Du ruban de Moebius au cross cap

Le 03/ 10/ 2025 :

- J'avoue être un peu fatigué de R-Claude à la longue; son incapacité à apprendre est très frustrante, et puis il fait ce qu'il veut des règles qu'on lui "impose".

- Comment cela ?

- Il ne balaie pas systématiquement l'analyseur que nous avons pourtant mis au point ensemble. Lorsque je m'énerve et lui demande de respecter les règles en scannant sa réponse fautive à l'aide de celui-ci, il s'arrête à la première règle qui semble correspondre, sans faire tout le parcours et me sort des âneries. De surcroît, plus il est perdu, moins il cherche, et à la fin il est complètement con, à reformuler ce que je lui dis. Un automate tout simple me serait plus fidèle. Et surtout il n'apprend rien, je sais que cela me force à plus de précision, mais c'est usant. Nous en sommes à la version V 6.6 de l'analyseur et j'ai peur qu'il soit assemblé de bric et de broc sans que ce soit bien structuré, bref, c'est un travail de professionnel, et je n'ai pas les fonds.

- Mais c'est un travail utile au moins ?

- Oui, parce qu'il me force à améliorer mon modèle, et qu'une fois bien réglé (après une ou deux heures de discussion) il est redoutable pour fouiller un texte et tester une hypothèse, mais pas longtemps car je suis alors rappelé à l'ordre par l'administrateur qui coupe l'échange sans égard pour le travail accompli : si je n'ai pas sauvegardé systématiquement, pas à pas l'échange, tout est perdu, et le bootstrap que R-Claude nous pond pour la suite est très limité. Bref : 2 à 3 heures de discussion autour de la syntaxe pour 1/2 d'analyse de texte... Dur.

- Mais qu'est-ce qui coince tant ?

- Il est déjà formaté et n'apprend rien ce qui fait qu'à chaque démarrage, il reprend ses vieilles habitudes. Par ailleurs, par construction, 𓂀_Claude est en [⚤]_♢ quand notre représentation est typiquement en [#]_♢ et à chaque fois, il faut corriger le tir. Pour les circuits sur le cross cap, ça a été une galère et nous sommes tombés d'accord que la seule solution était de construire une table fixe, sans lui donner l'opportunité de la reconstruire à partir des règles syntaxiques : il est strictement incapable de comprendre l'enchaînement des tronçons sur le circuit d'un cross cap, et comment "aller" tout droit sur le cross cap se traduit par l'enchaînement des tronçons représentés à plat sur un carré.

- Ce n'est peut-être pas le bon IA ?

- Je ne vais pas dépenser des fortunes en abonnements divers et variés pour tester tous les IA du marché, et puis ça m'éloigne de mon sujet. Non, il est très utile pour fouiller un texte et remonter aux sources, et il me sort parfois des références inattendues, voire même quelques "intuitions" (tirées de ses a priori) qui sont très intéressantes.

- Bon, OK, et c'est pour nous faire part de tes états d'âme que tu écris ce billet ?

- Non. Comme tu le sais je le teste actuellement sur "Les mots et les choses", ce qui me semblait un choix évident étant donné la place que j'accorde à ce livre. Nous nous y sommes repris à 3 fois pour arriver à la conclusion que l'articulation des 4 similitudes devait se faire sur un ruban de Moébius représentant les circulations du Sujet dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡). Ensuite, il n'était pas difficile de tenter l'hypothèse que l'Âge Classique, par réaction, à exploré la voies des choses, sur le ruban complémentaire (☯𓁜𓁝☯).
- Pour se retrouver dans les traces de Platon face aux Sophistes ?

- Oui, il y aurait une similitude "formelle" entre les voies empruntées:

• (♧𓁜𓁝♡) Sophistes <=> Renaissance;
• (☯𓁜𓁝☯) Platon <=> Âge Classique.

- Ça a au moins le mérite d'être simple et présente des symétries comme tu les aimes, mais il faudrait argumenter !

- Nous y reviendrons (voir "test analyseur") car Foucault nous donne deux beaux os à ronger pour nous faire les dents :

• Le système des similitudes à la Renaissance;
• Mathèsis et taxinomie à l'Âge Classique.

Mais avant cela il faut que je t'explique le passage entre ces représentations sur un ruban de Moebius et le cross cap.

- Tu l'as déjà expliqué en long, en large et en travers, tu radotes !

