De Descartes à Leibniz et Newton...

Publié le par Hari Seldon

Ma plus jeune fille n’aime pas les maths. Non qu’elle ne « comprenne » pas, mais elle n’en voit pas l’utilité. Quel argument pourrais-je avancer pour lui en expliquer l’intérêt ? J’y vois pour ma part une langue rétive que je ne maîtrise pas. Et ce qui m’intéresse au fond, dans son exploration, c’est de voir où je bute.

À l’inverse de la physique qui se heurte au Réel, les maths renvoient à l’Imaginaire, comme nous venons de le voir. Et donc, les difficultés rencontrées, les hiatus dans mon discours ne marquent pas un contact furtif avec ce qui me serait extérieur ; le tuchê lacanien. Non, ce langage ne peut que me renvoyer à moi-même. Et mes manques stigmatisent mes propres biais, comme des lapsus. C’est donc un extraordinaire moyen d’auto-analyse !

D’où vient que je comprenne si mal, si lentement, avec une telle viscosité de l’entendement ? En fait, ce cheminement est comme une méditation permettant de lisser ce Moi, qui gauchit ma perception du Monde. Si je parviens à le polir suffisemment, alors, peut-être aurais-je cette parfaite intuition de n’être rien qu’un reflet du Monde avant de m’y assimiler. Vous voyez sans doute tous ces reflets, jeux de miroirs, ou de symétrie… Oui, pour tout dire, je pense que ce pourrait être une voie occidentale du Bouddhisme…

Je vous ai parlé de ma surprise lorsque j’entendis parler pour la première fois de matrice, et surtout de déterminant… Il y a là quelque chose que je voudrais détricoter avec vous.

Tout vient de la recherche d’une réponse à un problème de ce type :

Si avec 13 Euros, je peux acheter 5 citrons et 3 poires et avec 9 Euros, 4 citrons et 1 poire, alors quel est le prix d’un citron et celui d’une poire ?

Il a fallu quelques millénaires, que nous passerons ici sous silence, pour arriver à cette écriture :

  • 5 citrons + 3 poires = 13
  • 4 citrons + 1 poire  = 9

C’est ce que l’on appelle un système de 2 équations à 2 inconnues (ici les prix respectifs d’un citron et d’une poire).

Tout ceci a mijoté pendant très longtemps et la résolution du problème utilise les règles qui régissent ce que les Arabes ont appelé « algèbre ». Mot dont la signification, « raboutage », nous ramène à cet esprit «bricoleur» cher à Lévi-Strauss. Je vous laisse vérifier qu’un citron vaut 2 Euros et une poire 1 Euro.

Bien, ceci peut satifaire les besoins d’un épicier… Mais l’âme humaine veut que l’on « réfléchisse » à ce que l’on écrit, comme le talmudiste moyen commente les commentaires de ses prédécesseurs.  Il ne vous aura pas échappé que cet exemple simplissime a été construit à titre didactique. Mais que ce passe-t-il si je considère le système suivant :

  • 5 citrons + 3 poires = 12
  • 4 citrons + 1 poire  = 11

Dans ce cas, notre système nous donne 3 Euros pour un citron et -1 Euro pour une poire. Mais ce -1 Euro, s’il a un sens mathématique, n’en a pas d’évident pour un commerçant ! La forme de nous équations ne nous permet pas de juger à priori de leur pertinence. Autrement dit : le respect des règles ne garantit pas la pertinence de l’énoncer. De même qu’un imbécile peut parler un langage très chatié.

Il y a plus grave :

  • 5 citrons + 3 poires = 12
  • 10 citrons + 6 poires  = 24

Dans ce cas, il y a une infinité de solutions à notre problème. La raison en est très simple : on passe de la première équation à la seconde en multipliant chaque membre par deux. Autrement dit, notre seconde équation ne nous apporte aucune information supplémentaire par rapport à la première. À noter que si j’avais écrit :

  • 5 citrons + 3 poires = 12 ,
  • 10 citrons + 6 poires  = 8 ;

mon système n’aurait eu aucune solution réelle.

Je voudrais attirer votre attention sur le changement de point de vue que nous sommes en train d’opérer.

Notre système d’équations permet d’expliciter une interrogation portant sur des variables (ici poire et citron, que l’on pourrait symboliser par x = prix d'un citron et y = prix d'une poire). Et nous avons, dans chaque équation un mélange de constantes (ici prises dans l’ensemble des nombres entiers N) qui déterminent ces variables. Avec la forme générale suivante :

  • a1.x + b1.y = c1
  • a2.x + b2.y = c2

Et notre commerçant focalise son attention sur les variables x et y de son problème, qu’il cherche à « fixer », si je puis dire ; les constantes ai, bj, et ck étant les données de son expérience. Notre commerçant utilise le langage que le mathématicien met à sa disposition. Il est, pour nous qui schématisons la scène, à un niveau de langage que je peux nommer Ik.

