Schémas d'actions #6 — La cohomologie

Le 28/ 08/ 2024 — Florentin La Capelle

- Bon, j'écris en espérant que l'exercice me permettra de mettre au clair mes idées.

- Tu nous annonces un pensum ?

- J'en ai peur, mais je veux une fois encore revisiter le sujet avant d'aborder Mondovi, ne serait-ce que pour vérifier là-bas l'idée que je me fais de la chose. (Note 1)

- Tu écris cette série d'article sous le chapeau "schémas d'actions", en te référant aux schémas de Grothendieck.

1. Tu es dans un mode syntaxique ♢, et tu tentes une analogie avec le langage de la théorie des catégories;
2. Si j'ai bien compris, tu vois le Sujet comme un "topos" en [♻]^♢, c.-à-d. représentable par une catégorie et une topologie associée.
   • En [⚤]^♢ : La catégorie en question serait caractérisée par le Sujet 𓁝𓁜 comme "objet classifiant", muni d'une structure de groupe (avec 𓁝^-1=𓁜 et 𓁝•𓁜=𓂀) ;
   • En [#]^♢ : La topologie associée serait une surface topologique de groupe fondamental :
     (𓂀; niveaux; modes).
3. Un schéma de Grothendieck serait de la forme générale [⚤]^♢←[#]^♢;
4. L'homologie serait basée sur :
   • la répétition d'un mouvement ⊥ de niveau [#]^♢; à partir de la définition d'une fonction ∂ "bord" avec Im∂_n+1 ⊂ Ker∂_n;
   • se traduisant en [⚤]^♢ par une série de groupes d'homologie :
     H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1.

Si j'ai bien suivi les précédents épisodes, tu as compris l'homologie comme une "descente" à partir de l'application "bord" ∂:

et tu voudrais comprendre la cohomologie comme une "montée" à partir de l'application "cobord" δ (ici):

- Oui, j'en suis là, et dans ma présentation du 22/ 05/ 2024 (le temps passe vite !) j'avais recraché ma leçon :

Cobord (voir Scienta Egregia )

Le cobord δ, présenté comme le dual de l'application bord ∂, est en fait la combinaison de deux applications ∂ et φ que l'on pourrait comprendre comme "orthogonales", en ce sens que :

• ∂ est propre à [#]^♢; originellement topologique, dans une approche ☯𓁝𓁜☯;
• φ est un passage [⚤]^♢←[#]^♢ dans une approche ♧𓁝𓁜♡,
• Le niveau [#]^♢ étant la charnière entre les deux démarches.

Avec le recul, il me semble avoir fait une confusion entre les 2 approches ☯𓁝𓁜☯ & ♧𓁝𓁜♡! C'est du moins ce que j'ai commencé à redresser dans le dernier article #5. 

Je reprends courageusement la vidéo de Scienta Egrégia qui m’a servi de déambulateur jusqu’à présent, mais force m’est de constater qu’un discours purement algébrique m’… au-delà du supportable, tout au moins par ce temps resplendissant de fin de vacances en Aubrac…

Le 29/ 08/ 2024 — Florentin La Capelle 

- Passablement irrité par ce toit de verre que je me sens incapable de briser, j'ai du ruminer toute la nuit, pour me réveiller en constatant avoir oublié quelque chose d'évident en parlant d'homologie dans mon précédent article, et c'est  Antoine Bourget, l'auteur de "Scientia Egregia", qui m'a mis le nez dessus en revisitant sa présentation des groupes l'homologie à l'aide des simplexes.

- Arrête de délayer et avance.

- Dans mon article, je me suis focalisé sur l'orthogonalité entre deux types de discours, c.-à-d. les mots⊥choses (dans notre représentation topologique de l'Imaginaire); puis en parlant de la logique (voir note 2) associée au niveau [#]^♢, dans la perspective ♧𓁝𓁜♡, j'ai dit qu'elle ne respectait pas le principe de non-contradiction, puisque ce qui n'est pas "ligne" peut être "point ou "surface". 

