Schéma de Présentation du 22/ 05/ 2024 au CLE

Récap :

• A/ L'Imaginaire comme ruban de Moebius
  • a.1/ Principe de moindre action
  • a.2/ Automatisme de répétition
  • a.3/ Les postures du Sujet dans son Imaginaire
  • a.4/ Les limites de l'Imaginaire
  • a.5/ L'objet du discours
  • a.6/ L'Imaginaire comme ruban de Moebius
• B/ Évariste Galois
  • b.1/ Introduction du niveau [#]
  • b.2/ La théorie des groupes, le mode ♢
• C/ L'Imaginaire comme surface topologique
  • c.1/ Orthogonalité niveaux⊥modes
  • c.2/ Surface discontinue ou continue ?
  • c.3/ Identification du pavé mosaïque
  • c.4/ Les différentes fermetures de l'Imaginaire
  • c.5/ Matrice en [⚤]^♢
  • c.6/ Faisceaux et revêtements en [#]^♢
• D/ Homologie/ Cohomologie
  • d.1/ Homologie en [#]^♢
  • d.2/ Homologie/ Cohomologie en [⚤]^♢
  • d.3/ De la liaison [⚤]^♢⇆[#]^♢ au Schéma
• E/ De la mesure [♻] au topos  
• F/ Des ponts d'Olivia Caramello au Sujet comme topos
• Debriefing

- Anatole vient de fixer la date de ma présentation au 22/05, et il me prend un peu de court : plus que 2 semaines pour brosser en 1h30 max, la genèse de ma démarche aboutissant à l'idée du "Sujet vu comme un topos".

- Fais d'abord la liste de tes ressources.

- Mais c'est tout mon blog, fort de 565 articles à ce jour !

- Quel est le coeur de ta démarche? Qu'est-ce qui te gratte à ce point que tu passes tes journées à tourner dans ta tête pour pondre ces articles?

- Non, non, je ne vais pas faire un stand-up ni entreprendre mon autoanalyse au tableau. Ce n'est ni le lieu, ni l'auditoire. On doit parler de maths, à la rigueur de physique...

- Parle alors de l'entropologie, néologisme introduit par Lévi-Strauss dans "Triste Tropiques" avec l'idée d'un principe d'économie dans les échanges sociaux. (Note 1)

- OK, partons de là.

A/ L'Imaginaire comme ruban de Moebius

- L'idée de base est que le Sujet utilise le minimum d'énergie dans toutes ses actions, et donc après une très longue évolution du vivant dont il fait partie, pour se représenter son environnement, et en parler à l'Autre.

- Arrête les formules, va au coeur du système.

- Ça signifie qu'il va répéter les gestes les moins énergivores. C'est visible par exemple dans la structuration de notre façon de lire.

=> Projeter le tableau de la lecture (ici) dans l'article "Les neurones de la lecture #1".

- Et tu fais le lien avec l'automatisme de répétition de Freud ?

- Oui c'est la lettre n° 52 à Fliess

=> Projeter le schéma de Freud dans l'article "Les limites d'une approche"

Et là nous avons un premier blocage :

- De quel blocage parles-tu ?

- Freud ne théorise pas le passage d'un niveau à l'autre, tel qu'il apparaît dans les mécanismes de lecture.

- Je ne comprends pas ?

- Le schéma de Freud conduit à identifier chaque niveau par un nombre entier, et l'automatisme de répétition, s'exprime en termes de "successeur", sans offrir de théorie d'un quelconque regroupement., ni représenter des processus massivement parallèles. (discussion autour du lemme de Yoneda ici dans "Foncteurs et transformations naturelles").

- En bref, avec Freud, tu peux juste  construire ℕ ?

- Oui; ℕ qui n'a pas de limite, puisque tout nombre n a un successeur n+1. Mais l'esprit humain ne fonctionne pas de cette façon : une répétition indéfinie est épuisante en termes de ressources humaines. Je dois pouvoir parler de ℕ, vu "globalement", autrement dit l'identifier et lui donner un sens (passer des performances à une compétence / Chomsky); même s'il m'est impossible d'en détailler tous les éléments. Comme je parle d'une forêt, sans détailler chaque arbre qui la compose et d'un arbre, sans représenter chacune de ses feuilles.

- D'accord : Tu peux faire une application de ℕ dans l'intervalle [0;1[ de ℝ, avec Cantor (voir "etc." et "Les limites d'une approche")... Mais si tu pars à cette allure, tu n'y arriveras pas en 1h30 !

- Je voulais juste tu faire remarquer :

1. qu'il y a une discontinuité entre discret et continu,
2. que pour passer de l'un à l'autre, le Sujet doit faire un "saut", transition qui reste indicible;
3. que l'automatisme de répétition Freudien reste limité au domaine discret.
4. => Nous verrons que dans cette répétition du "même", ce "même" change de nature après chaque saut.

- Lévi-Strauss nous dit qu'une série de mythes connote un Symbole qui échappe à toute définition précise, s'opposant à l'utilisation de la parole pour dénoter ou identifier les choses.

Pour exprimer cette dualité, j'ai introduit les glyphes 𓁝&𓁜 qui, pour nous au XXI^e siècle sont très peu connotés, pratiquement vierge de toute signification précise. On peut donc attribuer à ces signes des sens plus précis en fonction des discours : (Note 14)

Pour exprimer correctement le fait qu'un discours est l'expression d'un Sujet, j'ai été obligé d'introduire le symbole 𓂀 à l'extérieur de son discours mis entre parenthèses : (...)𓂀, indiquant par là que le Sujet s'exprimant, ou Auteur, est toujours en posture ex post par rapport à celui-ci.

- Si 𓂀 est nécessairement en posture 𓁜 lorsqu'il se représente en posture 𓁝 par (𓁝...)𓂀, avec 𓁝= ⌐𓁜, c'est dire que nous ne sommes pas dans une logique binaire...

- Effectivement, 𓂀 est le tiers exclu de l'ensemble {𓁝;𓁜}, nous y reviendrons en temps opportun.

 - Il faut d'abord traiter des problèmes liés au fait que le Sujet peut parler de ce qu'il ne "comprend" pas, ou ne perçoit qu'imparfaitement, ou parler de lui-même sans pouvoir se définir rationnellement, voire mentir et/ ou manipuler l'Autre...

- Autrement dit il faut fixer des limites à la re-présentation du discours ?