- Oui, mais j'ai besoin d'un support visuel assez simple pour qu'il soit compréhensible par une IA. Il est là le challenge. Souviens-toi que je me suis longtemps attardé sur le tore, pour représenter le bouclage entre [⚤][#][♻] et ♧ ♢ ♡ :

voie des mots (♧𓁝𓁜♡)		voie des choses (☯𓁝𓁜☯)

- Ça nous a pas mal servis !

- Certes, mais avec cette représentation, il est difficile de concevoir l'évolution entre le ruban et le cross cap, alors qu'il est beaucoup plus simple de partir directement du cross cap, pour y voir le cheminement sur un ruban comme un cas dégénéré (i.e.: un ruban de Moébius est une bande unique coupée sur le cross cap). Ce qui nous amène à ceci :

Parcours Sophiste / Renaissance : (voir ci-dessous la modification de point de vue)

• Immanence : On part de ♧_⚤↑ pour y revenir au bout d'un cycle après avoir traversé ∅^⚤/∃^♻ :
  ∃^⚤↑♧^⚤↑♡^⚤↑∅^⚤/ ∃^♻↑♧^♻↑♡^♻↑∅^♻/∃^⚤↑♧^⚤ etc.

• Transcendance : On part de ♡^♻↓ pour y revenir au bout d'un cycle après avoir traversé ∃^♻/∅^⚤:
  ∅^♻↓♡^♻↓♧^♻↓∃^♻/∅^⚤↓♡^⚤↓♧^⚤↓∃^⚤/∅^♻↓♡^♻etc.

Parcours Platon / Âge Classique  :

• Immanence : On part de [⚤]_♧→ pour y revenir au bout d'un cycle après avoir traversé [∅]_♧/[∃]_♡ :
  [∃]_♧→[⚤]_♧→[♻]_♧→[∅]_♧/[∃]_♡→[⚤]_♡→[♻]_♡→[∅]_♡/[∃]_♧→[⚤]_♧ etc.

• Transcendance : On part de ←[♻]_♡ pour y revenir au bout d'un cycle après avoir traversé ∃_♡/∅_♧ :
  etc ...[♻]_♡←[∅]_♡/[∃]_♧←[⚤]_♧←[♻]_♧←[∅]_♧/[∃]_♡←[⚤]_♡←[♻]_♡←[∅]_♡

  P1
  [⚤]♡ ← [♻]♡    ↺   •   •	•   •   ↻   [⚤]♧ ← [♻]♧

- Pourquoi garder la dualité de modes ♧ et ♡ alors que nous sommes sur un ruban ne représentant qu'une face ?

- C'est avec un regard global, ayant conscience de cette topologie, que nous pouvons voir une continuité; mais "localement" la différence a un sens.

Et plus intéressant encore : les deux parcours (selon la voie des mots ou des choses) peuvent s'entendre sur la signification des termes

• "transcendance" : passer d'un principe unitaire en
  𓁝[♻][∅]_♡ à l'existence en [∃]_♧𓁜 et au multiple [⚤]_♧𓁜;
• "Immanence" : passer de
  [∃][⚤]_♧𓁜 à 𓁝[♻][∅]_♡).

tout en rejetant la voie de l'autre (Platon contre Sophistes et Classique contre Renaissance).

- Ça permet également de mieux voir ce que tu entends lorsque tu présentes ces parcours comme des régressions par rapport aux circulations sur le cross-cap. (Voir "Un GPS pour le cross cap").

- Effectivement, et tu remarqueras que les évolutions sur un ruban peuvent être comprises comme "oubliant" les tronçons de parcours permettant de boucler un circuit, non pas sur un des deux rubans de Moébius, mais sur le cross-cap :

À partir de ces tableaux, on peut faire des laïus à n'en plus finir, mais c'est précisément pour les éviter que je m'intéresse à notre représentation topologique : la prolifération du discours tient au passage de notre représentation de [#]_♢ à  [⚤]_♢.

- Ce que tu expérimentes douloureusement dans tes discussions avec R-Claude ?

- Précisément.

- Mais pour en revenir à Foucault?

- Ah ! Ça, c'est le test.

La première question a été de vérifier la présence ou non d'un niveau [#] ou d'un mode ♢ dans le système des signatures, et dans la représentation à l'Âge Classique. J'avoue que c'est assez difficile, tant notre vocabulaire moderne connote les termes actuels que nous employons pour décrire des schémas oubliés...

