Covariance et contravariance

Oh putain, je la tiens cette différence entre covariance et contravariance qui a pourri toute ma vie !

Vous ai-je déjà parlé de mon incapacité à comprendre cette différence lorsque j'étais à l'étude dans une bibliothèque de Florence, tentant vainement de lire un ouvrage concernant la "théorie unitaire" ? Et bien après cet échec, je me résignais à faire l'ingénieur, sans avancer. À bricoler, ce qui est certes honorable, mais m'éloignait à jamais de mes rêves d'enfant, style "Rayon Fantastique". Certains sont hantés par un complexe d'OEdipe ou de castration, chez moi ça prend la forme d'un complexe des maths; que je soigne ces temps-ci...

Hier, donc, en patientant le temps que mon projecteur charge un épisode de la série "Sens 8", sur Netflick, je triture mon clavier : rien sur Facebook, rien nulle part en ces temps pré-festifs, et pensant à la suite de mon billet "de Descartes à Leibniz et Newton", je refais un tour sur le web pour rechercher la définition de variant et contravariant, sans trouver ce que je cherche, jusqu'à ce que je concentre mon attention sur ce bout de phrase:

"...on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur..."

Le problème c'est le terme de "forme linéaire".

5 citrons + 3 poires = 13
a₁.x + b₁.y = c₁

sont des formes "linéaires", en ce sens que les variables de ces équations sont du premier degré. Si nous avions des termes de la forme x² ou y², nous parlerions de "formes quadratiques". Et c'est là que la limpidité des termes m'embrouille, personnellement. Car ces expressions se réfèrent très bien à une représentation géométrique implicite de ces équations. Lorsque j'entends "linéaire", je comprends "droite", et je vois tout naturellement une droite repérée dans un système de coordonnées, cartésiennes précisément. Lorsque j'entends "quadratique", je comprends que j'ai fait un saut dans ma représentation: je suis capable de concevoir des "carrés", des surfaces, avec une mesure de leur aire... Donc, en employant ce terme de "forme linéaire", je suis dans une représentation géométrique de ce qui se présente sous mes yeux comme une équation : ax + by = c, qui est une application de E X E => E.

Cette équation est l'objet, le signifié d'une droite qui la "représente", son signifiant dans un autre mode Imaginaire. Bien, mais lorsque je parle ensuite de "vecteurs", je ne suis plus dans le même monde : un vecteur n'est pas une "image" de quelque chose de plus élémentaire, comme mon équation de tout à l'heure.

Et lorsque je mesure l'aire du parallélogramme déterminé par deux vecteurs pour déterminer la réalité ou non des racines d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues, nous avions vu que je suis irrémédiablement à un niveau Imaginaire supérieur du discours : je ne m'intéresse plus aux variables x & y, mais aux constantes a & b.

Mais, lorsque je glisse sans y penser vraiment de cette représentation de deux droites et de leurs pentes (i.e.: a₁/b₁ & a₂/b₂), à celle des vecteurs (a₁ ; b₁) & (a₂ ; b₂), je n'ai pas pris conscience que le système de coordonnés cartésiennes dans lequel je repère mes droites et celui où je repère mes vecteurs ne sont pas au même niveau Imaginaire: en effet, pour passer de mes droites à mes vecteurs, j'ai introduit une ROTATION de 90°. Et nous avons déjà discuté du saut Imaginaire qu'il faut effectuer pour s'imaginer une rotation...

Avant ce saut, mes lignes sont "covariantes", après, mes vecteurs sont "contravariants".

Voilà le niveau où le langage mathématique s'émancipe de la physique, de son terreau nutritif.

Et cette rotation à 90 ° entre mes lignes et mes vecteurs, est une métaphore de la transposition que les Chinois ont réalisée entre lignes et colonnes pour initier le calcul d'un déterminant...

Voilà l'idée, la piste à développer...

L'année prochaine ;-)

Je vous souhaite à toutes et à tous de bonnes fêtes de fin d'année et tous mes meilleurs voeux pour 2017.

Hari

nota du 16/01/2017

En surfant sur internet aujourd'hui, pour mon prochain billet, je tombe sur cette approche des déterminants, qui attaque le sujet par les permutations... Je le note ici pour y revenir, sans doute.

En continuant, et toujours du même auteur Alain Poutré, je trouve p. 70 de son cours de logique une définition des termes covariance et contravariance, à partir de la théorie des catégories. On y arrive, tout doucement...

nota du 07/02/2019

Ma curiosité, éveillée par le fait qu'un lecteur vient d'y faire un tour, me pousse à relire aujourd'hui ce billet oublié. Il n'y a rien à retenir de tout ceci, sinon ma curiosité que je n'ai pu satisfaire après cette lecture sur la théorie unitaire, et cette idée de "rotation".

Il faut reprendre la discussion à partir de ma récente compréhension de la différence de mode de pensée qui accompagne le saut entre les niveaux I01 et IR de l'Imaginaire, ce qui vient avec mes réflexions sur la théorie de groupes d'Évariste Galois. La notion de "rotation" est impossible à imaginer en I01, elle n'apparaît "pleinement" qu'en IR; conjointement avec celle de vecteur.

Je ne suis pas allé beaucoup plus loin, quoique je puisse dès à présent baliser le terrain qui m'amènerait à une totale "évidence" de cette différence:

La covariance a à voir avec une description en termes morphismes, limitée aux topoï élémentaires (i.e.: limité I01), centrée sur l'objet final donc;
La contravariance est liée à une description en termes de comorphismes, avec les topoï de Grothendick (i.e.: topoï élémentaires auxquels on adjoint une topologie); en IR, autrement dit avec l'hypothèse du continu, un dédoublement du Sujet (Im/ Im') permettant une double représentation globale/ locale; et centrée sur une approche de l'objet initial à l'aide de cribles.

Je ne suis pas revenu sur le sujet, tout simplement parce que je pense qu'il tombera de lui-même comme un fruit mûr au cours de mon investigation...

On peut juste relever que cette différence dans la genèse des concepts, implique que la relativité, qui nécessite le concept de "contravariance", n'est concevable qu'après la théorie quantique, qui elle, est descriptible dès le niveau I01, voire I1. Autrement dit: il est illusoire de penser à réduire l'une à l'autre, sans prendre en compte leur genèse, ce qui nécessite l'introduction du Sujet au coeur de la représentation...