La physique tout simplement

15 Octobre 2019

- Après notre repli introspectif d'hier, essayons ce matin d'aborder la physique avec légèreté.

- Drôle de physique, si tu ne t'astreins pas à la rigueur !

- Pour construire un bâtiment, l'architecte doit avoir une idée, ensuite les bétonneux donnent corps à son rêve, puis en dernier, les inspecteurs des travaux finis délivrent le certificat d'achèvement. Laisse-moi aujourd'hui rêver comme un architecte.

- Tes critères seront donc esthétiques ?

- Oui, je poserai que nos idées les plus solides sont avant tout les plus simples, les plus légères (note 2).

- Des lapalissades ?

- Disons qu'elles le deviennent après coup.

- Mais par où commencer ?

- Je t'ai déjà dit hier que s'il n'en reste qu'une ce sera Emmy Noether. Eh bien, partons d'elle.

- Mais c'est déjà une pensée très construite!

- Pas en partant de notre axiome, à savoir la distinction entre synchronie et diachronie, et je n'en reprends pas ici tous les développements qui en découlent: c'est l'essentiel de ce blog.

- C'est donc là ton point de départ?

- Bien sûr, je n'en ai pas d'autre. Disons que c'est un choix dont je ne justifie pas la genèse, la limite rationnelle à mon discours.

- Soit, partons de là, et ensuite?

- Si l'on suit le développement intellectuel de l'enfant (note 1), c'est vers dix onze ans qu'il peut comprendre la conservation des volumes, et la relativité du mouvement. Et pour tout dire, je pense que c'est par le mouvement que l'on prend conscience de la conservation des choses.

- Je ne comprends pas.

- Prends une boule de pâte à modeler. Pour que tu comprennes qu'elle conserve la même quantité de matière tout au long des transformations que je lui fais subir en la triturant, il faut bien que tu sois le spectateur de la scène. Si j'en retire un morceau, tu verras tout de suite que sa masse est modifiée.

- C'est assez banal.

- Dit autrement, la masse change si un certain volume de la pâte à modeler s'échappe ou traverse sa surface.

Tu vois tout de suite que cette question de "conservation" peut être ramenée à un rapport entre volume et surface. À partir de là, tu peux laisser courir ton imagination, et faire comme l'enfant posant une infinité de questions à son père.

"- Dis Papa, et si je retire de la pâte à modeler, le volume et la surface vont rétrécir, non?
- Oui, pourquoi cette question?
- Parce que si je prends un ballon, et que je l'écrase, la surface ne varie pas et le volume diminue, mais pourtant, j'ai toujours la même quantité d'air à l'intérieur.
- Oui, mais la densité de l'air va augmenter: il y aura plus d'air par unité de volume dans ton ballon.
... ad libitum."

Comme tu le vois, toutes ces interrogations portent instinctivement sur des déformations dans le temps.

Maintenant, après la découverte des champs (gravitation, et électrostatique) dont l'intensité varie en 1/r², tu comprends très vite que le flux est conservatif; c.-à-d. que pour un champ rayonnant à partir d'un point, avec une symétrie sphérique, la densité de flux par unité de surface va décroître en raison inverse de l'augmentation de surface (i.e.: qui croît de son côté en r²). Et par analogie avec la notion de masse, tu te demandes si tu ne pourrais pas passer du rapport volume/surface à un rapport surface/circulation (note 5).

Puis tu découvres que le mouvement a une vitesse limite c. Dès lors, ce n'est plus seulement la "masse" d'un corps ni son "rayonnement" qui se conserve, mais l'espace-temps lui-même qui est comme cette pâte à modeler (note 3). Et si un objet s'écrase dans le sens du déplacement d'un facteur α fonction de sa vitesse par rapport à l'observateur, le temps propre à cet objet va quant à lui s'allonger en raison inverse 1/α, de telle sorte que le "volume" du déplacement, ou la norme de la pseudo-vitesse de ce mouvement, soit conservée (i.e.: v.v=c²). C'est dire aussi que pour décrire le plus simplement possible tes manipulations sur un objet tu ne peux le faire que localement, dans un repère fixe par rapport à lui.

Enfin, tu te rends compte que les choses ne varient pas de façon continue, mais par quantum (c'est la "justification" de notre intuition de départ).

- Mais là tu es un peu coincé avec tes histoires de pâte à modeler et de ballon de baudruche.

- Eh bien justement, essayons de comprendre comment nous pouvons nous raccrocher aux branches, en suivant une petite vidéo de 8mn de Benoît Hébert (note 4).

La différence entre mécanique classique et quantique s'articule autour de l'idée de dispersion d'une onde progressive, en considérant son flux à travers une surface: ce qui nous ramène à notre ballon de baudruche primitif.

