Les objets de la géométrie d’Euclide

Je ne pouvais pas rester sur l'arithmétique, en délaissant la géométrie. C'est pourquoi je vous en propose un bref survol.

Les axiomes d'Euclide peuvent s'écrire, de façon moderne, ainsi: 

1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.
2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
4. Tous les angles droits sont congruents.
5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Pour tracer une droite entre deux points, il faut nécessairement pouvoir discerner au minimum, au sens le plus primitif du terme, chacun de ces points dans le Réel. En cherchant à me situer, par rapport à mon discours précédent concernant l’arithmétique, je dirais que je les fais « ex-ister », en les tirant du Réel pour les voir en I0. De même que je faisais advenir à ma vue, les allumettes que je tirais du Réel.

Maintenant, pour tracer cette droite, il faut bien un support, l’équivalent de ma table précédente, située en I1. Et en distinguant I0 & I1, nous nous situons dans une querelle qui déjà opposait Leibniz à Newton : l’idée d’espace est-il une idée nécessaire en dehors de toute expérience effective (position de Leibniz) ou bien, un éther, Réel, est-il nécessaire à l’existence même des objets (position de Newton). Vous voyez que notre approche invalide d’emblée la thèse de Newton : nous ne pouvons donner forme au Réel. Nous y reviendrons en détail. La situation est donc la suivante :

points (en I0) < droite (en I1) < Im

Et le tracé d’un segment de droite, entre deux points A et B, requiert deux sauts diachroniques successifs entre I0 & I1 pour reporter chacune des positions de A et B dans un espace où ils puissent coexister. Où l’on voit, là encore, que le repérage (synchronique) en I1 d’une succession (diachronique) d’actions, est une « réification » de l’action en question : je ne repère plus les points ; ils sont repérés. Nous passons de l’ordre de la succession à celui de la coexistence.

Ensuite, le prolongement d’un segment, se fait sans revenir en I0: la notion de « droite » est ainsi décorrélée de tout référé Réel, d’où la question de son « infinitude ».

Il y a deux mouvements absoluement irréductibles l’un à l’autre : l’un me fait parcourir la droite « en ligne droite », le second correspond à une rotation. Supposons que le porteur du discours se repère lui-même, s’identifie au point d’origine de ce segment de droite A1[1], repéré Imaginairement en I1 , au même niveau que le segment AB. Si je suis strictement en position ex post : I1 < Im ; alors je peux repérer un point B1 qui s’éloignerait de A1, pour générer une droite. Par contre, n’apercevant de ce point de vue que la doite AB (dimension 1) je n’ai aucun moyen de savoir si je « tourne sur moi » ou pas. Autrement dit, depuis cette position, je ne peux pas discriminer un cercle d’un segment de droite.

Il faudrait que je puisse rapporter mon propre mouvement de rotation à un référentiel fixe, qui me soit extérieur (i.e. : extérieur au niveau I1 où je repère A1 comme B1). Donc, procéder à un mouvement réflexif par rapport à moi-même : au lieu que je (en A1) serve de référence à l’objet B1, me servir de cet objet comme référence pour repérer ma rotation (en voyant B1 tourner autour de A1). Et, d’un espace linéaire en I1, je dois passer à une surface, en I2. Soit I0 < I1 < I2 < Im

Alors, depuis cette nouvelle situation, je peux tenir différents discours concernant A (ma propre représentation comme objet ponctuel) :

• En I0, constater simplement mon existence (je me définis comme un point A0) ; espace sans dimension ;
• En I1, prendre conscience (A1) de l’éloignement de l’objet B, éventuellement rejeté à l’infini : espace à une dimension;
• En I2, : définir un cercle autour de moi (A2) : espace à 2 dimensions. L’objet B reste à distance fixe (longueur fixe du segment en I1), mais il « tourne autour de moi » en I2.

Pour répérer un cercle en I2 , je « bouge » un élément de I1. Autour d’un point fixe de A1, l’un comme l’autre étant reportés en A2.

Sur le même niveau Imaginaire I2, il m’est également possible de reporter divers droites ou segments de droite de I1 (de les faire coexister) ; c’est d’ailleurs ainsi que l’on a généré notre cercle. Mais la mesure d’angle entre deux droites, nécessite un nouveau saut diachronique.

En effet, la notion d’angle étant liée à celle de rotation, c’est un objet repérable en I2; tout comme l’objet élémentaire « point » est repérable en I0. Et de la même façon qu’il faut reculer de I0 en I1 pour faire coexister deux points sur un segment, il faut reculer de I2 en I3 pour pouvoir rapporter un angle à un autre afin de les comparer (i.e. : faire une rotation d'un plan I2 pour amener un angle sur un autre en I3 afin de les comparer.)

L'idée (à creuser bien sûr, au-delà de ce premier jet) c'est que I2 permet de repérer un espace afine tandis que le niveau I3 permet l'expression d'un espace normé. 

Tout ceci induit quelques difficultés pour comparer ces différents objets que sont le point, la droite, le cercle et l’angle qui, de fait, sont irréductibles l’un à l’autre, au sens strict, irrationnels entre eux. Ce qui peut offrir un point de vue intéressant quand à l’irrationalité de Pi.

Bon, ça décante peu à peu; mais je sens que je n'ai pas fini de comprendre l'essence profonde de la différence entre mouvements rectiligne et circulaire. Il y a sans doute derrière ceci quelque chose de fondamental. Je tourne autour (c'est le cas de le dire) depuis ce billet "tournez, glissez".

Je pense à un renversement de perspective:

1. un mouvement qui irait du sujet vers la prise de conscience de l'environnement, "en cercles", d'où sans doute une approche topologique où l'on commence par définir l'environnement d'un point pour définir l'espace à partir de là;
2. L'autre façon de procéder, "globale", partirait d'un espace donné pour y repérer des éléments.

Il y a nécessairement quelque chose de cet ordre, avec de l'un à l'autre une différence de niveau, pour que le physicien puisse repérer une vitesse dans un cas (mouvement rectiligne) et une accélération dans l'autre (mouvement circulaire).

Idées en travaux...

Bonne méditation... et vos commentaires sont les bienvenus.

Hari.

[1] Pour éviter toute confusion, j’écris en indice le niveau Imaginaire où je situe le discours. A1 est le pointage en I1 du point élémentaire A0.