Récoltes et semailles # 15 — Retour aux topos

Relecture du 03/ 03/ 2025 : lorsque je crois avoir compris, il faut y revenir encore et encore pour que les pierres de l'édifice soient aussi jointives que l'enceinte d'un temple Maya. Je suis toujours en recherche, et les articles suivants gardent la trace de mes réflexions (Voir en particulier le cross-cap.). Je peux néanmoins, dès aujourd'hui, repérer quelques erreurs de perspective dans ce texte. Je corrige en bleu, pour garder la trace de mes erreurs successives.

Sommaire Tome 1

Les topos ou le lit à deux places p. 62
Formes et structures — ou la voie des choses p. 47
Mutation de la notion d'espace — ou le souffle et la foi p. 66
Les motifs — ou le coeur dans le coeur p. 69

Le 17/ 02/ 2025 :

- Encore sous l'émotion de cette nouvelle perspective évoquée dans "Syntaxe du mode ♢ #2 — cohomologie", je me retrouve à mon point de départ, en juillet 2023, tentant de comprendre ce que Grothendieck appelait "une idée bébête" (voir "Récoltes et semailles #03").

- As-tu perdu ton temps ?

- Je ne le pense pas. Disons qu'en me focalisant sur les deux premiers niveaux [⚤] & [#], j'ai déjà bien cadré notre topologie de l'Imaginaire, maintenant, il se trouve qu'en balayant dans tous les recoins afin de présenter une syntaxe de l'entropologie bien propre sur elle, je trouve une ouverture sur le dernier espace [♻], et que du coup, toute la belle perspective précédente en paraît presque dérisoire. Revenons, si tu le veux bien, à ces quelques pages sur lesquelles j'ai buté il y a un an et demi déjà.

Tout d'abord, je m'étais arrêté à l'idée que le topos est "le lit du discret et du continu", or, lorsque je reviens au texte, je lis ceci : (Note 1)

Les topos — ou le lit à deux places

"Le point de vue et le langage des faisceaux introduit par Leray nous a amené à regarder les «espaces» et «variétés» en tous genres dans une lumière nouvelle. Ils ne touchaient pas, pourtant, à la notion même d'espace, se contentant de nous faire appréhender plus finement, avec des yeux nouveaux, ces traditionnels «espaces», déjà familiers à tous. Or, il s'est avéré que cette notion d'espace est inadéquate pour rendre compte des «invariants topologiques» les plus essentiels qui expriment la «forme» des variétés algébriques «abstraites» (comme celles auxquelles s'appliquent les conjectures de Weil), voire celle des «schémas» généraux (généralisant les anciennes variétés). Pour les «épousailles» attendues, «au nombre et de la grandeur», c'était comme un lit décidément étriqué, où l'un seulement des futurs conjoints (à savoir, l'épousée) pouvait à la rigueur trouver à se nicher tant bien que mal, mais jamais des deux à la fois! Le «principe nouveau» qui restait à trouver, pour consommer les épousailles promises par des fées propices, ce n'était autre aussi que ce «lit» spacieux qui manquait aux futurs époux, sans que personne jusque-là s'en soit seulement aperçu..." p. 62

Tu as bien lu, n'est-ce pas, que ce lit recherché n'est pas là pour qu'à côté du discret [⚤], s'y couche le continu [#]; mais bel et bien la quantité [♻].

- Et donc tout ce que tu as pu dire des schémas comme [⚤]←[#] tombe de lui-même ?

- Oui.

- Et non seulement ça, mais également toutes tes considérations autour des faisceaux de Leray.

- Oui, Souviens-toi comme j'ai galéré pour comprendre s'ils étaient selon ♢_#↓♧_# ou selon [⚤]^♢←[#]^♢! À ce propos, je retrouve cette note 42, quelques pages plus haut

"42. À vrai dire, les invariants introduits par Betti étaient les invariants d'homologie. La cohomologie en constitue une version plus ou moins équivalente, «duale», introduite beaucoup plus tard. Cet aspect a acquis une prééminence sur l'aspect initial, «homologique», surtout (sans doute) à la suite de l'introduction, par Jean Leray, du point de vue des faisceaux, dont il est question plus bas. Au point de vue technique, on peut dire qu'une grande partie de mon œuvre de géomètre a consisté à dégager, et à développer plus ou moins loin, les théories cohomologiques qui manquaient, pour les espaces et variétés en tous genres, et surtout, pour les «variétés algébriques» et les schémas. Chemin faisant, j'ai été amené aussi à réinterpréter les invariants homologiques traditionnels en termes cohomologiques, et par là même, à les faire voir dans un jour entièrement nouveau.
Il y a de nombreux autres «invariants topologiques» qui ont été introduits par les topologues, pour cerner tel type de propriétés ou tel autre des espaces topologiques. À part la «dimension» d'un espace, et les invariants (co)homologiques, les premiers autres invariants sont les «groupes d'homotopie». J'en ai introduit un autre en 1957, le groupe (dit «de Grothendieck») K(X), qui a connu aussitôt une grande fortune, et dont l'importance (tant en topologie qu'en arithmétique) ne cesse de se confirmer." p. 59 — 60 (en gras dans le texte)

- Bon, il n'était pas complètement idiot de passer du temps sur l'aspect topologique et homologique des choses, en insistant comme tu le fais depuis pratiquement un an sur cette racine commune à toute cette construction qu'est ce simple constat qu'un bord n'a pas de bord... Et nous serions peut-être passés à côté de cette différence d'approche, si simple en [#]^♢, d'une dualité des voies selon les mots (♧𓁜𓁝♡) et les choses (☯𓁜𓁝☯), qui s'écrase ensuite avec la cohomologie en [♻].

- OK, tu noteras au passage que les faisceaux de Leray ont une origine topologique [#]^♢, pour être récupérés ensuite en [♻]. Rien d'étonnant donc à ma valse-hésitation entre ♢_#↓♧_#/ [⚤]^♢←[#]^♢ qui se résout classiquement par un changement de point de vue ([#]𓁜⊥𓁝[♻]𓁜)→(𓁝[#]𓁜⊥𓁝[♻]𓁜). Nous y reviendrons en détail, mais poursuivons cette relecture d'un texte qui m'avait mis KO.

