Présentation 2026 au CLE— Débriefing

24 Octobre 2026

Le 24/10/2026 — São Paulo :

— Ouf ! Retour au bercail !

— Et ta présentation ?

— Tout d'abord un problème d'intendance : par suite du mouvement étudiant, impossible de faire la présentation dans la fac, et donc repli stratégique sur le café Indiana, fort heureusement pratiquement désert à cette heure-ci. Nous étions dix, parmi lesquels ceux à qui j'avais pensé en me préparant.

— Et ?

— Comme toujours, c'est en dialoguant au fil de l'exposé que je me suis rendu compte de mes faiblesses.

— Tu as pu tout présenter ?

— Non, bien entendu : nous avons à peine esquissé la mécanique analytique. Juste quelques mots sur la relativité, et une remarque d'Anatole récupérée au passage : "oui, en fait l'énergie potentielle classique, c'est la gravitation"...

— N'est-ce pas là où tu en étais arrivé ?

— Bien sûr, mais il en voyait l'évidence, quand j'arrive à peine, et après moult efforts, à en prendre conscience. Du coup, je me suis dit qu'il fallait reprendre le saut du classique à la relativité. Ce que la mécanique classique décrit par l’énergie potentielle, une fonction attachée à l’espace sur le plan ∆0, la relativité générale le reporte dans la métrique (g₀₀, dans un espace-temps statique), comme rythme des horloges ; et la gravitation n’y est plus une force, mais la courbure, en ∆2 : ce que le transport des vecteurs rend le long du bord d’une petite surface, en ∆1, rapporté à son aire.

— Il y a eu aussi la vive réaction de Jacques.

- Oui : pour lui, Lagrange veut une physique dégagée du temps. Sur le moment, je ne l'ai pas compris : en mécanique analytique, on intègre sur le temps.

— Et alors ?

— Il avait raison, et j'attribuais à Jen-Louis ce qui appartenait à William. L'intégrale ∫L dt, prise entre deux instants fixés, et dont le mouvement réel rend la valeur stationnaire, n'est pas de Lagrange mais de Hamilton (1834–1835). Je prêtais à Lagrange ce qui appartient à son successeur.

— Que fait Lagrange, alors ?

— Ses deux principes se passent du temps :

Le principe de d'Alembert, sous la forme des travaux virtuels (Mécanique analytique, 1788) : la dynamique y est ramenée à la statique. On compare deux positions voisines au même instant — le déplacement virtuel se fait à temps fixé —, et le verdict tombe sur une configuration, sans durée ;
La moindre action, sous la forme de Maupertuis et d'Euler, que Lagrange reprend en 1760 : l'action s'y prend le long de la trajectoire dans l'espace, à énergie fixée. On compare des courbes, non des horaires ; le temps n'est retrouvé qu'après coup, par la conservation de l'énergie. Jacobi rendra cette élimination explicite.

Et dans la Théorie des fonctions analytiques (1797), le temps devient une quatrième coordonnée, une variable parmi les autres.

— Mais le temps est bien dans ses équations ?

— Oui, et c'est ce qu'il faut préciser. Le temps entre dans les équations de plusieurs façons :

d/dt, dt : le temps est le paramètre du mouvement ; on suit le système le long de sa trajectoire ;
∂/∂t : le temps est un argument d'une fonction ; on regarde si elle change avec le temps, la position étant fixée ;
δ, à temps fixé : on compare deux positions au même instant ;
ou pas du tout : on compare des courbes, et le temps vient après.

Chez Lagrange, le temps n'est que le paramètre : ce par rapport à quoi l'on décrit, jamais ce que les principes mettent en jeu. C'est ce que disait Jacques, et c'est aussi ce que je disais du temps-étalon : il est la référence, il n'est pas lu.

— Et l'énergie potentielle ?

— Elle va dans le même sens. Sa condition d'existence, le travail nul sur tout cycle, porte sur des cycles d'espace, sans temps : Ep est un nombre posé sur une configuration. Si la force dépend du temps (∂V/∂t ≠ 0), Ep existe encore instant par instant, mais T+V n'est plus conservé.
C'est en relativité et en mécanique quantique que le temps entre dans l'holonomie :

d'un côté, la synchronisation des horloges le long d'un lacet ;
de l'autre, le déphasage accumulé pendant une durée, sans force (l'effet Aharonov–Bohm scalaire).

— Et l'intervention de Dimitri ?

— Ayant mal rangé mes notes, j'ai eu du mal à répondre de façon limpide à sa question pourtant centrale : "comment caractérises-tu le passage du classique à la relativité ?" C'était la fin de l'exposé, et nous étions tous fatigués ; aussi ai-je répondu qu'il y avait un passage du global au local, maigre cache-misère...

Mais l'essentiel n'est pas là: Dimitri m'a déstabilisé par cette remarque : "je ne vois pas bien comment ton axe covariant passe de continu à discret". Et là, il m'a fait prendre conscience d'une faille importante.

