De Lagrange à Euler

- Parfois tu t'endors en espérant qu'une idée floue se dévoilera pendant le sommeil, mais en t'éveillant au matin, rien ne vient.

- De quoi parles-tu précisément?

- De l'évolution du Sujet lorsqu'il passe de IR à I#.

- Encore ? Pourtant tu as écrit suffisamment à ce sujet, non ?

- Oui, mais je n'arrive pas à une caractérisation aussi franche que pour les niveaux précédents.

• Avec I1, I01 et I0, c'est tout le développement du Sujet, et sa prise de conscience de la "consistance" de lui-même comme de l'objet qui se joue, ce qui entraîne le développement de la logique ;
• En IR nous passons d'une pensée fondée sur les simples dichotomies au concept d'orthogonalité qui, associé à l'hypothèse du continu et de la séparabilité, structure l'espace Euclidien, et grâce à l'ajout du concept de "point à l'infini", permet d'embrasser à peu près toutes les mathématiques. Dans le même mouvement, le Sujet passe de l'appréhension globale de l'objet, au stade du miroir lui permettant de distinguer entre approche "globale" et "locale", développant ainsi, à côté d'une pensée rationnelle logique orientée vers l'objet final (*), une approche topologique orientée vers l'objet initial ( ).

(Pardon pour les deux ou trois qui me suivent de rabâcher ainsi, mais certains lecteurs déboulent sans crier gare sur ce blog en ne comprenant rien à ce qui nous occupe ici.)

Mais si, comme j'en ai l'intuition, tout le langage mathématique peut se constituer en se baladant dans l'espace Imaginaire I1/I01/IR/I0, avec l'idée de "topos de Grothendieck" comme "lit commun du discret et du continu" en IR, comment dès lors caractériser ce niveau tampon I# qu'il me semble nécessaire d'introduire de force, comme un coin, entre IR/I0 ?

- Puisque tu en es aux rappels, explique-nous pourquoi tu as besoin de ce niveau.

- Le développement de l'enfant ne se termine pas au stade du miroir, mais vers onze-douze ans, en comprenant le concept de conservation d'un "volume", ce qui mène en mathématiques à définir la notion de "mesure" à partir de considérations sur la conservation du volume (je ne reviens pas sur ce que nous en avons dit en suivant Lebesgue). Notre difficulté vient de ce que ce concept, d'un niveau conceptuel très élevé, envahit rétrospectivement tout le champ mathématique, "par le haut".

- Ce n'est pas clair.

- Jusqu'ici, nous suivions peu ou prou une démarche immanente: l'enfant découvre "par lui-même", et en séquence, les différents concepts qui l'aident à structurer sa réflexion, et donc son Imaginaire. Nous sommes dans ce que Spinoza appelait une démarche immanente.

À partir de ce concept de volume, que je situe en I#, le Sujet "réfléchit" au sens propre aux conséquences de cette notion, sur ce qu'il a déjà construit, dans une démarche qui, pour le coup serait, toujours selon Spinoza, "transcendantale". Les notions de "conservation" et "d'optimisation" qui vont de paire sont, comme le reste, tirées de l'expérience du Réel, mais arrivées en dernier, elles forment le critère de jugement ultime, transcendant tous les développements du langage mathématique, avec IR<I#≤Im.

J'ai déjà relevé cet aller-retour Imaginaire en discutant du concept de "tribu" que l'on utilise en théorie de la mesure. Pour mémoire :

• Dans le mouvement I01≤Im=>I'm≤IR≤Im, on construit le concept "d'ouvert" autour d'un point permettant de parler de façon "topologique" de ce point sans s'y référer explicitement; ce qui marque le passage d'une référence à (*) (i.e;: I1<I01≤Im) à une référence à ( ) (i.e.: I'm≤IR<I0).

Mais cet ouvert implique la notion de continuité et de séparabilité.

• En I#, on construit une "mesure", s'exprimant avec le langage développé en IR. Par exemple entre A(x₁;y₁) et B(x₂;y₂) la distance d est donnée par d²=(x₁-x₂)²+(y₂-y₁)².
• Maintenant, le Sujet qui est dans la situation IR<I#≤Im, cherche le moyen d'étendre la validité du concept en I01. Au sens propre il s'agit d'une régression IR=>I01. Le problème tient à ce qu'il faille s'affranchir de l'hypothèse du continu pour passer de l'ensemble R (les nombres réels) à Q (les nombres rationnels).
• D'où l'idée de "tribu" autour d'un point A(x;y), que l'on construit en remplaçant un ouvert centré sur A par un autre (notre tribu) autour d'un point voisin A'(x';y'), aussi proche de A que l'on veut, mais repéré par des coordonnées rationnelles.

