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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Présentation au groupe de travail "logique catégorique"

La théorie des Ensembles selon les Shadocks de Alain Prouté
La théorie des Ensembles selon les Shadoks de Alain Prouté

- Anatole Khelif m'offre l'opportunité de refaire cette année une présentation de mes idées. J'ai déjà un titre :

"anthropomorphisme du langage mathématique".

- Je me souviens que tu t'étais passablement vautré l'an dernier lors de ta première présentation.

- Oui parce que je prenais conscience des limites de mon approche au fur et à mesure que j'en faisais l'exposé. Ceci tenait essentiellement à ma difficulté à représenter un comorphisme, c'est-à-dire dans mon approche, une "descente diachronique".

- Fais comme si je débarquais et explique-moi simplement le problème.

- À l'origine de ma démarche il y a l'idée freudienne d'une organisation de l'Imaginaire en niveaux, d'où la notation Ik, Ik+1 etc... Les indices renvoyant à la place de chaque "niveau" dans la "pile" qu'ils forment ensemble.

Pour parler de cette disposition, j'utilise la distinction que Saussure fait en linguistique entre: (note 0)

  • Synchronie : ici se serait un concept occupant un certain niveau Imaginaire, Ik, Ik+1 etc...
  • Diachronie : qui serait le "passage" d'un niveau à l'autre, avec cet impératif qu'un concept de cette nature, ne peut être appréhendé que du point de vue synchronique supérieur. Je ne peux me "représenter" un concept diachronique entre IkIk+1 qu'en Ik+1. L'action précède le sens que je lui donne, une fois accomplie.

Après moult réflexions, j'ai considéré le triptyque d'Emmy Noether (symétrie/ conservation d'une quantité/ incertitude) comme une conséquence immédiate de cette disposition de notre entendement. L'exemple le plus simple que je puisse en donner étant celui des deux premiers étages I1 et I01 de notre Imaginaire (note 1), qui se structure chez l'enfant lorsqu'il acquiert le concept d'objet (voir "épistémologie génétique") :

  • I1 : objet final (*) le singleton;
  • I01 : objet classifiant {{*};{ }}.

Il vient immédiatement que:

  • La symétrie est ici celle que je construis entre objet final {*} et initial { }
  • La quantité conservée c'est la caractérisation de l'objet (*) identifié en I01 par l'ensemble de ses parties {*} et { } :
  • L'incertitude tient à mon propre choix entre deux morphismes (ou mouvements):
    • Identité (*)→{*};
    • négation (*)→{ }.

Dès l'origine donc, incertitude et axiome de choix me semblent comme les deux faces d'une même pièce.

J'ai ensuite défini la pensée "rationnelle" par la position ex post du Sujet (en Im) par rapport au référé de son discours (en Ik) et aux critères de son jugement (en Ik+1). De façon générique : Ik< Ik+1< Im. Si je traduis le mouvement portant d'un objet référé en Ik à un objet référant en Ik+1, ceci me donne une flèche partant de Ik vers Ik+1. Autrement dit Ik< Ik+1 équivaut à :

  • Objet domaine : concept synchronique de niveau Ik;
  • Objet codomaine : concept synchronique de niveau en Ik+1;
  • Flèche  → : saut diachronique Ik => Ik+1.

- Tu nous as déjà dit tout ceci, mais pour en revenir à l'échec de ta première présentation?

- Cela tient à ce qu'un saut diachronique descendant Ik+1 => Ik  n'a ici pas de sens (note 00). Difficulté qui apparaît dès que l'on s'intéresse aux problèmes de choix et de détermination ou d'idempotence (note 2).

Si j'analyse cette période de cafouillage comme la répétition d'une pensée inaboutie, cette répétition même est le symptôme d'un manque conceptuel, et il s'agissait en l'occurrence de ne pas avoir suivi mes propres règles.

- Je ne comprends pas, peux-tu préciser ?

- La montée diachronique, d'un niveau Imaginaire à l'autre peut se définir comme un processus de "symétrisation" progressif de nos représentations. Il s'ensuit que la nature du saut diachronique doit elle aussi évoluer d'une étape  à la suivante or, dans mon exposé, j'avais tenté d'utiliser le langage catégorique de Lawvere pour présenter l'ensemble de ma théorie, du premier niveau I1 jusqu'au dernier I0.

En bref, je m'étais attaché à caractériser les différents niveaux synchroniques (voir note 1), sans définir aussi rigoureusement chaque saut diachronique. Je me propose donc d'articuler ma présentation sous cet angle.

De I1 à I01:

Voir Note 4 pour le détail de ces niveaux.

Lorsque Descartes bâtit sa philosophie sur cet aphorisme "je pense donc je suis", il pose en fait le sujet "je" en deux parties du discours, mais dans l'histoire, qui est qui ?