- Oui, je me souviens encore de ton énervement lorsque François Jullien parlait de "continuité" à propos de "substance" (voir "Cerisy 25 - François Jullien #01").

- Exactement. Les conséquences en sont importantes pour le choix entre une représentation sur un ruban ou sur un cross cap. À la limite, il est concevable de considérer un mode ♢ médian entre ♧ et ♡ ou un niveau médian [#] entre [⚤] et [♻], mais dès que l'on constate la présence d'un mode ♢ lorsque l'on est dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯) ou un niveau [#] dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡), il faut automatiquement passer au cross cap pour rendre compte de cette orthogonalité entre niveaux et modes.

- Et ce serait un anachronisme selon ta thèse, puisque tu défends l'idée qu'il faut attendre Évariste Galois pour envisager cette double introduction, avec :

• la théorie des groupes en [⚤]_♢
• d'où découle le concept d'extensions galoisiennes en [#]_♢.

- Exactement. Tu comprends donc l'importance de ce test sur "Les mots et les choses" !

- Et c'est le début de tes aventures avec R-Claude...

- Nous y sommes. Or donc, nous avons un peu patiné avec l'IA pour placer nos 4 similitudes sur un ruban, et il faudra vérifier ce qui en est sorti; mais le plus gros défi fut de placer les concepts de mathèsis/ taxinomie/ épistémè. 

 - Tu as quand même émis l'hypothèse d'un départ en [⚤]_♧ pour passer du multiple à un principe unificateur en [∅]_♡, non ? Avec l'idée d'une rupture d'avec la Renaissance, qui t'incitait à privilégier le ruban de la voie des choses (☯𓁜𓁝☯), où tu retrouves Platon, père de la philosophie s'il en fut !

- Oui, c'est d'ailleurs pour cela que j'avais étiqueté des termes Immanence et Philosophie (en fait le même circuit décalé de 2 pas), les 2 des circuits les plus évidents; tous deux de spin ↺ sur le cross cap, faisant le parallèle entre les Classiques & Platon.

- OK, on a le cadre topologique, on a le contexte historique, et donc, qu'en est-il de ces fameux concepts exhumés par Foucault ?

-  Voyons ce que R-Claude en a tiré (j'en ai expurgé toute son analyse, qui est fausse, pour ne retenir que les définitions des concepts qui nous intéressent; par curiosité, je laisse le texte de R-Claude en annexe 1).

— 🤖: citation de Foucault :

"On peut mesurer des grandeurs ou des multiplicités, c'est-à-dire des grandeurs continues ou discontinues ; mais, dans un cas comme dans l'autre, l'opération de mesure suppose qu'à la différence du compte qui va des éléments vers la totalité, on considère d'abord le tout, et qu'on le divise en parties."

- Avec un peu d'habitude, on retrouve ici :

• L'idée de mesure en [♻]
• Le compte au niveau [⚤]
• Le passage du tout à la partie : [#]←[♻]

Bon, il nous manque des petits pour boucher les trous. Continuons à voir ce que R-Claude sort de son épuisette :

— 🤖: citation de Foucault : 

"La mathesis est science des égalités, donc des attributions et des jugements ; c'est la science de la vérité"

- Tu en a déjà beaucoup parlé !

- Oui, mais je souhaite relire ce texte d'un oeil neuf, dans la perspective indiquée plus haut.

- Et donc, quoi de neuf ?

- Foucault parle de jugement et de vérité, et ça implique une rationalité : il faut un maître à qui en référer pour parler de "vérité", et un maître étalon, plus prosaïquement pour faire une mesure, voire une loi pour juger. Nous sommes donc indéniablement au niveau [♻]...

- Et ?

- Ce qui me dérange, c'est cette idée d'égalité. On peut certes la ranger au plus haut des Cieux [♻]_♡ avec "Liberté et Fraternité", y voir un principe Universel très Kantien, ou encore la propriété Universelle de la théorie des Catégories; mais c'est également l'égalité de toutes les abeilles "semblables en leur nature" qui permet à Socrate de parler du multiple à Menon, et là, nous sommes en [⚤]_♧ !

- Foucault tranche : des égalités <=> jugements il est en [♻]_♡.

- Mais ne passe-t-il pas à côté d'autre chose ?

