Penser la physique autrement #5 - Mécanique analytique Lagrange

- Il est temps de revenir à Lagrange...

- Encore ? (note 1)

- Bien entendu, puisque depuis mes derniers articles sur le sujet, j'ai compris que notre pensée la plus élémentaire, instinctive, se développe sur deux modes ♧ et ♢. 

De plus, je n'arrête pas de repenser ces temps-ci, à ce que le professeur Davide Bochetto dit de l'introduction par Lagrange, de l'énergie potentielle, et qui sur le coup m'avait scotché.

- À ce point?

- Oui, et j'enrage, rétrospectivement, que mes professeurs ne m'aient pas présenté la chose aussi clairement, et qu'il me faille y revenir sur le tard.

- De quoi parles-tu ?

- Toute ma vie, j'ai cru qu'il y avait une sorte d'échange entre deux types d'énergie : cinétique d'un côté, et potentielle de l'autre. Dans le mouvement d'un pendule, par exemple, je m'imaginais que le pendule "empruntait" de l'énergie potentielle en montant, en échange de son énergie cinétique, pour la restituer dans la descente, en prenant de la vitesse.

Or ce n'est pas du tout l'idée de Lagrange. Je retranscris ce qu'en dit Davide Bochetto à 2'54" :

"... Lagrange s'aperçoit que si l'on peut trouver une fonction V qui ne dépend que des coordonnées généralisées et que sa dérivée par rapport à la coordonnée généralisée correspond à la force subie par la particule, on peut remplacer l'équation de Newton, par l'équation dite de Lagrange."

Son intention originelle était, pour éviter la complexité de la formule de Newton F=m.dv/dt, qui est vectorielle, de s'intéresser à l'énergie potentielle. Il n'y a donc pas "échange" entre les deux énergies, mais "remplacement" de l'une par l'autre, ce qui s'accompagne du changement de mode de penser que j'avais déjà présenté de façon rapide (voir "penser la physique autrement"), et qu'il s'agit de reprendre en détail.

J'insiste sur ce point de départ : il nous faut strictement penser qu'en mode ♧, la régression Imaginaire amène au trauma initial avec le Réel, et que l'idée la plus élémentaire que l'on puisse s'en faire reste l'objet final (*), juste une existence, de niveau [∃]^♧, la pensée en mode ♧ s'articulant entre logique du premier ordre en [⚤]^♧ et géométrie (nous venons d'en discuter) en [#]^♧ à partir de là.

De ce point de vue, l'équation de Newton est bâtarde, en ce sens qu'elle mêle une "masse" qui sort d'on ne sait où, à des concepts géométriques qui, eux, sont bien de mode ♧.

- Autrement dit, l'équation de Newton demande une gymnastique Imaginaire qui se déploie ainsi : [∃]^♢→[⚤]^♢⥀[⚤]^♧→[#]^♧?

- Oui : il y a un point aveugle dans l'équation qui est précisément le concept de masse, impensé en mode ♧, avant la relativité générale de niveau [♲]^♧, à partir de la géométrie en [#]^♧.

- Ceci remis en perspective, que nous dit Lagrange ?

- Tout d'abord, il ne parle que de "coordonnées généralités", et là, il nous faut revenir à l'article "lagrange-legendre-hamilton-poisson-et-les-autres". Souviens-toi à quel point cette équation de Lagrange m'écorchait les yeux, en particulier ce que je pointais comme une incohérence dans la conception du temps :

"Tu vois bien que l'expression d(dL/dq'_α)/dt dans l'équation (1.32) a quelque chose d'alambiqué, combinant :

• la définition explicite du temps dans la différentielle "dt" 
• et celle, implicite, dans "q'_α.=dq_α/dt"."

Nous pouvons à présent reprendre ceci d'une façon qui, je l'espère, deviendra très vite évidente :

les "coordonnées généralisées" sont des concepts ([#])𓂀^♢.

- Ça demande à être argumenté.

- Très simplement :

1/ Nous ne nous intéressons qu'à leurs relations (d'où les dérivées partielles de fonctions, les unes par rapport aux autres), et donc nous sommes en mode ♢, ce qui évite le repérage vectoriel de Newton, géométrique, par rapport à une base exogène au système.

2/ Des fonctions

• pouvant être vues globalement par 𓁜 et localement (l'écriture différentielle) par 𓁝,
• a priori continues (en mécanique classique, nous y reviendrons) 

sont au niveau Imaginaire [#].

- Et le temps ?

- C'est à ce propos qu'il faut redescendre en [#]^♧; en repassant des coordonnées généralisées aux coordonnées spatio-temporelles, le temps lui-même régressant jusqu'au temps logique en  [⚤]^♧ :

- OK, j'ai compris : tu resitues tout ton discours en ♢, à l'exception du concept de temps, qui reste bien entendu au niveau élémentaire [⚤]^♧, et c'est tout ?

- Tu as juste loupé l'essentiel : la nature du discours a changé et en particulier, le concept de symétrie concerne dès lors les relations entre objets, et non plus les objets eux-mêmes.

