Topologie et géométrie algébriques #1— retour à Dehaene

Le 28/ 02/ 2025 :

- J'ai du mal à faire entrer dans mes cases [⚤] [#] [♻] ce qui relève de la géométrie / topologie, et corrélativement géométrie algébrique & Topologie algébrique.

- Tout modèle est peut-être à mettre à la poubelle ?

- Il marchait quand même rudement bien jusque là... Et puis non : je ne suis pas prêt à rejeter l'idée que l'Homme (en remontant même jusqu'au chimpanzé), utilise les mêmes façons d'arranger ses circuits neuronaux pour produire du sens à partir de ses expériences. Circuits déjà en place pour interpréter ce qu'il sent, ce qu'il voit, ce qu'il entend, ce qu'il touche, ce qu'il mange avant même que les hominidés se différencient des hominidae. Et l'évolution fonctionne par une spécialisation de certaines zones cérébrales, en récupérant, des circuits déjà là. C'est vrai par exemple pour les circuits de la lectures.

- Eh donc ?

- S'il m'a fallu en gros 20 ans pour me convaincre que la distinction suivante pouvait représenter notre Imaginaire, faut-il tout remettre en cause ?

- Tu parles souvent de cette caractérisation comme repérable par IRM, et si tu y regardais sérieusement ?

- Tu as raison, et pour commencer revenons à Dehaene (Note 1)

Relecture du 1^er article :

- Je me rends compte que nous sommes toujours dans la même problématique qu'il y a 2 ans !

- À ceci près que ta définition de la différence covariant/ contrariant doit être revisitée, à la lueur de ce que tu en as dit dernièrement (voir "Syntaxe de l'Entropologie").

• Covariant selon la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) ou : 𓁜_♧ ↑ 𓁜_♢ ↑𓁜_♡; 
• Contravariant selon la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) ou :   𓁜^⚤ → 𓁜^# →𓁜^♻.

-  Oui, il faut retrouver un parallèle avec la notion de foncteur représentable, qui elle n'a pas changée :

 Foncteurs covariants et contravariants

Maintenant, il faut distinguer entre deux façons symétriques de faire ce rattachement. Notre objet A étant un élément du domaine de F, alors :

• F est dit covariant : lorsque A est le domaine commun de Â;
• F est dit contravariant : A est le codomaine commun de Â.

 =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A)	 =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X)
F contravariant	F covariant

fig. 2

Tu noteras une différence fondamentale sur laquelle nous reviendrons :

• Soit un Foncteur F : C → D;
• Soit X, Y, Z de C tels que f : X → Y et g : Y → Z
  • Si F est covariant alors : F(g◦f) = F(g)◦F(f)
  • Si F est contravariant : F(g◦f) = F(f)◦F(g).

Lemme de Yoneda

Les transformations naturelles de Â par F correspondent bijectivement aux éléments de F(A).

- Si ce que tu dis a un sens, cela signifierait que nous devrions voir une orthogonalité entre ces deux schémas : celui de gauche étant relatif à un "saut de niveaux" et celui de droite à un "saut de mode" ?

- Oui, à ceci près que la catégorie du codomaine des foncteurs est toujours Ens, celle des ensembles... Notre définition est plus générale. Mais gardons ceci sous le coude, sinon nous n'avancerons pas. La question reste : "notre distinction [⚤] [#] [♻] est-elle pertinente pour situer les travaux de Grothendieck"... 

Au fil de ma relecture je relève ceci de Dehaene :

"...Les liaisons sont excitatrices (flèches), mais aussi inhibitrices (traits terminés par des ronds noirs)." p. 58

Je n'y avais pas prêté attention à l'époque, mais nous retrouvons ici l'idée d'inhibition :

"... les enfants font souvent des erreurs de lecture ou d’écriture en miroir au début de l’apprentissage de la lecture. Notre système visuel se développe spontanément de manière symétrique et l’enfant doit surmonter ce biais pour acquérir l’écriture." p. 10

que l'on retrouve en cohomologie :

• une cochaîne est une potentialité, et un cobord est une restriction des possibles dans l'ensemble des cochaînes;
• il y a une dualité entre
  • ce qui progresse et est identifiable, et
  • ce qui régresse à partir du vide (inhibition)

On peut également présenter la dualité suivante :

"Il existe enfin des connexions descendantes, depuis les mots vers les lettres : comme à l’Assemblée nationale, les lettres se font représenter par des mots qui, en retour, soutiennent les lettres qui votent pour elles..." p. 58

en termes de dualité homologie / cohomologie.

Je laisse de côté mes commentaires d'alors, pour arriver à ceci :

 "Les deux voies de la lecture:
Résumons-nous : tous les systèmes d’écriture oscillent entre l’écriture des sens et celle des sons. Cette distinction se reflète directement dans le cerveau du lecteur. La plupart des modèles de la lecture postulent que deux voies de traitement de l’information coexistent et se complètent.