- Oui, et pour ce faire,

1. Je reprends le triptyque de Lacan : Réel—☯/Imaginaire/☯—Symbolique :
   => ☯&☯ sont extérieurs à l'Imaginaire
2. Les limites Imaginaires à la frontière du Réel et du Symbolique s'expriment en langage des catégories par les concepts d'objet initial et final :
   => ☯/[∃]&[∅]/☯
3. Le Sujet circule dans son Imaginaire entre ces deux limites :
   =>  [∃]𓁝𓁜[∅]

- Qu'entends-tu concrètement par "circuler" ?

- C'est une métaphore: 𓂀 parle (...)𓂀 des changements de postures du Sujet 𓁝𓁜 en termes de "succession". Pour exprimer ce "temps narratif", j'utilise le symbole ⏩.

Ce qui donne 2 types de mouvements (cf. JP Changeux : percept/ concept) : (Note 7)

• S↑ : ( (☯[∃]𓁝𓁜[∅])⏩([∃]𓁝𓁜[∅]☯))𓂀 / immanent ou 1^e entendement de Spinoza
• S↓ : ( (☯[∃]𓁝𓁜[∅])⏩([∃]𓁝𓁜[∅]☯))𓂀 / transcendant ou 2^e entendement de Spinoza

- C'est ici qu'il faut introduire le duo linguistique de Saussure:

• Synchronie:
  Est synchronique ce qui est suffisamment "stable" pour que tu puisses t'y référer :
  • soit ex post :  𓁜
  • soit ex ante :  𓁝
• Diachronie:
  C'est le passage d'un état synchronique à un autre, qui est repéré par  ⏩ dans le discours d'un Sujet (... ⏩...)𓂀.

- Autrement dit, en termes de "postures" du Sujet dans son propre Imaginaire, il se retrouve en posture finale 𓁜 après une évolution  𓁝⏩𓁜, pour en parler ex post. Mais tu nous parles linguistique quand il s'agit d'introduire l'objet ?

- L'objet d'un discours ! Et non ce qui serait un "objet en soi", qui n'a pas de sens, puisque nous n'avons que des :

• présentations de l'objet aux limites de l'Imaginaire:
  • du Réel ☯ en [∃]𓁜
  • du Symbolique ☯ en 𓁝[∅]☯
• re-présentations de l'objet  entre les deux limites  [∃]𓁝𓁜[∅]

- Bon, soit, mais ces postures se réfèrent bien à quelque objet du discours, non ?

- C'est là qu'il me faut faire un choix de présentation, parmi une multitude de possibilités qui pointe toujours sur le même constat. Je vais dire ceci :

=> à partir de la limite [∃], ce que je repère en premier c'est l'automatisme de répétition lui-même. ce qui fait sens, c'est la répétition :

• Je dénote cette prise de conscience par l'étiquette [⚤]𓁜;
• Le passage lui-même [∃]/[⚤] est indicible (puisque avant de l'étiqueter, ou de le re-présenter je n'en ai pas le mot pour le dire).
• Je considère ici mon attention, tournée vers l'objet final  [∃]𓁜;
• 𓂀 décrit ce mouvement S↑ par : (([∃]𓁜)⏩([⚤]𓁜))𓂀

=> à partir de la limite [∅], il me faut donner un sens 𓁜 à la virtualité offerte par 𓁝[∅] (Note 2), autrement dit je donne un sens à ma représentation en [♻], dans un mouvement S↓ : (([♻]𓁝𓁜[∅])⏩([♻]𓁝𓁜[∅]​​​​​​))𓂀. Ici, 𓂀 s'intéresse à l'intention du Sujet.

- OK, et entre [⚤]&[♻] ?

- Le Sujet tente d'accorder son attention à son intention et vis versa  ([⚤]𓁝𓁜[♻]​​)𓂀 (JP Changeux : la prise de conscience étant la rencontre entre un concept [♻]​​ et un percept [⚤]).

- Tu étais parti de [♻]𓁜 et non de la limite [∅] ?

- Oui, excuse-moi, il faut aller plus en détail :

• Le passage de (([♻]𓁝𓁜[∅])⏩([♻]𓁝𓁜[∅]​​​​​​))𓂀, exprime le passage du virtuel 𓁝[∅]​​​​​​ au potentiel [♻]𓁜: les états parmi lesquels il es possible de choisir,
• le choix étant dans le passage subséquent : ((𓁝[♻]𓁜)⏩(𓁝[♻]𓁜​​​​))𓂀.

- On arrive à cet Imaginaire :=>  ☯[∃][⚤][♻][∅]☯, mais tu ne nous a toujours pas défini l'objet du discours ?

- On peut dire qu'il se situe :

• Soit en [⚤], et il est de l'ordre du multiple, (les abeilles toutes semblables de Socrate dans le Menon)
• Soit en [♻] et il se rattache à l'unité d'un sens qu'il aurait pour le Sujet 𓁜​​​​ dont parle 𓂀 (le Un de Platon).

- Je croyais que tu rejetais Platon ?

- On pourrait partir de Lao Tseu (Note 7), mais les discussions philosophiques viendront après.
=> Pour l'heure j'aimerais que tu retiennes cette idée:

• La notion de "substance" d'un objet va se discuter autour de 𓁝[♻]𓁜
  => pense à un volume qui se conserve;
• La notion "d'existence" de l'objet se traite au plus proche du Réel en [⚤]𓁜
  =>  pense au trauma du Réel.

- Nous avons donc notre petit Sujet  𓁝𓁜 qui se balade sur un "ruban" Imaginaire où nous avons repéré quelques points de stabilité : [∃][⚤][♻][∅]. Mais l'histoire nous apprend que l'homme ne se contente pas de cette scène primaire: il veut comprendre ce qui se passe en coulisses, et donner un sens même à l'inexplicable.