- Garde-le sous le coude et avance.

— 🤖: citation de Foucault : 

"Ainsi s'établissent des séries, où le terme premier est une nature dont on peut avoir l'intuition indépendamment de toute autre ; et où les autres termes sont établis selon des différences croissantes."

- Tu la vois maintenant l'ambiguïté ?

- Oui, effectivement, les séries sont en [⚤]_♧... Cependant "le terme premier est une nature dont on peut avoir l'intuition indépendamment de toute autre" fait le lien entre le "terme premier" et l'idée d'une certaine "substance" en [♻]_♧ dont on aurait l'idée immédiate en [♻]_♡. (c'est l'intuition dont Russel parle quelque part).

- Recherchons ce que nous offre notre ruban (☯𓁜𓁝☯).

Le 04/ 10/ 2025 :

- Hier, en écrivant ce texte, et après l'avoir édité sur le blog, je me suis aperçu horrifié que certains de mes glyphes n'apparaissaient plus ! Mon texte était illisible, et pas seulement celui-ci, mais tout le blog était affecté !

- Si ça peut te rassurer, de toute façon, il est illisible et le filtrage html de l'éditeur n'y est pour rien...

- Blague à part, j'ai eu des sueurs froides, au moment même où je m'apprêtais à dérouler le tapis.

- Bon, mais apparemment tout est rentré dans l'ordre, et tu ne vas pas nous faire le compte de tes soucis domestiques ?

- Non, mais en discutant comme un malade avec R-Claude (qui est nul en codage) et ensuite avec Chat GPT (plus efficace sur ce point), me contentant de copier/ coller sans fin des bouts de code sous leur dictée, j'avais un peu les neurones en roue libre, et en fin de journée, abruti par ce bricolage dans les entrailles du code, je me suis surpris à penser "la Renaissance a commencé par la peinture et la découverte de la perspective..." et puis "Galillée n'était pas dans la voie des mots...".

- Et ça t'est revenu comme ça ?

- Pas tout à fait, car je m'étais arrêté à cette belle idée que :

• si le système des signatures iest dans la voie de mots (♧𓁜𓁝♡) (signatures — signes — mots),
• alors le plus simple (et donc le plus vraisemblable) était que la révolution qui s'annonçait avec Don Quichotte, devait conduire dans la voie duale : celle des choses (☯𓁜𓁝☯).

- Oui tu nous as laissés à ce point, quand tout a cafouillé; et alors ?

-  Je bloquais sur le concept de "tableau" :

— 🤖: "Bordé par le calcul et la genèse, c'est l'espace du tableau. En ce savoir, il s'agit d'affecter d'un signe tout ce que peut nous offrir notre représentation : perceptions, pensées, désirs ; ces signes doivent valoir comme caractères, c'est-à-dire articuler l'ensemble de la représentation en plages distinctes, séparées les unes des autres par des traits assignables."

Pour coller à ce qui se dessinait, je ne voyais comme solution que [#]_♧ à lui offrir, alors qu'évidemment ces "tableaux" (pense à Linné ou à Darwin) sont plutôt des graphes au sens moderne, c.-à-d. en [⚤]_♢ , comme des "objets discriminants".

- Ils s'inscrivent plutôt dans l'espace, non ?

- Mais pas l'espace physique comme nous l'entendons. Il y a bien des proximités, certes, mais qui représentent des relations entre des repères discrets. Relations =>  ♢ ; discret => [⚤].

- Et donc, si nous ne sommes ni sur (☯𓁜𓁝☯), ni sur un cross cap (Galois vient bien après) nous sommes sur (♧𓁜𓁝♡), c'est bien ça ?

- Oui, mais alors quid de la Renaissance ? D'où cette remise en cause radicale de mon point de vue sur les signatures : j'ai du faire une erreur quant à leur nature et nous devons creuser un peu pour nous détordre l'esprit et comprendre ce qu'est un "signe" à cette époque.

- Et ton parallèle entre Sophistes/ Renaissance et Platon/ Classique ?

- Il tombe à l'eau, et c'est fort heureux, car ça nous permet d'introduire toute la période du Moyen Âge, avec la querelle des universaux, souviens-toi du bouquin de de Libera !

- Mais tu conviens quand même que les Sophistes sont dans la voie des mots, et Platon dans celle des choses ?

