Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
23 Février 2025
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Le 23/ 02/ 2025 :
- C'est malin de nous mettre du Brassens à propos de cette cérémonie funèbre.
- Difficile d'adopter une posture confite dans la dévotion quand l'école de samba du quartier Bellavista défile dans la rue pour préparer le carnaval qui s'annonce. Et puis si je comprends parfaitement l'amertume de A.G. face au comportement de ses anciens élèves qui, lui semble-t-il, font carrière sur des idées qu'il a partagées avec eux à l'IHES, pourquoi, mais pourquoi les avoir plantés-là en 1970 ? Parce que l'école reçevait quelques subsides de l'armée ? La belle affaire. Et quelle naïveté de penser que son ombre tutélaire allait encore planer sur sa postérité, une fois le dos tourné !
- Je te sens bien acide ce matin ?
- Désolé, mais c'est une façon de prendre un peu de recul par rapport aux motivations de A.G., à savoir dénoncer l'enterrement dont il est victime, pour en tirer ce qui moi m'intéresse, c.-à-d. trier les quelques lueurs sur ses travaux, qu'il pourrait semer afin d'expliquer ses déboires aux spectateur naïf.
- Autrement dit, ton sommaire sera très fragmentaire.
La cérémonie funèbre (suite) p. 1311
b1. Le contexte "conjectures de Weil"
"L'idée de l'existence d'une théorie de «cohomologie» d'une variété algébrique sur un corps quelconque k, qui associerait à une telle variété (tout au moins si elle est projective et lisse) des «espaces de cohomologie» dont le corps de coefficients serait de caractéristique nulle (par exemple un corps p-adique), et dont les propriétés calqueraient les propriétés bien connues de la cohomologie «de Betti» (définie par voie transcendante quand le corps de base est le corps des complexes) - cette idée se trouve «entre les lignes» dans l'énoncé des célèbres conjectures de Weil (1949). C'est en termes cohomologiques, en tout cas, que Serre m'a expliqué les conjectures de Weil, vers les années 1955 — et ce n'est qu'en ces termes qu'elles étaient susceptibles de m'«accrocher» en effet.
Personne n'avait alors la moindre idée comment définir une telle cohomologie, et je ne suis pas sûr que personne l'autre que Serre et moi, pas même Weil si ça se trouve, avait seulement l'intime conviction que ça devait exister." p. 1395
- Je n'ai pas la moindre idée de ce dont il parle !
- Pas mieux... Mais il faut avancer, en espérant que notre topologie de l'Imaginaire puisse nous guider.
Le 24/ 02/ 2025 :
- Pour ne pas nous perdre, il faudrait se raccrocher à des idées très simples, en évitant d'être submergés par le vocabulaire, pour comprendre d'où l'on part.
- Belle déclaration d'intention, et donc ?
- J'ai l'impression que les matheux ont tellement travaillé leur matière tel le boulanger pétrissant sa pâte à pain, que pompette n'y retrouve plus ses petits.
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Prends ce concept de "variété" par exemple. J'ai en tête l'étude des coniques avec les plans de coupe d'un cône, suivant une longue tradition (voir ici).
- Tu remontes loin !
- Bien sûr, mais dis-moi, après la mise en forme syntaxique à laquelle nous venons de procéder, et en cherchant des similitudes avec l'homologie et la cohomologie, comment pourrions-nous en parler, à partir d'une progression duale ente "ce qui est identifiable"—[⚤]𓁜→... / ...←𓁝[∅]—"ce qui est vide".
- A priori, je vois deux choses :
- Maintenant, il faudrait mettre en lumière la rencontre entre un vide et une identification.
- Une suggestion, à vérifier bien entendu : l'aspect "circulaire" autour d'un vide ∅ de l'objet en 𓁝[#], se traduirait par un "zéro" de l'équation (....)=0 qui le définit en [⚤]𓁜←𓁝[#].
- Et du côté [♻]𓁜 ?
- Nous avons déjà vu que les groupes d'homologie (et de cohomologie) sont une représentation des vides de la structure topologique.