- Tu veux dire boucler [∅] sur [∃] ? (Note 8)

- Exactement.
(Problème je n'ai pas le temps de développer les aspects philosophiques de ce besoin, donc je shunte)

Mais tu vois bien qu'il y a un problème : dans cette répétition, j'initie un mouvement indéfini, que je veux éviter, parce que mon esprit ne fonctionne pas ainsi : je dois clore ma représentation par souci d'économie. Pour ce faire, je dois passer de 𓁝[∅] en 2 à [∃]𓁜 en 1, en comprenant [∅]&[∃] comme les 2 faces d'une même pièce, ce qui me donne un ruban de Moebius :

Par commodité, je repère le premier tour par ♧ et le second par ♡, en intervertissant [⚤]&[♻], pour respecter un sens de circulation sur cette bande :

Il y a énormément de choses à développer à partir de là, depuis Platon jusqu'à la querelle des Universaux au Moyen Âge, mais il faut avancer à marche forcée..
=> Retiens que nous décrivons l'espace Imaginaire en utilisant pour l'heure :

• 4 niveaux  [∃][⚤][♻][∅]
• 2 modes ♧ & ♡.

B/ Évariste Galois

- Bien entendu, si je me focalise sur Évariste Galois, il faut le comprendre comme une simplification de l'évolution de notre Imaginaire Occidental ! Il faudrait évoquer Galilée, et Descartes, ainsi qu'une multitude de géants sur les épaules desquels nous avançons. Il s'agit d'un point de bâti fixant les grandes structures du costume.

- Au fait !

- Après Galois, notre Imaginaire se stabilise avec l'insertion d'un niveau [#] et d'un mode ♢ supplémentaires dans le schéma Platonicien :

J'explique en deux coups de cuillère à pot :

Lorsqu'il cherche à établir une formule rationnelle permettant de calculer les racines d'un polynôme P  quelconque :

1. Il sait d'avance que ces racines existent dans ℂ, par le théorème fondamental de l'algèbre (voir ici).
   => Démonstration de Gauss impliquant la continuité de ℂ, vu comme un espace à 2 dimensions.
2. Il construit un espace permettant de représenter les racines du Polynôme à partir d'une expression rationnelle en ℚ, en y adjoignant, pas à pas, des extensions galoisiennes, c'est-à-dire orthogonales entre elles (noté ⊥).
   => Ici l'automatisme de répétition porte sur une orthogonalité et non plus sur le principe de succession.
   => L'opération intellectuelle présidant à cette succession c'est l'union ⋃.

C'est cet espace qui s'intercale entre [⚤] & [♻], avec une première distinction dans la perception que l'on en a :

• [⚤] discret;
• [#] continu.

Lorsqu'il a étendu l'espace de définition des racines par une adjonction, il définit les objets de sa recherche par leurs symétries.

1. Les racines sont des éléments, identifiables en [⚤];
2. Ces symétries sont repérables dans un espace 2D en [#];
3. Elles sont exprimables algébriquement en [⚤] par un groupe de symétrie; Bouclage en rupture avec le concept de "succession", sans retour en arrière.
4. D'une étape à la suivante, chaque groupe de symétrie doit être inclu dans le précédent.
   =>  L'opération intellectuelle présidant à cette "succession d'inclusions" c'est une restriction ∧.

En passant de la considération des racines comme "objets" distincts à leurs relations, Galois introduit une syntaxe qui constitue le mode ♢. Par rapport à cette syntaxe, les deux autres modes s'articulent ainsi :

• Mode ♡: Sémantique;
• Mode ♢ : Syntaxe;
• Mode ♧ : Signifiants.

C/ L'Imaginaire comme surface topologique

- Pour véritablement pouvoir parler de surface Imaginaire, il faudrait définir les deux dimensions niveaux/ modes comme orthogonales entre elles : niveaux⊥modes.

- Et traiter les trois niveaux [⚤] [#] [♻] comme les 3 modes ♧ ♢ ♡ ?

- Oui, mais tu vois bien que c'est bancal : comment à partir d'une position centrale, qui serait [#]^♢ et donc syntaxique ♢, pourrais-je traiter d'une sémantique qui définit ladite syntaxe, autrement dit à partir d'une posture 𓁝♡ ou les signifiants en posture ♧𓁜 alors que le mode ♢ ne traite que de leurs relations (des boucles)? (i.e. comme ^𓁝parties d'un tout^𓁜) 

- Il faut intérioriser ces limites en mode ♢ de même que nous avons intériorisé les limites du Réel et du Symbolique dans l'Imaginaire...

D'où l'idée très tardive chez moi, d'introduire les concepts d'objets initial/ final, non seulement en pensant aux "objets" du discours mais également au "langage" lui-même pris comme objet d'un méta-langage. Voir ("L'Imaginaire fractal - le mode ♤")

Les choses	Les mots

- OK, mais quel sens donner à ces nouveaux signifiants ?

- Tout simplement que la distinction entre 3 niveaux [⚤], [#], [♻] marque l'entrée dans l'Imaginaire, par une déclaration d'existence : [∃] (nombre_⚤/ forme_#/ quantité_♻) quant à l'objet initial [∅] son sens reste inchangé : une syntaxe est l'expression d'une sémantique qui la transcende.

J'ai donc une re-présentation topologique (i.e.: à partir de [#]^♢) d'un Imaginaire du Sujet coincé entre Réel/ Symbolique & signifiants/ sémantique.

Avec un principe de répétition en mode sémantique ♡ consistant précisément à itérer cette transposition d'un tableau dans l'autre.

- Michel Foucault avait trouvé ce principe de répétition en oeuvre à la Renaissance (son "Âge Classique") avec le systèmes des signatures. (Voir "Le point #5 - Retour à Foucault")

Lorsque le Sujet se promène :

• Entre Réel et Symbolique : ☯𓁝𓁜☯, son attention se porte sur ce qu'il perçoit du monde ☯𓁜 pour lui donner sens 𓁝☯.
• Entre Signifiants et Sémantique : ♧𓁝𓁜♡, son attention se porte sur ce qu'il dit du monde pour donner sens 𓁝♡ à son discours.

- Tu retrouves une très vieille distinction scolastique (voir ici dans "Parole et création #2") entre

• ce qui est de la chose (quid de re)
• ce qui est dit de la chose (quod de re) 

- Oui, et de ce point de vue, l'opposition entre Einstein (Dieu ne joue pas aux dés) et Bohr pour qui la physique consiste à vérifier la cohérence d'une théorie, par des mesures comprises elles-mêmes comme une manière de questionner la nature, leurs positions ne seraient pas tant antagonistes qu'orthogonales :

• (☯𓁝𓁜☯)𓂀_Einstein^♡
• (♧𓁝𓁜♡)𓂀_Bohr^♡

L'un cherchant un sens au Réel, l'autre un cohérence entre des observables.