D'où les travaux ultérieurs de Hamilton et Poisson, qui doivent se comprendre comme un travail de symétrisation de ces relations, d'ordre purement formel, sur le langage lui-même.

- Oui, et tu y avais vu un exercice de virtuose, qui ne t'avais pas trop plu, en fait tu n'aimes guère l'analyse...

- J'avais tort, car les "manipulations" opérées sur l'équation initiale de Lagrange, dans le cadre de la mécanique classique, répondent à une conception limitée à [⚤]^♧ de la symétrie, s'appuyant sur la logique de premier ordre. Autrement dit, alors que l'équation de Lagrange s'inscrit immédiatement dans un mode de pensée ♢, la logique utilisée est limitée au mode ♧.

- Dit comme ça, je suppose qu'il suffira ensuite de passer à une logique de type [⚤]^♢, pour passer à la mécanique quantique ?

- Ça me paraît effectivement la façon la plus simple d'envisager les choses ... Mais n'allons pas trop vite.

Formalisme Lagrangien :

Pour être tout à fait cohérent, il faudrait que je précise les changements de posture du Sujet 𓁝/𓁜, dans son observation de l'objet, tel qu'on peut les suivre dans la démarche de Lagrange.

- Tu en as déjà parlé.

- Oui, mais le point délicat reste toujours cette double définition du temps, explicite dans dL(q_a,q̇_a,t)/dt et implicite dans les vitesses q̇_a.

- Tu as déjà dit que l'équation de newton était "bâtarde", en mélangeant des concepts géométriques^♧ et une masse^♢...

- Ici, c'est le concept mv, qui passe directement en ♢. Mais ce changement s'accompagne d'une évolution : il s'agit d'une vitesse généralisée, considérée dans sa mise en relation avec les autres q_a et q̇_a.

- Donc tout va bien : tu as bien un discours "relationnel" ?

- Sauf pour le temps, qui reste une variable indépendante dans l'expression du Lagrangien L(q_a,q̇_a,t).

- Certes, néanmoins, comme le discours vient de 𓂀^♢, l'auteur a encore en mémoire ce qu'il avait compris du temps en ([⚤])𓂀^♧, non ?

- Il faut néanmoins marquer les fractures dans la représentation :

• Dans q̇_a, nous adoptons le point de vue de l'élément a, dans ses rapports aux autres degrés de liberté du "système", pris comme un tout, il s'agit donc d'une position ex ante 𓁝;
• Le temps en ([⚤])𓂀^♧ est considéré ex post 𓁜. 

(nota : Bien entendu, en ([#])𓂀^♧, le Sujet commence à y penser comme à l'espace, mais avant la relativité en ([♲])𓂀^♧, on peut considérer qu'il est toujours défini ex post en 𓁜.)

Et donc, nous pouvons préciser notre schéma précédent, en positionnant le Sujet :

Ce qui nous permet de comprendre le hiatus dans la définition du temps, comme associé à un changement de mode d'expression du Sujet au niveau [#]; i.e. : 𓁝[#]^♢⥀[#]^♧𓁜 .

- Tu n'as pas l'impression de sodomiser des lépidoptères en vol ?

- Ce n'est pas gratuit, car ce qui m'intéresse, derrière tout ça, c'est de situer le principe de moindre action.

En effet, je ne cesse, ces derniers temps, de me focaliser sur le triptyque de Noether, pour arriver au concept de mesure, mais s'il est bien un concept aussi fondamental à prendre en considération, c'est bien celui-là. Principe ignoré de Newton, mais qui s'invite comme par magie dans l'écriture du Lagrangien, conviens donc qu'il faut s'intéresser d'assez près à ce changement de perspective entre Newton et Lagrange!

L'idée qui me vient immédiatement, et tu m'excuseras de commencer par la fin est celle d'un carré commutatif :

- Et comment comptes-tu t'en sortir ?

- Essayons ceci :

1/ Le chemin en rouge [⚤]^♧→[#]^♧ est celui que nous avons suivi jusqu'à présent, où tu retrouves dans l'espace Imaginaire ([⚤][#])𓂀^♧ une représentation dynamique de la trajectoire de notre mobile, déjà là chez Newton. Trajectoire unique, que l'on pourrait voir comme "réelle", si ce terme avait un sens, en tout cas, "mesurable" au sens géométrique du terme en [♲]^♧.

2/ Les chemins en bleu [⚤]^♢→[#]^♢ sont quant à eux "atemporel", il s'agit juste de représenter en [#]^♢ tous les liens potentiels entre les variables libres vues en [⚤]^♢. Chaque "représentation" en [#]^♢ (pense à un diagramme des phases du système) correspondant à un trajet en [#]^♧. J'espère que tu vois la similitude avec la façon de décrire un "objet", ici l'ensemble des relations possibles entre les coordonnées réduites, par des groupes d'homologie. Le groupe élémentaire portant alors sur l'ensemble des dites coordonnées... Le schéma est le même, reporte-toi à l'article précédent #4.