Maintenant, les questions portant sur les limites du langage lui-même, comme chercher les conditions pour qu’un tel système puisse avoir un seul couple x et y satisfaisant aux conditions du système, et non pas une infinité ou aucune, relève d’un niveau Imaginaire supérieur Ik+1, avec Ik < Ik+1. Et dans ce recul, le regard se détourne des variables x et y pour questionner les constantes, qui se mettent à varier à leur tour...

J’ai le sentiment que ce recul équivaut à celui qui, en géométrie, nous fait passer d’une droite à une surface (nous en avions discuté ici). C’est là le point aveugle qu’il me convient d’explorer, parce que c’est dans ce saut diachronique que je vascille.

De fait, l’expression d’une équation me semble naturelle, ça coule de source. Je comprends sans distance aucune une phrase telle que : j’achète cinq citrons et trois poires pour 12 Euros. Je trouve juste que c’est très cher. En ce sens, le fil de l’action me semble se dérouler linéairement. Et je peux exprimer ceci en fonction du temps :

  • Première image : j’ai 12 Euros ;
  • Deuxième image : j’ai 5 citrons et 3 poires

Dans ce cas je suis acheteur ; ou bien :

  • Première image : j’ai 5 citrons et 3 poires
  • Deuxième image : j’ai 12 Euros

Et dans ce cas, je suis vendeur. Avec une rupture de symétrie d’ordre temporel entre les deux situations. D’ailleurs, une fois le système résolu, je peux répéter les transactions ad nauseam : nous sommes dans l’automatisme de répétition, et le temps dont il est ici question est ce « temps synchronique » que nous avons déjà caractérisé.

Mais en réfléchissant aux conditions d’existence d’une telle transaction, je suspends le temps de l’action effective, en rendant variable ce qui, dans l’instant de la transaction est fixe. Je transcende pour ainsi dire le temps de l’action : je change de monde, littéralement.

Il est très difficile d’aller au plus radical de ce saut diachronique entre deux niveaux de langage, parce qu’en fait, je ne suis pas innocent dans cette démarche, conditionné par mon éducation. En effet cette forme a1.x + b1.y = c1 (1) me fait immédiatement penser à l’équation d’une droite. Linéarité qui fait écho à ce que je viens de développer, concernant le déroulement « linéaire » de l’énoncé « j’achète cinq citrons et trois poires pour 12 Euros » (2), le procès-verbal d'une transaction. Et nous en avons parlé en détail dans l’article #6. Mais ce rapprochement ne signifie pas qu’il s’agisse de la même chose !  Dans un cas (2), il s’agit de traduire en termes d’espace le déroulement temporel d’une transaction, dans l’autre (1), d’exprimer un ensemble de potentialités. La différence est de celle qui distingue « actuel » de « potentiel », pour en revenir à Deleuze… Il y a de l’un à l’autre un glissement qui m’échappe pour l’instant. Notons-le et restons-en à cette équation de droite qui nous ramène à Descartes, et sa géométrie  analytique (nota du 11/01/17: ceci nous ramène à la théorie des catégories, voir "conceptual mathematics" p. 42).

Si l’on voit notre système de deux équations à deux inconnues comme un ensemble de deux droites, alors, leur point d’intercection est la solution à notre problème. Et vous voyez le changement de perspective, n’est-ce pas ? Nous sommes maintenant sur une surface, et le saut diachronique entre les niveaux Ik et Ik+1, dont nous venons de parler, est semblable à celui qui sépare la représentation d’un espace à une dimension de celle d’un espace à deux dimension ; nous en avons déjà parlé (i.e. : « les objets de la géométrie »).

Maintenant, après avoir fait ce pas de côté, qui nous fait glisser de l’algèbre à la géométrie, puis effectué le saut diachronique qui nous porte de la représentation d'une droite à celle d’une surface, il est assez simple d’exprimer la condition d’existence d’une solution à notre système d’aquations. Il suffit que les droites représentant nos équations soient sécantes.

Et ceci est déterminé par les valeurs relatives des coefficients :

 

Nous avons ainsi retrouvé ce fameux déterminant qui m’avait tant intrigué dans ma jeunesse… Ce qui m’a désespéré si longtemps c’était de ne pas comprendre comment l’on passe de ceci au calcul : a1.b2 – a2.b1. Sous prétexte que cette formule est simple, on s'abstient de s'y intéresser, pour immédiatement passer à sa généralisation. Passer de ce déterminant élémentaire à celui d'une matrice carrée NxN. On privilégie la virtuosité au détriment d'une réelle compréhension... Mais je suis particulièrement têtu....