- Pour l'instant, j'imagine une surface continue traversée de "fractures", à chaque niveau / mode. 

- Comme un pavage ? C'est une bonne Image. (Note 9)

- Oui, le Sujet saute d'une posture à l'autre sur chaque pavé, et passe d'un pavé à l'autre en sautant les rainures, comme un gosse jouant à la marelle.

- J'ai tenté une représentation en utilisant Blender (voir "Gesticulations imaginaires".)

Je me suis arrêté à ceci  (voir "L'epistémé qui nous gouverne")

- Revenons aux limites de notre Imaginaire :

nous avons différentes façons de refermer cette surface sur elle-même, en considérant que les [∃] doivent se refermer sur les [∅]; comme nous l'avons fait pour le ruban de Moebius.

1/ La 1ère idée qui vient, c'est de considérer les 4 sommets comme le pôle unique P (pour 𓁝𓁜 ou 𓂀) de la structure, vue comme plan projectif. Le point de projection 𓂀 de l'"Imaginaire" est ainsi renvoyé à l'infini d'un plan "Réel", se projetant sur ce plan projectif (le Moi du Sujet).
2/ Ensuite, on peut faire un tore (en repliant la sémantique sur les signifiants)
3/ Ou encore un "cross-cap"

Avec un lien que nous avons vu dernièrement (voir "Orthogonalité niveaux/ modes") pour passer d'une représentation à une autre :

Je ne commente pas plus avant, il faut avancer.

Pour la suite, j'utiliserais une représentation "à plat", c.-à-d. que je reste en mode ♢, les questions de "fermetures" étant d'ordre sémantique ♡ que nous retrouverons plus tard.

Le 14/ 05/ 2024 :

- Il faut reconnaître que je patine depuis deux à trois jours car j'ai toujours autant de difficultés à véritablement "comprendre" la cohomologie, de façon aussi évidente que l'homologie.. 

- Une semaine pour te mettre d'équerre...

- Je n'ai pas encore l'habitude de "tourner" mon plan Imaginaire pour passer des mots aux choses, passer du point de vue de Bohr à celui d'Einstein.

-  Tu veux dire qu'il faut voir les choses d'un point de vue sémantique ♡ ?

- Oui, et revoir notre façon de représenter les postures du Sujet 𓁝𓁜.

- Aïe ! Tu veux tout reprendre à zéro ?

- Pas nécessairement.

• En mode ♧, il n'a pas tellement le choix : il est orienté soit vers l'objet initial 𓁝, soit l'objet final 𓁜;
• En mode syntaxique ♢, s'ajoute à cette dualité primaire, une seconde : soit il s'intéresse à la signification^♡ des signifiants^♧, soit à la mesure_⚤ de l'existant_♻.

C'est au coeur, me semble-t-il du calcul matriciel :

1. la première idée qui vient, dans l'inversion de matrice, c'est le changement de point de vue
   objet initial/ final, (voir "Matrice"),
2. mais nous avons glissé trop rapidement sur le second qui transpose
   vecteurs—(objets)/ (mots)—formes linéaires.
   Et je pense que ma représentation du Sujet traite mal de cette dualité redoublée.

- En lisant Lawvere, tu parlais déjà d'une matrice comme de l'application d'un coproduit vers un produit :

Fondamentalement, lorsque je définis f: C₁+C₂+...+C_m→A₁xA₂x...xA_n, en gardant en tête ce que nous avons dit du produit et du coproduit, tu vois bien que cette flèche marque la convergence possible dès I01, [⚤]^♢ entre

• un point de vue "topologique", contextuel (i.e.: C₁+C₂+...+C_m) et
• un point de vue "logique", objectivant (i.e.: A₁xA₂x...xA_n) sur l'objet que l'on décrit.

- Oui, il faut reprendre cette intuition, que je ne pouvais pas développer puisqu'à l'époque je n'avais pas encore distingué les différents modes : (Note 12)

• La logique se rapporte au discours (♧𓁝[⚤]^♢𓁜♡)𓂀^♡;
• La topologie se rapporte à la forme (☯𓁝[#]^♢𓁜☯)𓂀^♢;
• La topologie algébrique serait alors une expression de type (☯𓁝[⚤]^♢𓁜☯)𓂀^♢.

C.6.1/ Préfaisceau- faisceau :

Voir la définition ici dans l'article "Faisceaux - François de Marçais". Nous pouvons nous en faire

• une représentation de mode ♢, en réifiant les applications sous forme de flèches;
• une représentation de mode ♧, en oubliant les flèches pour indiquer étape par étape le résultat observable, de la succession d'inclusions.

mode ♢	mode ♧

À la limite la série d'inclusions converge vers un ouvert de surface nulle qui est le point, ou "germe" d'une "fibre".

- Comment passer du pré-faisceau au faisceau ?

- Il faut passer du mode syntaxique ♢ au mode sémantique ♡ pour se poser la question 𓁝[#]^♡↓[#]^♢𓁜 de la résilience du germe, à sa limite en [#]^♧, lorsque l'on change de topologie. (voir ici, toujours dans "Faisceaux - François de Marçais"). Là encore, le mode♢est le médiateur entre ♡ et ♧, et la répétition porte sur le choix de l'auteur entre les différentes topologies à partir du mode ♡; quant il porte sur l'inclusion ⊂ en mode ♢.

c.6.2/ Les avatars du point

1. En [#]^♧𓁜 : à la limite de la fibre, le point est compris ^𓁜 comme un ouvert (quoique vide);
2. En [⚤]^♧𓁜 : ce germe est identifié au singleton de Ens : (𓁝[#]𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]) 𓂀^♧
3. En remontant en mode ♢: [⚤]^♧𓁜↑𓁝[⚤]^♢ ce point est compris comme le représentant d'une structure groupe ou algèbre)  [⚤]^♢𓁜. Contexte syntaxique, dépendant d'un choix du Sujet en mode sémantique ♡: 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]^♢𓁜.
   =>   Le choix dont il est question ici, est celui de la structure associée au point. Notre singleton étant dès lors vu comme un représentant de l'ensemble des points décrits par ladite structure soit pour nous aujourd'hui ℤ ou ℤ/nℤ.

