L'éternel retour

Le 01/ 04/ 2025 :

- J'étais resté sur cette conviction forte qu'il faut passer un cap, soit ⁿ♢↑ⁿ⁺¹♢, ou plus précisément ⁿ♢^♻↑ⁿ⁺¹♢^⚤, pour suivre Grothendieck et installer confortablement son idée de "schéma" dans notre Imaginaire (voir "Un certain sentiment d'urgence").

C'était écrit à la va-vite, comme toujours lorsqu'une idée cherche à sortir au plus vite, bousculant les mots au passage avant de me les approprier. Mais il s'agissait bien de se retrouver en ♢^⚤(ou [⚤]_♢; selon le point de vue adopté). Et ce week-end, en me prélassant à Joanópolis, je me suis fait la réflexion suivante :

Qu'est-ce qui différencie :

un passage direct (en bleu):

		𓁝♢^⚤
		↑
		♧^⚤𓁜

un passage second (en rouge):

	ⁿ⁺¹[∃]_♢𓁜	→𓁝ⁿ⁺¹[⚤]_♢
	↑	↑
ⁿ[♻]_♢𓁜→	𓁝ⁿ[∅]_♢	↑
		♧^⚤𓁜

- Le premier passage me semble marqué par le changement de posture du Sujet; de :

ex post 𓁜, pour considérer les éléments en [⚤]_♧; il passe
ex ante 𓁝, pour voir ces derniers, comme parties en [⚤]_♢d'un groupe de symétrie.

D'un mot, le Sujet se "retourne" sur lui-même, et passe d'une vision globale à une approche locale.
- Partons de là.

En fait c'est comme si le Sujet se "retournait" en 𓁝[⚤]_♢→[⚤]_♢𓁜 pour "voir" le "groupe de symétrie" en tournant littéralement autour de l'élément neutre. Mettons le "0" comme élément neutre de l'addition pour fixer les idées.

- Oui et on connaît la suite de l'histoire: il faut ajouter un point à l'infini pour voir ℤ^+∞ comme un groupe.

- Exact. Ensuite, en [#]_♢, il convient de définir une "droite à l'infini" pour compléter le plan projectif, et en quelque sorte le "fermer".

- Je vois où tu veux aller : en [♻] on passe ensuite de ℤ^+∞ aux nombres p-adiques ℤ_p, en ramenant, si je puis dire, l'infini à un pas du point de départ.

- Exact : la norme "ultramétrique" fait que l'infini ∞ écrit en base p+1 est à 1 pas de l'origine, soit : .....ppppppp+1=0, ou ......ppppppp=-1. Autrement dit, tu gardes bien l'idée que "0" est l'élément neutre, de l'addition, mais là où le Sujet devait se retourner pour le constater en [⚤]_♢, il lui suffit d'avancer tout droit jusqu'à l'infini pour se retrouver à son point de départ en [♻]_♢.

- Et sur quoi porte la répétition [♻]𓁜⇆𓁝[∅] ?

- A priori sur le choix de la base "p" pour écrire les nombres. Tu peux comprendre la suite comme la recherche des propriétés des nombres, par-delà leurs différences de représentations en ℤ_p quand p varie.

Ma réflexion ne va pas plus loin; mais arrêtons-nous pour l'instant à l'idée qu'un retournement du Sujet sur lui-même, dans un univers à peine ébauché, se transforme en un parcours en ligne droite lorsque l'on prend conscience de la clôture de notre univers...

- Tu reviens à tes réflexions sur les rotations (voir "Spin alors !")

Le Spin (physique fondamentale) - Passe-science #28

- Oui, c'est quelque chose de flottant entre deux eaux, toujours en ligne de mire (voir encore "Covariance, Contravariance... et Spin du Sujet ?").

- Et que nous apportent tes réflexions du jour ?

- L'idée d'une équivalence entre deux "rotations" du Sujet :

Soit en passant de 𓁜⇆𓁝, sans hypothèse quant à la clôture ou non de son Imaginaire;
Soit en fermant l'Imaginaire par un "infini", et en marchant tout droit.

- C'est ce que tu as déjà avec le ruban de Moebius...

- Oui, effectivement, comme tu le vois, je tourne moi-même en rond. Mais je voudrais le retrouver comme une "évidence" physique...

- Pense au serveur faisant deux tours complets avec son bras pour que le plateau se retrouve dans la même position.

- Je sais tout ceci, mais ça ne m'aide pas...

- Pense à deux roues d'engrenage (de même diamètre) dans un carter.

Lorsque l'une fait un tour dans un sens, l'autre fait exactement un tour dans l'autre sens; mais ça, c'est le point de vue du carter.
Maintenant imagine-toi sur l'une des roues : tu fais exactement un tour sur toi-même, pour te retrouver face à la roue duale, qui elle-même a fait un tour de sens contraire pour se retrouver face à toi.
Maintenant, imagine que cette roue soit l'univers tel que tu es capable de l'imaginer dans ton cerveau, clos comme cette roue, et gomme le carter dont tu n'as aucune idée, comme Einstein a gommé l'éther de Newton en identifiant "c" comme vitesse limite.

- OK, j'ai compris ce qui changerait dans le second saut, après passage par [♻] serait la prise de conscience de cette équivalence.

- Exactement, il y a quelque chose à creuser dans cette direction; réfléchis...

- J'en étais resté au fait que le passage de [∃]_♧ à [∃]_♢ correspondant à un changement d'objet final :

En [∃]_♧ se serait le singleton {*} des Ensembles;
En [∃]_♢ se serait le morphisme •⟲ de la théorie des Catégories.

On passe des objets aux mouvements entre objets.

- OK, ça, c'est la première étape, disons que nous sommes en ¹[∃]_♢. Maintenant, au moment de boucler ce premier tour dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯), que sommes-nous en train de mettre en lumière ?

- Avec la mesure en ¹[♻]_♢; je dirais que nous avons pris conscience de la relativité du mouvement de l'objet par rapport au mouvement du Sujet ? C'est très clair, par exemple en relativité générale, non ?

- Je suis comme toi mon ami : je cherche... Maintenant, avec ce que nous avons vu de la propriété universelle dernièrement (voir "De la propriété universelle en philo"), peut-être faudrait-il avancer en mode ♢, dans une réflexion purement selon la voie de mots (♧𓁜𓁝♡) en disant que ce qui caractérise vraiment l'objet, sont ses liens aux autres objets, débarrassés des agitations du Sujet ?

- Je ne vois pas très bien ?

- Reprends ce schéma de la propriété universelle des fibrés (voir "Petite pause philo") :

L'idée qui me vient, par analogie, et sans prétention mathématique aucune, c'est qu'une caractéristique d'un objet (mis en place en (AxE)/B) est défini "intrinsèquement par "i" pour tout X, bien que cet objet soit caractérisé par deux "projections" π_A et π_E. Tu peux comprendre ces 2 projections par deux "façons" d'aborder l'objet. En l'occurrence, tu peux penser à l'approcher :

en repérant ses symétries en ¹[⚤]_♢ ou
en le mesurant en ¹[♻]_♢

La base B, serait alors repérable en ²[⚤]_♢,lieu où se retrouvent les deux notions de symétrie et de mesure.

Comme tu le vois, il n'y a pour l'heure rien d'abouti, seulement des pistes qui se renforcent, de les emprunter encore et encore...

- Espérons malgré tout que nous arriverons quelque part !

- Si même les Dupondt y arrivent, pourquoi pas nous ?

- Amen !

Hari