- Je ne te suis pas, quelle relation avec ce qui nous préoccupe ici ?

- Descartes veut constituer le sujet comme "premier", c'est le "je suis", une déclaration d'existence du Sujet, comme le mathématicien amorcerait un discours par " Je", au plus près du Réel, en I1 selon notre terminologie.

Cependant, il ne peut le faire qu'en choisissant cette idée particulière, d'un lieu Im d'où il puisse engendrer cette pensée, autrement dit "Je pense" est quelque part au-dessus de I1 et donc : R<I1=I'm<​​Im.

  • L'existence de "Je" découle d'un comorphisme: Je suis←Je pense;
  • Qui ne peut s'exprimer que par la prise de conscience d'un morphisme identité : Je suis →Je pense.

Descartes définit son ego par une idempotence : il exprime tout et tout se rapporte à lui.

- Encore une fois, quel rapport avec notre discussion ?

- Ceci: lorsqu'à la limite du Réel, le Sujet (Im) s'imagine (I'm) à la place de l'objet final (*), en I1, avec donc I'm=I1< Im, le dualisme des points de vue (i.e.: Im ex-post en I01 et I'm ex-ante en I1) se brouille. De fait, tout comorphisme (*)A est unique, quel que soit A, et c'est une propriété universelle, autrement dit globale et non locale.

En conséquence, le discours topologique, impliquant une différence de points de vue local/ global, ne devient explicite qu'à partir de I'm en I01.

Autrement dit, et c'est ici que je veux t'amener, les notions de section/ rétraction ou choix/ détermination relèvent de la topologie (i.e.: avec un aspect dual local/ global), quand bien même n'aurions-nous aucune idée de ce qu'est un espace.

- Comment pourrions-nous aborder la topologie avant d'avoir défini un espace ?

- En représentant un concept strictement temporel de succession entre I1 et I01 par une dissymétrie spatiale dans l'écriture de la flèche qui lie (*) en I1 à {*} en I01. Or, dès que j'écris "(*)→{*}", rien ne m'est plus facile que d'imaginer "(*)←{*}" !

Ceci fait, j'ai tout ce qu'il me faut en I01 pour exprimer "à plat" tout ce qui relève de la catégorie Ens.

Maintenant, il est possible de caractériser le niveau I01, non plus dans une approche montante (ou immanente), comme ici, mais descendante, c.-à-d., pour un esprit ayant déjà acquis quelques notions de géométrie ou topologie, le niveau le plus élémentaire de l'espace.

- Ta présentation va être un peu décousue...

- Pas pour des mathématiciens ayant en la matière une culture qui me dépasse largement.

Mais avant cela, il me faut attirer ton attention sur ce qu'implique ce changement de point de vue car la symétrie que nous établissons entre les deux positions du Sujet (local/ global) oblitère une indétermination fondamentale lors du passage du virtuel au potentiel (note 3):

  • Lorsque le Sujet adopte un regard global, c.-à-d. avec l'objet final comme référé Imaginaire ultime, (i.e.: R< I1<...≤Im), il y a toujours en arrière plan un Réel qui lui échappe à jamais. La construction de N à partir d'une succession pure d'actes Ik=>Ik+1, représentables par une répétition de morphismes (*)→{*}, en garde la trace. Je peux toujours répéter mon action, et j'aurai toujours n+1>n, quel que soit n. La virtualité du Réel tient à ce que je ne le maîtrise absolument pas, et donc que je ne puisse que réitérer un acte qui jamais n'épuisera les virtualités du contact au Réel.
  • En revanche, lorsque localement, je (en I'm) rapporte un référé en Ik+1 à une base en Ik (i.e.: Ik ≤I'm <Ik+1) j'ai comme horizon Imaginaire le Sujet lui-même en Im, déterminé par son Symbolique, ses croyances ou ses théories. Autrement dit : Ik≤ I'm <Ik+1 ≤Im <S. Et dans ce cas, tout discours que je peux exprimer localement est limité aux potentialités de l'Imagination du Sujet en Im.

Ce décalage entre le virtuel et le potentiel est comme le point aveugle de l'oeil: je peux y faire face dans une représentation globale (en bougeant mon oeil), quoiqu'il soit manifeste dans chaque représentation locale (l'oeil fixe).

Et ceci se retrouve dans le statut de l'infini dans nos représentations.

Par exemple :

  • La géométrie projective (exprimant un point de vue local) se ramène à un point de vue global à l'exception du point à l'infini.
  • De même une construction locale de l'ensemble des rationnels R, nécessite l'adjonction des concepts de -∞ et +∞ pour une représentation globale de la droite.

Or donc, il ne s'agit plus ici de construire un objet à partir de ses éléments, mais de partir d'un "tout" pour progressivement en discerner les parties. Pour ce faire, laissons-nous guider par la théorie de la mesure de Lebesgue.