"Ce «lit à deux places» est apparu (comme par un coup de baguette magique...) avec l'idée du topos. Cette idée englobe, dans une intuition topologique commune, aussi bien les traditionnels espaces (topologiques), incarnant le monde de la grandeur continue, que les (soi-disant) «espaces» (ou «variétés») des géomètres algébristes abstraits impénitents, ainsi que d'innombrables autres types de structures, qui jusque-là avaient semblé rivées irrémédiablement au «monde arithmétique» des agrégats «discontinus» ou «discrets». C'est le point de vue des faisceaux qui a été le guide silencieux et sûr, la clef efficace (et nullement secrète), me menant sans atermoiements ni détours vers la chambre nuptiale au vaste lit conjugal. Un lit si vaste en effet (telle une vaste et paisible rivière très profonde...), que
«tous les chevaux du roi
y pourraient boire ensemble... »
— comme nous le dit un vieil air que sûrement tu as dû chanter toi aussi, ou du moins l'entendre chanter. Et celui qui a été le premier à le chanter a mieux senti la beauté secrète et la force paisible du topos, qu'aucun de mes savants élèves et amis d'antan...
La clef a été la même, tant dans l'approche initiale et provisoire (via la notion très commode, mais non intrinsèque du «site»), que dans celle du topos." p. 63

- Il y a quand même l'idée de revenir à un lien entre la topologie [#] et l'arithmétique [⚤], plus élémentaire, autrement dit [⚤]←[#], non ?

- Oui, mais par un détour analytique [♻], qui nous ramène à ce lien Imaginaire entre les 3 niveaux [⚤], [#] &[♻], dans la voie de choses (☯𓁜𓁝☯), comme nous venons de le comprendre dernièrement, grâce à la cohomologie (ici).

Mais poursuivons notre recherche du topos perdu :

"C'est l'idée du topos que je voudrais essayer à présent de décrire.
Considérons l'ensemble formé de tous les faisceaux sur un espace (topologique) donné, ou, si on veut, cet arsenal prodigieux formé de tous ces «mètres» servant à l'arpenter ⁴⁴. Nous considérons cet «ensemble» ou «arsenal» comme muni de sa structure la plus évidente, laquelle y apparaît, si on peut dire, «à vue de nez»; à savoir, une structure dite de «catégorie». (Que le lecteur non-mathématicien ne se trouble pas de ne pas connaître le sens technique de ce terme. Il n'en aura nul besoin pour la suite.) C'est cette sorte de «superstructure d'arpentage», appelée «catégorie des faisceaux» (sur l'espace envisagé), qui sera dorénavant considérée comme «incarnant» ce qui est le plus essentiel à l'espace. C'est bien là chose licite (pour le «bon sens mathématique»), car il se trouve qu'on peut «reconstituer» de toutes pièces un espace topologique en termes de cette «catégorie de faisceaux» (ou de cet arsenal d'arpentage) associée. (De le vérifier est un simple exercice - une fois la question posée, certes...) Il n'en faut pas plus pour être assuré que (s'il nous convient pour une raison ou une autre) nous pouvons désormais «oublier» l'espace initial, pour ne plus retenir et ne nous servir que de la «catégorie» (ou de l'«arsenal») associée, laquelle sera considérée comme l'incarnation la plus adéquate de la «structure topologique» (ou «spatiale») qu'il s'agit d'exprimer.
Comme si souvent en mathématique, nous avons réussi ici (grâce à l'idée cruciale de «faisceau», ou de «mètre cohomologique») à exprimer une certaine notion (celle d'«espace» en l'occurrence) en termes d'une autre (celle de «catégorie»).
À chaque fois, la découverte d'une telle traduction d'une notion (exprimant un certain type de situations) en termes d'une autre (correspondant à un autre type de situations), enrichit notre compréhension et de l'une et de l'autre notion, par la confluence inattendue des intuitions spécifiques qui se rapportent soit à l'une, soit à l'autre. Ainsi, une situation de nature «topologique» (incarnée par un espace donné) se trouve ici traduite par une situation de nature «algébrique» (incarnée par une «catégorie») ; ou, si on veut, le «continu» incarné par l'espace, se trouve «traduit» ou «exprimé» par la structure de catégorie, de nature «algébrique» (et jusque-là perçue comme étant de nature essentiellement «discontinue» ou «discrète»).

44. (À l'intention du mathématicien.) À vrai dire, il s'agit ici des faisceaux d'ensembles, et non des faisceaux abéliens, introduits par Leray comme coefficients les plus généraux pour former des «groupes de cohomologie». Je crois d'ailleurs être le premier à avoir travaillé systématiquement avec les faisceaux d'ensembles (à partir de 1955, dans mon article «A general theory of fibre spaces with structure sheaf» à l'université du Kansas)." p. 63 — 64

- Vois-tu comme moi la profondeur, pour tout dire philosophique, de la perspective que nous offre A.G. ?

- Tu apprécies plus sa philosophie lorsque tu y retrouves ton lien entre les 3 niveaux [⚤], [#] &[♻] que tu as décrit, que lorsqu'il parle du Yin Yang...

- Bien sûr ! Sa pratique est tellement différente d'une philosophie platonicienne qui transpire dans sa compréhension de la dualité Yin Yang. Mais, dans son domaine, c'est un maître ! Regarde bien : il parle de la persistance de l'objet lorsque l'on change de métrique pour le représenter. (cet arsenal prodigieux formé de tous ces «mètres» servant à l'arpenter). Je retrouve ici ce que nous avions mis en évidence là :

"- En rapprochant la "rationalité" de la quantité et de sa mesure, autrement dit de la mise en rapport d'une chose et d'un mètre étalon, afin d'en prendre conscience :

		𓁝♡^♻
		↓
𓁝[♻]_♢	→	([♻]_♢𓁜)♢^♻𓁜

nous avons fait le lien avec la posture finale 𓁝[∅], en comprenant l'objet comme le "complément d'une forme vide prête à l'accueillir". Si tu donnes la valeur "1" à cette forme "vide", l'objet vaut "1" en prenant la place de ce vide, dans le mouvement :
([♻]𓁜⇆𓁝[∅])←([♻]𓁜⇆𓁝[∅]). C'est ce qui répond, du côté Symbolique à l'intrusion du Réel dans l'Imaginaire :
(☯[∃]_♧𓁜)→(☯[∃][⚤]_♧𓁜). Pour t'en faire une image plus concrète, considère cette dualité entre les deux mouvements comme en électronique la circulation du courant, auquel répond en sens opposé une "circulation par trous" : lorsqu'un électron avance d'une case dans un réseau cristallin, le trou qu'il libère se déplace en sens inverse."

