Petite pause philo

10 Mars 2025

Le 10/ 03/ 2025 — Ouro Preto :

- Ouf, petite pause après un atterrissage à Belo Horizonte et la visite d'Inhotim. Il était temps de prendre un peu le large et du recul par rapport à mes questionnements mathématiques...

- Encore une parenthèse dans une parenthèse ?

- Si tu tiens à faire les comptes, c'est plus que cela :

Bloqué dans l'écriture de "Récoltes et semailles # 17 — La cérémonie funèbre Cohomologie étale";
J'ai d'abord voulu en savoir un peu plus sur ce que pouvait être la géométrie algébrique, remettant en cause ma division en 3 niveaux [⚤][#][♻], ce qui m'a ramené à Dehaene "Topologie et géométrie algébriques #1— retour à Dehaene";
Rassuré pour l'heure sur ce point, et guidé par le nom de Zariski, qui revenait tout le temps, j'ai cherché à comprendre qu'avait de particulier sa topologie "Topologie et géométrie algébriques #2 — retour à Zariski";
Mais j'ai calé en chemin faute des connaissances de base pour avancer. J'en fais le constat dans "Penser ses erreurs";
Et je reviens sur une vidéo qui m'avait déjà servi à discriminer entre géométrie algébrique et analytique "Topologie et géométrie algébriques #3— retour à zéro";
J'arrive à situer une application étale en [⚤], mais je cale à nouveau lorsque Michel Raynaud présente cette application étale comme impliquant "à l'évidence" la notion d'ouvert en algèbre "Topologie et géométrie algébriques #3— retour à zéro".

- Et donc, pourquoi ce Septième saut ?

- Rien de dramatique ni de Suédois d'ailleurs (désolé), rassure-toi, mais il se trouve qu'en meublant mon écriture pour mettre en perspective mon incompréhension profonde de ce qu'exposait Michel Raynaud, certaines réflexions m'ont semblé plus intéressantes que tenter de le suivre un chemin à peine esquissé.

- De quelles réflexions parles-tu ?

- Nous en étions au "produit fibré", et à la propriété universelle de celui-ci :

pour ensuite revenir au cas "diagonal" ou A=E, dans le diagramme ci-dessus, ce qui m'avait conduit à cette réflexion quasi-réflexe :

"- Le déclic c'est concept X = percept de X. Reviens à la définition de la prise de conscience comme rencontre entre un percept et un concept, les deux étant de "nature" différente, c.-à-d. les deux étant orthogonaux, nous aurions :

En [♻] : X est "mesuré" en le rapportant à lui-même. En ce sens tout "concept vaut globalement^𓁜 1" et l'on peut y voir le principe général du retournement [♻]𓁜⇆𓁝[∅]→[♻]𓁜⇆𓁝[∅] (il faudra y revenir en détail);
En [#] : l'objet X se repère par ses symétries : percept—X⊥X—concept. (en mode ♢ : orthogonalité des voies percept—(☯𓁜𓁝☯)⊥concept—(♧𓁜𓁝♡));
En [⚤] : l'expression des symétries de X est une structure algébrique soit ici S.

Je pense que nous avons là l'idée de "diagonale" dont parle Michel Raynaud, hypothèse que je te propose de vérifier dans la suite de la vidéo, en repartant de l'instant où il présente cette application comme "diagonale"."

D'un seul coup, il m'a semblé que toute la structure du mode ♢ était clairement lisible, et je me suis souvenu :

de cette image (voir "2/ Lien entre ruban de Moebius et cross-cap" dans "Le cross-cap");
de l'idée que le niveau [#] était comme l'ombilic Imaginaire d'où tout sort, pour se dispatcher entre niveaux [⚤] et [♻] i.e. : on "oublie" la géométrie pour en parler :
- soit de façon analytique en [♻];
- soit de façon algébrique en [⚤].

- OK, j'ai compris : le mode ♢ dégagé des modes ♧ & ♡, et dans ce mode, les niveaux [⚤] et [♻] privilégies au détriment de [#], ces deux niveaux ses retrouvent sur un simple ruban de Moebius, c'est ça ?

- C'est en tout cas une idée simple et élégante par la façon :

proprement "fractale" d'y arriver, à partir d'un cross-cap Imaginaire "global", et
qui conduit tout droit à mes réflexions d'il y a 3 jours;
à partir de la structure intime du cerveau humain où percepts et concepts se retrouvent dans l'hypothalamus pour que le Sujet "prenne conscience" de son environnement;
et renouvelle l'observation générale de Lévi-Strauss selon laquelle les concepts se développent par dichotomie.

- Tu voulais nous parler philo ?

- Oui, car du même coup, nous pouvons très simplement rattacher tout ce développement à ce que j'ai appelé la révolution Galoisienne ! (Note 1)

- Et tu la caractériserais comment ?

- Simplement :

Ce qui, chez Platon est dialectique, dans une pensée sur 2 modes ♧&♡ et 2 niveaux [⚤]&[♻],
doit être à présent pensé en termes d'orthogonalité après introduction du mode ♢ et du niveau [#].