Je ne vais pas revisiter ici toute la théorie, mais seulement caractériser le passage de IR à I01. Je te demande juste d'accepter pour l'instant que nous n'ayons aucune difficulté à imaginer en IR la famille des parties d'un Ensemble Ω, ainsi qu'une application P(Ω) → R+.

Alors, la "mesure" m de deux parties disjointes de Ω est une application m:P(Ω)→Rtelle que :

  • m(A∪B)=m(A) + m(B);
  • m(∅)=0.

Or, ceci n'est possible (note 5) que sous certaines conditions portant sur la partition de Ω. D'où l'introduction du concept de "tribu" B sur Ω.

Une tribu B est un ensemble de parties de Ω:

  • Stable par complément;
  • Stable par réunion dénombrable;
  • non vide.
  • => ∅ et Ω appartiennent à B.

Le premier point indique bien que l'on s'en tient aux limites imaginaires du Sujet, en Im; quant au second, il permet d'espérer descendre le concept jusqu'en I01.

Une mesure (+) sur (Ω,B) : B → [0; +∞] est définie par:

  • m(∅)=0;
  • pour tout n∈N : m(∪An) = ∑m(An) avec les Ai disjoints 2 à 2.

Alors (Ω,B ,m) est un espace mesuré.

- Où nous emmènes-tu ?

- Patiente un peu, j'y arrive avec le concept de tribu Borélienne.

L'idée c'est de passer d'un recouvrement d'un ensemble Ω par une famille d'ouverts O, concept strictement de niveau IR (les ouverts étant centrés sur un point quelconque de l'espace) à une tribu définissable au niveau I01 (passage de R à Q)!

Le raisonnement est simple à comprendre en nous limitant à la droite R. Quel que soit le voisinage d'un point xR sur cette droite, je peux toujours choisir un point de coordonnée rationnelle xQ aussi proche que je veux de ce point, et qui soit à l'intérieur de l'intervalle considéré !

Donc, lorsque le concept d'espace se délite en passant de IR à I01, que mon topos (i.e.: une catégorie munie d'une topologie) se réduit à la catégorie des Ensembles, il me reste encore cette idée de tribu qui me permet de ramener la notion de "mesure" en I01.

Conséquences:

  • À partir d'une suite de sauts I1=>I01 ;(i.e.: (*)→{*} ou (*)→{ }) il est possible de définir une mesure de comptage et des probabilités (en limitant la mesure à Q, sans remonter jusqu'à R en IR);
  • Et donc, à côté de la notion de "temps", liée au concept de successeur, nous avons la possibilité d'une "température", pour en revenir à l'idée d'Alain Connes (note 6);
  • Enfin, un espace limité à des mesures sur Q serait par essence un espace de fréquences.

- Je vois bien l'influence d'Alain Connes dans tout ceci, mais qu'est-ce qui caractériserait cet embryon  d'espace ?

- Je crois qu'il faudrait revenir à l'inégalité triangulaire, qui est à la base de toute géométrie. Au plus basique, un plan est formé de 3 points (a,b,c) non alignés, avec a,b<a,c+c,b, ce qui ramène notre espace à la possibilité d'y définir une mesure.

- C'est un peu capillotracté ton affaire...

- En tout cas, ça attire l'attention sur les possibilités offertes dès que l'on a 3 éléments, et aux symétries que l'on peut définir à partir de là.

L'idée que j'ai en tête c'est que, non seulement le niveau I01 me permet de définir une "symétrie" entre deux éléments à l'aide de morphismes: A↔B, mais également entre trois éléments pris 2 à 2.

Nous aurions ainsi complété la caractérisation de ce niveau I01 par :

  • le successeur ">"
  • les ensembles N, Z, Z/nZ, Q;
  • la catégorie des Ensembles (Ens);
  • la logique de premier ordre (avec le tiers exclu);
  • l'axiome de choix (l'ego cartésien);
  • un espace de "fréquences" (avec une mesure sur Q);
  • les groupes de symétrie de C1 à C4.

- À ce compte-là, puisque par itération tu peux faire n'importe quel ensemble dénombrable d'éléments, pourquoi t'arrêter à 4 ?

- En fait, nous n'avons évoqué que les symétries sur 1, 2 et 3 éléments, celle d'ordre 4 se décomposant en 2x2, mais Évariste Galois a montré que le 5  marque un seuil (note 7).

De I01 à IR

Ce saut diachronique m'a donné beaucoup de fil à retordre, faute d'avoir compris suffisamment tôt qu'il était par essence différent du premier.

