Syntaxe du mode ♢ #2 — La cohomologie

Syntaxe du mode syntaxique  ♢

• Homologie
• Cohomologie

Le 12/ 02/ 2025 :

- Il faudra bien sûr revenir sur ce que nous avons vu au sujet de l'homologie, car en plaçant ℚ et le concept plus général de "rationalité" en [♻], ça clarifie quelque peu notre perspective générale.

- Je ne vois pas très bien ?

- En rapprochant la "rationalité" de la quantité et de sa mesure, autrement dit de la mise en rapport d'une chose et d'un maître étalon, afin d'en prendre conscience :

nous avons fait le lien avec la posture finale 𓁝[∅], en comprenant l'objet comme le "complément d'une forme vide prête à l'accueillir". Si tu donnes la valeur "1" à cette forme "vide", l'objet vaut "1" en prenant la place de ce vide, dans le mouvement :
([♻]𓁜⇆𓁝[∅])←([♻]𓁜⇆𓁝[∅]). C'est ce qui répond, du côté Symbolique à l'intrusion du Réel dans l'Imaginaire :
(☯[∃]_♧𓁜)→(☯[∃][⚤]_♧𓁜). Pour t'en faire une image plus concrète, considère cette dualité entre les deux mouvements comme en électronique la circulation du courant, auquel répond en sens opposé une "circulation par trous" : lorsqu'un électron avancée d'une case dans un réseau cristallin, le trou qu'il libère se déplace en sens inverse. 

- En disant que l'objet occupe une place vide, tu en reviens à l'éther de Newton et des anciens ?

- Non pas, justement ! Car cette forme vide n'est pas dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯), mais découle d'un choix 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜, fait dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) ! Nous sommes radicalement coupés du choix Platonicien du [1] en objet initial (voir "Qui a tué Platon?"), et ça se vérifie ici, en tentant de comprendre à partir d'une remarque aussi "bébête" qu'un bord n'a pas de bord, ce qui est au coeur de la physique depuis les équations de Maxwell, jusqu'à la méca Q.

- Non seulement ça, mais tu retrouves également :

• Lévi-Strauss : En posture 𓁜 on dénote le Réel (l'objet est identifié), quand en 𓁝 on connote le Symbolique (l'objet est mesuré); 
• JP Changeux : La caractérisation de la "prise de conscience" comme rencontre entre concept et percept;
• Bohr : L'interprétation de Copenhague.

- Oui, oui, je le sais : tout converge vers la nécessité de définir une nouvelle épistémè fondée sur le remplacement du [1] platonicien par une dualité — soit "objet initial/ final" en langage mathématique. D'où notre lecture (poussive il est vrai) de "Récoltes et Semailles", à la recherche de ce "yoga" dont parle Grothendieck.

- D'où cette pose sur la "syntaxe ♢", afin d'avoir les idées claires avant d'attaquer les 6 opérations (ou foncteurs) qu'il a définies (voir ici). Et donc :

Cohomologie :

- C'est un peu loin, aussi vais-je revenir au dernier point sur le sujet, "Faisceaux et cohomologie de Čech - Yann Ollivier", pour me rafraîchir les idées.  Je laisse de côté la question des faisceaux de Leray, qui m'agitait à l'époque, pour reprendre ce schéma d'ensemble figurant le duo homologie / cohomologie, établi dans l'article "cohomologie #3").

- Peux-tu me rafraîchir la mémoire, et m'expliquer les groupes de cohomologie Hⁿ et cette écriture Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1?

- Dès qu'il s'agit d'algèbre, j'oublie tout et il ne faut pas avoir honte de revenir une nouvelle fois à la base. Retour donc à cette vidéo du blog Egregia, qui nous a déjà beaucoup servis.

La première chose qui me frappe (à 32'43" de la vidéo), c'est qu'immédiatement après avoir dit que la "cohomologie est le dual de l'homologie", l'orateur fait un rapprochement avec la dualité entre vecteurs et formes linéaires, et ceci me renvoie à une différence entre la voie des mots et la voie des choses (et à la dualité covariance/ contravariance voir ici).

- Donc si, comme nous l'avons vu, la démarche homologique se construit pas à pas dans la voie des mots, la cohomologie devrait être dans la voie des choses ? Mais alors, que devient cette progression que tu nous as dessinée en bleu ↑?

