne en cohomologie (i.e.: que nous avions située en  [⚤])... 

- Tu ne sais toujours pas de quoi tu parles, mais tu as déjà le cadrage, c'est ton sentiment ?

- Oui, et c'est d'ailleurs pourquoi j'ai envie d'en savoir plus. Mais tu as raison, tout ceci n'a pas encore véritablement de sens pour moi : il faut trouver une approche plus pédagogique, destinée aux mal-comprenants de mon espèce...

- Une vidéo faite par un américain ?

- As usual ! Et j'en ai trouvé deux intéressantes. (Note 1)

Eric Rowland's vidéo : Dans la première, c'est l'aspect visuel qui m'a tiré l'oeil : le défilement des nombres qui se stabilisent par la droite, me semblait illustrer le propos de Caldero. J'y vais à pas comptés, et me repasse la vidéo en boucle, en écrivant pour acquérir quelques réflexes... Ce qui ne m'empêche pas de trouver à alimenter mon Imaginaire...

- Par exemple ?

- Lorsque l'auteur nous montre à 15' de la vidéo que pour un nombre 5-adique x on peut avoir  x2=-1, cela me ramène à notre symétrie entre [♻] et [#] autour de [⚤]. En effet, √.-1, nous renvoie à ℂ et une "représentation" des nombres sur une surface au niveau [#], quand nous avons ici un "nombre" p-adique, exprimé comme une forme linéaire, en [♻]. Mais c'est encore trop rapide pour moi, alors je me suis rabattu sur :

3/ Introduction :

Superscript (Note 1) : En fait, j'ai commencé par la vidéo #2, où je me sens un peu plus à l'aise, et j'apprécie sa façon de commencer sa présentation sur une question de "mesure", en plein coeur de la cible [♻]!

Mais, pour prendre le sujet par la base, j'ai retrouvé sa vidéo #1.

Et là, au tout début de la démarche, je trouve enfin quelque chose qui nous ramène à l'idée que l'infini ∞ est une clôture de l'Imaginaire. J'en parlais en philosophe ou en rêveur, en décrivant notre "Sujet raisonnant en mode ♢ comme un poisson dans l'eau", et bien là, notre poisson rouge touche de la nageoire le bord de l'aquarium !

- Oh ?

- Et de plus c'est d'une simplicité biblique, comme j'aime. Prends par exemple un nombre en base 2, fait de 0 et de 1, la plus simple des écritures. Un nombre 2-adique va s'écrire : ... 1 1 1 1 1, les pointillés indiquant la direction de l'infini, et l'on peut dire qu'une telle suite infinie, exprime "∞".

Soit  ... 1 1 1 1 1 = ∞. Maintenant, ajoutons 1 à ce nombre :

... 1 1 1 1 1
+1 +1
.... 0 0 0 0 0 0 0 0 = =0

Autrement dit, arrivé au "bout de l'infini", dès que tu fais un pas en avant, tu te retrouves à ton point de départ... Tu pourras vérifier que ce résultat ne dépend pas de la base choisie. Il y a un bouclage 0/∞ qui rappelle le bouclage [∅]/[∃]...

- C'est présenté autrement : ... 1 1 1 1 1 =-1, non ?

- Ce -1 est une expression d'un nombre dans ℤ, mais pas dans ℤp où il n'y a pas de nombre négatif.

- Hum... Mais dis-moi, toi qui es si tatillon sur la voie suivie par le Sujet lorsqu'il s'exprime, d'où vous parles-tu camarade ?

- Bonne question !  A priori, quoique ceci reste à discuter, je pense que notre discussion suit la voie des mots (♧𓁜𓁝♡).

- Argumente.

- Le point à l'infini ∞ est typiquement une convention d'écriture pour nous abstenir d'écrire une suite de chiffres jusqu'à plus soif. Par ailleurs, personne n'y est allé voir, comme un point de perspective dans un tableau, ou l'horizon entre ciel et mer. En conséquence, dire que ∞+1=0 est une expérience de pensée, sans lien avec le Réel sur la voie (𓁜𓁝).