=>  En retour, cet ensemble de points ℤ ou ℤ/nℤ associé au singleton en [⚤]^♢𓁜 est associé (→) à autant de fibres 𓁝[#]^♢, est représentable géométriquement (↓) par des points sur une droite [#]^♧𓁜.

c.6.3/ revêtements

Là où le faisceau associe un ouvert à un germe, dans une descente de mode♡↓♢↓♧, au niveau [#], nous cherchons maintenant à associer des ouverts toujours au niveau [#], mais cette fois-ci à un "point" vu en 𓁝[⚤]^♢.

=>  À chaque point de la structure X en [#]^♢ est associé un ouvert en [#]^♢, d'où cette représentation d'une "pile" d'ouverts sur chaque point x  mis pour représenter soit ℤ ou ℤ/nℤ en B.

- D'où l'idée de "revêtement", et tu en reviens à la présentation d'Étienne Ghys:

 Mais pourquoi cette présentation avec ce retournement de l'Imaginaire qui semble bien compliqué ?

- Parce que je n'arrivais pas à comprendre comment l'on passe d'un "revêtement", tel un carrelage au sol à une pile d'assiettes !

À mon sens, et c'est à discuter, il y a comme une diaphonie dans le discours dû au télescopage entre deux représentations.

- Explique-toi ?

- A priori :

• Lorsque mon attention se porte sur "les choses" (entre ☯𓁝𓁜☯)  et au niveau [#], je comprends un "revêtement" comme un "pavage" géométrique;
• Lorsque mon attention se porte sur "les mots" (entre ♧𓁝𓁜♡), ce qui était simple point, se démultiplie, et un "ouvert sur la base B", renvoie à une "pile" d'ouverts en X au-dessus de B.

Ma confusion vient de ma représentation mentale du terme "au-dessus", qui n'a pas le même sens quand on me parle "à niveau [#] constant" ou en "mode ♢ constant".

	choses ☯𓁝𓁜☯		mots ♧𓁝𓁜♡
	[∅]		[∅]
	[#]♡		[♻]♢
	[#]♢		[#]♢
	[#]♧		[⚤]♢
	[∃]#		[∃]♢
Faisceaux	Formes		Syntaxe	Revêtements

J'espère que maintenant tu vois comme moi l'orthogonalité entre les 2 approches ?

D/ Homologie/ Cohomologie

- Je crois que l'une de mes plus belles surprises a été de voir de quelle façon l'homologie se construit à partir d'un constat aussi simple que:
=> "un bord n'a pas de bord". (Note 10)

Cette évidence est un constat porté sur les formes, autrement dit, lorsque le Sujet porte son attention sur "les choses" (☯𓁝[#]^♢𓁜☯)𓂀^♢, et le parallèle est à faire avec ce que nous avons vu des faisceaux.

Processus topologique en [#]♢; On déconstruit l'objet en partant des volumes en 3D, dont la surface 2D est la frontière, ensuite on passe aux arrêtes 1D délimitant ces surfaces, pour finir par les points 0D délimitant les arrêtes.  On définit une application "bord" ∂n => Im∂n+1 ⊂ Ker∂n

J'insiste sur le fait que ce processus est en [#]^♢; avec pour limites :

en mode ♡ : le sens que prend la forme de l'objet  [#]𓁜
en mode ♢ : répétition
en mode ♧ : le point défini par une frontière vide en 𓁝[#]

- Tu viens juste de dire précédemment que la topologie était un discours sur les objets, de la forme (☯𓁝[#]^♢𓁜☯)𓂀^♢ ?

- Oui, bien sûr, mais c'est, la répétition en mode ♢, qui permet le passage à la limite du mode ♡ à ♧. On garde l'idée d'un processus permettant de médiatiser le passage direct ♡↓♧

Il s'agit donc d'un processus S↓, où l'on passe de l'objet en ♡ au point en ♧, en procédant par étapes en ♢.

Homologie en [⚤]^♢:

L'idée qu'un "bord n'a pas de bord" est purement topologique et géométrique, de niveau [#], cependant il est très facile de l'exprimer en termes de groupes de niveau [⚤]^♢. 
Im∂_n+1 ⊂ Ker∂_n <=> Im∂_n+1 est un sous-groupe distingué de Ker∂_n.

=> l'homologie peut être vue comme un foncteur ← de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupes abéliens gradués (Note 5). D'où l'expression du groupe d'homologie: H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1. Ce qui complète notre schéma de la répétition en mode ♢ :

		[⚤]♢		[#]♢
	Im∂n+1	[⚤]𓁜		[#]𓁜
			↓ ∂n+1
	Hn=Ker∂n/Im∂n+1	𓁝[⚤]	←	𓁝[#]
			↓ ∂n
	Ker∂n	[⚤]𓁜		[#]𓁜

Cohomologie en [⚤]^♢:

Cochaîne

- Je vais reprendre cet exemple très basique de dénivelées sur 3 pistes de ski :

À chaque point des parcours A, B et C est associé son altitude, et les dénivelées sont les différences d'altitudes.

=> Les co-chaînes sont les valeurs attribuées aux éléments de géométrie :

• Les 0-cochaînes sont les altitudes des points A, B, C;
• Les 1-cochaînes sont les dénivelées d(AB); d(BC); d(AC)
• La condition d(AC)=d(AB)+d(BC) est un "cocycle"

Cet exemple met en lumière l'idée que la circulation à partir d'un point quelconque de la structure doit se "boucler", ce qui, en [⚤]^♢, se traduit par une structure de groupe, soit Hⁿ pour les éléments de degré n.

Et c'est peut-être ce qui caractérise fondamentalement le passage [⚤]^♧↑[⚤]^♢.

- Tu peux préciser?

- Je propose ceci :

• En [⚤]^♧, nous sommes limités à la notion de successeur > (et d'ordre), de Ens et à la construction de  ℕ;
• En [⚤]^♢, nous exprimons l'idée topologique de "boucle" autour d'un vide par une rupture dans la succession avec l'introduction d'un signe "-" dans une expression algébrique pour arriver à : (...+...+...-)=0.
  Dans l'exemple : d(AB)+d(BC)-d(AC)=0

Fondamentalement, ce retour possible au point de départ détruit la notion d'ordre propre à [⚤]^♧ en exprimant l'idée topologique de "faire le tour d'un vide" par une expression algébrique.

Maintenant nous pouvons positionner le duo: n-chaîne / n-cochaîne :

L'image de la chaîne C_n(X) dans X par l'application cochaîne φ est un élément de G.

