Covariance, Contravariance... et Spin du Sujet ?

- Belote, rebelote et 10 de der ? Tu jettes tes dernières cartes avant le réveillon ?

- Malheureusement je n'arriverai pas à bout du spin cette fois-ci, mais le détour qui m'amène à la dualité covariance/ contravariance mérite d'être conté...

Le 29/ 12/ 2024 :

- Cette idée d'une dualité chez le Sujet entre ce qui serait de spin 1/2 et 1, (voir "Anima/animus vs Boson/ Fermion") m'a fait souvenir de m'y être déjà arrêté quelques fois sur ce blog, voir en particulier :

• "Spin alors !" du 06/ 06/ 2022;
• "Discussion de comptoir, relativité et Méca Q" du 07/ 06/ 2022

Et en dressant cette liste, je m'aperçois avoir déjà fait le même rapprochement anima/ animus <=> boson/ fermion, sous une autre forme :

• "Du boson au Qi" du 05/ 06/ 2022

- Il y a là un automatisme de répétition à l'oeuvre mon ami !

- Oui, exactement, sauf qu'aujourd'hui, le langage se précise, et que nous nous rapprochons d'une expression sous forme de tenseurs, en explorant le niveau [♻] de l'Imaginaire. Par ailleurs, depuis 2022, j'ai formalisé une dualité de "voies" pour parcourir notre topologie Imaginaire :

• La voie des "choses" selon l'axe (☯𓁝𓁜☯);
• La voie des "mots" selon l'axe (♧𓁝𓁜♡).

-  Merci pour le rappel, et donc ?

- Pour écrire les relations entre objets en physique, nous devons monter de la géométrie en [#]^♧ à la topologie en [#]^♢, où les actions de l'environnement sur un objet sont représentées sous forme de "champs" de vecteurs, forces, torsions, gravitation, électrique, magnétique etc. C'est ce que nous avons vu hier dans la création de tenseurs décrivant les lois physiques, à partir :

• d'une matrice représentant l'espace, à laquelle on associe;
• une autre, représentant le lien en question;
• à l'aide de deux opérations : d'addition et de produit extérieur.

Le point important étant que l'expression tensorielle ne se réfère pas intrinsèquement en [♻]^♢ au choix d'une base, alors que sa représentation ou projection en [#]^♢ le nécessite.

En quelque sorte, nous avons une représentation "visuelle" en [#]^♢,

• De la position d'un objet vu en [⚤]^♢→[#]^♢;
• D'une relation à un champ, expression de niveau [#]^♢←[♻]^♢; liée à un principe de conservation;
• Dont l'expression tensorielle est de niveau [♻]^♢→[⚤]^♢.

Avec une configuration entre les niveaux qui répond à celle que nous avons vue entre les modes :

voie des mots (♧𓁝𓁜♡)		voie des choses (☯𓁝𓁜☯)

Il y a là des déplacements du Sujet passant d'une posture à l'autre masqués dans l'écriture mathématique des tenseurs au niveau [⚤]^♢,

- À moins de faire intervenir une notion de spin ?

- Ha ! C'est toute la question : le spin est-il lié intrinsèquement à l'objet, ou se réfère-t-il aux changements de postures du Sujet ? Comme tu le vois sur la vidéo, dans cette représentation d'un objet tournant 2 fois sur lui-même selon les 3 dimensions, l'objet en question est représenté lié fixement à un espace donné, donc à un Sujet en posture 𓁜, pour en parler.

Revenons à ma surprise en constatant que pour faire le tour d'une pièce de monnaie avec une autre pièce semblable, il fallait faire faire 2 tours à cette dernière (4π), pour revenir à sa position initiale. (voir ici)

Le truc, c'est que si les 2 pièces tournent l'une autour de l'autre en sens inverse, façon engrenage, chacune n'aura fait qu'un tour pour que l'ensemble se retrouve dans la position initiale. 

- Quel rapport avec la différence boson/ fermion ?

- La façon de regarder nos deux pièces est différente.

• Lorsque tu fixes une pièce sur la table, celle-ci est fixe par rapport à ton propre référentiel, et tu observes la scène globalement 𓁜 en mode ♧, dans une approche (☯𓁝𓁜☯).
• Lorsque tu les fais tourner toutes deux, tu portes ton attention sur leurs symétries, en rationalisant la scène, dans une approche (♧𓁝𓁜♡): "elles sont comme en miroir l'une de l'autre", et tu raisonnes globalement 𓁜 sur leur relation, en mode ♢.

- Tu pourrais faire une expérience de pensée (☯𓁝𓁜☯), souvent utile en physique, en te représentant localement 𓁝 au centre de l'une des deux, le regard dirigé vers la seconde, pour constater que tu fais un tour sur toi-même dans ton référentiel lorsque l'autre fait un tour de même sens...