Le 25/ 12/ 2025 :
- En écrivant, je sentais bien que je n'étais toujours pas outillé pour véritablement comprendre de quoi A.G. parlait. Il y avait, c'est entendu cette double circulation entre ce que l'on identifie en posture 𓁜 et ce qui se décante du vide en 𓁝, mais c'était largement insuffisant.
- D'où le passage d'une représentation sur un tore à celle du cross-cap ?
- Effectivement, et peut-être plus directement, concernant notre exploration de "Récoltes et semailles", le dernier point, rédigé ce matin (voir "5/ circulation sur le cross-cap"), résumé dans ces schémas :
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| 1 | 2 | 3 | 4 |
- Tu démarrais en [⚤], est-ce le problème de A.G. ?
- Non, bien entendu. En raccrochant la cohomologie à l'homologie, je dirais que l'on part d'une passerelle initiale n[#]♢→n[♻]♢. lorsque pour un espace topologique X donné, l'on traduit "un bord n'a pas de bord" par un groupe d'homologie Hn(X) pour ensuite développer la cohomologie, centrée en n[♻]♢.
- Mais que t'apporte finalement cette représentation schématique des déplacements du Sujet ?
- Tout d'abord le fait qu'en partant d'une question initialement "topologique", lorsque l'on avance dans la réflexion au-delà du triptyque primaire [⚤]/[#]/[♻], on développe des liens qui contournent la case centrale [#]♢ sans jamais y revenir ! (Note 1)
- Si au moins tu tentais de savoir de quoi parlent ces fameuses "conjectures" ?
- Posons la question :
— Q : Explique en mots simples quel est l’objet des conjectures de Weil
— 🤖 : "Les conjectures de Weil, formulées par André Weil en 1949, concernent principalement le compte des points sur des variétés algébriques définies sur des corps finis. En d’autres termes, elles visent à comprendre et à prédire le nombre de solutions à des systèmes d’équations polynomiales lorsque les coefficients et les solutions appartiennent à un corps fini (comme un ensemble de nombres avec un nombre limité d’éléments).
Ces conjectures ont trois aspects principaux :
Ces conjectures ont été prouvées en 1974 par Pierre Deligne, marquant un grand progrès en géométrie algébrique et en théorie des nombres." Perplexity lien.
Par prudence je vérifie l'idée de "rationalité" appliquée ici :
— Q : "Précise ce qu’il faut comprendre par «rationnel» dans les termes « Rationalité des fonctions zêta »
— 🤖 : Dans le contexte des fonctions zêta, le terme “rationnel” fait référence à la nature de la fonction zêta lorsqu’elle est exprimée sous forme de fraction rationnelle. En d’autres termes, une fonction zêta est dite rationnelle si elle peut être représentée comme le quotient de deux polynômes (à coefficients rationnels) en la variable utilisée pour définir la fonction zêta. Cela signifie que la fonction peut être exprimée sous une forme algébrique simple, avec des coefficients rationnels, plutôt que d’être une fonction transcendante ou analytique complexe générale.
Par exemple, pour une variété algébrique définie sur un corps fini, la fonction zêta est souvent une fraction rationnelle en la variable t ou q-s, où est la taille du corps fini. Cela implique que la fonction peut être écrite sous la forme P(t)/Q(t), où P(t) et Q(t) sont des polynômes à coefficients rationnels.
Cette propriété de rationalité est cruciale dans la théorie des fonctions zêta, car elle permet de comprendre et de manipuler ces fonctions de manière algébrique, ce qui est essentiel pour démontrer des résultats comme les conjectures de Weil." Perplexity lien.
Comme tu le vois, il y a entre "ma" représentation sur 3 niveaux [⚤]/ [#]/ [♻] et le langage des mathématiques un positionnement de concepts qui demande à être clarifié !
- Heureusement que ces glyphes sont des balises, que tu précises un peu plus à chaque tour de manège, sinon tu n'arrêterais pas de raturer ton texte !
- Effectivement : pour nous, ce qui compte essentiellement est de vérifier que nous rendons bien compte de la circulation du Sujet dans son espace Imaginaire, et non de "faire des maths". Or donc, dans cette définition j'ai un hiatus entre :
- Nous sommes dans le passage [⚤]←[♻].