Cobord (voir Scienta Egregia )

Le cobord δ, présenté comme le dual de l'application bord ∂, est en fait la combinaison de deux applications ∂ et φ que l'on pourrait comprendre comme "orthogonales", en ce sens que : (Note 12)

• ∂ est propre à [#]^♢; originellement topologique, dans une approche ☯𓁝𓁜☯;
• φ est un passage [⚤]^♢←[#]^♢ dans une approche ♧𓁝𓁜♡,
• Le niveau [#]^♢ étant la charnière entre les deux démarches.

Comme tu le vois, dans la perspective ♧𓁝𓁜♡, ce qui rapproche [♧]^♢ et [⚤]^♢, c'est de s'intéresser à la syntaxe, c'est à dire aux applications, φ, δ et ∂,  et non à la nature des objets qu'elles relient. D'où la possibilité de parler d'une même voix d'objets en [#]^♢) et en [⚤]^♢.

- Comment interpréter  Hⁿ(X;G) = Ker δ_n+1/Imδ_n ?

- Ça dépasse l'objet de cet exposé, je te propose d'avancer. (Note 11)

- Ce que nous avons vu avec les recouvrements suggère cette image utilisée pour parler de section/ rétraction (voir "Identité et idempotence"):

	[⚤]♢ S	F ←	[#]♢ X

• Dans le sens [⚤]^♢←[#]^♢ on aurait la rétraction d'un espace topologique X à une base B;
• Dans le sens [⚤]^♢→[#]^♢ on aurait une section, ce qui renvoie à l'idée d'une "variété" dans X.

C'est dans ce contexte que je situe les "schémas" de Grothendieck F : S←X.

E/ De la mesure au topos 

Nous n'avons pas encore parlé du niveau [♻]

En mode ♧, nous avons vu, de façon très grossière, :

• Que le niveau [⚤] se caractérise par la notion de successeur, ou d'ordre < entre éléments^𓁜 discrets;
• Qu'au niveau [#], l'idée de ^𓁝partie d'un tout, implique de pouvoir clore l'objet, dans le mouvement 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜;
• L'idée au niveau [♻] est de réintroduire de l'ordre dans les formes.

"De façon informelle, une mesure a la propriété d'être monotone : si l'ensemble E est un sous-ensemble de F, la mesure de E est inférieure ou égale à celle de F. De plus, on impose à la mesure de l'ensemble vide la valeur 0."  Wikipédia

D'un point de vue sémantique ♡ :

En bouclant les extrêmes, on peut écrire : (voir "L'épismété qui nous gouverne - triptyque d'Emma Noether")

1/ Un objet existe ([∃]^♧𓁜) dans la mesure où il se conserve([♻]^♡𓁜): 
(à discuter avec  les variations "cogito ergo sum" / "ego sum ego existo": "ego cogito ergo sum" chez Descartes)

2/ Une mesure ([♻]^♧𓁜) est une réponse à un choix (𓁝^♡[⚤]) 
(cf. : "The principes of quantum mechanics" de Dirac)

En mode ♢

Entre ♧ & ♡, le mode ♢ doit permettre d'articuler les notions de nombre/ forme/ grandeur, et là je fais référence à l'intro de Grothendieck à "Récoltes et semailles".

Pour le dire très vite, parmi tous les possibles chemins [⚤]^♢→[#]^♢, la grandeur en jeu doit se traduire par l'existence d'un foncteur [⚤]^♢←[#]^♢, signe de la convergence entre un processus S↑ et S↓ en termes d'entendements. C'est là qu'il me faut, semble-t-il placer l'idée de "topos de Grothendieck". Quant au "topos classifiant", il serait en [⚤]^♢.

- Et c'est tout ?

- Non, si j'ai le temps : de  [♻]^♢𓁜, la suite bien entendu c'est de passer au mode ♡.

Nous avons vu qu'alors il y a une correspondance entre les mots et les choses, et que notre topos se retrouve en [#]𓁜^♢; d'où tu peux exprimer les questionnements de Grothendieck sur les "descentes" (voir "Parole et création #1")

"Soit u: S′→S un morphisme de schémas, le "morphisme de changement de base". La théorie de la descente [Grothendieck FGA, Séminaire Bourbaki 190, 1959-60] considère des problèmes des types suivants.

• Descente de propriétés : soit X un schéma sur S et X' sur S' déduit de X par changement de base. Supposons que X'/S' ait une propriété P. Peut-on conclure que X/S vérifie P ?
• Descente de morphismes : soient X, Y sur S, X' , Y' déduits par changement de base et g′ : X′→Y' un morphisme de S′-schémas. Quand g′ provient-il par changement de base de g: X→Y ?
• Descente d’objets : soit X' sur S' . Quelle est la donnée de descente sur S' requise pour construire X sur S dont X' se déduise par changement de base ?"

Toutes ces questions portant sur le choix d'une base 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]𓁜^♢, et des conséquences dans la relation [⚤]𓁜^♢⇆[#]𓁜^♢ s'inscrivent dans ce cadran Imaginaire :

F/ Des ponts d'Olivia Caramello au Sujet comme topos

Si nous nous intéressons maintenant à la syntaxe même de notre schéma qui est une expression en [#]^♢, Olivia Caramello l'exprime très clairement : (voir "Olivia Caramello à Shangaï").

"You have to think in terms of the syntax-semantics duality: you can have different syntaxes that talk about the same semantics. It’s like different languages that we might use to describe what happens in the real world: we can talk in Chinese or in English or in Italian, and each of these languages provides a different syntactic presentation for what is going on in the world. In mathematics what we have is the formal analogue of this..." p. 5

On peut aisément représenter ceci par :

Lorsque Olivia parle de passer par le sommet d'une montagne pour aller d'une vallée à l'autre, il vient assez simplement le passage :

C'est ce schéma qui me fait espérer pouvoir traiter des postures du Sujet dans son Imaginaire avec les outils catégoriques, à partir de l'idée que le "Moi" du Sujet est représentable par une surface topologique dont le groupe fondamental serait (Sujet; niveaux; modes).

- Et quel serait le topos classifiant du Sujet ? 

- L'idée la plus générale serait un groupe élémentaire avec 𓁝=𓁜^-1 et 𓂀 comme élément neutre ou : (𓁝𓁜)𓂀.

- Et quelle sémantique derrière tout ceci ?