- C'est plus compliqué qu'une simple remarque sur les symétries, mais oui, c'est une autre façon de faire. Tentons de mettre tout ceci en scène sur notre topologie de l'Imaginaire. Nous sommes entre les niveaux [⚤] et [#] à naviguer entre modes ♧ et ♢.

• Les positions de départ et d'arrivée sont identifiées en [⚤]^♧𓁜;
• En mode (☯𓁝𓁜☯) :
  • Situation 1 : une pièce A fixée sur la table de référence, l'autre B tournant autour de 4π, le Sujet en posture [⚤][#]^♧𓁜;
  • Situation 2 : Le Sujet au centre de la pièce A :
    • Tourne de 2π par rapport à la pièce A en posture 𓁝[#]^♧;
    • Vois la pièce B [#]^♧𓁜 tourner de 2π;
    • Le retournement du Sujet 𓁝[#]^♧→[#]^♧𓁜 est ici "objectivé", en mode ♧ dans la même position  que la pièce B et correspond à un mouvement de 2π (i.e. : "j'ai tourné de 2π");
    • "objectivement" en [#]^♧𓁜 : 2π+2π=4π
• En mode (♧𓁝𓁜♡) :
  • Situation 3 : Le Sujet passe en mode ♢ en pensant à la relation en miroir entre A et B.
    • Il passe du repérage des objets A et B en [#]^♧ à 
    • La relation entre A et B en [#]^♢ avec :
      • A ou B vus comme éléments d'une symétrie par 𓁝[#]^♢
      • D'un tout A&B vu [#]^♢𓁜;
      • De là : "si A tourne de 2π, alors B tourne de -2π"
        Sur notre tableau :

• [#]^♢𓁜 :"situation identique de (A en miroir de B) après rotation de 2π";
• [#]^♢𓁜↓𓁝[#]^♧ : "Localement :
  • B est dans sa position d'origine par rotation de 2π
  • A est dans sa position d'origine par rotation de -2π".  

- Autrement dit, en "objectivant" la posture du Sujet en 𓁝[#]^♧𓁜 au même titre que l'objet de son observation, la différence de posture locale/ globale est à prendre en compte dans la description de l'expérience. Mais en mode ♢ nous quittons le repérage géométrique pour nous intéresser aux relations...

- C'est ce que je voudrais démêler avec toi. J'ai le sentiment, ici et maintenant, en l'écrivant, que la dualité local— 𓁝/𓁜—global change de signification entre les modes ♧ & ♢.

- Voilà qui ne va pas simplifier la chasse au Sujet dans sa jungle Imaginaire !

- Laisse-moi d'abord avancer sur cette intuition, en revenant à la configuration du terrain :

 Topologie, qui je te le rappelle est représentée du point de vue central du chasseur en [#]^♢.

En mode ♧ :

• Dans un premier temps, la dualité 𓁝/𓁜 s'expérimente par chacun d'entre nous au stade du miroir, autour de [#]^♧. C'est ce que nous venons de retrouver dans cette expérience de pensée, avec notre Sujet assis au centre de la pièce A comme sur l'axe d'un manège. Et nous pouvons, sans problème métaphysique, passer du point de vue de la mère 𓁜 à celui de l'enfant 𓁝 sur le manège (identique au passage du point de vue du chef de gare 𓁜 à celui du voyageur 𓁝 dans un train relativiste) ;
• Au-delà de [#]^♧, la distinction 𓁝/𓁜 est acquise.

En mode ♢ :

• en [⚤]^♢ : la dualité 𓁝/𓁜 s'exprime dans le concept de "groupe libre" (Note 4);
  • 𓁝[⚤]^♢ : chaque "élément" du groupe;
  • [⚤]^♢𓁜: la structure de groupe (et plus généralement l'algèbre choisie).

Il faut distinguer entre groupes libres et groupes de symétries.

• En [⚤]^♢ : Un "groupe libre", est purement un Ensemble [⚤]^♧ muni d'une structure de groupe; dont chaque élément fait maintenant partie du groupe dans un mouvement [⚤]^♧𓁜↑𓁝[⚤]^♢;
• En [#]^♢ : Les "groupes de symétries" sont des symétries de mouvements (rotation/ réflexion / translation, représentables dans l'espace [#]^♢↓[#]^♧, et ayant une traduction algébrique (i.e. par ℤ et ℤ/nℤ) [⚤]^♢←[#]^♢, représentant une "restriction des possibles" offerts par un groupe libre.

- Tu penses à quoi ?