On ne peut pas faire plus basique; avec une métaphore mathématique très évidente, en guise de moyen mnémotechnique :

En ℝ le passage de +1 à -1, se représente en ℂ par une rotation de π;
En ℂ, l'orthogonalité se représente par une rotation de π/2 (passage de +1 à i).

- Tu suggères que cette évolution en philo est aussi disruptive que l'introduction des nombres imaginaires en mathématiques ?

- Qu'en penses-tu ? Mais laissons l'avenir en décider. Pour l'heure, je voudrais continuer sur cette idée qu'en mode ♢ et en faisant fi du niveau [#], les niveaux [⚤] & [♻] sont tête-bêche.

- Comme chez Platon ?

- Sauf qu'ici le cheminement selon la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) est orthogonal à la voie selon les mots (♧𓁜𓁝♡). Du coup, cela donne une sorte d'évidence à l'idée que la mesure d'un objet est la rencontre entre ces deux mouvements ⊥ au niveau [♻] !

- Tu penses à l'écriture de Dirac ? (Note 2)

- Oui, bien sûr; mais la question rebondit sur tous les miroirs de l'Imaginaire; et l'on peut comprendre :

En [♻]_♢ :
- Les questions de covariance (les espaces vectoriels) et de contravariance (des formes linéaires) sont à ce niveau;
- Le calcul matriciel est à ce niveau;
- [♻]𓁜⇆𓁝[∅] la recherche d'une équivalence ⇆ entre deux voies orthogonales comme principe même de toute mesure, représentable comme "diagonale";
En [#] :
- [⚤]𓁜⇅𓁝[#] l'orthogonalité se retrouve dans la structure des sous-groupes d'une groupe abélien.

Maintenant, le passage auquel s'intéresse Grothendieck est entre [⚤] & [♻]; il est donc au coeur même de ce que devrait être une démarche philosophique centrée sur notre façon de "comprendre" le monde dans lequel nous baignons !

- Pas trop philosophique malgré tout...

- Repense à cette inscription au fronton de l'Académie de Platon "que nul n'entre ici s'il n'est géomètre". Mais si tu veux une expression plus générale : il faut revoir notre façon de juger^♻ à partir de notre logique_♧^⚤ du 1^er ordre.

Le 14/ 03/ 2025 — Mariana :

- Je ne peux m'empêcher de repenser à cette image qui m'est venue à propos de la propriété universelle du produit fibré (voir le 07/ 03/ 2025 dans "Topologie et géométrie algébriques #3— retour à zéro") :

"- Je te propose ceci comme sujet de méditation :

"le Sujet prend conscience de l'objet en le comparant à lui-même".

- Pas très clair.

- Le déclic c'est concept X = percept de X. Reviens à la définition de la prise de conscience comme rencontre entre un percept et un concept, les deux étant de "nature" différente, c.-à-d. les deux étant orthogonaux, nous aurions :

En [♻] : X est "mesuré" en le rapportant à lui-même. En ce sens tout "concept vaut globalement^𓁜 1" et l'on peut y voir le principe général du retournement [♻]𓁜⇆𓁝[∅]→[♻]𓁜⇆𓁝[∅] (il faudra y revenir en détail);
En [#] : l'objet X se repère par ses symétries : percept—X⊥X—concept. (en mode ♢ : orthogonalité des voies percept—(☯𓁜𓁝☯)⊥concept—(♧𓁜𓁝♡));
En [⚤] : l'expression des symétries de X est une structure algébrique soit ici S."

L'image qui s'invitait dans ma tête en écrivant ceci était celle de Descartes repérant une mouche sur une vitre croisillonnée. Le quadrillage de cette vitre lui donnera, selon la légende, l'idée de rapporter sa position aux deux axes de la fenêtre. Et si, au lieu de deux coordonnées physiques (mode ♧), je passais en mode ♢ au repérage de deux axes, disons algébrique—[⚤]⊥[♻]—analytique, pour "voir" les deux projections:

π_A sur [⚤] et
π_E, sur [♻]
avec ici A=E

- Les deux axes [⚤]⊥[♻] convergeant sur une définition commune du "point" à leur intersection (le point en B), et nous en revenons à l'importance que Cartan donne à la définition de ce point (voir ici dans "La folle journée") :

En [⚤] : le point est un représentant d'une structure algébrique; i.e. ℤ;
En [♻] : le point est le germe d'un faisceau de Leray.

Avec le lien que nous avons déjà fait entre "recouvrement" par des ouverts en [#] et une approche fonctionnelle en [♻] :

En [#] l'inclusion des ouverts ⊂⊂⊂⊂ devient
En [♻] : une succession fonctionnelle ↓↓↓↓ (voir"Récoltes et semailles # 16 — La cérémonie funèbre") par ce schéma :


1	2

Ensuite, il est simple de passer d'un seul point à une "base B" munie d'une structure algébrique, tout en gardant son aspect analytique... l'idée "bébête" de Grothendieck étant de considérer des structures en [⚤] n'ayant pas nécessairement de représentation analytique en [#].