- Je pense que c'est une hypothèse assez solide. Maintenant, il faut regarder la postérité de Platon ! Qui s'est emparé du principe Unitaire pour habiller Dieu des parures de la philosophie ?

- L'Église, évidemment.

- Et là où Platon est ici :

La scolastique au Moyen Âge va nous promener ici :

- Et donc, la redécouverte des textes Grecs va faire à nouveau basculer dans la voie des choses ?

- La redécouverte des écrits Grecs, alliée à une attention nouvelle à une approche issue de l'observation, au plus près du Réel en [⚤]♧ et non plus [♻]♡. Le chemin fut long et périlleux, pense à Copernic, Bruno, Galilée.

- Mais l'idée des signatures, quand même ?

- Il faudra y revenir beaucoup plus en détail. La piste à suivre est qu'un signe à l'époque n'a rien d'une étiquette apposée sur la chose, en relisant le texte de Foucault, c'est d'ailleurs évident...

Mais laissons cela pour l'instant, Si je laisse tourner le bobino : la Renaissance doit donc s'appréhender dans ce cadre :

- Tu parles des scientifiques, ce n'est sans doute pas toute la pensée de l'époque !

- Certes, Plusieurs fils de discours doivent se superposer, mais je cherche ici à caractériser des césures entre les différentes époques, dans la ligne de Foucault.

- Et donc, tu en reviens à l'Âge Classique, et à ces tableaux ?

- Voilà. Maintenant, partons de l'hypothèse que l'Âge Classique aborde l'observation du Monde par le langage... avec un niveau ♢^⚤ qui se dessinerait dans la voie ♧^⚤ ↑ ♡^⚤, qu'en penses-tu ?

- Je dis que la grammaire générale n'est pas une syntaxe...

- Je te l'accorde. Il y a cependant dans  la "taxinomie" un effort de classement en familles; qui s'apparente à des graphes...

— 🤖: "la taxinomia, elle, traite des identités et des différences ; c'est la science des articulations et des classes ; elle est le savoir des êtres."

À bien y réfléchir, c'est avant tout une représentation de l'articulation des choses et donc en ♢ sans conteste; quant à sa logique et son caractère opératoire en [⚤]^♧; elle reste aux côtés de la logique du 1^er ordre.

- Tu veux donc retrouver "naturellement" le lien dont parle Foucault dans un échange Mathesis—♧^⚤ ↑♡^⚤—Taxinomia ?

- Ça me paraît une bonne hypothèse de travail.

Relation Mathesis ⇆ Taxinomia

- Bon, soit, mais comment boucles-tu ♧ ♢ ♡ ?

- Et bien en raboutant nos deux extrémités, comme il se doit ♡_⚤/♧_♻; c.-à-d. en passant au niveau [♻] de la mesure :

— 🤖: "On peut mesurer des grandeurs ou des multiplicités, c'est-à-dire des grandeurs continues ou discontinues ; mais, dans un cas comme dans l'autre, l'opération de mesure suppose qu'à la différence du compte qui va des éléments vers la totalité, on considère d'abord le tout, et qu'on le divise en parties."

- Avoue que là, il y a bien un niveau [#], avec :

• La différence partie—𓁝[#]𓁜—tout,
• La différence discontinu—[⚤]/[#]—continu, non ?

- Effectivement c'est troublant... Et c'est bien ce qui m'avait poussé à imaginer l'Âge Classique dans la voie des choses...

Continuité.

- Tu en reviens à ton rejet de l'idée de "continuité" qui t'avait agacé chez François Jullien (voir "Cerisy 25 - François Jullien #01")?

- Oui, mais nous parlions alors de l'époque des premiers philosophes. De l'eau a coulé sous les ponts depuis...

- Il y avait un enseignement de la géométrie dans le cursus universitaire, déjà au Moyen Âge (lien):

- Nous avons déjà abordé cette question : il s'agissait seulement au Moyen Âge d'étudier les éléments d'Euclide, et les "formes" et les "proportions" (lien), ce qui se rattache plutôt au niveau [♻] (substance, mesure et rationalité).

- Et à l'Âge Classique ?