De cette façon, la physique procède, soit en utilisant le langage mathématique à sa disposition, soit en orientant de façon significative son développement en fonction de ses besoins. 

- Soit, mais à quoi ceci te mène-t-il?

- Je n'en sais trop rien, disons que pour ouvrir cette noix qu'est notre Imaginaire, je préfère procéder comme nous l'indique Grothendieck, en tentant d'amollir la coque, pour qu'elle s'ouvre d'elle-même,  plutôt que de taper dessus à coups de marteaux. C'est plus long, mais ainsi j'ai des chances de trouver le cerneau intact.

L'idée, c'est que la physique devance les mathématiques, ou plus précisément que son besoin d'expression précède les mots à sa disposition pour le dire. Ce n'est pas propre à la physique: on pourrait dire la même chose dans tous les domaines de la pensée...

- À quoi penses-tu?

- Aux psychanalystes, qui trouvent si mal leurs mots pour s'exprimer... je le dis ici, préoccupé d'en rencontrer certains samedi prochain pour discuter avec eux et quelques mathématiciens du CLE de la place du Sujet... C'est sans doute cette perspective qui m'agite en ce moment. Mais restons-en pour l'instant à la physique.

Dernièrement, je me suis donné du mal à suivre pas à pas le développement des idées en mécanique à partir des travaux de Lagrange (note 1) et, en regardant de près ses équations, j'en suis arrivé à discuter du concept de "temps", qui évolue lorsque l'on en parle de façon "locale" (I.e.: à partir d'un concept de niveau I01) ou de façon "globale" (i.e.: vu en IR, comme orthogonal aux dimensions d'espace et de vitesse).

Or, cette distinction, qui semble bien savante à première vue, se retrouve de façon assez triviale dans la différence qui s'établit entre vitesse "Lagrangienne" et "Eulérienne".

- Première fois que j'en entends parler.

- Signe que tu ne devais pas être très attentif en prépa. Pour tout te dire, je suis revenu ces derniers jours sur le site "E-Learning physique" de Benoît Hébert, prof au lycée Wallon de Valenciennes. Je l'avais découvert en écrivant mon article sur Lagrange et consort, et je ressens ces temps-ci le besoin de retrouver ma familiarité de taupin avec les opérateurs Nabla, Grad, Div, Rot et Lagrangien. 

Puis, en parcourant la playlist du blog, je tombe sur "Quantique-d'où vient l'équation de Schrödinger", ce qui tombe en plein dans mes préoccupations actuelles.

- Je ne vois pas le lien avec ton préambule ?

- Je pense que cette vidéo illustre à merveille ce qui j'essaie d'exprimer: la physique creuse toujours le même sillon, et si son expression moderne utilise les développements mathématiques les plus pointus, elle se fonde sur de très vieilles idées. Ici, l'équation de Schrödinger renvoie à celle de d'Alembert, concernant les cordes vibrantes, ce qui fait un sacré pas historique.

Pour me rafraîchir la mémoire, je revois donc dans la foulée "Corde vibrante- équation de d'Alembert", et je retrouve une notion que j'avais totalement oubliée : celle de la vitesse de propagation d'une onde, en fonction de la tension et du poids d'une corde vibrante.

- Tu nous ramènes loin en arrière !

- Ou plutôt, je retrouve mes fondamentaux, comme disent les joueurs de foot. Cette célérité d'une onde n'a rien à voir avec la vitesse de déplacement d'un point de la corde vibrante. Pour une onde transversale, cette dernière se mesure selon y quand la célérité de déplacement de l'onde se mesure en x. Leur différence s'exprime donc ici de façon très géométrique par leur orthogonalité.

- Oui, mais que recherches-tu ?

- C'est l'idée d'équation de dispersion qui m'arrête, il en parle à propos de mécanique quantique, or je ne m'en souviens plus, je vais donc à la pêche aux souvenirs. Ceci me conduit à "Ondes stationnaires et modes propres" et à "Dispersion- absorption" où s'exprime enfin le fait que la célérité de l'onde dépend de sa fréquence; d'où cet effet de "dispersion" (note 4). Mais là encore, le calcul s'appuie sur la séparation des variables temps/espace, et l'on retombe sur l'idée d'orthogonalité.

- C'est une obsession chez toi !