L'ensemble des "mètres" à ta disposition sont en ♡^♻𓁜, maintenant, chacun des mètres que tu utilises pour représenter l'objet résulte d'un choix 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜, l'idée étant que l'objet résiste à tes choix. Et rien de plus.

Comprends-tu le hiatus entre :

une perception de l'objet à travers une série de mètres, qui s'en dégage comme sortant du brouillard voire du vide, ce que représente notre schéma, traduisant une dualité fondamentale entre Yin/ Yang ou le vide à sa place, et
une philosophie platonicienne où l'objet tire son existence d'un principe unitaire ?

Ce que A.G. avait déjà compris en 1955, il n'en a pas tiré cette leçon philosophique finale (et donc fondatrice), lorsqu'il nous présente ces portes de l'univers en 1986... (voir "Récoltes et semailles #13").

Ceci étant dit une bonne fois pour toutes, revenons à ce qu'il a trouvé de profondément révolutionnaire, bien au-delà du champ mathématique, pour nous aider à forger notre propre philosophie.

"Mais ici, il y a plus. La première de ces notions, celle d'espace, nous était apparue comme une notion en quelque sorte «maximale» — une notion si générale déjà, qu'on imagine mal comment en trouver encore une extension qui reste «raisonnable». Par contre, il se trouve que de l'autre côté du miroir ⁴⁶ , ces «catégories» (ou «arsenaux») sur lesquels on tombe, en partant d'espaces topologiques, sont de nature très particulière. Elles jouissent en effet d'un ensemble de propriétés fortement typées ⁴⁷, qui les font s'apparenter à des sortes de «pastiches» de la plus simple imaginable d'entre elles — celle qu'on obtient en partant d'un espace réduit à un seul point. Ceci dit, un «espace nouveau style» (ou topos), généralisant les espaces topologiques traditionnels, sera décrit tout simplement comme une «catégorie» qui, sans provenir forcément d'un espace ordinaire, possède néanmoins toutes ces bonnes propriétés (explicitement désignées une fois pour toutes, bien sûr) d'une telle «catégorie de faisceaux».

***

Voici donc l'idée nouvelle. Son apparition peut être vue comme une conséquence de cette observation, quasiment enfantine à vrai dire, que ce qui compte vraiment dans un espace topologique, ce ne sont nullement ses «points» ou ses sous-ensembles de points ⁴⁸, et les relations de proximité, etc., entre ceux-ci, mais que ce sont les faisceaux sur cet espace, et la catégorie qu'ils forment. Je n'ai fait, en somme, que mener vers sa conséquence ultime l'idée initiale de Leray - et ceci fait, franchir le pas.
Comme l'idée même des faisceaux (due à Leray), ou celle des schémas, comme toute «grande idée» qui vient bousculer une vision invétérée des choses, celle des topos a de quoi déconcerter par son caractère de naturel, d'«évidence», par sa simplicité (à la limite, dirait-on, du naif ou du simpliste, voire du «bébête» - par cette qualité particulière qui nous fait nous écrier si souvent : «Oh, ce n'est que ça !», d'un ton mi-déçu, mi-envieux; avec en plus, peut-être, ce sous-entendu du «farfelu», du «pas sérieux», qu'on réserve souvent à tout ce qui déroute par un excès de simplicité imprévue. À ce qui vient nous rappeler, peut-être, les jours depuis longtemps enfouis et reniés de notre enfance...

46. Le «miroir» dont il est question ici, comme dans Alice au pays des merveilles, est celui qui donne comme «image» d'un espace, placé devant lui, la «catégorie» associée, considérée comme une sorte de «double» de l'espace, «de l'autre côté du miroir»...
47. (À l'intention du mathématicien) Il s'agit ici surtout de propriétés que j'ai introduites en théorie des catégories sous le nom de «propriétés d'exactitude» (en même temps que la notion catégorique moderne de «limites» inductives et projectives générales). Voir «Sur quelques points d'algèbre homologique», Tohoku Math. Journal, 1957 (p. 119-221).
48. Ainsi, on peut construire des topos "très gros», qui n'ont qu'un seul «point», ou même pas de «points» du tout !" p. 64 — 66

J'espère que les éditeurs ne m'en voudront pas de ces longues citations, mais franchement, je ne sais où couper ! Tout est important, et ce qui me fascine c'est de me rendre compte à quel point, en première lecture, je ne pouvais pas le comprendre, tout simplement.

- Tu es plus à l'aise ?

- C'est tout simplement un éblouissement, et il me faut un peu de temps pour y accoutumer mon regard...

Le 18/ 02/ 2025 :

- Avant d'aller plus loin, il faut véritablement situer correctement les faisceaux de Leray.

- Tu t'y étais cassé les dents il y a plus d'un an, avec "Faisceaux — François de Marçais". En le relisant ce matin, je suis revenu à un texte de présentation de Cartier sur les travaux de Grothendieck (voir "La folle journée"). Le démarrage est philosophique, et commence par des considérations fort anciennes sur le point et l'espace. C'est peut-être par là qu'il faut commencer, non?