- Les représentations en mode ♢ reflètent toujours un choix ♡↓♢, mais ces choix sont articulés ente eux.

• En [⚤]^♡ :  le choix porte sur le langage commun ;
• En [#]^♡ : on s'intéresse aux symétries dans les rapports du Sujet à l'objet (1^ère restriction topologique) (Note 5)
• En [♻]^♡: on s'intéresse à la conservation de l'objet au-delà des transformations qu'il subit du fait de son environnement, qu'il s'agisse
  • des autres objets, dont l'action est représentée en [#] par un champs, ou
  • du Sujet, s'imposant par ses choix.

- Autrement dit, toute représentation en mode ♢ se fait dans un cadre posé d'avance, sans réelle possibilité d'approche "locale" au sens géométrique de mode ♧ ?

- Exactement. Il n'y a pas de dualité local— 𓁝/𓁜—global en mode ♢ au sens où en [#]^♧, par exemple, tu peux "découvrir localement" la courbure d'un espace en faisant la somme des angles d'un triangle. Le mode ♧ est celui de la découverte à chaque niveau, au plus près du Réel, tandis qu'en mode ♢, tu cherches une syntaxe pour donner sens à tes expériences, en fonction de choix sémantiques.

- On abandonne la dualité local— 𓁝/𓁜—global ?

- Sûrement pas ! Comme je te l'ai déjà dis, il faut lui trouver une signification plus haute, et nous avons déjà flirté avec, en parlant du bouclage extrême des 4 coins 𓂀^♡ de notre topologie. (voir "Le Moi-Peau")

Avec :

• Dirac dans le mouvement 𓁝[⚤]^♡⬂[♻]^♧𓁜
• Descartes dans le mouvement 𓁝[♻]^♡⬃[⚤]^♧𓁜

- Ça ne nous avance pas beaucoup...

- Un peu quand même. En passant de la voie des choses, à celle des mots (♧𓁝𓁜♡), que peut-on dire du mode ♢ ?

- Je dirais que vu de cet entre-deux :

• J'approche le mode ♡ en posture 𓁝♡ (il m'impose ses choix) et
• Je fais l'expérience ex post du Réel ♧ en posture ♧𓁜.

Ce n'est qu'une formalisation de ce que constate JP Changeux : une prise de conscience est la rencontre entre un percept (qui serait de mode ♧) et un concept déjà acquis (en mode ♡).

- Ce faisant, nous avons trouvé une façon de différencier la dualité
local— 𓁝/𓁜—global  en fonction des modes intéressant la physique :

• La montée ♢𓁜↑𓁝♡ est locale : (le sens qui se dégage en ♡ est un passage à la limite 𓁝♡→♡𓁜 hors du mode ♢);
• La descente de 𓁝♧↓♢𓁜 est globale : c'est le passage de la règle aux exemples, vu comme des projections.

- Rien de neuf : tu extrapoles la distinction section/ rétraction de la théorie des Catégories au-delà du mode ♢.

- Exact. En résumé, cette évolution de la dualité local— 𓁝/𓁜—global, accompagnerait celle d'orthogonalité, passant :

• de la répétition ⊥ des Dimensions en [#]^♧ à celle
• des passages (☯𓁝𓁜☯)⊥(♧𓁝𓁜♡) en [#]^♢ ?

Soit, mais quid des changements de niveaux en mode ♢?

- Prenons le concept de tenseur si utile en physique comme guide :

• D'un point de vue [⚤]^♢, c'est un "objet algébrique" très vaste, qui brasse des nombres sans forcément de signification physique particulière;
• D'un point de vue [#]^♢, nous nous intéressons à un rapprochement entre:
  • un espace vectoriel représentant l'espace [#]^♢; où logent les objets ponctuels identifiés en [⚤]^♢ (masse, charge, quantité de mouvement);
  • des champs :
    • Soit probabilité de présente d'objets identifiés en [⚤]^♢;
    • Soit expression de l'environnement de l'objet sous forme de "champs" en [♻]^♢(de gravitation, électrique, etc.)
  • Cette conjonction utilise deux opérations (de niveau [⚤]^♢):
    • L'addition;
    • Le produit extérieur.
• D'un point de vue  [♻]^♢, les lois physiques sont des lois de conservation "internes" à l'objet (par exemple son inertie, son énergie).

- Qu'entends-tu par interne ?

- Que ces lois doivent rendre l'objet aussi indépendant que possible des choix du Sujet qui l'observe, et c'est toute la difficulté. (Note 6)

Le 30/ 12/ 2024 :

- OK pour l'exposé de la situation, mais tout ceci est très général : on a un aperçu de la jungle, mais tu devais nous parler des tours et détours du gibier.