Ce qui me donne l'occasion d'avancer dans la réflexion : toute la construction p-adique en ♢𓁜 est basée —d'après le peu que j'en ai compris— sur le concept de "mesure", qui est éminemment une question de "choix" du Sujet en 𓁝♡, aussi loin que possible du Réel 𓁜, identifié en ♧𓁜.

- Et ℤ ?

- Nous l'avons déjà vu :

  • en (𓁜𓁝)  Il y a d'abord l'identification d'un premier saut diachronique en [∃][⚤]𓁜;
  • en (♧𓁜𓁝♡) il y a ensuite une fermeture de l'Imaginaire exprimée dans l'évolution ♧𓁜𓁝♢⚤ avec la notion de "groupe" chapeautant le tout ♢𓁜;
  • La clôture se fait alors au point ∞, vu comme aux deux "extrémités" + et - de ℤ.

Considère ℤ comme un cercle :

  • Sur ℤ, à partir du point 0, tu te diriges vers ∞ en partant à droite (+) ou à gauche (-) pour te retrouver en face du point de départ;
  • Sur ℤp, tu n'as qu'un sens de rotation, et boucles un tour pour te retrouver à l'∞ à un pas du point de départ (le bouclage de ∞ sur 0 rappelant notre ruban de Moébius);
  • Les nombres négatifs de ℤ sont en ℤp, comme autant de pas avant d'arriver l' ∞.

- Avoue qu'il faut s'y habituer !


Le 16/ 01/ 2025 :

- Puisque nous avons heurté l'aquarium du bout de notre nageoire de poisson rouge, il est temps de prendre la mesure de notre environnement à partir de cet "infini". Revenons à la métrique p-adique ou "ultra-métrique". 

- Nous sommes toujours dans la voie (♧𓁜𓁝♡) ?

- Ai-je l'air d'un poisson rouge ? Non, alors il s'agit bien d'une expérience de pensée, d'un exercice formel. Je reprends cette vidéo, pour m'aider à clarifier mes idées. La définition qu'il donne d'une métrique p-adique est la suivante : D(m)=1/Pn ; n étant le nombre de fois où m est divisible par la base p. (Note 2)

Ce qui est troublant à première vue, c'est que cette distance est contre-intuitive.

- Exemple ?

- Reviens à son exemple (à 3' de la vidéo), en base 2 :

  • La distance entre 4 et 5 est : D(5-4)=D(1)=1/20=1
  • La distance entre 4 et 8 est : D(8-4)=D(4)=1/22=1/4

- Autrement dit la distance pour aller de 4 à 8 est plus courte que pour aller de 4 à 5 ?

VisualMath

- Oui, et la question est : de quel point de vue ceci aurait-il être "évident" ? J'ai trouvé une autre vidéo qui l'explique en parlant d'une "arborescence" des nombres. (Note 1) Nous sommes ici en base 3. Le premier chiffre de notre nombre 3-adique est soit 0, 1 ou 2 (sur la ligne 30), le deuxième nombre est à l'extrémité de l'une des branches (soit la ligne 31) etc.

Alors, en écrivant la différence entre 2 nombres, le nombre "m" de zéros en début de chaîne (ce qui définit sa valuation) est une indication du chemin suivi jusqu'à la branche où ils divergent.

Autre façon de voir : la valuation m d'un nombre x indique que pm est le plus grand multiple de la base p divisant le nombre donné x.

En ce sens, deux nombres x et y sont d'autant plus proches qu'ils suivent "le même parcours" ou que la valuation de leur différence est grande. À la limite, la valuation de 0 (une infinité de 0) est ∞.

- Dans ton système, la plus grande distance entre deux nombres quelconques est toujours 1 ?

- Oui, et c'est celle qui sépare 0 de l'infini. L'aquarium est fermé. Plus les nombres s'éloignent de leur racine 0, plus leur distance diminue. Tu retrouves ici une relativité par rapport à l'origine, qui rappelle celle que Poincaré avait trouvé en ℂ. La grosse différence étant que cette hiérarchie entre les nombres préserve une certaine notion d'ordre, qui disparaît en ℂ.

- Est-ce que ton approche "entropologique" permet de bien s'en pénétrer ?