- Tu n'as pas tort : ce texte de Cartier doit être relu en introduisant le niveau [♻] de la quantité, de la mesure et de l'analyse dans la danse. Passons-le en revue :

Sur l'espace et les points (voir ici dans "La folle journée")

"Dans ce point de vue ontologique, les éléments -ou points- préexistent et le problème est de les organiser, de les structurer. Du point de vue physique, on postule avec Newton l’existence d’un espace absolu, dans lequel se développent les phénomènes : les lieux sont prédéterminés, destinés à être habités par les accidents de la matière. Dans la philosophie de Mach au contraire, 1 espace est déterminé par la matière ; la forme mathématique la plus achevée est bien sûr fournie par les équations de la gravitation d’Einstein :
R_μν -1/2 g_μνR=8πkT_μν. (E)" (ici)

Sur le problème d'existence du point, on peut facilement reprendre le schéma du choix d'une métrique, dont nous avons parlé en introduction et qui, je le sens, va nous suivre un bon bout de temps ! Idem pour l'éther de Newton, nous en parlions encore ici à propos de cohomologie.

- Donc, ceci est bien en place à présent ?

- Oui, je te laisse le vérifier. La suite de mes commentaires dans "La folle journée" part en vrille parce que je néglige le niveau [♻], et que de ce fait, je me situe (sans en avoir conscience) dans la voie des mots, quand il fallait rester dans la voie des choses (comme je viens d'en prendre conscience en situant les groupes de cohomologie au niveau [♻]). (il faut préférer le cross-cap)

voie des mots (♧𓁝𓁜♡)		voie des choses (☯𓁝𓁜☯)

C'est ici qu'il faut passer aux faisceaux, ou plutôt les préfaisceaux, sans plus tergiverser (voir ici dans "Faisceaux — François de Marçais" :

"Définition 1.1.
Soit X un espace topologique. Un préfaisceau (d’ensembles) F sur X consiste en les données suivantes :

(i) une collection d’ensembles non vides F(U) associés à tout ouvert U⊂X non vide ;
(ii) une collection d’applications : ρ_V,U: F(U)→F(V) associées à toute paire d’ouverts V⊂U avec ρ_U,U=Id qui, pour tout triplet d’ouverts W⊂V⊂U, satisfait la propriété de transitivité : ρ_W,V◦ρ_V,U=ρ_W,U.

L’ensemble F(U) est appelé ensemble des sections au-dessus de U du préfaisceau F."

Seulement, en m'orientant vers une projection de type [⚤]←[#], je me coupais les pattes pour la suite, et le dessin pris pour figurer des "recollements" aurait dû m'interpeller : le codomaine n'est pas discontinu, mais continu; il s'agit donc bien de ~~[#]←[♻]~~, 𓁝ⁿ⁺¹♢^♻↓ⁿ♢^♻𓁜 (cross-cap) avec :

Les ouverts W⊂V⊂U en [#], avec le connecteur ⊂ propre à ce niveau [#];
Les fonctions (variétés etc.) F(U) en [♻];
Les ρ_V,U: F(U)→F(V) qui sont des fonctions de fonctions, c.-à-d. des foncteurs, et nous nous retrouvons en phase avec les termes de la cohomologie. (hypothèse : les fonctions sont ↓ et le foncteur est →, ce qui conduit simplement à l'idée de transformation naturelle).

Poursuivons :

"La plupart du temps, le préfaisceau F possède une structure algébrique additionnelle. Soit A un anneau quelconque et soit K un corps quelconque.

Définition 1.2.
Un préfaisceau d’ensembles F sur X comme ci-dessus est appelé un préfaisceau de groupes abéliens (resp. d’anneaux, de A-modules, d’algèbres, de K-espaces vectoriels) si, pour tout sous-ouvert U⊂X , l’ensemble F(U) est un groupe abélien (resp. un anneau, un A-module, une algèbre, un K-espace vectoriel) et si les applications ρ_U,V sont des morphismes de la structure algébrique en question. Dans ces cas-là, on suppose alors toujours que F(∅)={0}."

Et là tu retombes pile poil sur la cohomologie : l'ensemble des groupes de cohomologie, en [♻] présente lui-même une structure de groupe H*, certes, mais et c'est l'idée "bébête" de Grothendieck, tu peux passer à des structures plus évoluées, en particulier celle d'anneau, etc. Tu vois maintenant comment embrayer sur le texte de A.G.

(Il faut revoir cette présentation, en pensant à un parallèle entre deux structures,

l'une se développant en [♻] : ⁿ⁺¹♢^♻↓ⁿ♢^♻ ,
l'autre en [⚤] : ⁿ⁺¹♢^⚤↓ⁿ♢^⚤ ,
le passage de l'une à l'autre serait un foncteur ←
Le tout sous forme de transformation naturelle)

- Oui, et de la structure d'anneau, tu introduis la fonction "cup" (voir ici dans "Syntaxe du mode ♢ #2"), mêlant les lacets fondamentaux de groupe principal de Poincaré (comme a et b pour le tore T2). Intuitivement, tu peux déjà imaginer que le groupe H* puisse être décomposable en sous-groupes, etc. Je ne dis pas que nous avons beaucoup avancé dans notre connaissance mathématique des choses, mais à tout le moins savons-nous dans quel lieu de notre mémoire situer les concepts en jeu.

- Finalement ta topologie de l'Imaginaire nous renvoie à l'"art de la mémoire" bien connue de la Renaissance; c'est l'"inferno" de Dante !

- Avec une différence cependant : de la taxinomie (La Renaissance), nous sommes passés à la grammaire (l'Âge classique), et il conviendrait à présent d'y mettre un peu de mouvement pour ne pas en rester à un structuralisme trop daté. Comme tu le vois, nous ne quittons ni Dante, ni Foucault ! Mais trêve de plaisanterie : nous avons à présent une représentation à peu près claire du terrain de jeu :

En [⚤] : les groupes abéliens (groupes de symétrie);
En [#] : les espaces topologiques, l'homologie ;
En [♻] : les espaces "métriques", la cohomologie, les groupes H_n et Hⁿ;
[⚤]←[#] : représentation des symétries par des groupes de symétrie;
[#]←[♻] : les faisceaux d'ensembles;
[⚤]←[♻] : Hypothèse : les structures algébriques H_* et H* des ensembles H_n et Hⁿ, seraient en [⚤]

- Pourquoi les H_n et Hⁿ en [♻] et leur structure H_* et H* en [⚤] ?

- Rappelle-toi : nous avons placé H_n et Hⁿ en [♻] parce que ce sont des quotients — reviens au moment où j'ai pris conscience que ℚ est en [♻] (voir en introduction de "Syntaxe du mode #2").