- Nous avons vu qu'en mode ♧, on pouvait représenter physiquement le passage de local à global 𓁝[#]𓁜⇆ 𓁝[#]𓁜, par une rotation physique de 2π. C'est ce que fait l'enfant faisant l'expérience du miroir, se retournant vers sa mère pour lui demander confirmation : "c'est moi dans le miroir?".

- Rien d'étonnant : nous sommes en ♧ à la description d'objets, comme un PV de gendarmerie, sans aucune prise en compte des relations entre objets, ou Sujets (mère/enfant dans le cas du stade du miroir).

- Exact, la question est de passer de ♧ à ♢. Je te propose l'hypothèse suivante :

• Dans la voie des mots (♧𓁝𓁜♡), le mode ♢ sert de médiateur entre la sémantique ♡ et les signifiants ♧;
• Dans la voie des choses (☯𓁝𓁜☯), le niveau [#] sert de médiateur entre un besoin de conservation en [♻] et l'indétermination propre à [⚤].

- Pourquoi caractériser [⚤] par l'indétermination, c'est aussi le niveau des Ensembles, de l'ordre et du temps ?

- Effectivement, ça peut paraître paradoxal et demande explication.

1/ En ☯[∃][⚤]^♧𓁜 et au contact quasi direct du Réel, le Sujet n'enregistre que les chocs du Réel, revient à l'idée des points de capiton de Lacan. Au niveau neurologique, cette perception est immédiatement codée en séquence dans la mémoire événementielle comme une série de diapos. Intrinsèquement, il y a un gap vide d'expression entre deux enregistrements, c'est de là que nous sommes partis en reprenant la distinction linguistique diachronie/ synchronie. Il y a donc bien une indétermination fondamentale dans notre appréhension du Réel.

2/ Notre représentation en [⚤]^♧𓁜 est très pauvre, faute de syntaxe plus développée que celle de Peano pour construire ℕ. Mais il y a toujours une indétermination qui subsiste (par exemple un gap entre n et n+1, ou une limite non atteignable.

3/ En [⚤]^♢𓁜, nous avons vu dans la démarche cohomologique, comment les cochaînes de l'étape n+1 restreignant les possibles développés à l'étape n de la démarche.

Il y a cette idée d'un foisonnement des possibles au plus proche du Réel, que notre Imaginaire s'efforce de maîtriser, de lisser au fur et à mesure que l'on progresse, soit de niveau, soit de mode. Dit autrement : l'Imaginaire tente de maîtriser l'incertitude du Sujet face au Réel ☯𓁜.

- En bref "ordo ad chao", tu redécouvres l'eau tiède...

- Je voulais simplement restituer le sens de l'évolution des concepts dans la voie des choses : du côté [⚤]𓁜 tu fais face à un foisonnement, que tu tentes de maîtriser en [♻]𓁜 par des principes de conservation.

- Et en  [#]𓁜, tu médiatises les extrêmes ?

- Oui, regarde par exemple le concept de temps :

• En [⚤]^♧ c'est l'enregistrement de coups à la porte de l'Imaginaire;
• En [#]^♧ le temps est vu comme une dimension d'espace (⊥);
• En [♻]^♧ un principe de conservation concerne la vitesse propre de l'objet : v̅.v= c²

- OK pour les généralités, et si tu en venais à nos tenseurs ?

- Ma première compréhension de leur utilisation est la suivante :

• En [⚤]^♢ l'expression algébrique offre une liberté totale pour remplir la forme tensorielle de valeurs prises dans un corps K choisi ;
• En [#]^♢ pour qu'un tenseur ait une signification physique, il doit se composer à partir des règles d'addition et de produit extérieur entre tenseurs primaires;
• En [♻]^♢ l'expression des lois de conservation impose des symétries dans les tenseurs repésentables en  [#].

Autrement dit, "l'objet" tenseur est présenté en [⚤]^♢, mais son utilisation en [#] ou [♻] se traduit par des symétries, qui sont représentables en [#].

Maintenant, le phénomène que nous avons vu avec le temps, lors du passage [⚤]^♧→[#]^♧, où nous avons temps ⊥ espace (dans l'espace ℍ, c'est la dimension réelle, l'espace étant sur les 3 dimensions imaginaires) se repère ici [⚤]^♢→[#]^♢ dans l'orthogonalité entre espace vectoriel—E⊥E*—espace dual des formes linéaires, qui s'exprime dans le produit extérieur.

- Je croyais qu'en [#]^♢ le concept d'orthogonalité avait évolué pour l'appliquer au passage de voies (☯𓁝𓁜☯)⊥(♧𓁝𓁜♡) ?