Restons-en à nos deux droites: dire qu'elles doivent être sécantes, c'est dire que, dans un repère cartésien quelconque, elles n'ont pas la même pente; pentes qui ont respectivement pour valeur a1/b1 et a2/b2. Autrement dit, les droites sont sécantes si :

a1/b1  a2/b=> a1.b2 – a2.b1  0 ;

Mais nous ne rattachons pas réellement notre discours, au niveau Ik, à un concept directement issu du niveau Ik+1. C'est à dire que nous n'utilisons aucune propriété propre à une surface, comme, typiquement, la mesure d'une aire. Nous en restons à un "entre deux", en ce sens que ces coefficients sont ici vus comme le repérage (cartésien) sur un plan (cf.: Ik+1) d'une droite (cf.: Ik). C'est un peu bâtard.

Reprenons notre discours: si nous construisons deux vecteurs perpendiculaires à nos deux droites, de valeurs respectives (a1; b1) et (a2; b2) ; notre système d'équations peut avoir une solution, à condition que nos vecteurs ne soient pas colinéaires... On voit immédiatement (se référer au dessin ci-dessus) que ces deux vecteurs déterminent un parallélépipède. Figure dont la "surface" est un concept intrinsèquement liée à ce niveau Imaginaire, irréductible à quelque concept plus élémentaire.

Nous avons ici une coupure nette et franche, un gap diachronique entre l'évaluation d'une surface (à un niveau Ik+1 du discours) qui conditionne le discours de niveau inférieur Ik.

Bien, maintenant, et c'est là que j'ai bloqué pendant longtemps: comment calculer cette aire? Comme je suis très fainéant, je vais voir sur internet, pour m'y casser les dents. La question est sans doute si évidente, que très peu de monde s'y arrête. Je trouve juste ce schéma, même pas expliqué sur wikipedia, comme un biscuit donné à un gosse pour le calmer :

Démonstration géométrique du fait que Det(X, X') = y'x-yx' (y'>y et x>x')

Démonstration géométrique du fait que Det(X, X') = y'x-yx' (y'>y et x>x')

Bien sûr, à la réflexion et en triturant la figure, on arrive au résultat : le produit y'x est la surface d'un rectangle (surface diversement colorée  et non hachurée du schéma) auquel on retranche la surface du rectangle yx' (dernier rectangle en bas à droite, du schéma). On détaille un peu la procédure ici. Mais ce bricolage brouille le sens de la démonstration; ça sent la sueur et manque d'élégance. Pourquoi ce résultat et pas un autre ? Pourquoi retrouve-t-on ainsi le même résultat que précédemment (i.e.: les pentes des droites) ? Qu'est-ce qui m'échappe ?

De guerre lasse, j'en étais resté là jusqu'à ce que le m'intéresse à Newton. À un moment où je souhaitais comprendre cette période particulière qui conduit de Descartes à Newton, en passant par Leibniz. Nous avons vu le lien avec Descartes: les coordonnées, ainsi que l'intérêt de Leibniz pour les équations linéaires et les déterminants, mais que vient faire Newton dans l'histoire me direz-vous ?

L'une des démonstrations majeures de Newton fût celle de la "loi des aires" de Kepler. Vous voyez déjà que nous restons sur une question de mesure de surface. Vous pourrez trouver des démonstrations dégoulinantes d'intelligence sur le net, comme ici, mais ce sont des reconstructions a posteriori, à partir de concepts trop élaborés pour notre propos. Non, il faut en revenir à la démonstration initiale de Newton, dans l'époque de son surgissement. J'en ai finalement trouvé une présentation très claire sur ce site : "Lois de Kepler et principes de Newton". Je vous engage à y suivre la démonstration, que je ne reprendrai pas ici. Mais, et l'auteur a l'heureuse idée de le rappeler dans son introduction, toute la démonstration tient à la propriété géométrique suivante: l'aire d'un triangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

De Descartes à Leibniz et Newton...

Et cette propriété me semble être la raison fondamentale grâce à  laquelle notre déterminant  se calcule si aisément. Par ce détour bien compliqué je prenais conscience de l'importance de cette formule que ma fille apprend à l'école ! Il n'est jamais trop tard vous dis-je.

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Reprise au 28/12/2016

J'attendais de maîtriser un logiciel de dessin animé pour continuer ce billet et revenir au calcul de la surface d'un losange (a1.b2 – a2.b1), mais je n'ai pas ce loisir actuellement, je publie donc en l'état... J'avance pas à pas, et je suis encore loin de "comprendre " le concept d' "inversion de matrice". Peut-être serait-il plus simple de mettre ceci en attente de mon exploration de la théorie des catégories ?

J'attendrai d'être tranquille au chaud en Afrique pour m'y remettre.

Hari

Nota du 16/01/2017 :

En surfant sur internet, pour la réaction de mon prochain billet concernant la théorie des catégories, je tombe sur cet article concernant les déterminants, qui me semble répondre à toutes mes interrogations. J'avoue qu'en le lisant je me fait l'effet d'être un nain de jardin ...  Le seul intérêt, s'il faut en chercher un, à mes articles concernant les maths, c'est de suivre les divagations d'un primitif découvrant l'usage d'une autoroute.

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