- OK, et donc tu as fait le tour du terrain de jeu ?

- C'est en tout cas la grille de lecture que je te propose pour lire ce texte. Tu remarqueras au passage que cette méthode est congruente avec ce que nous avons dit de la prise de conscience d'un objet : on s'en "forme un espace d'accueil", pour que l'objet vienne s'y nicher, et alors il y a prise de conscience; ou pas, et c'est reparti pour un tour, comme nous venons de voir à propos des articles que j'ai écrit sur le sujet il y a pratiquement 2 ans.

- Si tu te sens mûr, refiltre donc le texte de A.G. pour voir si ça matche ou pas.

- Au risque de lasser, et en relisant dans l'ordre de ma présentation dans cet article :

En tout premier l'idée que les invariants d'un espace topologique ne sont pas dans cet espace : différence de niveaux [#]/ [♻];
Bien que l'homologie puisse être strictement conduite en [#],
- les invariants homologiques sont une construction de niveau [♻] (fondés sur une mesure relative de "ce qui existe" et "ce qui est vide"), mais
- les symétries sont rapportées en [⚤]
distinction [#]/ [♻]:
- En [#] "le monde de la grandeur continue"
- En [♻] : "les (soi-disant) «espaces» (ou «variétés») des géomètres algébristes abstraits impénitents, ainsi que d'innombrables autres types de structures, qui jusque-là avaient semblé rivées irrémédiablement au «monde arithmétique» des agrégats «discontinus» ou «discrets»"

- Tu mélanges en [♻] discret et continu ?

- Souviens-toi que c'est le niveau où tous les points de vue [⚤] & [#] trouvent une écriture commune [♻]𓁜⇆𓁝[∅].

[#]←[♻] : "C'est le point de vue des faisceaux qui a été le guide silencieux et sûr, la clef efficace (et nullement secrète), me menant sans atermoiements ni détours vers la chambre nuptiale au vaste lit conjugal."
Le topos comme "catégorie" :
"C'est l'idée du topos que je voudrais essayer à présent de décrire. Considérons l'ensemble formé de tous les faisceaux sur un espace (topologique) donné, ou, si on veut, cet arsenal prodigieux formé de tous ces «mètres» servant à l'arpenter ⁴⁴. Nous considérons cet «ensemble» ou «arsenal» comme muni de sa structure la plus évidente, laquelle y apparaît, si on peut dire, «à vue de nez»; à savoir, une structure dite de «catégorie»."

C'est le point important : le passage ([#]←[♻]) exprimé en termes catégoriques, avec le domaine en [♻] et le codomaine en [#].

- Ah, j'ai compris : ce "passage" doit lui-même être "présenté" au niveau [♻], d'où l'on pourra ensuite discuter de sa "représentation "en [⚤], sur la catégorie des Ensembles [⚤]←[♻], grâce au lemme de Yoneda, et là tu reviens à tes articles de 2019, ce qui ne nous rajeunit pas ! (voir "Présentation du 12 juin"). (Note 2)

- Là tu pédales un peu vite, et nous aurons sans doute le temps d'y revenir, mais il n'est pas mauvais de sentir déjà la traduction de tout ceci en langage catégorique.

Et nous en arrivons à l'idée "bébête" qui lui a permis de voir tout ceci :

"Voici donc l'idée nouvelle. Son apparition peut être vue comme une conséquence de cette observation, quasiment enfantine à vrai dire, que ce qui compte vraiment dans un espace topologique, ce ne sont nullement ses «points» ou ses sous-ensembles de points ⁴⁸, et les relations de proximité, etc., entre ceux-ci, mais que ce sont les faisceaux sur cet espace, et la catégorie qu'ils forment. Je n'ai fait, en somme, que mener vers sa conséquence ultime l'idée initiale de Leray - et ceci fait, franchir le pas."

- D'où les considérations de Cartier sur le "point" ?

- Oui, je crois que la boucle est bouclée et que nous pouvons avancer d'un pas un peu plus assuré.

Le 20/ 02/ 2025 :

- Ce matin, et avant de continuer ma lecture, je tente de faire un sommaire, pour m'aider à m'y retrouver dans mes commentaires, et en feuilletant le bouquin, je tombe p. 47 sur ce titre :

Formes et structures — ou la voie des choses.

"La voie des choses" ! Avoue que c'est troublant de retrouver ces mots sous la plume de A.G. !

- T'y étais-tu arrêté en première lecture ?

- Dans les articles #01 et #02, je m'étais effectivement arrêté sur le concept de volume, dont A.G. parle très précocement dans son oeuvre :

«L’intuition du volume, disons, était irrécusable. Elle ne pouvait qu’être le reflet d’une réalité, élusive pour le moment, mais parfaitement fiable. C’est cette réalité qu’il s’agissait de saisir, tout simplement — un peu, peut-être, comme cette réalité magique de «la rime» avait été saisie, «comprise» un jour» p. 25

J'avais tiqué, à cause de l'aspect platonicien de la posture et l'intention sous-jacente , je n'y reviens plus, toutefois, il est clair que l'attention de A.G. se porte ici sur le niveau [♻], et j'aurais dû y être plus attentif.

Dans l'article #3, je m'y étais effectivement arrêté (ici), car ça me rappelait évidemment le livre "Form & Function #8" de Sanders Mac Lane, que je n'ai toujours pas fini de lire....

Tout va bien, dans mes commentaires, jusqu'à ce passage où je loupe le coche :

- C'est là qu'il passe de son intérêt pour la forme à la structure sous-jacente, ce que je ne peux m'empêcher de comprendre comme le passage du mode ♧ aux modes supérieurs ♢ et ♡.

Quand A.G. parle de la "voie des choses" —à juste raison quand on l'entend dans le sens que je lui est donné de : "suivre l'axe (☯𓁜𓁝☯) de notre topologie Imaginaire)— j'indique clairement ici que je prends l'autre voie, celle des mots (♧𓁜𓁝♡), dans laquelle je vais errer plus d'un an...