- Ah ! Tu vois comme chaque évolution dans notre représentation de l'Imaginaire nous force à tout revisiter ! Cent fois sur le métier remettons notre ouvrage... En fait, cette reprise devrait nous rendre évident ce que j'occultais jusqu'à présent.

- Par exemple ?

- Antoine Bourget fait le commentaire suivant (à 41') : le passage de l'homologie à la cohomologie permet de penser à des structures algébriques plus complexes que de simples groupes de symétrie (i.e. directement liés à l'aspect topologique en [#]), comme des anneaux; et il indique à titre d'exemple la cohomologie de de Rahm, qui s'applique aux formes différentielles ! Ce que j'avais beaucoup de mal à situer jusqu'à présent, mais qui, maintenant que nous sommes plus attentifs au niveau [♻], m'apparaît tout d'un coup plus évident !

- Si je te suis bien : d'un mouvement [⚤]←[#], nous aurions, par symétrie autour de [⚤], une construction [⚤]←[♻], qu'il faudra boucler par [#]←[♻]?

- C'est en tout cas le programme que j'imagine à partir de ma relecture d'aujourd'hui. Et en prime tu aurais une approche de la cohomologie dans la voie des choses, (i.e. duale de l'homologie). 

Première piste à suivre : si la cohomologie est dans les "passages"  [⚤]←[#] et [⚤]←[♻], l'application δ dans la cohomologie de de Rham n'est pas en [⚤], comme je l'avais écrit dans mon schéma, mais en [♻], et la symétrie ↑↓ est à comprendre là encore, en prenant [⚤] comme miroir de [#] et [♻]...

- Plus simplement, en te souvenant des différentielles de ton enfance : parler de "dx" autour d'un point x₀ de dimension D0 (ou ∆⁰ pour reprendre l'écriture simplexiale) c'est bel et bien s'intéresser à une petite "distance", donc de dimension D1 (ou ∆¹) "autour" de x₀; et "d²x", une petite surface autour de dx.

- Ce qui perturbe un peu le mauvais élève que je fus, se contentant de l'idée naïve que "dx" était "quelque chose de petit", et d²(x) "plus petit encore"; sans aller jusqu'à m'interroger sur ce changement de dimension.

- Tu es tel l'esclave de Menon : il faut que l'on te mette le nez dessus pour réaliser que tu le savais déjà !

Deuxième piste à suivre : si, comme nous l'avons déjà vu en homologie, les groupes Hⁿ de cohomologie s'expriment par un rapport Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1, alors ces groupes sont de niveaux [♻], tandis que la structure algébrique servant à leur expression (comme les groupes de symétrie) est de niveau [⚤].

- C'est assez cohérent avec l'idée générale que ces groupes (H_n comme Hⁿ) sont des "mesures" caractérisant l'objet, ou plutôt des classes d'objets semblables entre eux sous de rapport.

Troisième piste à suivre : en revenant maintenant aux deux exemples introductifs de la vidéo : les hauteurs de pistes de ski, et les taux de change entre monnaies, Antoine Bourget insiste bien sur l'idée de faire correspondre un "nombre" à un point. Que ce soit une "altitude" dans le premier exemple, ou "une monnaie" dans le second (le taux de change étant un rapport entre deux monnaies). J'avais proposé ce type d'application : [⚤]←[#], mais c'est manifestement une erreur ! Si les "représentations" de deux scènes (un champ skiable en montagne d'une part et un graphe représentant les échanges entre pays d'autre part) sont des expressions "graphiques" en [#] des objets de discussion, les co-chaînes décrivant les contraintes sont certes des expressions algébriques, mais portant sur des mesures, autrement dit nous avons [⚤]←[♻].

Quatrième piste à suivre : un point fondamental que nous avions déjà noté, mais qui maintenant prend toute sa valeur : une mesure se fait selon une seule dimension.

- Je ne vois pas bien l'importance que tu y accordes, nous le savons depuis belle lurette !

