Le cross-cap

Index

1. Bouclage du cross-cap
2. Lien entre bande de Moëbius et cross-cap
3. Le temps comme 4^e dimension
4. Les deux voies (☯𓁜𓁝☯)⊥(♧𓁜𓁝♡)
5. Circulation sur le cross-cap

- Je nous croyais repartis dans "Récoltes et semailles", pourquoi ce détour vers le cross-cap ici et maintenant ?

- La raison profonde vient de nos considérations quant à la nature du Sujet et au concept de "Moi-peau". L'idée de n'être qu'à la surface d'une énergie qui me traverse colle mal avec une représentation de l'Imaginaire comme un tore, car il y a dans cette représentation une coupure entre "intérieur" et "extérieur" qui ne colle pas, si je puis dire à la peau en question, sorte de surface, close, certes, mais "plongée" dans une énergie qui la dépasse sans solution de continuité entre intérieur et extérieur.

- Tu avais déjà posé les jalons depuis longtemps (voir "L'orthogonalité modes⊥niveaux Imaginaires"), mais quel est le déclencheur ?

- Ma dernière remarque concernant les motifs de Grothendieck (voir "Récoltes et semailles # 15 — Retour aux topos") : 

• Schémas et topos sont développés dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯);
• Les motifs sont le fruit d'une réflexion dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡).

- Quoi d'extraordinaire ?

- J'ai le sentiment que ma première approche du passage ⁿ[♻]_♢→ⁿ⁺¹[⚤]_♢; passant par un "bouclage" 𓁝ⁿ[∅]_♢→ⁿ⁺¹[∃]_♢𓁜, toujours dans la voie des choses, avec en tête cette configuration de la topologie Imaginaire en forme de tore :

voie des mots (♧𓁝𓁜♡)		voie des choses (☯𓁝𓁜☯)

manque de souffle.

- Tu trouves ?

- Oui, j'ai l'impression de louper quelque chose, de ne pas être à la hauteur de vue de A.G.

Il y a déjà quelques questions embarrassantes. Imagine par exemple qu'en continuant dans la voie des choses, nous arrivions à "boucler "un deuxième tour de circuit, il faudrait en prévoir ensuite un troisième pour revenir au point de départ, et j'ai du mal à justifier ce troisième tour, quand d'évidence, le passage des schémas aux motifs shunte cette progression dans la voie des choses par ⁿ⁺¹[⚤]_♢→ⁿ⁺¹[#]_♢→ⁿ⁺¹[♻]_♢ pour retrouver les motifs, auxquels A.G. parvient directement par la voie des mots 𓁝ⁿ♢^♻↑^∞♢^♻𓁜.

Autre point à prendre en considération : si le principe de répétition ⊥ en [#]_♢ est basé sur un passage de la voie des choses à celle des mots, alors il faut le voir à l'oeuvre.

- Ce que tu as écrit au sujet des nombres p-adiques tombe à l'eau ?

- Disons que c'est vu par le petit bout de la lorgnette : au niveau élémentaire [⚤]_♢...

- Revenons à ce que nous avons vu au sujet des bords (ici) de notre topologie Imaginaire dans "Syntaxe de l'entropologie" :

- J'ai beaucoup de mal à imaginer la déformation de cette surface pour obtenir ton cross-cap.

- Il va falloir un peu d'imagination !

Le 22/ 02/ 2025 :

- C'est difficile au début, mais comme en tout, c'est une question d'habitude. Laissons pour l'instant notre découpage de la surface topologique en 9 secteurs pour nous intéresser à sa forme générale.

1/ La première chose évidente, c'est que l'on retrouve, en mieux si je puis dire, ce que nous avions vu du "bouclage final" du plan projectif (voir "La syntaxe de l'entropologie"):

"Il permet de repérer deux bouclages du discours, faits par Descartes et Dirac (voir ici)

• Descartes : partant d'une pensée particulière (parmi toutes celles qu'il peut concevoir) dans l'intention d'en déduire son existence qu'il constate ainsi : 𓁝[♻]^♡=>[⚤]^♧𓁜;
• Dirac : "une mesure est la réponse à une question" : 𓁝[⚤]^♡=>[♻]^♧𓁜.