- OK, tu as fait une erreur d'aiguillage, mais on ne va pas passer notre vie à ruminer là-dessous.

- Excuse-moi, d'insister, mais il est très rassurant, pour la méthode que je cherche à cadrer, d'être capable d'y pointer une erreur comme une faute de syntaxe ! C'est ainsi que nous avons critiqué A.G. lorsqu'il nous présente sa rosace du Yin Yang (voir "Récoltes et Semailles #13— Erreurs et syntaxe") et c'est ce qui me permet de prendre conscience, a posteriori, de mes propres errements.

À la réflexion, je me demande s'il était possible de faire l'économie du détour qui m'amène aujourd'hui à changer de posture : [#]𓁜→[♻]𓁜?

- À savoir ?

- Il était nécessaire de me fixer un temps en [#]𓁜, afin de développer complètement la topologie de l'Imaginaire et prendre conscience de nos deux voies (☯𓁜𓁝☯) & (♧𓁜𓁝♡)... Ceci dit, en passant en [♻]𓁜, je vois à présent les limites de la posture en lisant la suite :

"À partir de ses réflexions, je pose a priori que la "géométrie algébrique" dont parle A.G. doit se situer au niveau [#]^♢, hypothèse de lecture à vérifier. Après avoir cité André Weill, Oscar Zariski et Jean-Pierre Serre comme point de départ de ses propres développements, avec les égards dûs à leur rang :"

Non, A.G. est —"comme il le dit fort bien sans le savoir" pour paraphraser Lacan parlant des poètes— pleinement "dans la voie des choses" et va faire les liens entre nos 3 niveaux [⚤]/ [#]/ [♻]. Mais vois comme, avec le recul, son titre sonne extraordinairement juste !

- Je comprends bien les formes en [#] mais où places-tu les "structures" ?

- C'est sans doute là que Sander Mac Lane est plus juste en écrivant "Forms and Functions", car lorsque l'on parle de catégories et de faisceaux [#]←[♻], les "structures" en question sont moins les structures de la forme (style solides de Platon) que les structures du mouvement, et des transformations de mouvements, avec un langage de foncteurs. Nous sommes bel et bien en [♻], non pas celui de la substance de Platon, mais dans un univers plus riche, de mutations, entre ☯[∃]𓁜⇆𓁝[∅]☯), avec des liens [#]←[♻] et [⚤]←[♻].

Tout ceci me rend curieux de la suite :

Mutation de la notion d'espace — ou le souffle et la foi :

"La notion de schéma constitue un vaste élargissement de la notion de «variété algébrique», et à ce titre elle a renouvelé de fond en comble la géométrie algébrique léguée par mes devanciers. Celle de topos constitue une extension insoupçonnée, pour mieux dire, une métamorphose de la notion d'espace. Par là, elle porte la promesse d'un renouvellement semblable de la topologie, et au-delà de celle-ci, de la géométrie." p. 66 (en gras dans le texte)

- Oui, bien sûr à la réflexion : une variété algébrique est déjà de la forme [#]←[♻], en se limitant à des espaces de fonctions bien propres sur eux en [♻], et donc les schémas sont du même type [#]←[♻], avec un brin de folie en plus, c.-à-d. moins de contraintes...

- Je croyais que l'algèbre était en [⚤]?

- Notre représentation nous amène à distinguer :

En [⚤] : les structures algébriques ;
En [#] : l'espace topologique et géométrique affine (avec l'idée de dimension, d'ouvert et le connecteur ⊂)
En [♻] : l'introduction d'une "mesure" permettant de comparer les distances entre les différentes dimensions : i.e. :
- Les espaces "métriques" voire "ultramétriques";
- Les espaces vectoriels;
- Les espaces de fonctions (i.e. : représentations ex post en [♻] des fonctions [#]←[♻]).

D'où, et là c'est une évidence, une métamorphose de la notion d'espace, dès lors que l'on passe de [#] à [♻]. Quant au renouvellement de la topologie, nous en avons déjà une petite idée, avec les groupes d'homologie non plus vus depuis [#], mais avec leur "traduction" sous forme de quotient en [♻].

"Dès à présent d'ailleurs, elle a joué un rôle crucial dans l'essor de la géométrie nouvelle (surtout à travers les thèmes cohomologiques l-adique et cristallin qui en sont issus, et à travers eux, dans la démonstration des conjectures de Weil)." p. 66

Avec la référence à la cohomologie l-adique, j'anticipe le passage ⁿ[♻]_♢→ⁿ⁺¹[⚤]_♢ dont nous avons déjà parlé (voir "Bouclage de la quantité sur les nombres #1" et #2)).

- C'est un vaste chantier qui nous attend !

- Oui, et j'espère bien trouver dans cette lecture de Récoltes et semailles, un guide dans cette aventure.

- C'est peut-être ici le lien nécessaire à la poursuite de ta lecture, laissée en plan je te le rappelle à la page 1383...

- Espérons-le; il est toujours bon de revenir sur ses fondamentaux ! Or donc, A.G. précise ici, p. 66, sa comparaison entre les deux géométries :

Celle des variétés algébriques et celle des schémas, toutes deux en [♻], mais présentant une structure algébrique de "même circuit : ⁿ[⚤]_♢←ⁿ[♻]_♢;
Celle de la cohomologie l-adique : ⁿ[♻]_♢→ⁿ⁺¹[⚤]_♢

Le topos en ⁿ[♻]_♢ servant de charnière entre les deux.

Comme sa sœur aînée (et quasi-jumelle), elle possède les deux caractères complémentaires essentiels pour toute généralisation fertile, que voici.

Primo, la nouvelle notion n'est pas trop vaste, en ce sens que dans les nouveaux «espaces» (appelés plutôt «topos», pour ne pas indisposer des oreilles délicates ⁴⁹), les intuitions et les constructions «géométriques» les plus essentielles ⁵⁰, familières pour les bons vieux espaces d'antan, peuvent se transposer de façon plus ou moins évidente. Autrement dit, on dispose pour les nouveaux objets de toute la riche gamme des images et associations mentales, des notions et de certaines au moins de techniques, qui précédemment restaient restreintes aux objets ancien style.