- C'est lié à l'aspect "vecteur" vs "forme linéaire". Je pense qu'il faudra y revenir encore afin que se soit limpide, mon intuition est la suivante :

• La démarche homologique est fondamentalement axé sur une répétition sur la voie des mots,  ∆ⁿ⁺¹↓∆ⁿ & ∆^n-1↑∆ⁿ.​​​
• Si la cohomologie est le dual de l'homologie, elle s'exprime essentiellement dans la voie des choses, et donc les éléments du rapport  Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1, doivent être "appréhendés" sur un seul "passage" ∆ⁿ.

- C'est ce que tu avais déjà identifié, par exemple, dans la cohomologie de Čech, un "complexe" est un "simplexe+bord".

- Oui, c'est important et que ce que nous avons déjà vu des différences de logiques en jeu dans l'homologie et la cohomologie (voir Note 2 de "Schéma d'actions #5— groupes d'homologie"), doit être repris, après notre introduction du niveau [♻] dans la valse.

Le 14/ 02/ 2025 :

- Trêve de bavardages, il est temps d'entrer dans le vif du sujet, en suivant notre mentor dans sa seconde vidéo. Il aborde les sujet à l'aide des simplexes. Passons en revue le vocabulaire utilisé :

• Simplexe :  ∆ⁿ= { (t₀...t_n)∈ℝⁿ | ∑t_i=1 } 
• Un n-simplexe dans X (espace topologique) est une fonction continue σ: ∆ⁿ→X;
• Une n-chaîne est une combinaison linéaire formelle finie, à coefficients dans ℤ de n-simplexes réguliers.
• L'ensemble des n-chaînes : C_n(X)= {n-chaînes}= {∑_finin_iσ_i | n_i∈ℤ; σ_i: ∆ⁿ→X}
• L'application bord ∂ (vue en homologie). L'écriture du simplexe ∆ⁿ rend simple l'écriture de son bord ∆^n-1 : il suffit de supprimer une coordonnée (en faisant attention au signe, voir vidéo). On retrouve bien entendu la propriété fondamentale : ∂ⁿ∘∂ⁿ⁺¹=0

- On est toujours dans l'homologie ?

- Oui, c'est d'abord un rappel, formalisé par l'écriture simplexiale, pour introduire ensuite la co-homologie comme des fonctions sur l'espace des chaînes, à valeur dans un groupe G, de même que les formes linéaires sont définies sur un espace vectoriel. Il est là le parallèle. D'où ce schéma :

- Et c'est ça que tu dois interpréter en termes de mouvements Imaginaires ?

- Exactement, et puisque l'auteur nous y invite, tentons de conserver ce parallèle homologie/ cohomologie avec le duo vecteur/ formes linéaires. L'écriture simplexiale nous sert de guide.

1. Les simplexes ∆ⁿ sont des "objets" décrits dans un espace ℝⁿ...

- Donc en [#] ?

- Figure-toi que je n'en suis plus très sûr ! J'ai toujours considéré que le passage du discret au continu [⚤]_♧→[#]_♧ correspondait au passage de ℕ→ℝ, et j'ai pris l'exemple de la répétition de ℝ à ℝ², comme symbolisant l'orthogonalité et notre principe de répétition ⊥ propre au niveau [#].

Pourtant ça cadre mal avec le positionnement de la topologie en [#]_♢. J'ai, je le pense à présent, été trop vite en besogne : nous pouvons définir en [#]_♧ une géométrie affine, ou basée sur les symétries, sans formellement introduire ℝ.

Par ailleurs, historiquement si je puis dire, ℝ a été introduit pour "boucher les trous" dans ℚ, que nous venons tout juste de positionner en [♻], et ce, dans une réflexion qui n'est pas directement liée à la géométrie. (Note 1)

Si l'axiome de continuité est de niveau [#], (dans la déformation continue d'un lacet sur un espace X, par exemple) l'expression de cette "continuité" comme dans σ: ∆ⁿ→X; doit se rapporter à un passage de [#]←[♻].  Nos réflexions de ces derniers jours me font prendre conscience d'avoir beaucoup trop ignoré l'importance du niveau [♻], et de l'omniprésence de la "mesure" dans notre Imaginaire.

Et il faut réformer quelque peu ce que j'ai pu dire à ce sujet. Par exemple, ℂ & ℍ comme ℝⁿ... ℝ^∞ doivent suivre ℝ en [♻].