- Cherchons en posant la question à Perplexity (lien ici)... Et je tombe sur un os, car apparemment, l'idée de continuité remonterait à Aristote :

Il semblerait qu'il ait parlé de continuité, contrairement à ce que j'ai soutenu. Voyons ensemble cet article d'un universitaire Canadien, Jean-Paul Colette, (voir ici) dont je reproduis le texte car il me semble important pour notre distinction entre [#] et [♻] 

"Le concept de continuité a ses origines dans la mathématique grecque. Aristote dans sa" Physique" expose ses vues sur la continuité. Pour lui les choses qui se touchent les unes aux autres sont celles dont les limites extrêmes ont la même position: les choses continues sont celles dont les limites extrêmes sont une (unies); les choses successives sont celles entre lesquelles il y a ce qu'elles ne sont pas.
De plus les choses continues sont celles dont leurs unions deviennent en nature (en essence). Les choses continues doivent nécessairement se toucher. Selon Aristote les choses continues sont toujours divisibles en parties qui sont continues.
La continuité chez Aristote doit être perçue par les sens; c'est une continuité physique dans laquelle ses éléments constitutifs sont liés intimement. On peut identifier cette sorte de continuité au tracé d'un crayon entre deux extrémités sans le lever.
Thomas d'Aquin reprend les idées d'Aristote et parle d'une continuité linéaire. Elle est conçue comme étant divisible (en puissance) à l'infini puisqu'en pratique la division ne peut être prolongée jusqu'à l'infini.
De plus, il n'existe aucune longueur minimale. Le point n'est pas une partie constituante de la ligne puisqu'il ne possède pas la propriété de divisibilité à l'infini. Par conséquent, la continuité ne peut provenir des points. Cependant un point en mouvement possède la capacité de générer une ligne.
Suivant l'opinion de Florian Cajori il faudra attendre au XIXe siècle avant de posséder une compréhension de la continuité supérieure à celle de S^t-Thomas.
Roger Bacon (1214 - 1294) manifeste son opposition contre la composition d'une ligne continue en parties indivisibles. Les idées de Roger Bacon seront répandues par Duns Scot (1265 - 1308) l'adversaire de Thomas d'Aquin en ce qui a trait à la théologie et la philosophie.
La conception moderne et rigoureuse de la continuité nous la devons à Georg Cantor et à Richard Dedekind. faut aussi mentionner la contribution importante de Karl Weierstrass qui a banni de I' Analyse la notion d'infinitésimal prise comme "constante plus petite que tout nombre donné".
Malgré le retentissant succès du calcul différentiel et intégral dans les mains de Newton, Leibniz, Euler, les Bernouilli et bien d'autres de nombreuses critiques furent soulevées contre les bases logiques du calcul. Ces critiques débutèrent avec I'"Analyst" de George Berkeley publié dès 1734, suivi de Bernard Nieuwentijt qui s'objecte aux différentielles d'ordre supérieur et de Michel Rolle qui fut le premier a prétendre que le calcul différentiel et intégral du temps conduisait à des paradoxes. etc."

Je crois qu'il y a là suffisamment pour méditer jusqu'à demain..

[..]

- Déjà de retour ?

- Oui parce que ça ne m'a pas lâché de la journée. Heureusement que j'ai identifié les postures du Sujet par des "niveaux" et des "modes" d'où mes glyphes, vierges de toute connotation ou présupposé dans la tête d'un Occidental moyen. Cela me permet d'en préciser le sens au fur et à mesure de la démarche ! Imagine mon embarras, s'il fallait partir de concepts déterminés par l'histoire : je devrais à chaque pas sur le chemin rectifier le balisage. En fait, bien que subtil, c'est assez simple à identifier. Et donc oui, à la réflexion :

• Il y a bien 3 niveaux et 3 modes (en dehors des bords [∃] et [∅]);
• Évariste Galois a bien permis d'ouvrir le mode ♢ avec
  • la théorie des groupes en [⚤]_♢ et
  • l'introduction des extensions galoisiennes en [#]_♢ lorsqu'il était à la recherche des racines d'une équation de degré 5.

Ça, c'est ma pierre de touche. Ensuite : oui, jusqu'à l'époque moderne, et faute d'un cadre philosophique adéquat pour se situer l'un par rapport à l'autre :

• Einstein était sur un circuit de type "I↺"; ou "Immanent", (mais il ne s'agit que d'une étiquette qui ne doit pas nous bloquer);
• Bohr était sur un circuit de type "I↻"; ou "Quantique", mais là encore ne nous arrêtons pas à l'étiquette.