Je vous laisse broder autour du thème...

Hari

Note 1 :

Par curiosité j'ai questionné l'IA "Le chat Mistral" qui a l'avantage d'être Français, mais n'a pas localisé le mot "entropologie" dans Tristes Tropiques, comme j'en ai le souvenir.

"… Chaque parole échangée, chaque ligne imprimée établissent une communication entre deux interlocuteurs, rendant étale un niveau qui se caractérisait auparavant par un écart d’information, donc une organisation plus grande. Plutôt qu’anthropologie, il faudrait écrire “entropologie” le nom d’une discipline vouée à étudier dans ses manifestations les plus hautes ce processus de désintégration.» Les oeuvres complètes de Lévi-Strauss — La Pléiade p. 444

Extraits de "Le chat Mistral":

"Il a utilisé le concept d'entropie dans le domaine des sciences sociales. Il l'a notamment évoqué dans son ouvrage "Anthropologie structurale deux" publié en 1973, où il discute de l'entropie en relation avec la communication et l'échange dans les systèmes sociaux.

Quelques exemples d'auteurs qui ont utilisé le terme "entropologie" dans leurs travaux :

• Gregory Bateson, anthropologue et théoricien des systèmes, a utilisé le terme "entropologie" dans certains de ses écrits pour désigner une approche interdisciplinaire de l'étude des systèmes vivants.
• Jeremy Rifkin, économiste et essayiste américain, a utilisé le terme "entropologie" dans son livre "Entropy: A New World View" (1980) pour désigner une approche économique et écologique de l'étude des systèmes sociaux.
• Vincent C. Müller, philosophe et informaticien, a utilisé le terme "entropologie" dans certains de ses travaux pour désigner une approche interdisciplinaire de l'étude des systèmes complexes, en particulier dans le contexte de l'intelligence artificielle et de la robotique."

Note 2 :

La distinction potentiel / virtuel nous renvoie à Deleuze.

La frontière ne peut clore qu'un objet Indentifiable, en posture 𓁜 :

• d'où la nécessité d'un point à l'infini en géométrie.
• d'où le passage du virtuel au potentiel

Deleuze en parlait en prenant comme exemple le passage de pasteur nomade à cultivateur...

Note 3 :

En fait pas "un" triangle, mais une classe d'objets équivalents se projetant tous sur la même figure 2D. Ça nous ramène à la distinction entre identité et idempotence

Note 4 :

En ce sens, le vide ^𓁝∅ est exprimable en [⚤]^♢𓁜 (ici par 0 ),

Ce n'est pas le moment d'y revenir, mais je ne peux m'empêcher de penser à Parménide, Socrate et aux Sophistes.

Parménide : "ce qui est est". On est en [⚤]^♧.

Socrate : utilise une logique du 1^er ordre (i.e.: tiers exclu : a∨¬a  et double négation  : ¬¬a=a)

Sophiste : cette affirmation de Parménide est une restriction des possibilités d'expression.

• "ce qui est est est" une tautologie, soit sous forme algébrique : est = est ou est - est = 0; où "0" exprime l'inexistant, en [⚤]^♢.
• Je peux donc parler à la fois de "ce qui est" ET de "ce qui n'est pas" (ici en l'identifiant à 0 en posture [⚤]^♢𓁜); en suivant implicitement une logique ne respectant pas la double négation, (puisque le signifiant 0 existe en  [⚤]^♢.)

- Nous avions déjà vu qu'en  [#]^♢, c'est le tiers exclu qui n'est pas suivi... 

Note 5 :

Un groupe abélien gradué est un groupe abélien qui est muni d'une graduation, c'est-à-dire d'une décomposition en somme directe de sous-groupes abéliens indexée par les entiers relatifs.

Plus précisément, un groupe abélien gradué est un groupe abélien G qui peut être écrit comme la somme directe de sous-groupes abéliens G_n, où n est un entier relatif : G = G_n ⊕ G_n-1 ⊕ G_n-2 ⊕ ... ⊕ G_1 ⊕ G_0 ⊕ G_-1 ⊕ G_-2 ⊕ ... Les éléments de G_n sont appelés les éléments homogènes de degré n.

On dit que G est gradué si tout élément de G peut être écrit de manière unique comme une somme d'éléments homogènes. Les groupes abéliens gradués sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en algèbre homologique, en théorie des représentations et en géométrie algébrique. Ils permettent de définir des notions importantes comme les complexes de chaînes et les groupes de cohomologie.

Note 6 :

1/ Le bord :

Il faudra approfondir cette idée de "bord, vu comme une "circulation autour de ...", typiquement de niveau [#], qui vient en contravention totale de l'idée de "successeur <" propre au niveau élémentaire [⚤]^♧. En ce sens, l'idée de revenir au point de départ, et plus généralement toute expression algébrique de type (...)=0 est une obstruction à un processus (a<b<c<...<n) de niveau [⚤]^♧. D'où l'importance des signes pour définir une figure. Par exemple un triangle de côtés a,b,c que l'on boucle en écrivant a+b+c=0 soit a+b=-c, qui "obstrue" la succession a<b<c.

C'est également une autre façon de comprendre la nécessité d'une logique autre que celle du 1^er ordre en [⚤]^♢ pour écrire (...)=0

Nous avions vu il y a longtemps, qu'en s'enfonçant dans l'Imaginaire, le Sujet se referme étape par étape. 

Ça se remarque déjà en  [#]^♧ avec

• La clôture de ℝ par le point à l'infini ∞;
• La géométrie hyperbolique de ℂ 

C'est encore le cas en changeant de mode ♧↑♢ avec les groupes de symétrie en [⚤]^♢.

Avec le foncteur [⚤]^♢←[#]^♢, on rapproche deux conceptions continue/ discontinue de ce repliement de l'Imaginaire.

En ce sens, la syntaxe enchaîne les mots comme la clôture enserre le champ du cultivateur (je repense à Deleuze).

2/ Le bord n'a pas de bord :

C'est une expression de niveau [⚤]^♢, sur un constat non verbal en [#]^♢ : δⁿ.δ^n-1=0.

Là encore, il y a une limite à la régression n>n-1>....>0.