- Oui, et la question des de repérer l'effet visible de cette rotation du Sujet, sur sa représentation. Mais pour avancer, il faut nous assurer du langage mathématique employé (Note 1).

- Tu n'es pas sûr de toi ?

- Disons que les définitions mathématiques usuelles n'ont pas été écrites en pensant à notre repérage Imaginaire, vois notre exercice comme un changement de base : ce qui semble simple sur notre topologie peut se transcrire de façon complexe en langage mathématique. En l'occurrence, la définition des vecteurs et formes linéaires est exprimée en [⚤]^♢ à partir d'une base B vectorielle en  [#]^♢ :

• Les "scalaires" dépendent du choix 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]𓁜^♢ d'un corps K;
• Un "vecteur" est repésenté par : (Note 2)
  • Leurs coordonnées (x₁, x₂, ..., x_n) exprimées par des scalaires du corps K
  • comme combinaisons linéaires v = x₁ e₁ + x₂ e₂ + ... + x_ne_n
  • d'une base B = (e₁, e₂,..., e_n) de l'espace vectoriel E en [#]^♢ , dépendant d'un choix 𓁝[#]^♡↓[#]𓁜^♢.

J'insiste un peu lourdement, mais tu vois bien que "l'objet vecteur" est de niveau [#]^♢, et cela tient essentiellement au concept d'orthogonalité ⊥ entre éléments de la base B= (e₁⊥e₂⊥...⊥e_n), dont l'expression algébrique n'est qu'une transcription littérale, une représentation.

- Bon, merci pour le rappel, mais toutes ces précisions pour en venir où ?

- Les formes linéaires sont quant à elles de pures expressions de niveau [⚤]^♢.

Et c'est là où je voulais en venir : cette différence de niveaux : formes linéaires—[⚤]^♢/[#]^♢.— espaces vectoriels, s'accompagne d'une différence des voies suivies pour les définir :

• (☯𓁝𓁜☯) : La forme linéaire est une expression algébrique [⚤]^♢, déterminée par un choix 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]^♢𓁜 pour exprimer une loi en [♻]^♢, comme une "restriction" des possibles (pense à une cochaîne en cohomologie); dans une attention du Sujet dans la voie des choses ;
• (♧𓁝𓁜♡) : L'espace vectoriel est une représentation spatiale en [#]^♢, déterminée par un choix 𓁝[#]^♡↓[#]^♢𓁜; comme le passage d'une représentation des objets en [#]^♧ à leurs relations en [#]^♢. Nous sommes ici sur la voie des mots.

Et cette différence de voies se traduit par la dualité

covariance/ contravariance !

- Tu as réussi à la placer? Il était tant !

- Le plus dur était de dépasser ce qui se donnait à voir en premier : une différence de niveaux sur la scène, pour mettre en évidence en coulisses une différence d'approches beaucoup plus profonde.

Ce qui se traite dans la voie des choses, c'est leur relation, et cette dernière doit être préservée dans un changement d'échelle : si (3 poires et 2 navets) valent 5 choux, alors 3(2 poires) + 2(2navets)= 5(2choux). => covariance. 

Si maintenant, pour représenter un objet X, tu changes d'échelle, il s'agit ici d'une simple convention d'écrire, qui ne doit pas affecter l'objet. => contravariance.

Là où je capotais, c'était de partir du présupposé que cette différence tenait à la différence de niveaux [⚤]^♢/[#]^♢.

- Ça implique de reprendre tout ce que tu as pu dire sur la question, ou qui en découle ?

- Oui, c.-à-d. à peu près tout ce Blog... Mais nous ne le ferons qu'à partir de l'idée de topos [♻]^♢ et de schémas [⚤]^♢←[#]^♢... Car après tout c'est bien pour préparer le terrain Imaginaire que je fais ce survol.

- Tes conventions d'écriture, avec les modes en exposants ^♧♢♡, et les niveaux  en indices _{⚤ # ♻}, donnent une évolution du Sujet selon :

• La voie des mots (♧𓁝𓁜♡) ou : 𓁜^♧ ↑ 𓁜^♢ ↑𓁜^♡  contravariante ; 
• La voie des choses (☯𓁝𓁜☯) ou :   𓁜_⚤ → 𓁜_# →𓁜_♻ est covariante.

Ce qui est l'inverse de la convention d'Einstein sur les indices... dommage.

- Oui, je crois qu'il est plus sage de changer ma convention dès maintenant, ce sera un moyen mnémotechnique simple d'indiquer la différence covariance/ contravariance, fort heureusement, mon écriture n'est pas reprise par trop de monde ! 🙂

- En attendant les développements, tu étais parti pour nous parler d'un hypothétique

Spin du Sujet ?