Maintenant, à ces deux bouclages déjà identifiés, nous pouvons ajouter l'approche de Lao Tseu (voir ici):

• l'utilité vient de l'être : ☯𓁜;
• l'usage naît du non-être : 𓁝☯.

On remarque que le questionnement, comme le besoin viennent du mode sémantique ♡, dans une posture tournée vers l'objet initial, ce qui caractérise de façon très générale ce que Lao Tseu nous dit de l'usage tiré du vide par le Sujet 𓁝→𓁜.
Le mode ♧ des signifiants étant celui de l'utilité pour le Sujet 𓁜. Ce que nous pouvons résumer ainsi :

- Pourquoi "en mieux" ?

- Parce que sur le cross-cap bariolé d'Étienne Ghys, le point central où tout converge correspond au niveau [#]_♢; point de vue d'où s'articulent tous les mouvements de penser, avec en particulier une orthogonalité entre voie des mots (♧𓁜𓁝♡) et des choses (☯𓁜𓁝☯) qui peut se comprendre localement comme l'avers et l'envers d'une seule et même surface... (Note 2).

- Tu penses à Alain Connes ?

- Oui, bien sûr, mais pas seulement. La pensée de Lao Tseu par exemple, y acquiert une sorte d'écho renvoyant d'une voie à l'autre : ce que nous en avons compris dans la voie des choses par les exemples concrets qu'il prend, se retrouve dans la voie des mots, et le langage catégorique (i.e.: les propriétés universelles des objets initial/ final).

2/ Lien entre bande de Moëbius et cross-cap :

En approchant la pensée Grecque à travers ses échos dans la querelle des universaux, nous en sommes arrivés à la représenter sur un ruban de Moëbius (sans niveau [#]). (Note 1)

J'en étais encore à l'idée d'Alain Connes des "coulisses" derrière la scène (voir "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #1 - Initiation au topos", et à parler d'un second tour sur notre ruban de Moëbius.

C'est après avoir identifié ces "tours de ruban" en termes de différence de "modes", que j'en suis arrivé à l'idée que le mode ♡ était "à l'envers" du mode ♧ sur notre ruban, toujours dans une pensée d'avant Galois.

Ensuite, j'ai tourné longtemps autour de Galois pour le voir comme le moment de cristallisation d'une évolution dans la pensée Occidentale, se traduisant par l'insertion d'un niveau [#] et d'un mode ♢...

- Tu ne vas pas nous refaire ta leçon ?

- Non, c'est juste pour parler du passage de cette ancienne pensée sur deux modes, et donc sur cette bande de Moëbius, à notre épistémè actuelle qui s'accommode mieux d'un cross-cap.  Or en surfant sur le web pour trouver comment le construire, je suis tombé sur cette vidéo qui m'a beaucoup donné à réfléchir. 

Et voici l'extraordinaire : lorsque tu insères notre mode ♢ comme une 3^e bande entre ♧&♡, tu retrouves une nouvelle bande de Moëbius, soit notre mode [#]_♢ dans laquelle en distinguant des "niveaux tels que ∆^n-1, ∆ⁿ & ∆ⁿ⁺¹ pour parler d'homologie par exemple, tu vas découper une nouvelle bande centrale ∆ⁿ  sur laquelle tu vas exprimer la cohomologie etc...

- Autrement dit, un principe très "universel" de répétition t'amène, d'un point de vue [#]_♢ à représenter la topologie Imaginaire comme une fractale ?

- Exactement. Nous trouvons ainsi, naturellement une congruence entre nos 3 modes ♧ ♢ ♡, avec les modes ♧ & ♡ bordant (par l'extérieur) la syntaxe ♢, et à l'intérieur de celle-ci, un principe de répétition à l'oeuvre, exprimable, et ce n'est qu'un exemple, par les simplexes ∆^n-1, ∆ⁿ & ∆ⁿ⁺¹. Peux-tu trouver plus élégant ?

- Et c'est homomorphe à un cross-cap ?