- De voir ℍ rejoindre la relativité générale en [♻] n'a rien de difficile à concevoir...

- Oui, comme tu le vois, il était plus que temps de revisiter un peu notre syntaxe, et en particulier celle du mode ♢. (il faudra corriger l'article "Syntaxe de l'entropologie" en conséquence).

- OK, admettons, mais alors il n'y a plus de lien [⚤]←[#] ?

- Je crois que si, en homologie d'une façon plus directe, mais pas en utilisant les simplexes, qui d'autorité nous conduisent à [⚤]←[♻].

=> Covariance et contravariance sont des concepts liés à la mesure en [♻];
=> Le duo vecteurs / formes linéaires est sur un schéma [⚤]←[♻];
=> Le passage d'une homologie [⚤]←[#] à son écriture [⚤]←[♻], permet de comprendre une orthogonalité entre homologie et cohomologie.

- L'application  σ: ∆ⁿ→X a disparu du schéma d'Antoine Bourget ?

- C'est le bouclage [#]←[♻], bien sûr ! Pour tenter de comprendre tout ce discours, je pense qu'il faut partir d'un point de vue [♻]𓁜, pour voir les rapports aux autres niveaux [⚤] & [#]. 

- Tu nous a pourtant présenté ta "topologie" de l'Imaginaire comme une représentation à partir de  [#]_♢𓁜?

- Comme quoi les concepts à prendre en considération nous poussent à évoluer...

- La dualité entre voies des mots (♧𓁜𓁝♡)  et des choses (☯𓁜𓁝☯) n'est pas rendu sur ce schéma?

- Premièrement ce n'est pas son but, ensuite c'est à nous de comprendre ce qui se passe lorsque l'on transpose le concept de "bord" primitivement de niveau [#] au niveau [♻].

Tout d'abord, revenons sur la définition du simplexe : ∆ⁿ= { (t₀...t_n)∈ℝⁿ | ∑t_i=1}. Ne trouves-tu pas que cela ressemble à une forme linéaire ∑t_i=1 entre les coordonnées de ∆ⁿ ?

- Oui : c'est la description d'un ensemble de points (ou d'extrémités de vecteurs d'origine 0) astreints à se déplacer sur  ∆ⁿ.

- Maintenant considère ceci : un "bord" de ∆ⁿ est décrit en supprimant une coordonnée (d'un espace à n dimensions on passe à n-1 dimension).

Dans la formule, le v̂_i correspond à la coordonnée supprimée. Symboliquement, cette fonction ∂ⁿ : C_n(X)→C_n-1(X) en [♻] se traduit [#]←[♻] par la descente d'un vide en [#].

Tu vas sans doute me reprocher d'être obsédé par cette omniprésence du "vide" au niveau [♻], attribué à la proximité de [∅], mais il y a là quand même quelque chose qui insiste, non ?

- Où veux-tu en venir ?

- Je cherche... Je garde le sentiment que (malgré des erreurs de syntaxe) j'avais déjà vu que dans l'écriture de ∆ⁿ "tout est déjà là", à plat, au pas "n" de l'écriture en mode ⁿ♢, alors que le concept de base au niveau [#] nécessite une navigation entre niveaux n+1, n, n-1.

- Autrement dit, ça te conforte dans l'idée :

• d'une démarche homologique dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡)  et
• d'une démarche cohomologique, après cette "mise à plat", dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯).

- C'est le point de vue auquel j'aboutis: considérer ces démarches, non pas à partir de [⚤] comme je le proposais hier, mais depuis [♻]. 

- Et si tu revenais au schéma d'Antoine ?

- Tentons ceci pour représenter l'orthogonalité entre ce qui relève de l'homologie purement de niveau [#], et les liens établis depuis [♻] vers [#] & [⚤] pour parler d'une seule voix de groupes d'homologie & de cohomologie.:

- Ce n'est pas encore clair, il faut y réfléchir un peu...

Le 15/ 02/ 2025 :

- Je viens de comprendre ma difficulté à ramener le schéma d'Antoine Bourget dans ma topologie de l'Imaginaire ! C'est très simple : pour faire cette représentation je suis en ([#])𓂀_♢, et pour représenter le schéma proposé, je me place en ([♻])𓂀_♢.