- As-tu la moindre justification à cette approche ?

- Je te retourne la question :

Pourquoi toute propriété universelle aboutit-elle in fine à un passage par deux voies ?
Pourquoi pas une ou trois ?

Permets-moi d'y voir au plus intime, la nécessité de confronter :

un concept (dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) à
un percept dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯).

Je ne prétends nullement prouver quoi que ce soit, je dis simplement que c'est une représentation des choses qui m'aide à mettre un peu d'ordre dans mes idées. Prends-le comme un moyen mnémotechnique de m'y retrouver.

- Et ça t'aide à comprendre les liens entre géométrie analytique et algébrique ?

- J'ai ouvert ce bouquin de Grothendieck il y a plus de 18 mois (voir "Récoltes et semailles # 01"), et j'ai galéré tout ce temps pour tenter de comprendre de quoi il parlait ! les points durs ont été la cohomologie et la dualité covariance/contravariance, et ceci m'a conduit à profondément remanier ma représentation de l'Imaginaire, pour aboutir à ce cross-cap décomposable en rubans de Moëbius. Si au passage, cela m'amène à une représentation simple comme repérer une mouche sur une vitre alors, oui, j'ai l'impression de progresser.

- As-tu avancé dans cette représentation ?

- Sur notre topologie Imaginaire "à plat", je te propose ceci :

𓂀^♡						𓂀^♡
		[∅]	[∅]	[∅]
	[∃]^♡	[⚤]^♡	[#]^♡	[♻]^♡	[∅]☯
	[∃]^♢	↓[⚤]^♢	[#]^♢	↓[♻]^♢	[∅]
	☯[∃]^♧	[⚤]^♧	[#]^♧	[♻]^♧	[∅]
		[∃]_⚤	[∃]_#	[∃]_♲
𓂀^♡						𓂀^♡

La flèche ↓ est un principe de répétition propre aux "fibrés"
La flèche ↓ est un principe de répétition propre aux "faisceaux" de Leray.

- Où est le schéma ?

- Dans la liaison directe [⚤]←[♻], et c'est un foncteur (i.e. : agissant sur les flèches précédentes). Et c'est en ce sens qu'il y a une rapprochement à faire avec la démarche cohomologique vue précédemment (voir "Syntaxe du mode ♢ #2 — La cohomologie").

Mais avant, il faut se restreindre au mode ♢, et voir les flèches ↓ comme 𓁝ⁿ♢^⚤#♻↓^n-1♢^⚤#♻𓁜.

Alors, il y a une analogie entre :

La fonction "bord" ∂ ↓ en ♢^# et les "faisceaux" ↓ en ♢^♻;
La fonction "cobord" δ ← entre[⚤]←[#] et le "schéma" entre [⚤]←[♻].

C'est encore bien vague, je le reconnais, mais enfin, je crois que cela se dessine. Pour aller plus loin, il faudrait maîtriser un peu mieux le langage catégorique, d'où le passage obligé, un jour ou l'autre par le livre de Saunders Mac Lane "Categories for the Working mathematician".

- Encore une étape difficile en vue !

- Eh oui... En attendant, arrête-toi au parallèle entre le germe, à la limite d'une fibre, elle-même limite d'un "faisceau", dans une répétition somme toute "locale", analytique, pas à pas, et la fonction de "bord" qui saute directement d'une dimension à l'autre (de la droite au point), dans la représentation globale de l'objet par des groupes d'homologie.

- Et tes remarques précédentes concernant le ruban de Moebius ?

- Si l'on est effectivement sur 2 étapes ⁿ♢ et ^n-1♢, en oubliant le niveau [#], on retrouve un ruban de Moebius et la représentation [⚤]←[♻], cache une torsion quelque part pour que ⁿ[♻]_♢ se trouve au revers de ^n-1[⚤]_♢ et vis versa : les flèches en 𓁝ⁿ♢^⚤↓^n-1♢^⚤𓁜, doivent se retrouver à l'envers des flèches 𓁝ⁿ♢^♻↑^n-1♢^♻𓁜. J'avoue que je suis ici guidé par la syntaxe, sans vraiment appréhender la signification de tout ceci. Il faut que ça décante encore un peu !

- Amen

Hari

Note 1 :

- Bien entendu le marqueur principal est la théorie des groupes de Galois, mais il y a eu tout une maturation des idées antérieurement.

En particulier, l'introduction par Descartes d'un repérage des points dur un plan par deux coordonnées fut essentiel, et le nom de Descartes est partout en mathématiques, qu'il s'agisse de "coordonnées", de "produit" ou de "flèches" ...

Comme toujours je vais un peu vite, et le lecteur voudra bien m'en excuser.

Note 2 :

Je ne développe pas ici, mais nous en avons déjà parlé sur ce blog. Voir : "Métaphysique quantique de Dirac". Un observable "A" s'écrit comme la rencontre entre un "bra" ⟨A| et un "ket" |A⟩.