Schémas d'actions #5 — Groupes d'homologie

Le 25/ 08/ 2024 — Pau :

- Mais dis-moi, gros malin :

1. En supposant que ton tour d'horizon entrepris dans cette série d'articles (depuis "Les mouvements du Sujet"), se terminant par un survol de l'oeuvre de Cavaillès ("Schémas d'action #4"), nous démontre effectivement que l'orthogonalité entre —ce que tu appelles dans ton coin— le duo d'approches (☯𓁝𓁜☯)⊥(♧𓁝𓁜♡) d'un espace Imaginaire représentable par une surface topologique de groupe fondamental (𓁝𓁜; niveaux; modes) que parcourrait le sujet 𓁝𓁜 de ton discours (...) à toi 𓂀_Hari seul ;
   • ce que tu représentes par un topos en [♻]^♢ selon ton écriture,  et
   • des schémas d'actions qui s'exprimeraient par ([⚤]𓁝𓁜[#])𓂀_Hari^♢;
2. En étant même d'accord pour dire avec toi que :
   • l'attention d'Einstein et Popper portée sur les choses soit représentable en (☯𓁝𓁜☯)𓂀;
   • l'attention de Bohr et Wittgenstein portée sur les mots soit représentable en (♧𓁝𓁜♡)𓂀;
3. Qu'est-ce qui te permet de présenter ces deux approches comme une orthogonalité (sur 2 dimensions) et non une dialectique (1 seule dimension) ?

Car enfin, si personne ne te rejoint sur cette approche topologique, c'est peut-être qu'il n'y a rien à voir?

- Aïe ! Les preuves d'existence sont toujours très difficiles à établir.

De fait, et là je rejoins Cavaillès, il n'est pas question de dire que je "découvre" une représentation de l'Imaginaire qui eut existé de toute éternité, mais de prendre la responsabilité d'une création pure, à savoir utiliser une topologie plane pour représenter l'Imaginaire du Sujet (i.e.: l'Imaginaire coincé entre le Réel et le Symbolique de Lacan).

- Quel est l'intérêt de dépenser mon énergie à suivre tes développements ?

- Je prétends que cette construction permet une énorme économie d'énergie intellectuelle pour comprendre notre façon de former nos idées, nos représentations, et même notre façon de créer celles-ci. Je ne peux donc justifier cette représentation orthogonale des discours (☯𓁝𓁜☯)⊥(♧𓁝𓁜♡), que dans le cadre de ma propre représentation.

- Ça se mord la queue...

- Toute explication ne peut que se mordre la queue : c'est le principe même d'un dictionnaire qui te renvoie de mot en mot, sans jamais t'exposer au Réel. Je te propose seulement de parier avec moi que mes développements à venir vont conforter cette promesse.

- Bon, soit, mais donne-moi envie de continuer.

- Ma représentation permet de concilier ce qui dans une pensée linéaire ne l'est pas, comme les approches d'Einstein⊥Bohr ou Popper⊥Wittgeinstein, voire même Marx⊥Walras (ici), avoue que ce n'est déjà pas si mal !

- Et de quelle façon vas-tu prendre en compte le fait que cette orthogonalité ⊥ soit propre à une représentation "topologique" ?

- Ah ! Nous sommes au coeur du problème: il suffit de montrer que le raisonnement tenu en (♧𓁝𓁜♡) n'est en aucune manière réductible aux raisonnements tenus en (☯𓁝𓁜☯).

- Caractérise d'abord le discours en (☯𓁝𓁜☯).

- L'auteur 𓂀 limité au mode ♧ s'exprime primitivement en [⚤]^♧, avec la logique du 1^er ordre (avec tiers exclu et double négation). Et avec ça, _⇅𓂀^♧ fait déjà pas mal de travail. Pense à Hilbert pour qui "Retirer le principe du tiers exclu au mathématicien, c'est comme priver le boxeur de ses poings.". Par ailleurs les notions de temps logique, de successeur etc. y sont également attachées, ce qui mène à la théorie des Ensembles, à la machine de Turing, et permet bien des choses !