- Et donc ?

- L'orthogonalité que je définis en [#] entre les deux axes (☯𓁜𓁝☯)⊥(♧𓁜𓁝♡) de ma topologie Imaginaire est amenée à s'effacer dès que je passe en [♻] où je suis dans l'équivalence ⇆ et non l'orthogonalité ⊥.

 - Mais jusqu'à présent tu représentais un plan par ℝ² en insistant sur l'orthogonalité entre les deux axes du plan (x,y) ?

- Je faisais une confusion entre deux notions de nature différente :

• L'orthogonalité entre les deux axes du plan est bien de niveau [#];
• Utiliser une échelle unique, c'est adopter une même "métrique" pour repérer les distances sur l'axe des x comme sur l'axe des y, et nous sommes en [♻].

Il en découle que tout espace "métrique" est une construction de niveau [♻], en particulier les espaces vectoriels, et comme ici, simplexiaux. 

Pour ce qui nous occupe ici :

• La série des simplexes de ∆⁰ à ∆ⁿ est "à plat" sur l'axe des choses (☯𓁜𓁝☯);
• La seule propriété de niveau [#] dans la voie (♧𓁜𓁝♡) qui soit "rapatriée" en  [♻], est l'idée qu'un bord n'a pas de bord, sous la forme de son expression algébrique en [⚤].

- Autrement dit : à un pas donné "n" dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡), on fait une "section" dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) avec une liaison entre [⚤], [#] et [♻] ?

- Exactement : l'articulation entre les deux axes de notre Imaginaire se "voit" seulement en [#].

- Pouvons-nous revenir à ce schéma ?

- Je pense que cette fois-ci nous pouvons effectivement le situer :

1. Les chaînes sont des éléments de C_n(X)→C_n-1(X) de niveau  [♻];
2. Les co-chaînes sont des éléments  de Cⁿ(X,G)= Hom(C_n; G) ce sont des applications φ type de [⚤]←[♻];
3. L'application :
   • Bord : ∂_n "baisse" d'une dimension ∆ⁿ→∆^n-1 ;
   • Co-bord : δⁿ "augmente" d'une dimension ∆ⁿ→∆ⁿ⁺¹ ;(pense à la dérivé "dx" autour de x₀)
   • δφ = φ∘∂. L'inversion se traduit ici dans la succession des applications ∂ suivi de φ pour boucler le triangle.
4. La seule "trace" de la différence de nature entre la "descente" homologique et la "montée" cohomologique, qui ici se retrouvent ici "à plat" en [♻] dans la voie (☯𓁜𓁝☯), c'est que
   • l'homologie est covariante et
   • la cohomologie est contravariante.

- Ton interprétation de cette différence comme "trace d'un point de vue  [#]", doit se retrouver en [♻], dans la seule voie des choses (☯𓁜𓁝☯).

- Il faudra y revenir. Note en attendant que les co-chaînes étant des foncteurs, nous allons retrouver toute la panoplie que nous avions vue il y a quelque temps (voir "présentation du 12/ 06/ 2019") au sujet des foncteurs représentables, du lemme de Yoneda, et une autre approche de notre duo covariance/ contravariance. Lorsque nous y serons, il sera temps de faire le rapprochement entre les deux points de vue ! Pour l'instant revenons à cette vidéo. Une fois les concepts mis en perspective, on peut dérouler les calculs :

Avec :

• Hⁿ(X,G) : nième groupe de co-homologie;
• Ker δⁿ⁺¹ : les co-cycles;
• Im  δⁿ : les co-bords.

Cela prendra un certain temps pour s'y sentir à l'aise, mais je vais tout de suite au plus intéressant au regard de notre remarque de ce matin concernant la modification du point de vue adopté [#]→[♻].