- Oui, bien sûr, mais il faudrait que je me remette à Blender pour faire de belles représentations du Sujet dans cet univers.

3/ Le temps comme 4^e dimension :

- Tu nous a présenté le cross-cap comme une "surface" sans intérieur ni extérieur, mais ce n'est pas ce que je vois.

- Vas à la fin de cette vidéo, vers 9'50" où l'auteur nous parle du point de vue d'un objet de ⁿD à partir d'un point de vue ^n-1D. La coupure du cross-cap n'est due qu'à ta posture en 3D, pour voir un objet en 4D, où elle disparaît.

- La 4^e dimension est le temps, tout le monde le sait.

- Entre "savoir" et "sentir à l'évidence", il y a plus qu'une marge, c'est la différence entre un discours intellectuel en 𓁝♢𓁜 et donner du sens à son expérience  𓁝♧↑♡𓁜.

- Je veux bien, mais il n'y a rien d'étonnant à comprendre le temps comme une dimension d'espace, dès lors que ta représentation est topologique, en  [#]_♢. C'est le contraire qui serait extraordinaire ! 

- Bien sûr, mais je te parle de le sentir dans tes tripes. Peux-tu "sentir" que ce "Moi-peau" que tu habites pour un temps, n'est qu'un "instant" de ce qui te constitue, comme cette bouteille de Klein dans la vidéo se révélant par "morceaux" dans un mouvement ? Il est là le changement de perspective. C'est comme la perception d'une sphère S³ par un être en 2D : il lui faut un mouvement avec le temps en 3^e dimension pour s'en faire un film, qui commence par un point, grossissant jusqu'à voir un cercle du diamètre de la sphère, pour se réduire à un point avant de disparaître. Le parallèle avec la constitution du Sujet est évident : il commence par naître pour mourir et sa vie est son "histoire", un récit porté par une langue. Dans l'ordre des mots, la langue lui survivra; et dans l'ordre des choses, ses constituants sont en puissance dès l'origine du big bang, jusqu'à la fin des temps... Dans cet ordre d'idée, je trouve que la représentation du Sujet par un cross-cap rend compte de cette "singularité du Sujet", comme "peau" d'un environnement qui le porte et le dépasse de toute part.

- Je repense au Ma 間 (voir "L'espace/ temps—Ma 間"). Mais si nous délaissions un peu la philo pour revenir à notre syntaxe en ♢?

4/ Les deux voies (☯𓁜𓁝☯)⊥(♧𓁜𓁝♡);

Tu en es venu à la nécessité d'une représentation topologique de l'Imaginaire par un cross-cap en suivant les réflexions de Grothendieck sur ses travaux, en somme, mais ce n'est certainement pas l'approche la plus directe, non ?

- Tu as raison : il faut en trouver l'évidence plus simplement.

• En ce qui concerne le mode ♢ qui se mord la queue façon Moëbius, ce n'est que trop évident : un "langage" pris comme "objet de discours" dans la voie (☯𓁜𓁝☯) donne naissance à un métalangage dans la voie (♧𓁜𓁝♡) : c'est l'approche des linguistes, je te renvoie à Luiggi Rizzi (voir "L'Imaginaire du Sujet et son langage").
• Pour le bouclage des modes ♧ sur ♡, nous en avons déjà parlé : il s'agit de donner du "sens" à nos expériences et les Humains s'en préoccupent depuis la nuit des temps.
• Pour le bouclage des niveaux [⚤] sur [♻], nous l'avons vu également dans la pensée Grecque, avec le principe unitaire en 𓁝[∅] qui donne l'élément 1 du multiple en [∃]𓁜.

Mais notre croisement des surfaces apparaît en 3D comme une "ligne de couture" qu'il faudrait examiner globalement. Pour en parler plus commodément, j'ai nommé les 4 angles de notre surface topologique : (a, b, c, d). La façon la plus simple de faire notre cross-cap est de ramener d sur b, pour avoir d'une part les deux arrêtes de vide [∅] ramenées l'une sur l'autre, ce qui ne pose pas de problème métaphysique : le vide est vide, sans qualificatif. La seconde pliure amène à rabouter d↑a sur d→c, ce qui nous donne les croisements suivants :

- En fait, en qualifiant les différents objets finaux, tu avais déjà cette dualité choses/ mots en tête...

