Récoltes et semailles # 17 — La cérémonie funèbre Cohomologie étale

La cérémonie funèbre (suite) p. 1395

(5) Les quatre opérations (sur la dépouille)
- (1) Le magot
  - a. Le silence "Motifs"
    - RAS
  - b. Les manoeuvres ("cohomologie étale")
    - b1. Le contexte "conjectures de Weil"
      - II L'opération cohomologie étale
        
        Fil 1
        
        Fil 2
        
        Fil 3
        
        Fil 4
    - b₉. La conjecture
    - b₁₀. La formule
      - (a) Les vraies maths...
      - (b) ... et le non-sens
- (2) Le partage ("Dualité — Cristaux")
- (3) L'apothéose ("Coefficients de De Rham et D-modules")

Le 26/ 02/ 2025 : suite de #16

- En passant à une représentation de l'Imaginaire par un cross-cap, nous avons émis une hypothèse quant à la rencontre entre :

l'idée que l'expression "naturelle" de la mesure soit en termes p-adiques, avec un corps l-adique Q en [⚤]→[♻];
l'utilisation des faisceaux de Leray pour faire des "projections" [♻]↓[♻] sur ce corps.

l'univers p-adique (A)		les faisceaux de Leray (B)

1	2	1	2

Tout ceci reste encore très embryonnaire, je te l'accorde, mais voyons si cela nous permet de nous y retrouver dans ce foisonnement mathématique.

Deux points fondamentaux que A.G. a développé en cohomologie cohérente :

Le formalisme des 6 opérations;
La formule de Riemann — Roch — Grothendieck, qu'il appelle je ne sais où, l'équation du diable.

Nous verrons leur importance dans les nombreuses références qu'il y fera par la suite.

Ensuite, A.G. précise que sa pensée s'est développée selon 4 fils qui se sont entrecroisés...

- Là, il importe de vérifier si ces mouvements s'inscrivent bien sur notre cross-cap.

- Effectivement : nous suivons les traces d'une pensée toute récente (dans les années 1950-1980) et la syntaxe d'une épistémè qui se cherche devrait, au minimum, permettre une représentation simple de ces mouvements Imaginaires.

Fil 1 —

"J'ai développé (avec l'assistance de collaborateurs), un formalisme de la cohomologie l-adique des schémas, pour l premier aux caractéristiques résiduelles, ayant toutes les propriétés connues (et au-delà...) de la cohomologie «discrète» familière des espaces topologiques. À trois questions ouvertes près, de nature technique, on peut dire qu'on disposait, «en principe» dès 1963, et «en fait» dès 1965/66 (avec les développements du séminaire SGA 5, faisant suite à SGA 4 en 1963/64), d'une maîtrise complète de cette cohomologie, dans le cadre général de la cohomologie dite «étale» — sous forme du formalisme de dualité des «six opérations». Le principe de la définition de la cohomologie étale remonte à 1958, et j'ai prouvé les «résultats-clefs» nécessaires et suffisants pour le formalisme complet (y compris les théorèmes du type «Lefschetz faible» et les notions de profondeur cohomologique dans le contexte étale) en février et mars." p. 1397-1398

Comprenons que :

La cohomologie "discrète" familière, s'exprime avec des coefficients des cochaînes pris dans un corps G (tel ℤ ou ℤ/nℤ) dans [⚤];
La cohomologie l-adique, s'exprime dans un corps tels que ℤp (dès lors qu'une mesure y est associée), ℚ_p, que nous avons situé dans [♻], au même titre que ℚ, ℝ, ℂ etc.

La "passage" intellectuel de ℤ à ℤ_p, tient au mouvement indiqué en (A).