- Et qu'est-ce qui n'est pas réductible à cette approche, en topologie [#]^♢?

- Le passage du point à la ligne et de la ligne à la surface.

Le 27/ 08/ 2024 — Florentin La Capelle 

- Mais pourtant, tu avais placé la géométrie en [#]^♧, et il y était déjà question de figures en plusieurs dimensions ?

- Effectivement, mais c'est plus subtil que cela : en mode ♧, nous avons placé le singleton (•) comme objet final en [∃]^♧, et l'idée est de tout ramener à une analyse de "points", ce qui se fait en termes :

• discontinus en [⚤]^♧, et la répétition du même ⇅, le concept de successeur, de temps, et ℕ;
• avec le saut du continu en [#]^♧, on passe de ℕ à ℝ et le principe de répétition porte ensuite sur l'orthogonalité ⊥, passant de ℝ, à ℝ², puis ℝ³ etc.

À partir de là, et en te souvenant de la liaison des 3 modes ♧♢♡, avec de pures considérations de symétries de mode ♡, tu peux directement suivre Bachmann et construire les figures de géométrie en ♧.

Dès que tu passes en mode syntaxique ♢, tu t'intéresses avant tout aux relations entre objets. C'est pour cela que j'ai pris le monoïde (•⟲) comme objet final en [∃]^♢, avec l'objet classifiant correspondant Ω en [⚤]^♢, qui n'est plus celui de la logique du 1^er ordre. 

C'est ici qu'il faut faire attention : 

• Au niveau [⚤]^♢, la répétition du même ⇅, porte maintenant sur une répétition de morphismes, ce qui produit des graphes;
• Au niveau [#]^♢ , la répétition ⊥ est toujours liée à un changement de dimension.

Un exemple très simple est de considérer en [#]^♢ une série de "simplexes" ∆ avec :

• ∆⁰ = le "point"
• ∆¹ = la "ligne"
• ∆² = la "surface"
• ∆³ = le "volume"
• etc.

En [#]^♢ la ligne ainsi définie n'a absolument aucun "rapport" avec le point, de même qu'en [∃]^♢ la flèche "→" d'un morphisme "•→•" n'est pas de même espèce que les points "•" qu'elle relie. Il n'y a absolument aucun moyen "logique" de passer de l'un à l'autre.

- Mais pourtant, on passe bien de l'un à l'autre, non ?

- Oui, mais par un choix qui tient à l'intention de  l'auteur 𓂀 relevant de la sémantique en mode ♡.

Ce simple argument suffit à démontrer que l'approche topologique n'est pas réductible à la logique du 1^er ordre, qui apparaît dès lors (avec le recul) comme un discours unidimensionnel.

Sur notre tore_#^♢ pris comme illustration, les deux circulations du Sujet que je désigne par (☯𓁝𓁜☯) & (♧𓁝𓁜♡) sont comme les deux éléments a & b du groupe fondamental de Poincaré, se recoupant en un point, qui serait la place du Sujet 𓁝𓁜 lui-même.

- Mais dis-moi, ce qui fait exister a & b, c'est qu'ils enserrent un vide; et dans ton analogie où sont les vides en question ?

- En mode ♢, la représentation de la circulation (♧𓁝𓁜♡) me semble déterminée par cet aphorisme "un bord n'a pas de bord". Il est là le vide en question. C'est-à-dire que même si je ne sais rien de précis au pas "n" d'une répétition de mouvements, au pas suivant "n+1", j'ai le vide.

- Pas clair.

- C'est le moment de reparler des groupes d'homologie. (voir : ici dans "Schéma de présentation"). Je repique le passage, que je rectifie au passage !

 - Je crois que l'une de mes plus belles surprises a été de voir de quelle façon l'homologie se construit à partir d'un constat aussi simple que:
=> "un bord n'a pas de bord". (Note 10)

Cette évidence est un constat porté sur les formes, autrement dit, lorsque le Sujet porte son attention sur "les choses" (☯𓁝[#]^♢𓁜☯)𓂀^♢, et le parallèle est à faire avec ce que nous avons vu des faisceaux.