- Un peu. Mais tu vois bien cette ligne de crête très particulière comme un aiguillage entre nos deux voies.

- Si tu passes continûment de l'une à l'autre, en filant toujours tout droit, qu'est-ce qui les différencie ?

- Sans doute, pour un observateur extérieur 𓂀 en 3D, le fait que l'une se présente comme "l'intérieur" du cross-cap et l'autre comme "l'extérieur" de cette surface topologique qui n'est qu'une "projection" du Sujet. Comme tu le vois, plus nous manions cette représentation, plus elle paraît évidente !

- Mais pour en revenir à Grothendieck, je n'ai toujours pas compris ce qui a fait déclic ?

- Montons ça à plat :

1. Il arrive en [♻]_♢ à l'idée du motif, qui serait un passage à la limite, i.e. le "motif commun" à une infinité de représentations cohomologiques de l'objet (les matheux excuseront mon vocabulaire approximatif) quelque chose comme ça : 𓁝ⁿ♢^♻↑^∞♢^♻𓁜, et j'ai pensé aux abeilles de Socrate, introduisant le multiple à partir de la répétition du "même" en [∃]_♧, tête-bêche avec le principe unaire Platonicien. 𓁝[∅]→[∃]𓁜. Il y a dans les deux cas un duo un/ multiple, que l'on peut facilement rapprocher du principe de répétition identifié par Freud en psychanalyse;
2. La réflexion de Grothendieck sur les motifs me semble être dans la voie des mots  (♧𓁜𓁝♡);
3. Par ailleurs, nous avions déjà vu la dualité nombres type ℤ versus nombres p-adiques de type ℤp, comme un "passage de type 𓁝[∅]→[∃]𓁜, dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯).

Je ne sais comment le dire simplement, mais j'ai eu l'impression que le pas à faire, pour A.G., tenait à la fois des deux voies, et la façon la plus simple d'en rendre compte me semble être ce cross-cap.

- Mouais, c'est en tout cas une grille de lecture pour continuer ton exploration de Récoltes et semailles. Mais dis-moi, avant de terminer cet article, ton silence sur l'utilisation du cross-cap par Lacan fait un bruit assourdissant !

- Ce n'est pas tant de Lacan qu'il faut s'écarter que de ses thuriféraires... Non, Lacan est évidemment à l'origine de l'utilisation du cross-cap pour représenter le Sujet. Malheureusement la seule fois où il a rencontré Grothendieck chez Gauthier-Lafaye (voir "Lacan et Grothendieck : l'impossible rencontre ?") ce fut un échec. Mais comme tu le vois ici, il ne faut pas renoncer à les concilier, "en se foutant pas mal du regard oblique des passants honnêtes".

Le 25/ 02/ 2025 :

- J'ai beau faire le malin avec ce cross-cap tout neuf, je n'arrive toujours pas à avancer dans ma lecture (voir "Récoltes et semailles #16") car je n'ai pas encore bien pris conscience de la façon de le parcourir...

- Tu as identifié les deux voies...

- Oui, mais il me faut comprendre concrètement ce qu'implique de passer de l'une à l'autre, à chacun des noeuds que nous avons identifiés (A, B, C). 

5/ Circulation sur le cross-cap :

- Poincaré te donne la réponse :

• à partir d'un point particulier où se pose le Sujet p=𓁜𓁝
• sur notre espace topologique X en forme de cross-cap, soit en l'occurrence l'une de nos 9 cases,
• soit les deux lacets C=(☯𓁜𓁝☯) & M=(♧𓁜𓁝♡);
• alors le groupe fondamental π₁(X,p) = (C,M,p)
• et un parcours particulier sur X est une combinaison linéaire de C & M.

- Ça, ce sont les maths, et il n'est pas question de nous laisser embarquer par le langage, ce qui serait pour le coup du pur "abstraction no sens". Non, notre cerveau ne fonctionne pas comme cela, il suffit pour s'en convaincre de revenir à Dehaene.