— De quoi parles-tu ?

— D'un palimpseste dans ma propre pensée : je reste accroché à d'anciennes représentations, dans le moment même où je prétends en proposer une nouvelle.

— Veux-tu dire que tout ton développement est à rejeter ?

— Non pas, mais c'est précisément en rédigeant le preprint "Le revêtement S²↓ℝℙ² comme lieu de la mécanique quantique" que m'est venue l'idée que l'axe covariant, explicitement ∆0—point / ∆1—ligne / ∆2—surface, concernait la structure même de notre cross-cap :

∆0—points <=> le point 0, point de projection ou lacet trivial selon le point de vue mathématique envisagé ;
∆1—ligne <=> le lacet essentiel (noté lacet γ) de la topologie du cross-cap ;
∆2—surface <=> ℝℙ², notre cross-cap en l'occurrence.

— Rien de neuf...

— Non, bien entendu, mais c'est le passage de notre représentation sur le carré topologique ABCD à cette figure fermée caractérisée par ces lacet qui pose problème.

— Accouche, de quoi s'agit-il ?

— Il faut prendre conscience de ma propre évolution. J'en suis encore à une approche [#]𓂀, accroché avant tout à repérer les orthogonalités ⊥...

— Alors qu'il s'agit en méca Q d'une véritable mutation, avec une approche [♻]𓂀 ?

— Exactement : nous changeons complètement de registre.

— Pour en revenir à ce palimpseste ?

— Lorsqu'en dessinant le cross-cap en 3D j'ai vu le lacet γ se recouper au point antipode [#]♢ à angle droit, visuellement, sur la maquette, je me suis dit que cette orthogonalité représentait parfaitement le croisement des axes covariant / contravariant sur le carré ABCD, ce qui allait de pair avec l'idée d'une surface localement double intérieur ⊥ extérieur... Bref, tout baignait... (Regarde vers la fin de la vidéo.)

— Et donc ?

— Je me suis laissé guider par l'image, en perdant tout sens critique : il m'avait déjà fallu un certain temps pour accepter que le carré ABCD se rétracte au point 0, en un lacet trivial, ce qui effaçait quelque 2000 ans d'histoire philosophique inscrite sur le pourtour ABCD, mais j'ai continué à donner sens à l'orthogonalité entre les deux tours du lacet γ, alors qu'en topologie cet angle ne signifie rien.

Ça me travaillait malgré tout, et j'ai bataillé ferme avec Claude pour sortir une image acceptable de ce lacet et de sa trace sur le revêtement de ℝℙ² dans l'article Zenodo.

— Bref : l'écriture de l'article pendant ta préparation (voir "À la recherche d'un fil rouge") t'a fait sentir que quelque chose branlait dans le manche, et Dimitri t'a replongé le nez dedans...

— Oui, exactement.

— Comment t'en sortir ?

— Le lacet γ est un objet topologique, qui trouve sa place uniquement sur le plan ∆1, avec la propriété qu'un bord n'a pas de bord. Il faut donc reprendre la scène finale du script, et inscrire ce lacet γ tout entier sur l'axe contravariant, c'est-à-dire selon la voie des choses, ou encore en [#]♢ sur le carré topologique ABCD.

— Il y est déjà, dans les schémas utilisés pour décrire la mécanique classique...

— Oui, entendons-nous bien : le départ ABCD et l'arrivée S²↓ℝℙ² sont corrects ; ce qui était erroné, c'était ce dépliage continu du cross-cap : il escamote un changement de paradigme qui ne peut être représenté par une déformation continue.

— OK, donc si je résume :

En [#]_♢ : dans la voie des choses ⇆, nous représentons un lacet γ, double ;
En ♢^# : dans la voie des mots ⇅, nous définissons son aspect topologique en mode syntaxique ♢, à savoir :
- en mode sémantique ♢^♡ : il borde le cross-cap ℝℙ² ;
- en mode signifiant ♢^♧ : il n'a pas de bord.

La condition s'écrit donc (avec la notation ∂ pour l'application bord) :
Im(∂ : ∆2↓∆1) ⊂ Ker(∂ : ∆1↓∆0)

Je vois bien comment les trois plans du revêtement ∆0/ ∆1/ ∆2 sont des concepts représentables en ♢^♧ / ♢^# / ♢^♡ sur ABCD ; mais le lacet γ est strictement de registre [#] : que deviennent les registres adjacents [⚤] et [♻] ?

— C'est là que l'on peut parler de palimpseste personnel : je bricolais une représentation sur un vélin gardant la trace de notre cheminement philosophique Parménide / Platon / Aristote / Kant, etc. Après récurage, on peut dire simplement que la relation Im(∂ : ∆2↓∆1) ⊂ Ker(∂ : ∆1↓∆0) est à la fois :

universelle dans sa forme (donc contravariante) ;
dépendante des choix de l'auteur dans son écriture (donc covariante), car les groupes d'homologie dépendent du groupe des coefficients pris pour représenter un point en ♢_♧.