• Lorsque nous lisons des mots rares, nouveaux, à l’orthographe régulière, voire des néologismes inventés de toutes pièces, notre lecture passe par une voie phonologique qui décrypte les lettres, en déduit une prononciation possible, puis tente d’accéder au sens. Inversement,
• lorsque nous sommes confrontés à des mots fréquents ou irréguliers, notre lecture emprunte une voie directe, qui récupère d’abord le mot et son sens, puis utilise ces informations pour en recouvrer la prononciation (figure 1.4)." p. 50

Avec le recul, nous pouvons sans problème y retrouver nos voies :

• (☯𓁜𓁝☯)  La voie des choses <=> voie directe ;
• (♧𓁜𓁝♡)  La voie des mots <=> voie phonologique / décryptage.

- Ce qui introduirait dans le schéma proposé une orthogonalité entre ce qui est de l'ordre de l'homologie et de la cohomologie.

- Sans doute, mais c'est secondaire. L'important est de retrouver dans les processus les plus enracinés dans notre cerveau une dualité mise à jour très récemment dans les réflexions les plus pointues des mathématiciens, ce qui confirme cette remarque de Dehaene en début d'ouvrage :

"Notre cerveau de lecteur se construit donc à l’aide d’instructions génétiques identiques à celles qui, voilà quelques dizaines de milliers d’années, permettaient à nos ancêtres chasseurs-cueilleurs de subsister : nous partageons les émotions de Nabokov et la théorie d’Einstein avec un cerveau de primate conçu pour la survie dans une savane africaine." p. 14

- OK, mais tu n'as pas avancé quant à la problématique du jour : la pertinence de la distinction [⚤] [#] [♻].

- Passons à la suite.

Relecture du 2e article :

Ce que je disais à l'époque en début d'article, concernant le rôle de mes glyphes 𓁜𓁝 &𓂀, me semble encore pertinent, ensuite, ça devient confus : il faudrait reprendre tout à partir du parallèle que nous venons de voir avec les démarches homologique et cohomologique. Retenons ceci :

« Nous savons au moins une chose, c’est qu’il serait naïf de penser que le sens se borne à un petit nombre de régions cérébrales. Au contraire, la sémantique fait appel à de très vastes populations de neurones distribuées dans toutes les régions du cortex. Les régions frontales et temporales gauches, présentées dans la figure 2.18, ne sont que la face visible du réseau sémantique. Bien sûr, elles s’activent dès qu’une personne effectue un travail conceptuel. Cependant, leur fonction n’est peut-être pas de recueillir directement le sens des mots, mais plutôt de faciliter l’accès à des connaissances sémantiques représentées ailleurs, dans des régions distantes du cortex. Elles fonctionneraient comme des «zones de convergence», pour reprendre l’expression du neurologue Antonio Damasio, qui échangent des signaux avec de très nombreuses régions cérébrales du cortex associatif. Elles recueilleraient ainsi des fragments de sens épars, et les associeraient en faisceaux qui constitueraient, à proprement parler, le sens des mots.» p. 136

Concernant ce qui nous préoccupe aujourd'hui, ce ne sont pas tant les niveaux [⚤] [#] [♻] que je cherche à caractériser, que les liens qu'ils développent entre eux.

- Il ne s'agirait pas tant de les dénommer que de les connoter... Reste à savoir si 3 suffisent ?

- Vaste débat, qui nous ramène à cette question posée par la psychanalyste Jeanne Lafont au colloque  "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan" (Note 2)

"quelqu'un peut-il m'expliquer rigoureusement l'importance du trois"?

J'ai déliré autour de cette remarque à l'époque, mais pour en rester au langage mathématique, on peut relever que le passage de 2 à 3 est un pas important dans la pensée. Je cite pêle-mêle :

• L'axiome d'associativité : a+(b+c) = (a+b)+c
• L'inégalité triangulaire : dans un triangle a,b,c, les distances entre sommets respectent (a,b)+(bc)≥(a,c)
• Le triptyque de Noether : incertitude / symétrie / quantité.

- C'est donc important, bien sûr, mais est-ce suffisant ? Pense par exemple à une transformation naturelle, cela nécessite 4 pôles, non ?

- Ah ! Il y a bien deux applications, disons f et g, ayant chacune un domaine (respectivement a, b) et un codomaine soit f(a) et g(b), d'où 4 "pôles" objets, oui, mais la "transformation naturelle" est une application seconde F entre nos deux applications : F : f→g. Autrement dit, c'est décomposable en "objets"  dichotomiques.

- Il y a également les structures de groupe.