3/ D'un autre côté, nous avons déjà défini le passage [⚤]^♧⥀[⚤]^♢, puisque c'est celui emprunté par Newton, pour lui permettre d'exprimer l'énergie cinétique :

4/ Pour boucler notre carré par [#]^♢⥀[#]^♧, il suffit que l'énergie potentielle en [#]^♢, corresponde à l'énergie cinétique en [#]^♧.

- Mais l'action est définie par une intégrale de L(q_a,q̇_a,t) a priori en [#]^♢ dépendant du temps en [#]^♧!

- Ce qui était bancal au départ le reste à l'arrivée, et le hiatus est toujours là: tu pars d'une position ex ante (différentielle) pour te retrouver en position ex post (intégrale) à l'arrivée, avec un changement de mode entre-deux :

Mais je suis persuadé qu'une écriture catégorique rendrait la chose plus élégante... S'il en est ainsi, comme je l'espère, alors, le principe de moindre action apparaît comme une nécessité de langage, pour "boucler" les deux modes de représentation ♧ et ♢, par un carré commutatif.

- Je t'ai vu ! Tu as pensé au "point de capiton" de Lacan, ne le nie pas, je te connais !

- J'avoue.

Ceci dit, et d'un point de vue plus philosophique, nous avons dû "monter" en 𓂀^♡, avec cette notion de "carré commutatif", pour retrouver le principe de moindre action. Nous n'en appelons pas encore à l'Être Suprême de Maupertuis, mais nous nous en rapprochons ! 

Le 25/09/2021 :

Principe de moindre action :

- Je reste sous le coup de ma surprise, d'avoir retrouvé le principe de moindre action de cette façon !

- Veux-tu dire que tu ne sais pas de ce tu écris ?

- Je dirais plutôt que ma grille d'écriture devient de plus en plus contraignante, au fur et à mesure que j'y astreins mon écriture, et qu'en retour, mon discours se coule de lui-même dans ce moule qu'il se forge; comme la sémantique se plie à la syntaxe.

En ce sens, oui, c'est un peu de l'écriture sinon automatique, du moins contrainte, qui suivrait le chemin de moindre pente, où je retrouve dans l'exercice de l'écriture, ce principe de moindre action se constituant en objet. Et cette surprise marque ma prise de conscience, comme la rencontre entre un concept et mon percept.

Et je m'émerveille, rétrospectivement, du travail de Mc Lane qui, avec le langage catégorique, nous permet de représenter si simplement, par un carré commutatif, un mouvement de pensée si naturel, si instinctif : la recherche du moindre effort... Principe d'ailleurs si général, qu'il ne se limite pas à la physique et doit se retrouver en psychanalyse d'où nous sommes partis pour mettre à nu ces deux modes ♧ et ♢ de penser...

Hari.

Note 1 :

Dans cet article, je vais revisiter un cours, sur Fun MOOC, donné par Davide Bochetto, professeur à l'ENSTA et chercheur au laboratoire d'optique appliquée du CNRS. Cours que j'ai déjà commenté il y a un an :

• lagrange-et-l-approche-topologique
• le-sujet-au-coeur-de-la-physique

Le cours est ici : Fun MOOC.

Note du 24/09/2021 :

Pour des raisons qui se décantent progressivement au fur et à mesure que j'avance dans cette exploration, je pense aujourd'hui qu'il faut amender ce qu'il faut retenir comme principe de conservation en ([♲])𓂀^♧.

Non pas E=mc², puisque la "masse" s'introduit directement en  ([∃])𓂀^♢ , dans une pensée "relationnelle", comme on le présente ci-dessus; mais plus primitivement la conservation de la vitesse propre V²=c², puisque c'est un principe purement géométrique, découlant de ([#])𓂀^♧.

Ce remaniment permet de comprendre qu'en ([♲])𓂀^♢, le principe de conservation concerne cette fois-ci l'énergie.

Et donc la "mesure" concerne cette même énergie, avec une équivalence entre énergie potentielle de niveau 𓂀^♢ et cinétique de niveau 𓂀^♧ grâce au principe de moindre action (voir #5).

- En fait, ta remarque est d'une grande banalité, à la réflexion !

- Merci, ça fait toujours plaisir.

- Ne te fâche pas, mais enfin, si tu reviens au développement historique des idées :

• la première loi relativiste est celle de l'inertie de Galiléé : v=const dans un repère Galiléen, qui établit une relation entre temps et espace, et donne incidemment la possibilité de "mesurer" le temps par une distance;
• Ensuite la loi sur la chute des corps, toujours de Galilée, est indépendante de la masse !

Il faut attendre Newton pour introduire corrélativement la masse ET la force, que nous faisons dériver d'une énergie.

Par ailleurs, de même que tu peux "charger" le domaine/ codomaine • du monoïde •⟲ en [∃]^♢ d'une "masse"; tu dois considérer que la "vitesse" est une des facons de "charger" le concept de "lien" ⟲ entre domaine et codomaine.

Ce qui te permet de reconsidérer d'une façon plus homogène les principes de "conservation" de niveau [♲] par rapport à l'objet final au niveau [∃] :