Or, avec l'exemple de la série des simplexes, il est évident que pour passer de ∆ⁿ⁺¹ à ∆ⁿ il faut retrancher une n^è dimension ⊥ aux (n-1) précédentes, et là nous nous intéressons à l'objet de la représentation, donc dans un discours de type ☯𓁝𓁜☯.

- L'orthogonalité est double ?

- Oui, elle a deux expressions, ce qui permet le passage de [#]^♢ à [⚤]^♢, à chaque étape n des itérations de l'application "bord" ∂. Et l'on peut comprendre ainsi le passage de ∂^n-1 à ∂ⁿ, comme une orthogonalité. ∂^n-1⊥∂ⁿ.

- Tu redécouvres l'eau tiède : l'orthogonalité entre deux étapes est déjà dans la transcription de

• En [#]^♢ : l'inclusion : Im∂_n+1 ⊂ Ker∂_n par
• En [⚤]^♢ : le groupe : H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1 ou Im∂_n+1 est un sous-groupe normal de Ker∂_n.

- Oui, oui, mais je n'en ressentais pas l'évidence ! Je vais prendre le temps de m'y tâter et retâter, en allant visiter le musée de Soulages.

- J'espère que ça t'éclaircira les idées.

Le 29/ 08/ 2024 — Rodez

- Ouf ! Journée Pierre Soulages. Ce matin, visite de l'abbatiale Sainte-Foy à Conques dont il a refait les vitraux, et cet après-midi, le musée à Rodez.

- Pourquoi en parler ici ?

- Un truc tout bête : en entrant dans l'abbatiale, nous sommes arrivés en pleine messe, et par respect pour la cérémonie, nous y avons assisté jusqu'à la fin.

- Une révélation peut-être ?

- Non pas, mais enfin, lors de l'élévation, m'est venue cette idée, en point d'orgue à mes cogitations du matin : il y a dans la religion Chrétienne l'idée que le verbe s'est fait chair, ce qui me renvoyait à la rencontre orthogonalité (choses—chair)⊥(mots—verbe)  et au symbole de la Croix.

- Tu en as déjà parlé (voir "de l'hypostase" par exemple).

- Oui, bien entendu, mais ceci venait prolonger mes réflexions matinales...

- C'est-à-dire ?

- Je pense qu'en fait, tout point remarquable de notre topologie Imaginaire, doit correspondre à une rencontre entre les deux modes de pensée. Ce serait en quelque sorte la résilience à cette transposition qui en marquerait la permanence.

- Pas très clair...

- Prend par exemple la topologie en [#]^♢ :

• En ♧𓁝𓁜♡ : il y a une "orthogonalité" entre les concepts de point / ligne/ surface, qui tient à la répétition d'un geste;
• En ☯𓁝𓁜☯ : cette "orthogonalité" s'exprime par celle des "dimensions" permettant de représenter point/ ligne/ espace.

Maintenant il faut aller plus loin : 

Ce matin j'ai parlé de deux types d'orthogonalité en ☯𓁝𓁜☯ :

• En mode ♢ : j'ai parlé d'une orthogonalité entre applications ∂ⁿ et ∂ⁿ⁺¹; mais je n'ai pas précisé que  c'est géométriquement :
• En mode ♧ : que se repère l'orthogonalité des simplexes ∆ⁿ  et ∆ⁿ⁺¹.

Dit autrement : le principe de répétition en [#] s'exprime en ♧𓁝𓁜♡ par le constat d'une orthogonalité ⊥:

• En mode ♡ : il s'agit de ☯𓁝𓁜☯⊥♧𓁝𓁜♡
• En mode ♢ : il s'agit de l'orthogonalité entre fonctions, par exemple ∂ⁿ⊥∂ⁿ⁺¹
• En mode ♧ : il s'agit de dimensions spatiales (axe x)⊥(axe y)

- Et donc ?

- Il s'agit ensuite, d'un point de vue ☯𓁝𓁜☯, cette fois-ci, d'exprimer cette orthogonalité ⊥ de niveau [#] au niveau élémentaire [⚤] !

- Accouche donc !