- Il s'observe dans l'expérience de Gerlach réalisée voici un siècle. C'est dire qu'il s'agit d'une mesure sur l'objet, et que nous sommes en [♻]_♢.

- il faut revenir à Lebesgues (voir "Espaces et mesures")?

- Non, et pour couper au plus court nous allons en rester à la mécanique classique pour laquelle une mesure peut-être représentée par un tenseur diagonal. (Note 3)

- Ah, je te vois venir : c'est un produit de vecteurs par des formes linéaires, autrement dit le mariage entre deux points de vue.

- Avoue que cela donnerait du corps à notre représentation : ([#]𓁝⊥𓁜[♻]𓁝⇆𓁜[∅])𓂀_♢ !

• En [#]𓁝⊥𓁜[♻] : l'orthogonalité des voies;
• En [♻]𓁝⇆𓁜[∅] : un principe d'équivalence.

- Ça me fait penser à l'équivalence entre l'énergie cinétique, qui serait selon la voie des choses et l'énergie potentielle, pure construction intellectuelle de Lagrange, dans la voie des mots.

- Il y a effectivement de quoi méditer à partir de là.

- Et tes amours, Jacques ?

- Le spin dans l'affaire ? En fait la mesure des fermions et celle des bosons n'est pas si simpliste qu'en mécanique classique...

- Laisse pour l'instant cet aspect quantique pour nous parler du Sujet. Nous avions vu qu'en mode ♧, il était "possible" d'objectiver le passage local—𓁝[#]_♧𓁜—global comme une rotation de 2π; dans une approche (☯𓁝𓁜☯), y aurait-il quelque chose de cet ordre en [#]_♢ dans le passage voie (☯𓁝𓁜☯)⊥(♧𓁝𓁜♡) ?

- Je pense que nous tirons trop sur la métaphore, et qu'il faut être plus musclés pour aborder ce type de problème, si s'en est un... La seule chose qui me vienne pour l'heure, c'est l'idée de "foncteurs cartésiens" (voir "Jean Bénabou et foncteurs cartésiens").

L'essentiel à retenir pour l'instant, c'est d'avoir situé sur notre topologie Imaginaire, la dualité covariance/ contravariance.

On en reste là pour cette année...

- Amen.

Hari

Note 1 :

Je laisse la parole à Perplexity :

🤖: Définition d'un Espace Vectoriel

• Un espace vectoriel 
  est un ensemble d'objets appelés vecteurs, qui peuvent être additionnés entre eux et multipliés par des scalaires, généralement issus d'un corps commutatif K (comme les nombres réels ℕ ou les nombres complexes ℂ.
  Caractéristiques d'un Espace Vectoriel
  Pour qu'un ensemble E soit considéré comme un espace vectoriel sur le corps K, il doit satisfaire les conditions suivantes :
  1. Addition :
     L'ensemble E est muni d'une loi de composition interne (addition) notée + , telle que :
     • (E, +) est un groupe abélien (commutatif et associatif, avec un élément neutre).
  2. Multiplication par un Scalaire :
     Il existe une loi de composition externe notée ".", qui associe à chaque couple (λ,u) avec λ∈K et u∈E un élément de E, satisfaisant :
     • λ(u + v) = λ.u + λ.v
     • (λ+μ).u = λ.u + μ.u
     • 1.u = u
     • λ.(μ.u) = (λ.μ).u
       Les éléments de l'espace sont appelés vecteurs, et ceux du corps sont appelés scalaires.

Exemples d'Espaces Vectoriels

• L'ensemble des vecteurs dans ℝⁿ.
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
• L'ensemble des matrices de taille n x p.

Définition des Formes Linéaires

Une forme linéaire est une application linéaire qui associe à chaque vecteur d'un espace vectoriel E un scalaire dans le corps de base K. Mathématiquement, une forme linéaire f : E→K doit satisfaire les propriétés suivantes :

1. Additivité : Pour tous vecteurs u, v ∈E
   • f (u + v) = f(u) + f(v)
2. Homogénéité: Pour tout vecteur v ∈E et tout scalaire a ∈K
   • f(a.v) = a.f(v)

Importance des Formes Linéaires :
Les formes linéaires jouent un rôle clé dans l'étude des espaces vectoriels, notamment dans la définition de l'espace dual. L'espace dual d'un espace vectoriel E, noté E*, est l'ensemble de toutes les formes linéaires sur cet espace. Cela permet d'explorer les propriétés des vecteurs à travers leurs interactions avec les scalaires. En résumé, un espace vectoriel est une structure mathématique fondamentale qui permet de travailler avec des vecteurs et des scalaires, tandis que les formes linéaires sont des outils qui permettent de mesurer ou de transformer ces vecteurs en scalaires.