- Je te propose ceci :

  • Sur la voie (𓁜𓁝), nous passons de l'identification des coups du Réel à la porte de l'Imaginaire comme des "éléments", perçus ex post [⚤]𓁜;
  • Le saut Imaginaire fondamental, c'est le passage global—𓁜𓁝—local.
  • Ensuite, nous avons vu une façon de construire une métrique en [♻]𓁜 comme un assemblage d'éléments de Lego, avec l'intégrale Riemann, puis celle de Lebesgue (voir "Espaces et mesures"). 
Étienne Ghys

Ce faisant, nous avons oublié ce qui s'était imposé à Poincaré étudiant les fonctions "fuchsiennes", à savoir que l'espace ℂ est "naturellement" hyperbolique, bordé par l'∞ comme "horizon" de ℂ. (Note 3).

Or, là, il me semble que nous retrouvons notre équilibre, à savoir que "quelle que soit la mesure utilisée" 𓁝[♻], la "substance" [♻]𓁜 de la "chose", pour reprendre un vieux terme platonicien, est "une", avec un passage : ∀ mesures—𓁝[♻][♻]𓁜— ∃ ! quantité. Le terme renvoyant à Emmy Noether. Au demeurant cette conception n'a rien pour nous surprendre : écrire v̅.v= c2 ou E=mc2 participe du même constat... Voire lorsque l'on applique ℝ tout entier sur l'interval [0;1[. Et bien, ici notre "objet" est l'espace des nombres entiers et la mesure de sa taille est "1".

- Tu redeviens Platonicien ?

- Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit : nous suivons la voie des mots (♧𓁜𓁝♡), et manipulons des symboles. Perspective mettant en évidence la syntaxe qui les agence, en mode ♢, et non un Réel/ Symbolique bornant la voie des choses (𓁜𓁝), hors de tout discours.

- Ensuite ?

- Nous sommes dans le passage [♻]𓁜𓁝[∅][∃]𓁜𓁝[⚤], le "1", n'étant plus l'élément, la brique élémentaire initiale en [⚤]𓁜, mais faisant partie d'un groupe 𓁝[⚤].

- Il faut savoir : le "un" est la totalité ou l'élément ?

- Ça demande à être explicité, élargissons la perspective. (Note 4)

  La quantité        Le nombre  
conservation [♻]𓁜       𓁝[⚤] choix d'un groupe
  𓁜𓁝        
∀ la mesure 𓁝[♻]   [∃]𓁜 𓁝(𓁝[⚤]) partie d'un groupe
  𓁝𓁜 𓁝𓁜     𓁝𓁜  
= unité [♻]𓁜𓁝[∅]     [⚤]𓁜 élément

- J'ai utilisé les modes ♧ & ♡ pour "encadrer le discours en ♢. On pourrait s'en passer et tout ramener en ♢, mais l'écriture devient plus compliquée.

- C'est déjà assez compliqué comme ça. Quel intérêt ?

- Nous retrouvons ici une idée que je n'avais pas pu asseoir aussi solidement que maintenant, à savoir que ce qui se dégage comme "quantité conservée" à une étape de la réflexion (ici en [♻]𓁜) va être utilisée au tour suivant comme objet final (ici en [∃]𓁜).

- Que signifie l'écriture 𓁝(𓁝[⚤])?

- Que le principe de conservation [⚤], ici dans une approche (𓁜𓁝), se croise dans une expression de même position , mais selon une approche (♧𓁜𓁝♡). Il y a une "torsion" Imaginaire ⊥ qui fait passer de la quantité—𓁝[⚤]𓁝nombre, qui a tout d'une "prise de conscience". Et pour répondre à ta question :

  • Oui, la "chose" est Une en [♻]𓁜 et existe en [∃]𓁜; élémentaire;
  • Oui, "Un" fait partie d'un groupe : 𓁝♢.

- Restons-en là pour aujourd'hui : il me faut du temps pour digérer tout ceci.

- À suivre...