Processus topologique en [#]♢; On déconstruit l'objet en partant des volumes en 3D, dont la surface 2D est la frontière, ensuite on passe aux arêtes 1D délimitant ces surfaces, pour finir par les points 0D délimitant les arrêtes.  On définit une application "bord" ∂n => Im∂n+1 ⊂ Ker∂n

J'insiste sur le fait que ce processus est en [#]^♢; avec pour limites :

	en mode ♡ : le sens que prend la forme de l'objet  [#]𓁜
	en mode ♢ : répétition
	en mode ♧ : le point défini par une frontière vide en 𓁝[#]

 - Attends une seconde, dans ta présentation tu considérais cet aphorisme comme un discours objectif, sur les choses elles-mêmes, en (☯𓁝𓁜☯)?

- Eh bien, avec le recul, je constate mon erreur. Certes, je m'intéresse toujours au Monde qui m'entoure, mais l'aphorisme lui-même est une construction syntaxique. Les points, lignes, surfaces ou volumes que je manipule n'ont aucun référant que je peux tirer de mon expérience du Réel.

- Tu déconnes !

- Absolument pas ! Pour décrire l'objet de mon attention, disons un "volume", je l'habille d'un costume, ou surface (son bord), dont je vais parler. Le référant 3D échappe définitivement à mon regard, et je l'habille de mots en 2D qui s'articulent selon ma syntaxe se résumant à ce principe que dans la répétition du geste, au pas suivant, le bord du bord est vide. Et en régressant ainsi, après quelques groupes d'homologie non-vides, tu te retrouves avec une infinité de groupes vides.

 - Je peux quand même avoir une idée de ce volume qui m'échappe, je peux le peser.

- Mais alors, tu es dans un discours  (☯𓁝𓁜☯) : avec la géométrie en [#] et une mesure en [♻], associant un nombre [⚤] à ton volume.

- Bon, je vois à peu près ce vide autour duquel tu tournes en (♧𓁝𓁜♡), disons que c'est ce qui se présente en parcourant ton échelle de simplexes ∆ dans un sens ou dans l'autre, par exemple. Mais alors mon bon ami, de quel vide parlons-nous dans la perspective  (☯𓁝𓁜☯) ?

- Ah ! Là c'est un peu plus vicieux car, ne l'oublie pas, nous restons dans une représentation en mode ♢, de ce qui se passe idéalement en mode ♧, et au plus près du Réel en [⚤]^♧.

- Autrement dit, pour passer des Ensembles en [⚤]^♧ à [⚤]^♢, il faut les munir d'une structure de groupe ?

- Voilà, et au minimum, il faut passer de ℕ à ℤ, sans oublier de "boucler ℤ" par un point à l'infini, ou ℤ/nℤ. Et donc, le vide se donne alors à voir par l'expérience que tu en as; c.-à-d. en tournant en rond... 

C'est par ailleurs ce que j'ai fait en tordant l'Imaginaire élémentaire sur 2 modes ♧ & ♡ comme un ruban de Moebius. C'était en fait une représentation topologique d'une dualité  ♧/♡ bien antérieure à toute pensée topologique.

- Et donc, il est cohérent de représenter la surface topologique de l'Imaginaire sur 3 modes, par ce tore : 

- Oui, et nous donnons ainsi un "sens" à l'existence (si l'on peut dire) de 2 vides distincts.

- Soit, mais si tu réduis la démarche homologique dans une perspective (♧𓁝𓁜♡) à cet unique principe qu'un bord n'a pas de bord, comment vas-tu caractériser la perspective (☯𓁝𓁜☯) ? Car, il ne faudrait quand même pas oublier Hilbert !

- Nous pouvons traduire sa démarche en termes catégoriques^♢ par la définition de l'objet discriminant de la catégorie Ens en [⚤]^♧, qui permet de définir la logique du 1^er ordre. Ce qui offre en retour une perspective au passage d'une logique intuitionniste en mode ♢ à la logique classique en mode ♧.