En très très rapide :

1. D'un groupe G, tu peux enrichir la structure en [⚤] en prenant un anneau R ;
2. L'ensemble de tous les groupes Hⁿ(X,R) d'un espace X est lui-même muni d'une autre structure d'anneau notée H*(X,R), mais cette fois-ci en [♻];
3. Dans H*(X,R), tu peux définir un produit de co-chaînes φ_⌣ψ (appelé "cup"); (Note 2)
4. Ce qui permet de "représenter" un espace topologique à l'aide de cette structure H*(X,R);
5. En application, Antoine Bourget nous montre le calcul de H* pour un tore T2 sur le corps ℤ, ce qui nous permet d'avoir une expression en [♻] de notre représentation de la topologie de l'Imaginaire, que nous avions exprimée d'un point de vue [#] :

Je ne dis pas que je vais nager là-dedans dès demain matin, mais nous avons au moins une perspective fantastique qui s'ouvre devant nous !

- Ça fait en gros 5 ans que tu défriches le niveau [#], il faudrait accélérer un peu l'allure pour boucler correctement l'expression de l'Imaginaire d'un point de vue [♻], sans compter une réécriture du tout en langage catégorique !

- Maintenant que je sais où aller, le reste est une question de temps et d'entraînement. Et puis, notre objectif n'est pas de faire des maths, mais de s'assurer que notre démarche garde toute sa cohérence, même dans les domaines les plus pointus du langage, où s'articulent entre eux les axiomes qui fondent notre entendement, et se réduisent à des Lapalissade...

- Comme "un bord n'a pas de bord" ?

- Exactement, c'est ce genre de choses qu'il faut déterrer.

- Sans attendre cela donne déjà une idée de la nature d'un topos, que tu avais d'instinct placé en [♻]. 

- Oui, oui, tout cela se met doucement en place sur le puzzle de notre Imaginaire.

- En attendant, cette revisite nous a permis de rectifier pas mal de choses dans notre "syntaxe entropologique", simplement en situant ℕ et ℤ en [⚤] et ℚ  ℝ ℂ ℍ etc... en [♻]; ce qui nous donne l'espoir de pouvoir représenter lastructure de l'Imaginaire, au-delà de sa simple représentation topologique en [#].

- C'est beaucoup de réajustements à mûrir en perspective...

- Bonne rumination !

Hari

Note 1 :

Il faudrait creuser, mais de mémoire, les 3 problèmes classiques légués par les grecs à savoir :

• La trisection de l'angle,
• La quadrature du cercle,
• La duplication du cube.

sont plus des problème de "mesure" ou de "ratio" en [♻] que de pure "géométrie affine" en [#]. La géométrie étant vue actuellement comme liée à la recherche de symétries (dans notre triptyque de Noether).

- Il y a malgré tout les solides de Platon...

- Certes, mais sa recherche n'était pas liée à ce que nous appelons "symétrie", mais plutôt au domaine "des idées", que nous situons entre [♻] & [1] :

🤖 : Platon a défini ses solides dans un contexte philosophique où il associait chacun de ces solides à un élément, selon leur degré de «mobilité». Il les considérait comme la forme des atomes constituant l’univers, formant ainsi la trame et le code cosmique.
Plus précisément, Platon associait :
    •    Le Feu au tétraèdre, car il s’agit de la forme la plus mobile.
    •    La Terre au cube, car elle est la plus immobile.
    •    L’Air à l’octaèdre, moins mobile que le Feu mais plus que le cube et l’icosaèdre.
    •    L’Eau à l’icosaèdre, en raison de sa faible mobilité.
   •  Le dodécaèdre à l’Univers, comme porteur des caractéristiques et de l’âme des quatre autres éléments.
Pour Platon, les lois matérielles et physiques sont géométriques. Il considérait que chaque solide véhicule une énergie particulière qui participe à l’harmonie du monde, une harmonie qui s’exprime pleinement à travers le dodécaèdre, la forme la plus proche de la sphère.

Comme tu le vois il faut faire attention à ce que l'on appelle "géométrie".

Note 2 :

Avec la perspective de représenter nos deux cheminement sur nos axes (☯𓁜𓁝☯) et (♧𓁜𓁝♡) par deux fonctions φ ψ selon chacun des axes, et d'envisager leur "produit" ou intersection, qui serait en l'occurrence la place du Sujet 𓁜𓁝... Mais nous le verrons plus en détail, après avoir compris le théorème de dualité de Poincaré !

Un très rapide survol de la question (via Perplexity, montre que cette dualité a une belle postérité, qui mènent jusqu'aux travaux de Grothendieck sur la cohomologie étale. (voir ici)

- En. En très très rapide