C'est précisément pour éviter de tomber dans des répétitions indéfinies, qu'il change de voie à chaque tour, pour en quelque sorte "capitaliser" ce qu'il a appris en construisant un nouveau concept en (♧𓁜𓁝♡) et l'utiliser ensuite dans sa confrontation au Réel en (☯𓁜𓁝☯).

Nous allons postuler une règle simple : à chaque tour sur une voie, le Sujet passe sur l'autre voie, où l'on retrouve notre dualité initiale.

- Eh bien fait des dessins !

- Ok, supposons que nous partions du plus concret, au contact du Réel, dans la voie des choses, partons de [⚤]𓁜 et suivons notre petit bonhomme. pour simplifier l'écriture, je n'utiliserais que des flèches sur un damier à 9 cases.

1	2	3	4

Avoue que ce n'était pas évident, avant d'avoir fait l'exercice. 

- Si je lis bien, dans ce parcourt, la pensée évite le centre [#]_♢ ?

- Oui, et c'était inattendu. En quelque sorte, nous retrouvons dans ce cheminement entre modes ♧&♡, ce que nous avions vu de la pensée platonicienne, représentable, comme nous le retrouvons ici, sur un simple ruban de Moëbius entre niveaux [⚤]&[♻]: nous sommes raccord et c'est assez satisfaisant.

Maintenant, et là cela devient plus intéressant, nous pouvons trouver le même schéma à l'intérieur de la bande centrale soit le mode ♢ & le niveau [#]. C'est le moment de nous souvenir de ce que nous avons déjà dit de l'orthogonalité entre :

• En (♧𓁜𓁝♡) : La démarche homologique : ⁿ⁺¹♢^#↓ⁿ♢^#↓^n-1♢^#
• En (☯𓁜𓁝☯) : La démarche cohomologique : ⁿ[#]_♢→ⁿ[♻]_♢→ⁿ[⚤]_♢

- Là encore, tu tournes autour de  [#]_♢ sans vraiment t'y intéresser ?

- Exact.  C'est comme un point de fuite. À partir de la remarque initiale qu'"un bord n'a pas de bord", on s'échappe direct en ⁿ[#]_♢→ⁿ[♻]_♢ pour ne plus y revenir. Souviens-toi que lors du séminaire à Mondovi (voir ici) j'avais posé à Laurent Lafforgue cette question : "dans vos travaux avez-vous jamais utilisé l'idée qu'un bord n'a pas de bord?"

- Qu'avait-il répondu ?

- Il a eu l'air étonné et m'a répondu que non. J'ai insisté en remarquant que c'était quand même le point de départ de l'homologie, et je me souviens que sa réflexion finale portait sur le fait que l'homologie est covariante et la cohomologie contravariante, sans plus d'intérêt. Lorsque j'en ai parlé à JPL, en disant que Lafforgue était algébriste et pas géomètre, il a été surpris que je puisse le cataloguer (à juste titre) si rapidement, alors que je suis bien incapable de comprendre le moindre de ses travaux !

- Toi par contre, tu as du mal à sortir du visuel !

- Oui, effectivement, ma représentation de l'Imaginaire est centrée en [#]_♢, c'est d'ailleurs conforme à mon tempérament. Avec le recul (et en passant du constat en (☯𓁜𓁝☯) à son articulation intellectuelle en (♧𓁜𓁝♡)) notre représentation de l'Imaginaire, n'est pas mathématique, bien qu'elle soit pour l'heure notre objet de réflexions privilégié : entropologie⊥mathématique.

- C'est enregistré, mais dis-moi, nous avons ici un automatisme de répétition  à l'oeuvre, car en écartant les niveaux : ⁿ⁺¹♢^# & ^n-1♢^#, tu peux répéter l'opération en partitionnant  ⁿ♢^# en 3, non ?

- Oui, d'où une représentation fractale de l'Imaginaire (𓁝[#]_♢)𓂀 dont on doit sortir : 𓁝[#]_♢→[#]_♢𓁜 un jour ou l'autre.