- Il faut que je simplifie encore mon expression, mais j'ai l'impression que tout discours en [⚤] exprimant l'orthogonalité en [#] est une circulation revenant au point de départ :

• En mode ♧ : l'orthogonalité de deux droites s'exprime par (a₁.a₂+b₁.b₂)=0 ; (Note 2)
• En mode ♢ : l'orthogonalité d'un sous-groupe G de H s'exprime par h^-1.g.h=e ;
• En mode ♡ : je propose ceci : la circulation entre les mots ♧𓁝𓁜♡ et entre les choses ☯𓁝𓁜☯ enserre le vide (ce qui nous occupait hier, voir #5.)

 - Mouais ce n'est pas encore très abouti tout ça...

- Réflexion qui me ramène à Soulages, figure-toi.

- Tu vois tout en noir ?

- Il ne s'agit pas de cela mais de cette citation :

"Ce que je fais m'apprend ce que je cherche"

Avoue qu'elle reflète assez bien ma façon chaotique d'avancer...

Le 30/ 08/ 2024 — Rodez

- Je ne pouvais pas en rester là sans que tout ceci s'agite dans ma caboche au cours de la nuit.

- Et donc, quelle brillante idée t'est-elle encore venue ?

- Aucune, mais plutôt une mise en ordre, qui m'a rendu ma représentation de l'Imaginaire plus évidente

Pour la remettre dans son contexte, il est évident que la passage d'une représentation dialectique (sur une dimension) à topologique (sur 2 dimensions) mette l'accent, précisément, sur la dualité qu'elle inaugure, à savoir l'orthogonalité entre mots⊥choses; tout en indiquant que ce qu'elle représente participe des deux, comme un point sur un plan (X,Y) est repéré par deux coordonnées (x,y). Avec le recul, cela devient une lapalissade.

Cette rencontre en un point particulier, m'a donc ramené :

• au point de capiton de Lacan, qui fait "coller" ici et là le tissu Imaginaire au Réel. Image qui nous avait beaucoup inspiré à une époque (voir par exemple cet article d'il y a 10 ans "Intrication quantique — décohérence Imaginaire"), et
• au point fixe de Brouwer (voir "Entropologie des catégories #11 — Lacan au risque de la topologie" de 2017).

En ce sens, c'est une pure expression topologique d'une représentation en [#]^♢ de ce qui nous avait déjà agité depuis bien longtemps.

- Bref, c'est cohérent.

- Exactement, et j'espère que tu es sensible à l'esthétique du tableau.

- Et c'est tout ?

- Dans une approche ♧𓁝𓁜♡  nous avons caractérisé le niveau [#]^♢ par :

• L'utilisation du principe qu'un bord n'a pas de bord;
• La répétition d'un geste qui s'exprime par l'orthogonalité ⊥;
• Une logique :
  • respectant le tiers exclu (le bord est représenté à l'étape n-1 de la répétition n);
  • ne respectant pas la non contradiction (ce qui n'est pas du niveau n peut être du niveau n+1 ou du niveau n-1 : et le geste ne s'inscrit pas dans un temps logique ou une succession chronologique.

Par rapport à cette représentation topologique, et dans un discours ☯𓁝𓁜☯, une projection [⚤]←[#] sur le niveau [⚤] devrait rendre compte à sa façon que "un bord n'a pas de bord".

- Et c'est là que tu coinces...

- Tentons d'avancer un peu. Nous avions parlé hier soir de circulation, par exemple en écrivant (a₁.a₂+b₁.b₂)=0 ou h^-1.g.h=e. 

Souviens-toi qu'en [⚤]^♢:

• La logique utilisée :
  • Ne respecte pas le tiers exclu : dans un morphisme, les éléments des domaine/ codomaine qui peuvent être vus comme la bordure du morphisme appartiennent à celui-ci.
  • Respecte la non contradiction (un objet d'un morphisme est soit élément, soit flèche)

Il vient donc que le vide, vu comme le bord d'un bord, qui s'exprime en [#] sur deux niveaux n et n-1 d'une itération, se retrouve à plat dans une expression (...)=∅.