Hari

Note 1 :

Liste des sites traitant du sujet :

Jérôme Poineau :

Phil Caldero :

Eric Rowland :

Superscript :

VisualMath :

Pierre Colmez :

Bernard Le Stum :

Note 2 :

- Je ne fais pas ici un cours d'introduction aux nombre p-adiques, j'essaie juste de trouver le bon point de vue pour en sentir l'évidence. En particulier je laisse de côté certains détails, comme le fait que la division n'a de sens que si p est premier.

Note 3 :

Voir cette présentation d'Étienne Ghys de ce travail de Poincaré :

Note 4 :

- Je m'efforce au mieux de respecter les règles de syntaxe que j'ai définies (voir "Modification des conventions d'écriture des glyphes"). Ça se remarque en particulier dans la différence de référence aux concepts entre :

  • Une évolution  selon (𓁜𓁝); par exemple : [#]𓁜𓁝[♻]𓁜
  • Une évolution  selon (♧𓁜𓁝♡); par exemple  𓁝𓁜

Dans ces écritures, "[♻]" et "♢" se réfèrent au même élément de topologique Imaginaire; seule diffère la façon de l'envisager (soit on s'intéresse à un saut ⇆ de niveau à mode donné, soit un saut de mode  à niveau donné).

Note 5 :

Je m'y perds un peu dans la terminologie employée.et je me mélange facilement les notions. Perplexity me donne un lien vers une présentation de Bernard le Stum, très précise :

  • ℤp est un anneau, comme  ℤ;
  • ℚp est un corps (l'auteur parle ici d'un corps k) , comme ℚ.

Compétude : Toute suite de Cauchy converge (dépend de la métrique):

  • ℤp Cet ensemble est un anneau complet pour la norme p-adique, ce qui signifie que toute suite de Cauchy dans  converge vers un élément;
  • Le corps ℚp, quant à lui, est défini comme le complément de ℚ pour la valeur absolue p-adique. Il est également complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy dans  converge vers un élément de ℚp. En fait, la construction de ℚp repose sur l’extension de la valuation p-adique à l’ensemble des rationnels ℚ, permettant ainsi de définir une distance qui satisfait les propriétés d’une métrique ultramétrique.

Connexité : Présence de trous ou pas.

  • ℤp : l’anneau des entiers p-adiques  est un espace topologique qui n’est pas connexe. En effet, il peut être décomposé en une union de deux parties disjointes : les entiers p-adiques positifs et les entiers p-adiques négatifs, avec le zéro comme point de séparation. De plus, la structure de base p des nombres p-adiques montre qu’il existe des “trous” entre les différentes classes d’équivalence sous la valuation p-adique, ce qui empêche la connexité.
  • ℚp : Le corps des nombres p-adiques ℚp est, en revanche, un espace connexe. Cela découle du fait que tout élément non nul de ℚp peut être écrit sous la forme Pk.u, où k est un entier et u est un élément inversible dans ℤp. Par conséquent, il n’existe pas de séparation en deux parties disjointes dans ℚp.

Compacité : propriété topologique.

  • ℤp : L’anneau des entiers p-adiques  est compact. Cela découle du fait que toute boule fermée dans cet espace est compacte. En effet, les sous-ensembles de ℤp qui sont fermés et bornés (dans le sens de la topologie p-adique) sont compacts, ce qui est une propriété clé des espaces topologiques en général. Plus précisément, les boules fermées de la forme : x∈ℤp | νp(x)≥n   sont compactes pour tout entier n. Par conséquent, ℤp est un espace compact.
  • ℚp : En revanche, le corps des nombres p-adiques ℚp n’est pas compact. Bien qu’il soit localement compact (ce qui signifie qu’il est compact à l’intérieur de chaque boule fermée), il ne satisfait pas la propriété de compacité globale. En effet, une caractéristique d’un espace non compact est qu’il existe des suites qui n’ont pas de point d’accumulation dans l’espace considéré. Par exemple, les suites de Cauchy dans ℚp peuvent diverger vers l’infini, ce qui empêche la compacité.

Résumé
    •ℤp     : Compact, car toutes les boules fermées sont compactes.
    • ℚp    : Non compact, bien qu’il soit localement compact.

Bon, à comprendre et apprendre jusqu'à ce que se soit instinctif.

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