Sources
[1] Espace vectoriel - BibM@th https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=.%2Fe%2Fev.html 
[2] Espace vectoriel - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel 
[3] [PDF] Chapitre III Espaces vectoriels https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~michel.rumin/enseignement/S2PMCP/3-Espaces%20vectoriels.pdf 
[4] [PDF] Les espaces vectoriels - Université de Rennes https://perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/ecrit/algebre-lineaire/espaces-vectoriels/V-espaces-vectoriels.pdf
[5] Résumé de cours : Généralités sur les espaces vectoriels - BibM@th https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup%2Fcours%2Fev.html

Note 2 :

Définition des coordonnées d'un vecteur :

🤖: Les coordonnées des vecteurs dans un espace vectoriel sont effectivement exprimées sur le corps K des scalaires. Voici une explication détaillée :

Coordonnées des Vecteurs

1. Définition des Coordonnées :
   • Dans un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K , chaque vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs d'une base donnée. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont appelés les coordonnées du vecteur par rapport à cette base.
2. Représentation :
   • Soit B = (e₁, e₂,..., e_n) une base de E. Pour tout vecteur v∈E, il existe des scalaires x₁, x₂, ..., x_n ∈ K tels que : v = x₁ e₁ + x₂ e₂ + ... + x_ne_n
   • Les scalaires (x₁, x₂, ..., x_n) sont les coordonnées de v dans la base B.
3. Importance du Corps K :
   •  Le corps K peut être constitué de nombres réels (ℝ), de nombres complexes (ℂ), ou d'autres types de scalaires. Les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire doivent respecter les règles définies sur ce corps.
   • Par conséquent, les coordonnées d'un vecteur sont nécessairement des éléments du corps K, ce qui signifie qu'elles sont exprimées en termes de scalaires appartenant à ce corps.

Conclusion
En résumé, les coordonnées des vecteurs dans un espace vectoriel sont toujours exprimées sur le corps K des scalaires. Cela est fondamental pour la définition et l'utilisation des espaces vectoriels en algèbre linéaire.

Sources
[1] [PDF] Espaces vectoriels https://deserti.perso.math.cnrs.fr/cours/L1/2020_2021_ev_cours.pdf
[2] Composantes d'un vecteur - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Composantes_d'un_vecteur
[3] Espace vectoriel - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel
[4] Calcul vectoriel - Janus Cosmological Model https://www.januscosmologicalmodel.fr/post/calcul-vectoriel
[5] [PDF] Bases et coordonnées dans un espace vectoriel de dimension finie https://math.univ-cotedazur.fr/~parus/A2/ResumecoursPC-SF_Phy-chap6.pdf
[6] [PDF] Les espaces vectoriels https://cahier-de-prepa.fr/mpsi2-kerichen/download?id=607
[7] [PDF] II — Espaces vectoriels https://delcourt.u-cergy.fr/M2_Ens/chap_2_2014.pdf

Note 3 :

Mesure en mécanique classique :

🤖:  En mécanique classique, la mesure peut effectivement être représentée par un tenseur diagonal, notamment dans le contexte des tenseurs d'ordre 2, comme le tenseur des contraintes. Voici une explication détaillée :

Tenseurs en Mécanique Classique

1. Tenseur des Contraintes :
   Le tenseur des contraintes est un exemple typique de tenseur utilisé en mécanique des milieux continus pour décrire l'état de contrainte dans un matériau. Ce tenseur est d'ordre 2 et peut être représenté sous forme matricielle, souvent notée comme une matrice 3 X 3 dans un espace tridimensionnel.
2. Représentation Diagonale :
   Dans certaines conditions, il est possible de choisir une base appropriée (appelée base principale) dans laquelle le tenseur des contraintes devient diagonal. Cela signifie que les composantes hors diagonale, qui représentent les contraintes de cisaillement, sont nulles. 
3. Symétrie et Diagonalisation :
   Le tenseur des contraintes est toujours symétrique, ce qui permet de garantir qu'il existe au moins une base orthonormée dans laquelle il peut être diagonal. Cela signifie que pour chaque état de contrainte donné, il est possible de trouver des directions principales où les effets de cisaillement sont absents, simplifiant ainsi l'analyse des forces agissant sur le matériau [1][2].