- Précise ?

- Nous en avons déjà parlé à l'occasion : la logique intuitionniste discute du statut du "bord" entre deux états (a & b) d'un tout (a∨b).

- Attends une minute ! ce principe topologique est de niveau [#]^♢, or la logique est en  [⚤]^♢!

- Oui, et c'est ce qui m'a fait écrire beaucoup de bêtises jusqu'à présent, faute de l'avoir compris : c'est Grothendick qui porte un regard allant de [#]^♢ à [⚤]^♢.

- Ses schémas [⚤]^♢←[#]^♢?

- Oui ! Maintenant, essaie de considérer le langage catégorique_⚤^♢ d'un point de vue topologique_#^♢...

Tu peux dire, par exemple que le "bord" d'un morphisme_⚤^♢ •→• ce sont les éléments_⚤^♢ (•) du domaine et du codomaine....

- Et donc ?

- Et bien tu peux exprimer le passage de Ω à {{},{•}} à l'aide d'un foncteur d'oubli [⚤]^♢↓[⚤]^♧ (tu oublies les flèches des morphismes de Ω, et ne restent plus que les "points" {} & {•}; mais tu peux comprendre également que {{},{•}} est le "bord" de Ω, et voir la logique du 1^er ordre comme le "bord" de toute logique intuitionniste. (Note 2)

- Et ça t'avance à quoi ?

- Dans le bouclage des 3 modes ♧♢♡, j'ai l'intuition que seul le mode ♢ permet d'exprimer la logique intuitionniste, qui serait "bordée" en ♧ comme en ♡ par la logique du 1^er ordre.

- Pourquoi ne pas imaginer au contraire une logique plus "riche" en ♡ ?

- Parce que nous organisons notre Imaginaire afin de nous simplifier la vie, et nous aider à faire des "choix" en ♡. Or, "choisir" c'est faire une partition simple entre ce que l'on choisit et ce que l'on délaisse... Ce serait l'équivalent pour les "modes" au bouclage entre niveaux [⚤]/[#]/[♻] : la répétition ⊥ en [#] conduit à la mesure en [♻], qui s'exprime par un élément de [⚤].

- OK, mais nous nous éloignons un peu du sujet, non ?

- Je pense effectivement à la suite : la cohomologie.

- Fais vite, il reste peu de temps avant Mondovi ! (Note 1)

Hari

Note 1 :

Séminaire "Topos in Mondovi" du 4 au 11 septembre de l'Instituto Grothendieck, avec comme comité scientifique :

• Olivia Caramello;
• Alain Connes;
• Laurent Lafforgue

Note 2 :

Concernant les logiques utilisées en mode ♢, d'un point de vue (♧𓁝𓁜♡), on peut certainement avancer d'un poil en faisant la remarque suivante :

• En  [#]^♢:
  • Le bord d'un objet ne fait pas partie du même "niveau" de discours que l'élément qu'il borde : une surface n'est pas une collection de lignes, une ligne n'est pas une collection de points :
    => le tiers exclu est respecté;
  • Par contre, ce qui n'est pas "ligne" n'est pas forcément "surface", ce peut également être un "point" :
    => la double négation n'est pas respectée.
• Avec ce regard topologique reporté en [⚤]^♢:
  • En considérant les éléments domaine/ codomaine comme "bordant" le morphisme, l'objet et son "bord" sont considérés dans le morphisme; en ce sens, le "bord" n'est pas exclu de la représentation de l'objet :
    => le tiers exclu n'est pas respecté;
  • Par contre il n'y a que 2 types d'objets : "flèche" et "élément" ​​:
    (non flèche = élément et non(non flèche) = non élément = flèche).
    => la double contradiction est respectée

- Et d'un point de vue (☯𓁝𓁜☯) ?

- C'est bien entendu l'objet discriminant en  [⚤]^♢: qui détermine la logique propre à l'objet représenté en mode ♢.

Tout ceci reste à discuter, bien entendu...