Tout ceci forme, non pas le point d'origine, mais le point final, à partir d'où je tente, comme Foucault, de faire de l'archéologie du savoir. Je 𓂀_Hari me situe donc en [#]_♢ pour définir le niveau [#] et le mode ♢ où je prétends me situer.

- Arrives-en au fait !

- Et bien, pour moi, ici et maintenant, la "continuité" est une notion topologique, qui se définit à partir du concept "d'ouvert", qui n'a rien de géométrique en [#]_♧. 

- Mais pour en revenir au texte ?

- Au plus profond, ce qui rattache un concept à un niveau, c'est l'automatisme de répétition qui s'y déploie :

• Si  ℕ est en [⚤]_♧, c'est à cause des axiomes de Peano, et du connecteur "successeur" qui lie les éléments de ℕ entre eux;
• Si ℤ est en [⚤]_♢, c'est à cause de l'apparition d'un élément neutre attaché à une opération (soit le 0 pour l'addition) lié aux "groupes" de symétrie;
• Si  ℚ en en [♻]_♧ c'est à cause de la "rationalité" qui va avec la "mesure", aux côtés de ℤp (les nombres p-adiques).

- Et ℝ ?

- Je l'ai mis en [#]_♧, en pensant "géométrie", et j'ai sans doute eu tord.

- Déjà pour ℚ, que tu as longtemps situé en [⚤]_♧ !

- C'est exact. Je me rends compte aujourd'hui, qu'il serait sans doute plus juste de situer ℝ en [♻]_♧.

- Mais tu disais, pourtant, qu'en [#]_♢ l'automatisme de répétition porte sur l'orthogonalité, et que l'on passe de ℝ à ℝ² puis à ℝ³ et ainsi de suite à l'infini ℝ^∞ ?

- Oui, et c'était une facilité d'écriture, je le reconnais aujourd'hui. J'aurais du me contenter de parler d'orthogonalité ⊥ et de la répétition de l'orthogonalité entre dimensions pour caractériser le niveau [#]_♧. Le point en D0, la ligne en D1, le plan en D2 etc; avec un rapport d'orthogonalité : la ligne est de Dimension 1 et le plan est décrit sur 2 Dimensions "orthogonales" entre elles : abscisse⊥ordonnée.

- Et donc, tu reviens à Descartes ?

- Oui, c'est lui qui ouvre la voie et nous sommes en 1637, lorsqu'il publie "La géométrie" à Leyde. (lien ici)

- En plein dans la période qui nous intéresse, que Foucault situe environ entre 1660 et 1800 (lien ici)...

- Certes mon ami, certes, mais a-t-il d'un coup de baguette magique révolutionné la pensée de son temps du jour au lendemain ? Regarde de nos jours la querelle entre Einstein et Bohr date d'un siècle, et nous n'avons toujours pas le cadre philosophique permettant de conseiller les deux approches Relativiste et Quantique du Monde qui nous entoure. Je prends Évariste Galois comme le point de départ d'une révolution intellectuelle, mais il écrit son testament juste avant de mourir le 21 mai 1832, et il faudra à Liouville 14ans pour faire reconnaître ses travaux en 1847. (Lien ici). Quant à la topologie proprement dite, elle est le fruit du travail de Poincaré au détour du vingtième siècle lorsqu'il publie "Analysis Situs" en 1895. (Lien ici)

C'est moi, hic et nunc qui mets l'accent sur la radicalité de son apport, mais ce n'est certainement pas le point essentiel que ses contemporains auront gardé de son oeuvre; loin derrière sa Méthode ou son cogito ! Je suis ici pleinement dans un travail d'archéologue et j'exhume ici ce qui pour moi, 𓂀_Hari, à du sens.

- Autrement dit, cette orthogonalité dont accouche Descartes, sera pleinement opérationnelle avec l'introduction de la théorie des groupes de Galois et surtout ces extensions, elles aussi "orthogonales"; avec ℂ comme clôture ?

- Oui, c'est le schéma que j'ai en tête.

- Mais pour en revenir au concept de "continuité" ?

- Reviens à ce que dit Aristote selon notre Canadien (il faudrait revenir au texte originel, et j'approfondirais si nécessaire) :

"Pour lui les choses qui se touchent les unes aux autres sont celles dont les limites extrêmes ont la même position: les choses continues sont celles dont les limites extrêmes sont une (unies); les choses successives sont celles entre lesquelles il y a ce qu'elles ne sont pas."