- Sans doute, garde-le sous le coude. Maintenant qu'est-ce qu'une "application fonctionnelle" ?
— Q : Définis simplement ce qu’est une équation fonctionnelle ?
— 🤖 : Une équation fonctionnelle est une relation mathématique qui lie une fonction à une version transformée d’elle-même. En d’autres termes, elle exprime comment la fonction se comporte ou change lorsqu’on modifie son argument (par exemple, en le multipliant, en le décalant ou en le prenant sous une autre forme).
Un exemple classique est celui de la fonction zêta de Riemann, qui satisfait l’équation fonctionnelle suivante :
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où ζ(s) est liée à ζ's_1. Cela montre que les valeurs de la fonction sur une partie de son domaine (par exemple, s>1) déterminent ses valeurs sur une autre partie (par exemple, s<0)..
Dans le contexte des conjectures de Weil, l’équation fonctionnelle relie la fonction zêta d’une variété algébrique à une version symétrique de cette fonction, souvent en inversant l’argument ou en le centrant autour d’une valeur particulière. Cela reflète des propriétés profondes de symétrie dans les objets étudiés." Perplexity lien
Ce qui vient à l'esprit est :
- Autrement dit, nous sommes en [♻] pour transcrire un principe de symétrie en [#]. J'ai envie de dire que le discours est dans l'articulation [#]→[♻].
- À vérifier; passons aux "zéros restreints" :
— Q : "Explique simplement ce que signifie «zéros restreints» d’une application de fonctions ?
— 🤖 : L’expression «zéros restreints» d’une fonction signifie que les zéros (les points où la fonction prend la valeur 0) sont situés dans des endroits spécifiques ou respectent certaines contraintes dans le domaine de la fonction.
Par exemple, dans le cas des fonctions zêta (comme celles des conjectures de Weil ou la fonction zêta de Riemann), les «zéros restreints» signifient que les zéros de la fonction ne peuvent pas se trouver n’importe où dans le plan complexe, mais doivent se situer sur des lignes ou des régions bien définies.
Et nous en revenons à la question : qu'est-ce qu'un point ?
- Sa définition évolue en passant d'un niveau à l'autre.
- Bien sûr, mais ici cela veut surtout dire que nous sommes dans un espace pointé.
- L'image qui vient assez naturellement en [#], c'est celle d'une série d'inclusions allant se restreignant pour passer d'un ouvert O à un point limite p : O⊃⊃⊃... ⊃⊃ → p.
- Oui, ce sont les faisceaux de Leray (voir ici dans #15), que l'on pourrait représenter par une répétition : 𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜 etc. pour passer en final à [⚤]𓁜←𓁝[#]. Mais comme tu l'as remarqué, nous sommes dans la retranscription en [♻], de considérations primitivement d'ordre géométrique et topologiques (partie/ tout, inclusion, symétrie; espace, ouverts, point etc.)
- Et donc toujours en [#]→[♻] ?
- C'est peut-être là qu'il faut revenir à notre cross-cap : la continuation du mouvement [⚤]←[#]. se fait ici :
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| 1 | 2 |
Je penses que tu commences à comprendre l'intérêt de ce bouclage Imaginaire ?
Le 26/ 02/ 2025 :
- Je veux bien tout ce que tu veux, mais, tu nous avais bien parler de représenter le point en [⚤]♧𓁜 comme partie d'une structure en 𓁝[⚤]♢ à partir du choix d'une groupe 𓁝[⚤]♡↓[⚤]♢𓁜 ?
- Oui, cela ne change pas et sur nos petits schémas, cela donne : (Note 2)
| ↓ | ||
| ↓ | ||
| ↑ |
Tu en viens à rechercher une symétrie entre deux mouvements, l'un se développant en [⚤] et l'autre en [♻] :
| [⚤] | [♻] | |
| ↓ | ↓ | |
| ↓ | ↓ | |
| ←↑ |
Et dans le passage de [⚤] à [♻], ce qui enrichit la perspective, c'est l'appropriation en [♻] du concept de faisceau n+1[♻]↓n[♻], primitivement dans le mouvement [⚤]←[#].