Sources
[1] Tenseur des contraintes - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes
[2] [PDF] Tenseurs en Mécanique X3PM040 Anisotropie et composites M2 ... - HAL https://hal.science/cel-01998805v1/file/Cours%202%20sur%20les%20tenseurs%20en%20m%C3%A9canique.pdf
[3] [PDF] Mécanique des solides déformables - FUN MOOC https://lms.fun-mooc.fr/c4x/ensam/022001S05/asset/2_Deformations.pdf
[4] [PDF] NOTES DE COURS Notions élémentaires sur les tenseurs Par ... https://moodle.polymtl.ca/pluginfile.php/137989/mod_page/content/39/01_LES_TENSEURS.pdf /p>

Note 4 :

Groupe libre et groupe de symétrie :

Jusqu'à présent, j'ai souvent amalgamé les deux types de groupes à tort. Il faut distinguer entre groupes libres et groupes de symétries.

• En [⚤]^♢ : Un "groupe libre", est purement un Ensemble [⚤]^♧ muni d'une structure de groupe. Chaque élément fait maintenant partie du groupe dans un mouvement [⚤]^♧𓁜↑𓁝[⚤]^♢;
• En [#]^♢ : Les "groupes de symétries" sont des symétries de mouvements (rotation/ réflexion / translation, représentables dans l'espace [#]^♢↓[#]^♧, et ayant une traduction algébrique [⚤]^♢←[#]^♢, représentant une "restriction des possibles" offerts par un groupe libre.

🤖: Différences entre groupe libre et groupe de symétrie

Groupe libre :

Un groupe libre est une structure algébrique qui se compose d'un ensemble d'éléments, où les opérations sont définies par des règles de composition sans relations supplémentaires imposées, à l'exception des axiomes fondamentaux d'un groupe. Voici quelques caractéristiques clés :

• Définition : Un groupe libre sur un ensemble d'éléments (appelés générateurs) est constitué de toutes les combinaisons possibles de ces éléments et de leurs inverses, sans aucune relation entre eux, sauf celle qui découle des axiomes de groupe (associativité, existence d'un élément neutre et existence d'inverses) [3][4].
• Exemples : Les groupes libres peuvent être illustrés par des mots formés à partir de lettres représentant les générateurs. Par exemple, le groupe libre sur deux générateurs "a" et "b" contient des éléments comme a, b, ab, ba^-1, etc.
• Propriétés : Les groupes libres sont non commutatifs en général et possèdent une structure riche, permettant une grande variété de sous-groupes et d'applications en topologie et en géométrie algébrique.

Groupe de symétrie :

Un groupe de symétrie, quant à lui, est un type spécifique de groupe qui décrit les transformations d'un objet qui laissent certaines propriétés invariantes. Voici ses principales caractéristiques :

• Définition : Un groupe de symétrie est constitué d'un ensemble de transformations (comme des rotations, réflexions et translations) qui préservent la structure d'un objet donné. Chaque transformation dans le groupe doit laisser l'objet inchangé [1][2].
• Exemples : Le groupe des symétries d'un carré inclut les rotations (90°, 180°, 270°) et les réflexions (par rapport aux axes médians et aux diagonales). Le groupe diédral D_n représente les symétries d'un polygone régulier à n côtés [1][4].
• Propriétés : Les groupes de symétrie ont des propriétés telles que la fermeture (la composition de deux symétries est également une symétrie), l'existence d'un élément neutre (la transformation identitaire), et la présence d'inverses pour chaque transformation [1][2].

Comparaison :

En résumé : bien que les groupes libres et les groupes de symétrie partagent certaines caractéristiques fondamentales en tant que groupes, ils diffèrent considérablement dans leur définition, leur structure et leurs applications.

Sources [1] Groupes de symétrie - Introduction à la Théorie des Groupes ... - StudyRaid https://app.studyraid.com/fr/read/2387/47792/groupes-de-symetrie
[2] [PDF] Initiation à la théorie des groupes https://irma.math.unistra.fr/~delzant/Groupes.pdf
[3] Groupe (mathématiques) - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)
[4] [PDF] Groupes et actions de groupes - Mathématiques https://molin-mathematiques.fr/cours/Cours-dintroduction-aux-groupes
[5] Groupe symétrique - Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_sym%C3%A9trique
[6] la théorie des groupes est l'étude de la symétrie » : r/mathematics - Reddit https://www.reddit.com/r/mathematics/comments/14gnz46/what_do_people_mean_by_group_theory_is_the_study/?tl=fr
[7] Aspect linéaire des groupes libres - Persée https://www.persee.fr/doc/barb_0001-4141_1968_num_54_1_62151

Note 5 :

On peut penser par exemple à la théorie des jauges s'intéressant aux symétries locales (voir ici) des champs de jauges (S0, Su(2) et Su(3)) (voir ici).

Note 6 :

L'expérience du choix retardé d'Alain Aspect, remet en cause l'indépendance "absolue" de l'objet par rapport aux choix du Sujet ! 

covariance