- Bien entendu, mais un groupe est un ensemble d'éléments avec une opération binaire qui satisfait trois conditions essentielles :

• Associativité : Pour tous les éléments a, b et c du groupe G, l’opération doit satisfaire :
 (axb)xc = ax(bxc)
• Élément Neutre : Il existe un élément e dans G tel que pour tout élément a de G, on a :

 axe=exa=a. Cet élément est unique.
• Éléments Inverses : Pour chaque élément a de G, il existe un élément b dans G tel que :

 axb=bxa=e Cet élément est appelé l’inverse de a et est noté a^-1. Il est également unique.

Donc, comme tu le vois au niveau le plus élémentaire du langage mathématique, il n'y a pas de raison évidente d'utiliser plus de 3 repères pour construire nos représentations.

À la réflexion, ce qui caractérise peut-être le plus simplement la différence entre géométrie et topologie est sans doute le respect ou non de l'inégalité triangulaire... C'est une piste. (Note 4)

Avançons dans notre relecture.

Relecture du 3e article :

Il s'agit surtout de mes propres réflexions, dans lesquelles je relève au moins une erreur sur laquelle il n'est peut-être pas inutile de revenir :

"- En situant la discussion sur deux modes (objectif/ actuel vs topologique/ potentiel) la prise de conscience du sens de la parole, à partir d'éléments identifiés de phonème ou de graphèmes se situe dans ce cadre :

- Oui, mais je parlais du "sens" des mots, quand il s'agit ici de creuser jusqu'aux tout premiers stades de la reconnaissance des éléments d'un lettre."

Avec le recul, il semble aujourd'hui évident que mon erreur vient de ne pas avoir identifié la dualité entre voies : des mots—(♧𓁜𓁝♡)⊥(☯𓁜𓁝☯)—des choses. Une réflexion sur la distance séparant le potentiel de l'actuel est nécessairement dans l'ordre des mots, indépendamment du niveau [α] considéré. Quelque chose de ce genre :  𓁝♢^α↓♢^α𓁜.

- En bref, il faudra tout reprendre à partir de principes homolgiques/ cohomologiques ?

- Posons la question :

"— Q : Y a t il des travaux sur l’organisation neurologique du cerveau humain, reprenant les outils mathématiques d’homologie et de cohomologie ?

— 🤖 : Oui, des travaux récents utilisent les outils mathématiques d’homologie et de cohomologie, en particulier dans le cadre de la topologie algébrique, pour étudier l’organisation neurologique du cerveau humain. Ces approches permettent d’analyser la connectivité cérébrale et les réseaux neuronaux en se concentrant sur leurs structures globales et leurs propriétés topologiques." Perplexity voir réponse détaillée ici.

Bon, je ne suis pas la piste, car le sujet déborde mes préoccupations actuelles, mais ça conforte malgré tout l'idée que la réflexion mathématique actuelle est plus une recherche archéologique qu'une édification de gratte-ciel...

- Et ça te rassure ?

- Beaucoup ! Terminons par :

Relecture du 4e article — la bosse des maths :

- Je passe sur mes intentions d'alors : je n'étais pas prêt, et j'ai sans doute eu raison de me taire pendant ce colloque de Lysimaque.

- Il vaut mieux se taire et passer pour un imbécile, que de parler pour ne laisser aucun doute à ce sujet...

- Oui, bon, l'intéressant est ailleurs : j'avais relevé un parallèle entre une transformation naturelle et l'approche duale des nombres dans notre cerveaux à savoir une dualité de parcours. Là encore, j'avais senti quelque chose que je peux à présent rapporter à une dualité des voies : des mots—(♧𓁜𓁝♡)⊥(☯𓁜𓁝☯)—des choses. (Note 3) Relisons le texte de Dehaene de ce point de vue :

1/ Il y a bien une zone associée à la manipulation des nombres :

2/ La perception des nombres est très spécifique :

Ici, le codage est plutôt semblable au reste du langage, à savoir discret.

Enfin, intervient dans l'interprétation des nombre, le cortex préfrontal qui assure la balance entre les différents signaux qui lui parviennent.

Tu remarqueras en particulier une distinction assez nette sur le diagramme entre :

• La perception des nombres (hémisphère gauche);
• La perception des quantités (hémisphère droit).

- Je veux bien, mais le traitement des chiffres comme des quantités est extrêmement complexe.

- Il n'est pas question ici de vouloir schématiser le fonctionnement neurologique du cerveau, mais plus simplement de savoir si nous avons besoin de niveaux —et de combien— pour discriminer suffisamment l'intention et le point d'application de l'attention du Sujet dans son Imaginaire.

- Soit, passons au résumé : qu'as-tu retenu de cette revue générale ?

- Il faut préciser certains points :

1. La tripartition [⚤] [#] [♻] doit être un principe suffisant pour agréger nos concepts ;
2. La caractérisation la plus "générale" doit être :
   • [⚤] <=> discret ;
   • [#] <=> continu ;
   • [♻] <=> quantité.