Fil 2 —

"Avec le yoga des motifs, j'ai découvert la philosophie qui permet de relier entre elles les différentes cohomologies l-adiques (et autres) d'une variété, comme étant autant de «réalisations» différentes d'un «motif» qui est commun à toutes, et qui est la «cohomologie motivique» de cette variété. Cette philosophie prend naissance au début des années 1960, avec un «yoga des poids» directement inspiré des conjectures de Weil (et d'une idée de Serre inspirée par celles-ci, concernant une notion de «nombres de Betti virtuels» associés à une variété algébrique. Elle s'enrichit en 1964, dans l'élan du démarrage de la cohomologie l-adique, de la notion cruciale de «groupe de Galois motivique»." p. 1398

Je n'ai encore aucune idée concernant ce "yoga", souvent évoqué par A.G., mais pas encore explicité. Nous avons vu le concept de "motif", comme un passage à la limite (dans la voie des mots) 𓁝ⁿ♢↑^∞♢𓁜 exprimant un caractère commun à l'ensemble des cohomologies choisies pour représenter un objet.

Au-delà, on peut faire l'hypothèse d'un passage en mode objets représentable ainsi :

Les motifs (C)

1	2

- Est-ce que cela a un sens ?

- À ce stade, je n'en sais rien du tout, il s'agit d'une application bête de la syntaxe développée à partir du cross-cap. Tu remarqueras toutefois à l'arrivée l'idée d'un lien direct entre "arithmétique" et "géométrie" dans le mouvement [⚤]→[#] dont il est question plus loin. En attendant meilleure compréhension :

La "cohomologie motivique" est située a priori en ^∞♢𓁜
Le "groupe de Galois motivique" en ^∞[⚤] comme le suggère un passage ^∞[⚤]←^∞[♻]

Je laisse pour l'instant la dualité des 6 opérations.

Fil 3 —

"M'inspirant des idées de Monsky-Washnitzer, qui avaient construit une théorie cohomologique (à coefficients constants) «p-adique» pour les variétés algébriques lisses et affines en caractéristique p>0 , j'ai dégagé en 1968 une définition générale pour une «cohomologie " p-adique", que j'appelle aussi cohomologie cristalline. Cette théorie était censée englober des "coefficients" (dits "cristallins) pas nécessairement constants ni localement constants, et donner lieu à un formalisme des "six opérations" tout comme la théorie l-adique. Il était acquis d'emblée, tout au moins, que pour des variétés lisses, cette cohomologie a les relations qu'on attendait avec la cohomologie de De Rham, et qu'elle généralise celle de Monsky-Washnitzer109." p. 1398-1399

L'intérêt est la dualité entre :

cette cohomologie cristalline, dans un espace muni d'une mesure "ultramétrique", et
la cohomologie de de Rham (ce qui donne tout le calcul classique du calcul différentiel et de la physique) dans un espace "métrique".

- Tu penses à la dualité de l'espace dont parle Alain Connes ?

- C'est une piste à suivre...

Fil 4 —

"La notion géométrique unificatrice, reliant par une intuition «topologique» commune la cohomologie étale et ses variantes immédiates (liées aux topologies de Zariski, fpac, fppf, etc.), la cohomologie cristalline, et enfin la cohomologie «de Betti» définie dans le contexte transcendant, et (plus généralement encore) la cohomologie faisceautique des espaces topologiques quelconques, est la notion de «site», et, au-delà de celle-ci, plus intrinsèque et plus cachée, celle de topos. Celle-ci, à partir de 1964 et les années suivantes, vient progressivement sur le devant de la scène. Je m'exprime au sujet de la portée de cette notion, centrale dans mon œuvre, aujourd'hui bannie de la géométrie, dans la note «Mes orphelins» (n°46), p. 180-182, dont je me bornerai ici a extraire le passage suivant:

Ce couple de notions [les schémas, et les topos] contient en puissance un renouvellement de vaste envergure aussi bien de la géométrie algébrique et de l'arithmétique, que de la topologie, par une synthèse de ces «mondes», trop longtemps séparés, dans une intuition géométrique commune." p. 1400

Lorsque le questionne Perplexity sur la notion "d'espace étale", j'avoue rester sur ma faim ! Je pense qu'il faut se donner le temps d'approfondir la question...

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