Et secundo, la nouvelle notion est en même temps assez vaste pour englober une foule de situations qui, jusque-là, n'étaient pas considérées comme donnant lieu à des intuitions de nature «topologico-géométrique» - aux intuitions, justement, qu'on avait réservées par le passé aux seuls espaces topologiques ordinaires (et pour cause...).

La chose cruciale ici, dans l'optique des conjectures de Weil, c'est que la nouvelle notion est assez vaste en effet, pour nous permettre d'associer à tout «schéma» un tel «espace généralisé» ou «topos» (appelé le «topos étale» au schéma envisagé). Certains «invariants cohomologiques» de ce topos (tout ce qu'il y a de «bébêtes» !) semblaient alors avoir une bonne chance de fournir «ce dont on avait besoin» pour donner tout leur sens à ces conjectures, et (qui sait !) de fournir peut-être les moyens de les démontrer.

49. Le nom «topos» a été choisi (en association avec celui de «topologie», ou «topologique») pour suggérer qu'il s'agit de «l'objet par excellence» auquel s'applique l'intuition topologique. Par le riche nuage d'images mentales que ce nom suscite, il faut le considérer comme étant plus ou moins l'équivalent du terme «espace» (topologique), avec simplement une insistance plus grande sur la spécificité «topologique» de la notion. (Ainsi, il y a des «espaces vectoriels», mais pas de «topos vectoriels» jusqu'à nouvel ordre !) Il s'impose de garder les deux expressions conjointement, chacune avec sa spécificité propre.

50. Parmi ces «constructions», il y a notamment celle de tous les «invariants topologiques» familiers, y compris les invariants cohomologiques." p. 66—67

- Même si les conjectures de Weill me passent toujours au-dessus de la tête, je retiens pour l'essentiel que :

Le "topos" est chez lui en [♻]_♢; comme la topologie en [#]_♢;
Les invariants "bébêtes" sont en [⚤]_♢; avec une correspondance du type : ⁿ[⚤]_♢←ⁿ[♻]_♢;
Les espaces vectoriels sont "semblables" aux topos i.e.: au "même niveau" conceptuel [♻]_♢: "Il s'impose de garder les deux expressions conjointement, chacune avec sa spécificité propre".

Par ailleurs j'aime l'idée du topos comme "objet par excellence", aussi essentiel, dans une optique moderne que la "substance" des anciens.

- OK, j'ai compris, tu ne vas pas nous repasser tout le film ?

- Il parle un peu plus loin du concept de motif sur lequel nous buttons, et j'aimerais voir comment il y arrive dans cette introduction, car il remonte ici à ce qu'il y a de plus enraciné en lui, au plus intime de son intuition:

"C'est dans ces pages que je suis en train d'écrire que, pour la première fois dans ma vie de mathématicien, je prends le loisir d'évoquer (ne serait-ce qu'à moi-même) l'ensemble des maîtres-thèmes et des grandes idées directrices dans mon œuvre mathématique. Cela m'amène à mieux apprécier la place et la portée de chacun de ces thèmes, et des «points de vue» qu'ils incarnent, dans la grande vision géométrique qui les unit et dont ils sont issus. C'est par ce travail que sont apparues en pleine lumière les deux idées novatrices névralgiques dans le premier et puissant essor de la géométrie nouvelle : l'idée des schémas, et celle des topos." p. 67

- OK, tu veux bien avancer jusqu'aux motifs ?

- Nous y sommes :

Les motifs — ou le coeur dans le coeur

"Le thème du topos est issu de celui des schémas, l'année même où sont apparus les schémas — mais en étendue il dépasse largement le thème-mère. C'est le thème du topos, et non celui des schémas, qui est ce «lit», ou cette «rivière profonde», où viennent s'épouser la géométrie et l'algèbre, la topologie et l'arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories, le monde du continu et celui des structures «discontinues» ou «discrètes». Si le thème des schémas est comme le cœur de la géométrie nouvelle, le thème du topos en est l'enveloppe, ou la demeure. Il est ce que j'ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une «essence» commune à des situations des plus éloignées les unes des autres, provenant de telle région ou de telle autre du vaste univers des choses mathématiques." p. 69

- Il ne parle pas des motifs ?

- Il prend juste son élan, mais vois au passage comme ce qu'il écrit colle à notre représentation de l'Imaginaire, au point que je me demande si je pourrais le lire sans elle ?

- Tu radotes, avance au motif.

"Deux des maîtres-thèmes de la géométrie nouvelle sont pourtant issus de celui du topos, deux «théories cohomologiques» complémentaires, conçues l'une et l'autre aux fins de fournir une approche vers les conjectures de Weil : le thème étale (ou « l-adique »), et le thème cristallin. Le premier s'est concrétisé entre mes mains en l'outil cohomologique l-adique, qui dès à présent apparaît comme un des plus puissants outils mathématiques du siècle. Quant au thème cristallin, réduit après mon départ à une existence quasi occulte, il a finalement été exhumé (sous la pression des besoins) en juin 1981, sous les feux de la rampe et sous un nom d'emprunt, dans des circonstances plus étranges encore que celles autour des topos. p. 70

- Bon, le premier thème nous renvoie au mouvement ⁿ[♻]_♢→ⁿ⁺¹[⚤]_♢; quant au second, j'avoue ne pas y avoir prêté une grande attention jusqu'à aujourd'hui.

- De mauvais souvenir de taupin ?

- Sans doute : la cristallographie n'était pas mon fort.

- Encore une séance sur le divan pour chasser quelques fantômes?

- Quand il faut, il faut. Avançons donc en terres cristallines... Remarque que j'ai bien une toute petite idée qui pointe le bout de son nez : et si A.G. poursuivait son avancée au-delà de ⁿ⁺¹[⚤]_♢ ?

- Soit plus explicite.

- L'espace p-adique que j'avais situé en ⁿ[♻]_♢; ressemble fort à un graphe, doté d'une norme ultramétrique. Et si A.G. cherchait la "forme pure" derrière la morne, en remontant de ⁿ⁺¹[⚤]_♢ à ⁿ⁺¹[#]_♢ ? Elle est peut-être là, cette "géométrie algébrique" à laquelle il rêve ?