- Non, disons que tout ceci me conforte dans l'idée que nous sommes à un niveau Imaginaire IR≤Im pour en discuter.

Mais le plus important tient sans doute au rapprochement que l'on peut faire entre cette célérité définie à propos de la propagation d'une onde et la différence entre vitesse au sens de Lagrange ou d'Euler en mécanique des fluides. Et pour cela, j'en viens à cette autre vidéo "Cinématique des fluides - Euler-Lagrange-Dérivée particulaire".

- D'où ton pêcheur pour illustrer cet article ?

- Oui, j'ai repris cette image à Benoît Hébert.

En suivant ses explications, tu vois immédiatement que la vitesse Lagrangienne est par exemple celle d'une feuille se déplacent au fil de l'eau (i.e.: exprimant un point de vue local), quand le pêcheur, l'oeil fixé sur son bouchon s'intéresse à la vitesse du courant. Son approche est donc, fondamentalement globale.

- Pourtant le mouvement de la feuille est bien rapporté à un référentiel fixe par rapport au pêcheur.

-  Ce n'est pas l'important, car nous pouvons passer d'un référentiel lié à la feuille à un autre grâce au principe de relativité, qu'elle soit Galiléenne ou Relativiste (i.e.: passage de I'm à Im). Ce qu'il importe de relever ici, c'est la différence dans l'intention du pêcheur, qui dans le cas de la feuille, peut passer d'une vision locale à globale (i.e.: par un changement de référentiel), alors que dans le second cas, il s'intéresse à l'écoulement de l'eau, ce qui n'a aucun sens du point de vue local.

- Et quel rapport avec une corde vibrante ?

- Pour l'étude des fluides tu distingues deux vitesses :

• Vitesse Lagrangienne d'une particule : c'est une donnée (un vecteur) qui a un sens au niveau local;
• Vitesse Eulérienne en un point repéré globalement : c'est la vitesse de toute particule passant en un point donné.

Pour l'étude des cordes vibrantes, tu as une différence du même ordre entre:

• Vitesse de déplacement local d'un élément de la corde (selon les y);
• Vitesse de propagation de l'onde repérée globalement (selon les x).

(nota la même différence se repèrerait pour une onde longitudinale)

Le rapprochement entre les deux tient au rôle de l'accélération. Dans chaque cas il s'agit d'une description d'un point de vue local:

• Étude des fluides : l'accélération porte sur la vitesse Lagrangienne d'une particule;
• Étude des cordes : l'accélération porte sur une portion élémentaire de la corde.

Et dans chacun de ces deux cas, l'accélération dv/dt, comme la vitesse v=dx/dt à laquelle elle s'applique, se définit par rapport à un temps tel que défini en I'm, c'est-à-dire en référence à l'objet final : I1<I01<I'm≤IR, qui n'est pas celui utilisé globalement par Im pour exprimer les contraintes du système avec I'm≤IR<I#≤Im.(note 3)

Lorsque nous nous intéressons par exemple au profil d'une aile d'avion, cette aile est une contrainte globale dans notre description du système. Nous sommes ramenés ici à notre discussion (note 1) autour des coordonnées réduites, dans l'écriture des équations de Lagrange.

Tu remarqueras que cette approche globale se marque par des conditions portant sur les vitesses au contact de l'aile ou de l'obstacle à l'écoulement du fluide; et que l'on passe au concept de "champ vectoriel de vitesses", avec 4 dimensions indépendantes (x, y, z, t). On retrouve bien cette conception d'un temps orthogonal aux dimensions d'espace, que nous avions déjà repéré.

Et il s'agit bien d'un effet d'un saut Imaginaire de la part du Sujet. On peut même aller plus loin en avançant que nous sommes, dans nos réflexions sur les fluides, complètement plongés en I#, puisqu'il s'agira pour nous de discuter de la conservation d'une particule de fluide au cours de son déplacement.

D'entrée de jeu, cette vidéo me fait prendre conscience que ce qui caractérise le saut IR=>I# c'est en fait la notion de conservation elle-même.

- Tu ne fais que retrouver le principe de Noether, voire de Lavoisier.

- Oui, mais je ne l'avais pas encore ressenti avec cette évidence. Et cela m'amène à cette réflexion que le principe de conservation transcende les mathématiques parce que c'est un principe physique, présent à l'aube de son expression mathématique, se conservant (c'est le cas de le dire) dans tous ses avatars, jusque dans ses développements les plus récents.