Et ce qui se représentait par des orthogonalités en [#]𓂀 se regroupe en [♻]𓂀. Le plus dur pour moi a été de prendre conscience des implications de ce changement de paradigme.

— C'est ce que produit le dépliage de ABCD au point 0 de projection, non ?

— Bien sûr, mais entre l'écrire de façon scolaire et en prendre vraiment conscience, il y a un décalage qui s'est senti dans ma présentation de mercredi dernier.

— OK. Et donc, tu ne peux pas plus relier de façon continue les registres [⚤]/ [#]/ [♻] que tu ne peux relier continûment les modes ♧/ ♢/ ♡. Mais alors, qu'est-ce qui t'oblige à penser l'axe temporel de la mécanique classique comme le lacet γ ? Pourquoi pas tout simplement une ligne droite ℝ ?

— Nous touchons à la raison profonde du choix du cross-cap. Mon postulat philosophique de départ, c'est l'incapacité humaine à représenter sans faille le Réel. C'est dans la forme canonique en [⚤]𓂀, je n'y reviens pas ; mais en passant à [#]𓂀, son expression la plus simple était de choisir l'Imaginaire en ♢^# comme coincé entre le Réel en ♢^♧ et le Symbolique en ♢^♡, ce qui revient à nier toute "essence" du Sujet et à évacuer toute spéculation ontologique. Point de vue concernant le Sujet qui trouve son écho dans sa perception de l'objet.

Pas d'intérieur du Sujet ni de substance de l'objet, donc, à opposer à l'extérieur ; d'où l'idée que l'ontologie n'est qu'un discours sur le revêtement S² du cross-cap ℝℙ², avec S²/(ℤ/2) = ℝℙ², gardant une "obstruction" fondamentale à la clef.
C'est en quelque sorte le prolongement en [#]𓂀 de la forme canonique du défaut de toute dialectique, voire de tout discours logique du premier ordre (Gödel), en [⚤]𓂀.

— Compris, mais tu ne réponds pas à la question !

— La nécessité des deux tours du lacet γ pour border le cross-cap est une caractéristique globale, qui s'efface localement en [#]_♢. Je peux le justifier par une prise de position philosophique, qui permet de rationaliser beaucoup de choses (c'est l'exercice en cours), mais il n'y a pas ce passage continu que suggérait ma représentation d'un cross-cap se redéployant en ABCD avec un lacet γ représenté selon les deux médianes de ABCD : c'était une erreur par omission. Le lacet est représentable par deux droites quelconques du carré ABCD, se recoupant en [#]♢.

— D'où le caractère mixte covariant / contravariant, rappelant l'étrangeté des mesures relativistes tantôt "de genre" espace, tantôt "de genre" temps ?

— Oui : c'est même cette disparition qui signe l'évolution du point de vue [#]𓂀 => [♻]𓂀 !

Avec un changement qui nous a paru bien mystérieux : une orthogonalité originelle sur ABCD, visible localement en [#]_♢ (vecteurs—covariant ⇅/⇆ contravariant—applications linéaires), s'effaçant en théorie des catégories au profit d'une dualité push/ pull lisible dans les faisceaux revêtement—X↓S—site aussi bien que dans les passages ∆0/ ∆1/ ∆2.
Sur ABCD, chaque vecteur a sa forme duale, mais le lacet essentiel du cross-cap n'en a aucune dans ℝ, puisqu'il est d'ordre 2. La dualité des tenseurs s'efface, et ne reste que le sens des flèches : pousser ou tirer.

Hom(A, –) : covariant, on pousse (post-composition).
- Pour g : B → B′,
- Hom(A, g) = g₊ : Hom(A, B) → Hom(A, B′), f ↦ g ∘ f.
- La flèche induite va dans le même sens que g. On transporte f le long de g, vers l'avant : c'est le pushforward, noté g₊ (ou g_*).
Hom(–, B) : contravariant, on tire (pré-composition).
- Pour h : A′ → A,
- Hom(h, B) = h^* : Hom(A, B) → Hom(A′, B), f ↦ f ∘ h.
- La flèche induite va en sens inverse de h. On ramène f le long de h, vers l'arrière : c'est le pullback, noté h^*.

— Il faudrait donc voir ce cross-cap comme un "archétype" se retrouvant dans toutes nos représentations ? Au sens de Jung ?

— Je ne vais pas rentrer dans ce débat Freud / Jung. Contentons-nous de l'idée d'une "propriété universelle", au sens que lui donne la théorie des catégories ; ce n'est bien entendu qu'une intuition, un fil de réflexion à tirer pour voir où il mène.

— Une sorte de "pont" entre nos représentations ?

— Tu m'ôtes le mot de la bouche.

— Amen.

Hari