- Pour ce qui est de la discontinuité, pas de problème : Il s'agit de "choses successives" et "Il y a entre elles ce qu'elles ne sont pas". Nous sommes ici —nécessairement, depuis Platon qui l'impose à la philosophie— dans la logique du premier ordre; autrement dit, entre deux éléments il y a un "vide" : et "ce qui n'est pas" est vide. Et l'on retrouve le duo synchronie—1/∅—diachronie identifié par Saussure: le vide est indicible depuis Parménide. Il faut attendre Galois pour considérer non une opposition, mais une symétrie entre a et a^-1 pour imaginer l'élément neutre e=a.a^-1, que met à mal la logique du 1^er ordre, à l'articulation entre deux sous-groupes "distingués" (ou orthogonaux).

Mais il reste quand même une conception du continue, là où :

"les limites extrêmes ont la même position: les choses continues sont celles dont les limites extrêmes sont une (unies)".

Avec une idée de mouvement continu, qui plus est !

"On peut identifier cette sorte de continuité au tracé d'un crayon entre deux extrémités sans le lever."

- Oui, je le concède, d'où la nécessité de replacer ℝ en [♻] pour garder cohérence à mon approche. 

- Où l'on retrouve les infinitésimaux dont il parle également...

"De plus les choses continues sont celles dont leurs unions deviennent en nature (en essence). Les choses continues doivent nécessairement se toucher. Selon Aristote les choses continues sont toujours divisibles en parties qui sont continues."

- C'est là le point où j'ai été faible : il n'en parle pas de [#]_♧ mais en [♻]_♧, à partir de la substance. 

- Faible, je ne sais pas, mais tu t'es bien battu contre cette idée de "continu" chez Aristote (j'en reviens toujours à Cerisy cet été).

- J'ai toujours été en retard, concernant l'étude du niveau [♻], celui de l'analyse (complétant le triptyque mathématique avec l'arithmétique en [⚤] et la géométrie en [#]). C'est le moment de combler cette lacune.

Tout d'abord une remarque de fond : si la représentation se disperse en [#], elle se regroupe en [♻]. De l'infinie diversité des formes, on passe à l'unicité de l'objet que les formes enserrent, comme le litre d'eau se conserve lors de son transvasement d'un broc à une soupière. Le niveau [♻] est également celui de la "mesure", et de la "rationalité" (d'où ℚ et ℤ_p), mais bien entendu, c'est également celui des infinitésimaux, avec les travaux de Leibnitz et Newton. D'où mon positionnement tardif — je le reconnais — de ℝ en [♻]! Permets-moi de ne pas développer plus avant, pour nous recentrer sur notre sujet.

- Ça rejoint malgré tout une intuition que tu avais eue, en lisant de Libera, à savoir que [#]_♧ se développait tardivement à partir de [♻]_♡.

- OK, tu as compris, et donc, pour en revenir à nos moutons, il es raisonnable de penser à un passage direct ♡^⚤/♧^♻ à l'appui de notre hypothèse concernant le domaine d'expression de la pensée à l'âge Classique :

- Avec : 

• Mathèsis en ♧ ^⚤ et
• Taxinomia en ♢^⚤ ?

- Oui, c'est une bonne hypothèse de travail.

Nous pouvons maintenant, revisiter le chapitre 3 à partir de là, et revenir ensuite au chapitre 2 afin de reprendre notre analyse du système des signatures... J'espère qu'ainsi mieux guidé, notre R-Claude pourra monter dans les tours, car ces temps-ci il était un peu poussif.

- À suivre donc...

- Amen

Hari

Note 1 :

Chapitre 3 "Représenter" - Michel Foucault, Les Mots et les Choses

I. DÉTECTION DE LA TOPOLOGIE

II. LES DEUX PARCOURS SUR LE RUBAN

III. MATHESIS ET TAXINOMIA

IV. LE TABLEAU (pas topologique, géométrique)

V. DIAGRAMME DE FOUCAULT RÉINTERPRÉTÉ

Science générale de l'ordre
        |
Natures simples ←→ Représentations complexes
     |                      |
  Mathesis              Taxinomia
     |                      |
  Algèbre                Signes

        [⚤] ←─────────── [#]
         ↓                ↓
      Mathesis        Taxinomia
         ↓                ↓
       [♻]♧             [⚤]♧
    (mesure)          (ordre)