- En passant à une autre dimension, et là nous retrouvons nos considérations philosophiques sur le "Moi-peau" ?

- Sans doute, mais laissons la philo de côté pour l'instant. Imaginons cette régression progressive autour d"une "fibre" centrale...

- Tu retrouves nos deux lacets, grâce auxquels nous avons défini π₁(X,p).

• C=(☯𓁜𓁝☯) & M=(♧𓁜𓁝♡);
• alors le groupe fondamental π₁(X,p) = (C,M,p)

- Sans doute, mais quittons franchement les maths : quelle est la caractéristique commune à ces deux lacets ?

- Je sèche...

- Un retournement complet du Sujet 𓁜𓁝 lorsqu'il les parcourt.

- Tu retrouves la propriété universelle attachée aux objets initial 𓁝[∅] et final  [∃]𓁜.

- Oui, et c'est heureux. Cette dualité du Sujet, est omniprésente et se retrouve au début de nos réflexions comme à la fin de notre parcours du cross-cap. Le cross-cap est en lui-même la matérialisation de ce retournement entre intérieur/ extérieur.

- Et donc ?

- Nous en revenons à l'idée d'un "spin" du Sujet (voir "Anima/ Animus vs Fermion/ Boson").

- Pour le coup, nous allons nous perdre dans la philo...

- Pour couper court, reviens à nos 4 mouvements (1/ 2/ 3/ 4/) pour revenir à notre point de départ, au contact du Réel : il faut bien tourner 4 x π/2 = 2π autour du centre [#]_♢...

- Non, ça, c'est ton point de vue extérieur au cross-cap : ([#]_♢)𓂀. Le Sujet 𓁜𓁝, lui, toujours focalisé sur sa ligne de mire, pivote 𓁝[∅]→[∃]𓁜 à chaque passage par A & B de π, et donc ta description correspond, de son point de vue à : 4 x π = 4π. 

- Ça brasse bien des prises de tête ! (Note 3), mais je te propose d'en rester là pour l'instant, et de tenter de vérifier cette valse à 4 temps (dommage) dans la démarche de Grothendieck...

- Il ne part pas forcément de [⚤]𓁜...

- Ça n'affecte pas la circulation générale entre algèbre et analyse, comme "traductions" de la géométrie.

- Amen

Hari

Note 1 :

En n'ayant qu'un seul mode à l'époque, j'avais déjà présenter notre Imaginaire sur un ruban de Moëbius :

• "Bouclage Imaginaire" du 08/ 05/ 2021
• "La querelle des Universaux - Alain de Libera / Notes de lecture # 9" du 22/ 11/ 2021
• "Retour à Platon & Aristote" du 10/ 12/ 2021

Note 2 :

Ce qui prolonge une discussion inscrite dans la durée, et trouve ses racines, à bien y réfléchir dans la dichotomie des concepts, relevée par Lévi-Strauss dans toute pensée primitive.

Je pense en particulier à :

• "Dialectique et orthogonalité" du 28/ 06/ 20219, repris le 03/ 04/ 2024

Quant au principe dichotomique, j'en faisais un pilier de ma démarche dans "L'Homme Quantique" de 2013, dans toutes les bonnes librairies...

Note 3 :

Pour suivre le cheminement de mon questionnement sur ce "spin" du Sujet :

• "Pourquoi lignes de fuite ?" du 16/ 05/ 2016
• "Histoire de spin et de logique" du 02/ 12/ 2018
• "Question de spin et de temporalité" su 24/ 01/ 2020
• "L'écume du temps" du 06/ 02/ 2020
• "Discussions de comptoir : relativité et mécanique Q" du 02/ 06/ 2022
• "Spin alors !" du 02/ 06/ 2022
• "Du boson au Qi" du 05/ 06/ 2022
• "Anima/ Animus vs Fermion/ Boson" du 28/ 12/ 2024
• "Covariance, Contravariance... et Spin du Sujet ?" du 29/ 12/ 2024

Et je doute que ce soit ici le dernier mot à ce sujet !