La suite est plus délicate, et devrait se traiter en termes de passage d'un niveau à l'autre : qu'est-ce que j'acquière et/ ou qu'est-ce que je perds en passant de l'un à l'autre ?

- Tu ressasses ton bréviaire, non : qu'as-tu à dire de la distinction entre "géométrie algébrique" et "topologie algébrique", sans parler de la "géométrie analytique" ?

- Tu as raison. Et comme nous nous intéressons ici au langage mathématique, parlons en termes d'axiomes, de propriétés et de choix. Je te propose ceci :

• En [#] :
  • Nous faisons l'hypothèse du continu;
  • S'articule la distinction local—𓁝/𓁜—global;
  • Nous pouvons faire un choix supplémentaire concernant l'inégalité triangulaire :
    • Sans : topologie;
    • Avec : géométrie;
• Entre [♻] : l'évaluation de l'objet est rapportée à un mètre, ce qui présuppose une appréhension "globale" de l'objet et s'exprime par :
  • L'inégalité triangulaire; (Note 4)
  • L'idée de "rationalité" comme ℚ;
  • L'idée de groupes quotients;
    • les groupes d'homologie/ cohomologie (exprimés par un quotient);
  • L'idée de "mesure" :
    • métrique;
    • ultramétrique.

- Mais quelle est la ligne de démarcation entre géométrie algébrique / topologie algébrique ?

- C'est sans doute le terme d'algèbre qui reste mal défini car on l'utilise à toutes les sauces. Revenons à mon blocage.

- L'espace étale ?

- Oui, je ne le vois pas, tout simplement. Et lorsque j'interroge Perplexity, c'est la topologie de Zariski qui revient en boucle et qu'il me faut situer correctement avant tout :

— 🤖 : La topologie de Zariski est un concept fondamental en géométrie algébrique, introduit par Oscar Zariski. Elle permet d’étudier les variétés algébriques en utilisant des outils topologiques. Voici une définition détaillée :

• Définition La topologie de Zariski est définie sur des espaces géométriques appelés variétés algébriques. Dans ce contexte, les ensembles fermés sont les ensembles algébriques, c’est-à-dire les ensembles définis par des équations polynomiales. Par exemple, dans l’espace affine Kⁿ, un fermé de Zariski est un ensemble algébrique V(I), où I est un idéal de l'anneau K[X_1, \dots, X_n].
• Propriétés
  • Non-Hausdorff : La topologie de Zariski n’est pas Hausdorff, ce qui signifie que deux points distincts ne peuvent pas être séparés par des ouverts disjoints.
  • Fermés et ouverts : Les fermés sont les ensembles algébriques, et les ouverts sont les complémentaires de ces fermés.
  • Dimension : La dimension d’un espace topologique irréductible est définie comme le plus grand entier tel qu’il existe une chaîne de fermés irréductibles (X₀, X₁ ... X_n).
• Applications La topologie de Zariski est utilisée dans la théorie des schémas, qui permet de construire des variétés algébriques générales en collant des variétés affines, similaires à la construction des variétés différentielles. Elle est également cruciale pour étudier les spectres premiers des anneaux commutatifs, où chaque idéal premier correspond à un point dans l’espace topologique."

Le 01/ 03/ 2025 :

- La suite ici : Topologie et géométrie algébriques #2 — retour à Zariski

Hari

Note 1 :

Voir :

• les-neurones-de-la-lecture-dehaene-1-comment-lisons-nous
• les-neurones-de-la-lecture-dehaene-2-le-cerveau-au-pied-de-la-lettre
• les-neurones-de-la-lecture-dehaene-3-les-neurones-de-la-lecture
• stanislas-dehaene-la-bosse-des-maths

Note 2 :

J'en parle dans deux articles :

• 2eme-colloque-lysimaque-mathematique-et-psychanalyse-3-les-4-questions-de-jeanne-lafont
• 2eme-colloque-lysimaque-mathematique-et-psychanalyse-1-le-trois

Note 3 : 

J'y faisais référence au livre "Form & functions" de Saunders Mac Lane, laissé en plan il y a déjà quelque temps, et auquel il serait peut-être opportun de revenir :

• saunders-mac-lane-mathematics-form-and-function-origins-of-formal-structures-2

Note 4 :

C'est en pédalant ce soir à la salle de sport que m'est venu l'idée que cette inégalité n'est pas en [#] mais en [♻], car il s'agit d'une "évaluation" de quantités, primitivement des longueurs, ce qui, après nos réflexions sur ℚ, charge encore un peu plus ce niveau [♻], et impacte pas mal notre perspective d'ensemble : la topologie pure et dure, vue comme "relations" est en  [#]; quant à la géométrie il faut voir si elle n'est pas en train de se replier avec armes et bagages en [♻]...  On en reparle demain !