Nous avons vu, un peu vite je te l'accorde, mais nous parlons ici d'intuition, qu'une onde progressive se propage sans "dissipation" si son flux à travers une surface sphérique (autour d'un émetteur ponctuel, etc.) diminue en raison inverse de la surface qu'il traverse (en 1/r²). C'est ce qui est discuté dans la vidéo autour de l'équation de d'Alembert, et conduit à l'équation de dispersion: k²=ω²/c². L'énergie de cette onde se conserve lors de son déplacement si k²-ω²/c²=0.

Maintenant, la mécanique quantique associe à une particule libre (pas de champs potentiel pour l'instant) d'énergie E=hω, égale à son énergie cinétique p²/2m (avec p=quantité de mouvement de la mécanique classique). De Broglie a posé que p est également quantifié: p=h.k. Ce qui nous donne E=hω=h².k²/2m, d'où une nouvelle équation de dispersion, liant k et ω, mais dans laquelle cette fois-ci ω n'apparaît plus par son carré.

Si maintenant tu prends l'expression générale classique d'une onde progressive plane transverse (i.e.: selon un plan orthogonale à sa trajectoire) pour représenter l'onde de probabilité lié à ta particule par Ψ(x,t)=A₀e^i(kx-ωt) en la forçant à respecter cette nouvelle expression de la dispersion tu retrouves assez facilement le terme cinématique de l'équation de Schrödinger: ih.∂Ψ/∂t=-h²/2m.d²Ψ/dx², et en tenant compte de l'énergie potentielle:

ih.∂Ψ/∂t=-h²/2m.d²Ψ/dx²+V(x,t).Ψ(x,t)

Tu vois donc qu'en laissant de côté toute prétention à la rigueur mathématique, tu peux assez vite retrouver une approche sensible du Monde dans lequel nous sommes plongés.

Maintenant, à côté de ces questions de conservation, il reste à parler du mouvement lui-même.

- Je parie que tu vas nous ressortir le principe de moindre action de Maupertuis...

- Gagné ! Ce qui nous conduit directement à Lagrange, et ensuite Hamilton et Eisenberg (note 6).

- Bon, d'accord, nous avons fait un tour de piste, mais qu'en retires-tu?

- Rappelle-toi que j'ai laissé en plan ma lecture de Mc Lane (note 8), pour faire un petit tour du côté de la physique et vérifier que j'avais suffisamment développé ma représentation de l'Imaginaire avant de continuer.

Disons qu'au stade actuel de mon exploration, je ne vois pas la nécessité de revoir ma stratification : R<I1<I01<IR<I#<I0<S.

Par ailleurs, la façon que nous avons d'aborder l'objet de notre expérience par l'extérieur, par sa peau, sans jamais le contempler "en lui-même", preuve sans doute qu'il n'est que le référé indéfiniment repoussé de notre Imaginaire, est tout à faire semblable à ce que j'ai défini comme une approche "topologique" en mathématiques.

Enfin, la mise en avant du calcul matriciel en physique quantique, et tensoriel en relativité générale, me conforte dans l'intérêt que je porte aux matrices et à la différence covariance/contravariance (note 7).

Je conclurais donc cette échappée du côté de la physique en me disant qu'il est temps de revenir à Mc Lane. Ce qui m'oblige à le reprendre depuis le début, parce que j'ai tout oublié entre-temps !

Cent fois sur le métier etc.

Hari

Note 1 Voir :

"L'épistémologie génétique de jean Piaget"

Note 2 Rien de neuf, nous en avions déjà parlé ici:

"Du principe premier de la physique: la simplicité"

Note 3 Voir au sujet de la relativité:

Note 4 Voir dans E-learning de Benoît Hébert :

"Quantique- d'où vient l'équation de Schrödinger"

Note 5 Voir :

"De Lagrange à Euler"

J'avais laissé en plan mon commentaire des opérateurs différentiels, mais la problématique reste bien de décrire un objet de dimensions n par des propriétés sur ses "bords" de dimensions n-1. D'où le théorème de Stokes liant surface et volume, ou le calcul d'un flux à partir d'une circulation autour du périmètre fermé de la surface qu'il traverse.

Dans cette approche, l'objet est ce qui "échappe" au regard, et donc, son référé ultime est bien semblable à l'objet initial, vide, de la théorie des catégories.

La difficulté mathématique ne doit pas nous cacher la nature profonde de cette recherche: on approche un objet insaisissable (un volume) par l'extérieur (sa surface), et même, de façon plus élémentaire encore par une collection de cartes représentant cette surface.

Note 6 Voir :

"Newton, Lagrange, Legendre, Hamilton et les autres"

Note 7 Voir :

Note 8 J'avais commencé à lire le Mc Lane en avril dernier, voir :

Ensuite, j'ai préparé ma présentation en Juin, pour ensuite revisiter à ma façon la physique pendant l'été, jusqu'à maintenant.