Et en mode ♧, c'est encore respecté dans l'expression en [⚤]^♧ de l'objet discriminant {{•};{}} de la catégorie Ens où la "partie vide ∅" est le "bord" {&} du singleton "•", séparant celui-ci de la "forme" ensembliste {...} qui l'exprime : {•}.

- Ce n'est pas le "bord du bord"...

- En mode ♧ tu es en-deçà de toute syntaxe ♢, figé sans mouvement. Déjà parler de "partie vide" du singleton suppose une posture 𓁝[⚤] sujette à caution. En bref une projection, d'un vécu de niveau 𓁝[#] qu'en toute rigueur, et dans une approche purement immanente à partir de [∃]𓁜 tu ne pourrais te permettre.

- Bon, soit, et donc ? Le langage propre à [⚤] ramène sur un même plan ce qui en [#] demande une itération, c'est bien cela ?

- Ça me semble la façon la plus générale d'en parler.

Le 30/ 08/ 2024 — Arles

- Vas-tu te décider à revenir à la cohomologie ?

- Pas encore, je balise le terrain comme le chirurgien délimite la zone à inciser d'un champ opératoire.

- Tu as parlé du niveau [#] à droite de [⚤]^♢ et du mode ♧ en dessous, vas-tu nous reparler du mode sémantique ♡ au-dessus ?

- Oui, car en assistant à l'élévation du prêtre hier à Conques, ça m'a ramené à Descartes, figure-toi...

- Le rapprochement ne m'apparaît pas d'une totale évidence.

- Reporte-toi à ce qui nous avons pu dire des façons de refermer notre surface topologique (voir ici) lors de ma présentation au CLE du 22/ 05; et en particulier ceci :

1/ La 1ère idée qui vient, c'est de considérer les 4 sommets comme le pôle unique P (pour 𓁝𓁜 ou 𓂀) de la structure, vue comme plan projectif. Le point de projection 𓂀 de l'"Imaginaire" est ainsi renvoyé à l'infini d'un plan "Réel", se projetant sur ce plan projectif (le Moi du Sujet).

J'y avais réfléchi depuis, voir ici dans "covariance & contravariance" en faisant les bouclages extrêmes :

• Dirac : "une mesure [♲]^♧ est une réponse à une question [⚤]^♡";
• Descartes : "mon intention [♲]^♡ conditionne mon attention [⚤]^♧".

Et c'est sur cette dernière assertion que je reviens aujourd'hui. Lorsque Descartes dit "Je pense", il est nécessairement dans une approche par les mots : c'est un animal parlant avant tout, et lorsqu'il constate "j'existe", son attention se porte sur son rapport concret au monde, en résumé :

• En [♲]^♡ et dans une approche ♧𓁝𓁜♡ , il constate "je pense";
• En [⚤]^♧ et dans une approche  ☯𓁝𓁜☯, il constate "j'existe".

Or, c'est exactement ce que rappelle le curé lors de l'élévation : le verbe de Dieu s'est fait chair, bouclant le plus haut point de l'Imaginaire [♲]^♡  sur le constat au plus proche du Réel [⚤]^♧.

- Tu vires curé ?

- Il ne s'agit pas de cela, mais de comprendre que les mythes les plus prégnants tirent leur force de coller à notre Imaginaire, mieux, ils en révèlent la structure intime, comme un cerneau de noix niché dans sa coque en épouse la forme.

Il n'est donc pas étonnant, avec le recul qui est le nôtre, que Descartes redécouvre la même structure, avec une expression propre à son époque, ou qu'Alain Aspect puisse faire une expérience du choix retardé... Comme tu le vois, la question n'est pas qu'académique... (Note 3).

- Mais dis-moi, tu ne m'emmènes pas ici pour le plaisir ? Qu'as-tu derrière la tête ?