- Mais ceci ne supposerait-il pas un terrain de jeu complet en n+1 à 3 soit: ⁿ⁺¹[⚤]_♢/ ⁿ⁺¹[#]_♢/ ⁿ⁺¹[♻]_♢ ou bien peut-il se contenter de rester en ⁿ[♻]_♢ pour faire le lien ?

- Tu vois que notre syntaxe n'est pas inutile : elle nous permet, non seulement de repérer des erreurs, mais également de formuler des questions.

- Reste à voir si. nous collons au terrain...

- Exact, retournons-y :

"Voici en gros de quoi il s'agit. Nous avons vu, pour un nombre premier p donné, l'importance (en vue notamment des conjectures de Weil) de savoir construire des «théories cohomologiques» pour les «variétés (algébriques) de caractéristique p». Or, le fameux «outil cohomologique l-adique» fournit justement une telle théorie, et même une infinité de théories cohomologiques différentes, à savoir une associée à tout nombre premier différent de la caractéristique p. Il y a là encore, visiblement, une «théorie qui manque», qui correspondrait au cas d'un l qui serait égal à p. Pour y pourvoir, j'ai imaginé tout exprès une autre théorie cohomologique encore (à laquelle il a été déjà fait allusion tantôt), dite «cohomologie cristalline». D'ailleurs, dans le cas important où p est infini, on dispose de trois autres théories cohomologiques encore ⁵⁷ — et rien ne prouve qu'on ne sera conduit, tôt ou tard, à introduire encore de nouvelles théories cohomologiques, ayant des propriétés formelles toutes analogues. Contrairement à ce qui se passait en topologie ordinaire, on se trouve donc placé là devant une abondance déconcertante de théories cohomologiques différentes. On avait l'impression très nette qu'en un sens qui restait d'abord assez flou, toutes ces théories devaient «revenir au même», qu'elles «donnaient les mêmes résultats»⁵⁸ . C'est pour parvenir à exprimer cette intuition de «parenté» entre théories cohomologiques différentes, que j'ai dégagé la notion de «motif» associé à une variété algébrique. Par ce terme, j'entends suggérer qu'il s'agit du «motif commun» (ou de la «raison commune») sous-jacent à cette multitude d'invariants cohomologiques différents associés à la variété, à l'aide de la multitude des toutes les théories cohomologiques possibles a priori. Ces différentes théories cohomologiques seraient comme autant de développements thématiques différents, chacun dans le «tempo», dans la «clef» et dans le «mode» («majeur» ou «mineur») qui lui est propre, d'un même «motif de base» (appelé «théorie cohomologique motivique»), lequel serait en même temps la plus fondamentale, ou la plus «fine», de toutes ces «incarnations» thématiques différentes (c'est-à-dire, de toutes ces théories cohomologiques possibles). Ainsi, le motif associé à une variété algébrique constituerait l'invariant cohomologique «ultime», «par excellence», dont tous les autres (associés aux différentes théories cohomologiques possibles) se déduiraient, comme autant d'«incarnations» musicales, ou de «réalisations» différentes. Toutes les propriétés essentielles de «la cohomologie» de la variété se «liraient» (ou s'«entendraient») déjà sur le motif correspondant, de sorte que les propriétés et structures familières sur les invariants cohomologiques particularisés (l-adique ou cristallins, par exemple) seraient simplement le fidèle des propriétés et structures internes aux motifs".

57. (A l'intention du lecteur mathématicien.) Ces théories correspondent respectivement à la cohomologie de Betti (définie par voie transcendante, à l'aide d'un plongement du corps de base dans le corps des complexes), à la cohomologie de Hodge (définie par Serre) et à la cohomologie de De Rham (définie par moi), ces deux dernières remontant déjà aux années 1950 (et celle de Betti, au siècle dernier). p. 72

- Je cite le texte un peu longuement, mais en contrepartie mon commentaire est très simple : nous passons ici de la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) à la voie des mots (♧𓁜𓁝♡).

- Argumente un peu...

- A.G. porte son attention sur la cohomologie elle-même, uniquement au niveau [♻], pour nous dire quoi en substance ?

- Que derrière la multiplicité 𓁝[♻], il doit y avoir une totalité [♻]𓁜?

- Tout simplement, et ça mon ami, ça s'appelle un "passage à la limite". Comme nous restons ici dans le domaine du langage et de la syntaxe mathématique, on peut l'exprimer ainsi : 𓁝ⁿ♢^♻↑^∞♢^♻𓁜.

- Ça ressemble furieusement aux ponts d'Olivia Caramello, non ?

- Il faudra lui poser la question un de ces jours ! 😏

Ceci dit, nous n'avons ici qu'une mise en scène très générale du drame, il faudra avancer un peu plus en terre mathématique pour éviter de dire trop de bêtises.

- Soit, il est temps de terminer cette lecture, et de revenir aux adieux de Grotehndieck et Deligne, façon "adieux de Fontainebleau".

- Amen

Hari

Note 1 :

Je crois tenir cette idée de Laurent Lafforgue qui parle du topos comme le lit commun du discret et du continu. À vérifier sur les vidéos que j'ai pu visionner.

L'anecdote n'est pas sans importance, car si je distingue clairement deux niveaux [#] & [♻], et il n'est pas évident que les matheux retiennent cette distinction comme pertinente, ce qu'il sera intéressant de tirer au clair un de ces jours.

Ceci expliquerait, par exemple, qu'Einstein et Bohr puissent se disputer, quand ils n'ont pas conscience de ne pas circuler sur la même voie...

Note 2 :

J'ai une pensée émue pour tous les participants au groupe de travail CLE qui ont avalé sans m'en tenir rigueur 3 présentations au fil des années —toutes bancales— et un profond sentiment de reconnaissance envers Anatole Khélif, le grand ordonnateur de cet atelier, pour sa bienveillance et son ouverture d'esprit.

Les 3 présentations :

Ces exercices m'ont obligé à chaque fois à faire le point sur ma démarche, et je dois dire que c'est lors de mes présentations que je me rend compte de mes insuffisances ! Merci donc à tous pour leur accueil et leur patience !