Note 7 :

Selon l'humeur de l'auditoire, rappel de Lao Tseu  (voir "Tao Te King et Dharma"):

"Trente rais se réunissent autour d'un moyeu.
C'est de son vide que dépend l'usage du char.
On pétrit de la terre glaise pour faire des vases.
C'est de son vide que dépend l'usage des vases.
On perce des portes et des fenêtres pour faire une maison.
C'est de leur vide que dépend l'usage de la maison.
C'est pourquoi l'utilité vient de l'être, l'usage naît du non-être." Tao Te King

Note 8 :

En ce sens très primitif : ce "bouclage" est aussi un automatisme de répétition au sens de Freud. À méditer...

Note 9 :

On pourrait penser à une fractale de Mandelbrot : nous aurions ici un motif élémentaire qui rempli la surface Imaginaire, et la "recouvre", mais c'est une autre approche à développer.

Note 10 :

Il faut prolonger les réflexions de la Note 6 sur le concept de "bouclage" et de "bord".

- Dans l'idée de "bouclage" ou de "groupe", il y a celle d'une circulation indéfinie, qui renvoie à l'automatisme de répétition de Freud.

- L'arrêt ou la sortie de la répétition se fait en passant au "bord du bord", qui n'existe plus. À méditer.

Note 11 :

Je note juste qu'en prenant un anneau comme G, on introduit la notion de cup-produit en cohomologie, qui conduit à définir l'intersection en [⚤]^♢, ce qui conforte notre intuition que l'intersection est le connecteur privilégié en [⚤]^♢.

Note 12 :

En relisant avant présentation :

Le changement de posture (vers l'objet final/ initial) induit la contravariance entre l'enchaînent des ∂ et des δ... À développer plus tard. Un sujet traité dans "De la propriété universelle").

Note 13 : 28/ 05/ 2024

J'ai repris la lecture de Récoltes et semailles et je tombe aujourd'hui sur ce passage "l'enfant et la mère"  p. 81 du tome 1, à propos du double aspect du travail de bâtisseur/ explorateur par lesquels Grothendieck se définit:

"On pourrait s'en tirer peut-être avec "l'enfant-qui-bâtit et l'enfant-qui-explore". En laissant non-dit que l'un est "garçon" et que l'autre est "fille", et que c'est un seul, et même enfant, garçon fille, qui, en bâtissant, explore et en explorant, bâti... Mais hier, en plus du double versant yin-yang, de ce qui contemple et explore, et de ce qui nomme et construit, était apparu, un autre aspect encore des choses.

L'Univers, le Monde, voir le Cosmos, sont choses étrangères au fond est très lointaine. Elle ne nous concernent pas vraiment. Ce n'est pas vers eux, qu'au plus profond de nous-mêmes, nous porte la pulsion de connaissance. Ce qui nous attire, c'est leur Incarnation, tangible et immédiate, la plus proche, la plus "charnelle", chargée en résonances profondes et riche en mystère — Celle qui se confond avec les origines de notre être de chair, comme avec celle de notre espèce — et Celle aussi, qui, de tout temps nous attend, silencieuse et prête à nous accueillir, "à l'autre bout du chemin". C'est d'elle, la Mère, de Celle qui nous a enfanté, comme elle, a enfanté le Monde, que sourd la pulsion, et s'élancent les chemins du désir — et c'est à Sa rencontre qu'ils nous portent, vers Elle, qu'ils s'élancent, pour retourner sans cesse et s'abîmer en Elle.

Ainsi, au détour du chemin d'une "promenade" imprévue, je retrouve à l'improviste une parabole qui me fut familière, et que j'avais un peu oublié — la parabole de l'enfant et la Mère On peut la voir comme une parabole pour "La vie, à la quête d'elle-même". Ou, au niveau plus humble de l'existence individuelle, une parabole pour "l'être, à la quête des choses".

Où l'on retrouve pleinement cette dualité 𓁝𓁜, ainsi que la posture finale 𓁝, tourné vers l'objet initial ☯ Yin.

Note 14 : 30/ 05/ 2024

- En lisant ce matin le rêve que Grothendieck relate dans le passage "rêve et accomplissement" p. 165 et suivantes, je ne peux m'empêcher de faire le rapprochement entre cette tête dont il a rêvé et qui le représente et mon 𓁝𓁜. Rêve qu'il nomme  "Traumge-sicht meiner selbst" (i.e.: visage rêvé de moi-même)

- Je ne vois pas le rapport ?

- Il dis à son propos deux choses qui font sens à mes yeux, bien qu'il ne s'y attarde pas :

1. La tête, vue de profil regarde à gauche et à droite 𓁝𓁜:
   "le rêve dont je parle ne comportait aucun scénario, ni action d'aucune sorte. Il consistait en une seule image, immobile, mais en même temps, très vivante. C'était la tête d'une personne, vue de profil. On la voyait regardant de droite à gauche. C'était un homme d'âge mûr, imberbe, chevelure folle, faisant autour de la tête comme une auréole de force." p. 166
   "... Ce rêve était un lien délicat et vigoureux à la fois, entre un présent, lesté encore, par bien des poids provenant du passé, et un "demain" tout proche que ce présent contient en germes, un "demain" qui est dès à présent, et qui est en moi depuis toujours sûrement". p. 169
2. L'auteur de cette représentation est absent de la scène (𓁝𓁜)𓂀:
   "il n'y avait pas une deuxième personne présente, un "je" qui aurait regardé ou contemplé cet autre, dont on ne voyait que la tête."

Or, et c'est ce qui me frappe dans tout son développement, la dualité joue un rôle prépondérant dans ses préoccupations. Je pense, par exemple à la "dualité de Verdier" (voir note de la page 158), sans parler bien entendu de ses constantes références au Yin Yang : (☯𓁝𓁜☯)𓂀...

- C'est étonnant quand même qu'il ne se soit pas arrêté à cette antinomie entre "image immobile" et ce profil "regardant de droite à gauche"....

- Je pense qu'il n'est pas le seul à ne pas la voir... J'avancerais même que personne ne se donne la peine de la voir, repense à ma surprise lorsqu'Alain Connes a pris la parole lors du colloque de Dimpsy (voir "Lacan et Grothendieck - L'impossible rencontre ?")

Mon questionnement sur le regard de soi à soi ou de soi à l'autre est déjà dans l'introduction de Michel Foucault aux "Mots et aux choses"...

- Tu singes Foucault en illustrant cet article d'une réinterprétation des Ménines par Picasso ?

- Juste un clin d'oeil 😏

Cobord