- Une étrange correspondance, avec un lecteur qui s'était arrêté à cette introduction de "Parole et création #1" : "Au début était le verbe", et l'a commenté ainsi :

"... Quelle surprise lorsque j'ai découvert que le fameux "Verbe" est en réalité le Logos. Traduire le Logos par le Verbe est quelque chose qui me choque profondément, aussi j'ai commencé à entreprendre une retraduction qui correspondrait mieux aux subtilités attendues. Je ne pense pas aller beaucoup plus loin (j'en ai fait une quinzaine de versets), je ne m'attends pas à de grandes révélations, mais voici la première traduction de la première phrase qui serait beaucoup plus juste de la pensée originelle :
"Au déclenchement était la réflexion, la réflexion était dirigée vers le divin, le divin était la réflexion." 
Je pourrais probablement écrire pendant des heures sur ma conception de l'Univers, mais j'ai appris à mes dépends que cela n'intéresse personne. Je m'arrête donc là. Je me contenterais de vous faire pointer la ressemblance entre θεός (deus, sans majuscule) et θεωρία (theôría) qui est, d'après l'état de l'art étymologique actuel, sans aucun rapport l'un avec l'autre de près ou de loin..."

Je n'ai malheureusement pas pu continuer la discussion, et je ne sais absolument pas ce qu'il faut penser de cette traduction, mais elle m'a frappée parce qu'elle reprend exactement la posture finale : 𓁝☯. Je vais tâcher d'en savoir un peu plus, mais déjà, cette remarque porte au plus haut l'idée d'un retournement initial, pour que le Sujet se retrouve en  𓁝.

- Rien de neuf : c'est la posture du croyant.

- Sans doute, mais c'est également celle du choix, d'où l'intérêt du lien fait ici entre les deux ! Et si nous le retrouvons au plus haut, comme "le choix de Dieu" en 𓁝[∅]☯, il se décline comme nous l'avons déjà vu à tous les niveaux du mode ♡ :

- Autrement dit, tu fais de l'axiome de choix le coeur même du mode sémantique ♡ du Sujet ?

- Voilà, en retrouvant un Descartes revisité à l'arrivée : mon ^𓁝intention détermine mon attention^𓁜.

- Tout ça pour nous dire que dans la tentative de construction immanente qu'est la cohomologie, il faut malgré tout commencer par ^𓁝choisir_⚤^♡ un groupe G ?

- Ben oui ! 😀

Note 1 :

Séminaire "Topos in Mondovi" du 4 au 11 septembre de l'Instituto Grothendieck, avec comme comité scientifique :

• Olivia Caramello;
• Alain Connes;
• Laurent Lafforgue

Note 2 :

Pour que deux droites soient orthogonales (perpendiculaires), leurs vecteurs directeurs doivent être orthogonaux. En termes algébriques, cela signifie que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs doit être égal à zéro.
Soient deux droites D₁ ​ et D₂ ​ avec des vecteurs directeurs u ⃗ = (a1; b1) et v ⃗=(a2; b2) respectivement. Les droites D₁ ​ et D₂​ sont orthogonales si et seulement si : u ⃗ ⋅ v ⃗ =0. Ce qui se traduit par:
a₁.a₂+b₁.b₂=0
En d'autres termes, pour que deux droites soient orthogonales, la somme des produits des composantes correspondantes de leurs vecteurs directeurs doit être égale à zéro.

Note 3 :

- Bien entendu, je n'avais pas plus tôt écrit ces mots, que mon cerveau est parti en roue libre, me conduisant au système des "signatures" à l'Âge Classique, dont parle Michel Foucault.

- Tu radotes : tu en as déjà reparlé il n'y a pas si longtemps, voir "L'orthogonalité entre mots⊥choses — Retour à Foucault".

- Désolé, c'est l'âge ! Mais si je peux rabâcher ainsi les mêmes thèmes, alors que ma représentation de l'Imaginaire évolue, et que l'Imaginaire qu'elle représente se développe, c'est bien que les thèmes en question collent à notre façon de penser.

- En l'occurrence ?

- Pour parler des objets et du système des signatures, j'ai limité l'Imaginaire de l'époque à 2 modes seulement ♧&♡, alors qu'ici nous parlons d'une surface topologique en ♢, "bordé" par ♧&♡. J'ai développé par ailleurs l'idée que cette approche devait être comme un objet fractal, qui présente la même structure quand on le replie ou qu'il se déploie au maximum, et bien, tu en as ici un exemple...

Ceci dit, il faudra relire "Les Mots et les Choses".