- Te voilà rassuré, tu l'as cette caractérisation de I# après laquelle tu cours depuis si longtemps !

- Oui, et ceci nous permet d'écouter notre professeur de physique plus attentivement. Donc, dans un écoulement permanent, le champ Eulérien de vitesse v(x,y,z,t) ne dépend pas du temps !

- Autrement dit v=dx/dt ne dépend pas du temps ?

- Ah! Nous en revenons à notre distinction local/ global. La vitesse dont nous parlons ici n'est pas celle d'une feuille  donnée dont on suivrait l'évolution au fil de l'eau, mais celle de chaque feuille qui viendrait au cours du temps occuper une position donnée, repérée par exemple par le bouchon sur la ligne de notre pêcheur.

Maintenant, et j'y insiste, cette vitesse Eulérienne ne permet pas de définir une accélération, puisque cette dernière est une notion locale ; d'où la notion de "dérivée particulaire" en mécanique des fluides. Je te renvoie directement à 10' pour l'introduction de la dérivée particulaire dans un champ scalaire (ici une température T(x,y,z,t)) :

 DT/Dt=∂T/∂t.dt/dt+∂T/∂x.dx/dt+∂T/∂y.dy/dt+∂T/∂z.dz/dt, que l'on sépare en deux dérivées, l'une par rapport au temps et l'autre, d'ordre spatial appelée pour cette raison "dérivée convective", qui s'exprime en fonction du "gradient":

DT/Dt=∂T/∂t+(v.grad)T= ∂T/∂t+(v.∇)T (désolé pour l'absence de flèche sur v et grad et ∇: html a ses limites).

- Tu nous régurgites ce que Benoît Hébert exprime très clairement.

- Désolé, mais oui, je l'écris pour m'en imprégner. Ne vois-tu pas de quelle façon le "temps" dont on parle se dédouble ?

• Implicite dans v=(dx/dt; dy/dt; dz/dt) comme variable "locale" ;
• Explicite dans ∂ /∂t, comme variable "globale";
• Et tu caches la misère sous le tapis en écrivant ∂T/∂t.dt/dt=∂T/∂t avec dt/dt=1 ! (note 5)

Ensuite, on généralise l'approche au champ vectoriel (à 16') et là, l'explication devient délicate à suivre, puisqu'il s'agit de définir une accélération par principe Lagrangienne (locale) d'une particule donnée, à partir d'un repérage global d'un champ de vitesses Eulériennes. En repérant la particule par r le long de sa trajectoire, on a: a(r,t)=lim_δt→0(v(r+δr;t+δt)-v(r;t))/δt (nota: a et r sont des vecteurs) ce qui donne : a(r,t)= Dv/Dt=(v.grad)v+∂v/∂t (attention: il s'agit encore de vecteurs).

- Tout ceci est bel et bon, mais où nous mènes-tu ?

- L'idée qui commence à prendre forme dans ma tête est la suivante : entre IR et I#, le saut diachronique me semble être de l'ordre du gradient ou/et de ∂t, (avec un t défini en IR et non plus en I01).

Vois-tu l'évolution progressive de notre Sujet dans sa montée Imaginaire ?

• De I1 à I01, il découvre la logique, en rapportant tout, in fine à des dichotomies, c'est ce que repère Lévi-Strauss dans son étude des sociétés froides. En mathématiques, l'objet élémentaire semble être le "morphisme".
• De I01 à IR, il s'agit de passer de l'opposition à l'orthogonalité. En mathématiques, on passe du morphisme au "foncteur".
• De IR à I#, on quitte le domaine purement mathématique pour s'intéresser aux "conservations" qui conjoignent les concepts antérieurement distingués (en I01 et IR), pour nous conduire à imaginer une réalité plus "fluide", malléable comme de la guimauve :
  • module de la distance conservée dans une rotation;
  • volume d'eau conservé en le transvasant d'un contenant à l'autre;
  • énergie totale conservée, passant de potentielle à cinétique;
  • module de la vitesse conservé (en relativité) v.v=c²;
  • masse/ énergie conservée, etc.

- Belle envolée, mais où cela te mène-t-il concrètement?

- Peut-être à comprendre pourquoi le concept de gradient est covariant et celui de vecteur contravariant.

- Tu n'a toujours pas digéré cette différence, n'est-ce pas?

- Non, au point même de considérer mon incompréhension comme un symptôme au sens psychanalyste du terme ! Mais laisse-moi essayer une fois encore.