Je crois que pour l'instant, c'est suffisant pour situer également "une variété sur le corps des complexes" dans ce mouvement n+1[♻]↓n[♻] à la rencontre d'une cohomologie qui serait, dans la voie des choses, une circulation entre n[#]←n[♻], et n[⚤]←n[♻]... Il ne faut pas en demander plus pour l'instant, et voyons si la suite peut nous éclairer d'avantage.
"On n'avait une bonne prise géométrique directe que sur le H, via la théorie des variétés abéliennes et leurs points d'ordre fini (développée par Weil), et via les variétés d'Albanese ou de Picard associées à une variété algébrique projective non singulière. Cette construction du H suggérait que les corps de coefficients «naturels» devaient être les corps l-adique Q, pour l nombre premier distinct de la caractéristique. Pour l égal à la caractéristique (quand celle-ci est non nulle), des résultats très partiels de Serre, probants surtout dans le cas des courbes algébriques, suggéraient qu'on devrait pouvoir prendre comme corps de base le corps des fractions de l'anneau des vecteurs de Witt de k (supposé parfait). On pouvait donc espérer qu'il y aurait une théorie l-adique (avec grain de sel pour l = p) pour tout nombre premier l - et en un sens convenable, elles devaient «toutes donner le même résultat». Enfin, quand k est de caractéristique nulle, de sorte qu'on dispose (au moins dans le cas X projective non singulière) des espaces de cohomologie de Hodge (qui avaient un sens pour k quelconque, depuis l'introduction par Serre de la théorie cohomologique «cohérente» des variétés algébriques) et ceux de De Rham (que j'avais introduits en m'inspirant de la cohomologie de De Rham différentiable), ceux-ci fournisaient dans 'immédiat des théories cohomologiques ayant toutes les propriétés voulues, et elles devaient donner encore «le même résultat» que les cohomologies hypothétiques l-adiques." p. 1396
Nous revenons ici au rapport entre les "nombres ordinaires" et les "nombres p-adiques", que j'ai découvert il y a peu (voir "Bouclage de la quantité sur les nombres [♻]→[⚤]").
En supposant que les nombres p-adiques tirent leur utilité d'une réflexion sur la "mesure", (i.e.: un parallèle entre le mesure "métrique" et une autre "ultramétrique"), nous serions dans la voie des mots, et la réflexion se prolongerait de cette façon :
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| 1 | 2 |
- Ça ne nous dit pas grand chose...
- Il y a quand même une convergence en [♻] entre
Encore une fois, ça n'explique rien mais permet, je l'espère, de situer grossièrement les concepts afin d'avancer dans le brouillard...
- À suivre, donc...
Hari
Note 1 :
- Dans un tout autre domaine, ça me fait penser aux commentaire de Lacan concernant le rêve de l'injection faite à Irma :
Ce niveau [#] est comme la tache blanche au fond de la gorge d'Irma, d'où tout peut sortir.
- Tu disais que Freud était en la circonstance face au Réel en posture ☯[⚤]♢𓁜 ?
- Il faudrait en discuter avec des psychanalystes. Nous avons ici une autre possibilité, en comprenant [#]♢ comme au "centre" de l'Autre —ce qui colle bien avec le cross-cap— et cette circulation autour, nous le fait voir comme "l'ombilic" dont parle Lacan.
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Je parlais alors d'une circulation entre
en restituant les termes de Lacan :
| Mané | Fares | Thécel |
| [⚤] | [#] | [♻] |
Nous prolongeons ici l'idée d'une "circulation" primaire, en remarquant que l'on s'éloigne de [#]♢ lorsque l'on passe la ligne de croisement de la surface du cross-cap.
Note 2 :
Dans une réflexion dans la voie des mots, nous sommes par définition en mode ♢ et représentons ♧ ♢ ♡ par les étapes n-1♢, n♢, n+1♢ d'un processus syntaxique. Je ne le répète pas à chaque fois, lorsque l'utilise abusivement (parce que c'est plus parlant) les symboles ♧ ♢ ♡ à la place de n-1♢, n♢, n+1♢.
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