L'idée que je cherche à mettre au propre est la suivante: un scalaire, comme une température par exemple, caractériserait par principe un objet repérable en Ik+1 à partir d'éléments en Ik; avec Ik<Ik+1<Im, et donc dans une position strictement ex post du Sujet, autrement dit: globale; "grad T" marquerait donc un saut diachronique ascendant Ik=>Ik+1, vu directement ex post par Im.

Par analogie, et la construction de la vitesse Eulérienne nous y conduit, il en serait de même de "grad v".

Par contre, si tu veux définir la vitesse Lagrangienne d'un point, tu dois privilégier une approche locale, avec I'm<Ik<Ik+1<Im; rapportée indirectement par Im comme une descente : Ik<=Ik+1.

- Tu en reviens à la différence que tu établissais dans "l'Homme Quantique" entre approche physique et thermodynamique.

- Je ne récuse pas ce que j'écrivais alors, mais je prolonge la réflexion en essayant de caractériser la différence covariant/ contravariant par une différence de postures du Sujet.

- Tu as déjà abordé ce problème en utilisant la théorie des catégories (note 2).

- Oui, j'ai rapporté une "rotation" du Sujet par rapport à son miroir lorsqu'en Im il se voit en I'm, (i.e.: ou plutôt symétrie plane: les deux ne sont pas superposables) et j'ai rapproché ce mouvement d'une différence entre foncteur variant et contravariant; mais il me manque encore le chaînon portant de ce repérage mathématique à la différence qui se marque en physique entre quantités covariantes et contravariantes, par exemple dans les tenseurs qu'utilise la relativité.

L'idée qui ne vient est la suivante: 

• Vu de chaque position particulière du Sujet en I'm, tout le ramènerait au Sujet en Im (qui lui échappe), dans une vision de type "topologique", tournée vers ( ) en I0 : I'm<Im<I0 ; de son point de vue toute propriété universelle, s'exprimerait par des foncteurs contravariants;
• Pour Im, en position ex post, tout s'organise en fonction de son unique point de vue, il est donc le domaine commun à tout ce qu'il peut décrire comme une propriété universelle : I1<I'm<Im, autrement dit, son point de vue s'exprime par des foncteurs covariants.

Je dois encore y réfléchir pour ce qui concerne le concept de vecteur, mais en tout cas, ça me semble clair pour le gradient de quantités scalaires telles que la température.

À suivre...

Hari

Note 1 Voir:

• "Newton Lagrange, Hamilton, Poisson et les autres"

Note 2 Voir :

• "De la propriété universelle en théorie des catégories" où je parle du changement de posture I'm/Im et de l'importance du retournement du Sujet lorsqu'il passe de Im à I'm.
• "Formes linéaires et changements de base"
• "Matrice"
• "Produit-Coproduit" 
• "Foncteur"
• "Présentation au groupe de travail Logique catégorique" le début de la réflexion.

Note 3

En me relisant je m'aperçois rétrospectivement d'une chose évidente, qu'il me faudra sans doute développer:

• Le temps est un concept qui s'ancre dans la répétition du même, et donc toujours en référence à l'objet final (*), en I1. Le moteur primordial, ou sa forme mathématique la plus archaïque est donc la flèche d'un morphisme;
• L'espace se conçoit, de nos jours, dans une approche topologique, c'est-à-dire par le criblage d'un objet hors de portée immédiate (i.e.: des ouverts)., autrement dit, en référence à l'objet initial ( ) en I0.

J'insiste sur l'aspect historiquement daté de cette approche, qui marque une évolution culturelle sans doute récente, que l'on peut faire remonter aux travaux de Galois sur la théorie des groupes.

La définition du point ou de la droite reposent actuellement sur des considération de symétries. Voir à ce sujet le paragraphe "symétrie et orthogonalité" dans

• "Aspects de la géométrie".

Note 4

Cette notion de dispersion en fonction d'un temps défini en IR, marque une évolution irréversible, à rapprocher de l'entropie au sens de la thermodynamique, qui peut se définir en I01 (i;e.: sans recours nécessaire à l'hypothèse du continu).

Il y aurait une discussion à mener pour comprendre si la notion d'information au sens de Shanon en est affectée, et si oui comment caractériser cette évolution. Le sujet est d'importance au regard du bouclage qui l'on fait actuellement entre la gravité (un concept a priori de niveau I#) et l'information (de niveau I01).

Note 5

Ambiguïté que lève immédiatement la relativité, en distinguant :

• τ : le "temps propre" lié à l'objet;
• t : le temps lié à l'observateur t.