Le point mérite d'être explicité:

  • lorsqu'en I01, je réifie le concept diachronique I1/I01 qui l'a généré, je lui trouve son symétrique. Par exemple (*)→{*} me conduit d'une part à (*)→{ }, mais aussi à (*)←{*} ou (*)←{ }; que je réifie en I01 par { }→{*} ou {*}←{ };
  • d'où je peux définir la catégorise des Graphes, ainsi que la logique qui l'accompagne (avec le morphisme comme objet final);

Ayant aplati la notion de catégorie après celle de morphisme, je peux ensuite définir:

  • un saut diachronique entre I01 et IR par un foncteur entre une catégorie C en I01 et une autre D en IR (note 8).

Et dans ce cas, mon "saut diachronique" entre I01 et IR a tout d'une transformation naturelle, ou plutôt, vu de I'm, et avec des co-foncteurs  (i.e.: de IR vers I01), un morphisme de préfaisceaux.

- Tu nous ramènes à la présentation de Jean Bénabou (note 9)...

- À la réflexion, c'est peut-être la voie la plus courte pour sauter le pas ! 

L'idée de foncteurs "horizontaux" (ou "cartésiens") et "verticaux" (ou "projections") recoupe assez bien, au niveau où nous sommes, la différence qui s'établit ici entre relation synchronique et saut diachronique, comme la notion de "catégories feuilletées" recoupe celle de mon "imaginaire feuilleté".

Et puis, cette façon locale de ramener un faisceau sur sa base offre une image symétrique d'une approche globale du Sujet ramenant toute une sémantique à un niveau syntaxique. Symétrie qui nous ramène, comme de bien entendu, à nos remarques liminaires.

Un autre intérêt, sans doute, est de nous offrir un moyen général de caractériser un peu mieux notre "feuilletage Imaginaire" en nous référant à ce que Bénabou appelle "foncteur cartésien".

- Cependant, ta présentation est bancale: tu penses à un foncteur entre une catégorie en Ik et un autre en Ik+1, alors que Bénabou nous présente les choses de façon perpendiculaire! L'idée de base de Grothendieck étant d'associer (fibres en Ik+1 + projection en Ik) en objets et de pseudo-foncteurs (donc horizontaux) entre ces objets...

- Oui, Bénabou part sur cette présentation, mais la technique qu'il développe me semble pouvoir être reprise de mon point de vue, il faudrait en discuter avec lui.

L'idée assez simple qui se dégage de sa présentation est celle-ci: un feuillet (gardons notre écriture Ik) serait définissable par un ensemble de foncteurs cartésiens ayant tous même codomaine.

Muni de cet outil, il suffit pour déterminer un feuillet particulier, de caractériser un point de celui-ci.

Dans un raisonnement "métaphorique" je peux reprendre cette approche pour dire que mon niveau IR est caractérisé par le passage de N à R, autrement dit l'hypothèse du continu et de séparabilité.

Et au-delà !

À partir de là, il resterait à construire les autres niveaux Imaginaires.

- Ça augure d'une grande quantité de niveaux, tu pourrais en concevoir un de particulier pour chaque espace imaginable: espace de Banach, pré Hilbertien, etc...

- Pas forcément, dans la mesure où il nous faut distinguer entre ce qui est du domaine de la répétition, comme la construction de C en répétant R : C = R2, et ce qui est véritablement un caractère émergeant, comme nous l'avons vu ici entre I01 et IR. (note 13)

- Et quelle serait selon toi la prochaine étape?

- Il s'agit toujours d'une recherche de symétrie, et j'ai dans l'idée qu'il faudrait en la matière suivre Alain Connes. Dans cette optique, il s'agirait d'une dissymétrie au niveau IR à symétriser.

- Quelle dissymétrie?

- J'ai en tête le fait que la répétition du saut I01=>IR nous fait passer de la symétrie d'un groupe, à la symétrie en géométrie. Par exemple si tu représentes un point z=eθi du cercle unité en C, alors z2=e2θi, autrement dit tu tournes autour de l'origine (note 7).

Ce qui est "succession temporelle" entre I1 et I01, devient "successeur" dans N en I01, puis "rotation" en IR. Mais cette rotation garde un sens: par convention en passant de z à z2, tu tournes dans le sens positif.

L'idée suivante ne peut qu'être une symétrisation de cette rotation. Je te renvoie à la vidéo où Alain Connes nous parle du boson de Higgs à l'aide d'une feuille de papier (note 10).

- Soit, mais quelle serait la quantité conservée dans cette montée Imaginaire?

- Tout simplement l'idée "d'aire" ou de "volume" plus généralement, ce qui nous ramène à Lebesgue.

  • Dans un espace non commutatif  ab=-ba et (a+b)2=a2+b2.
  • Dans un espace commutatif ab=ba et (a+b)2=a2+b2+2ab

À mon sens, ce produit "ab" est véritablement le "produit" de cette montée Imaginaire. Il me semble d'ailleurs significatif que Newton parte de là pour démontrer les lois de Kepler (note 11).

C'est ce que j'ai appelé le niveau I#.

- Et ensuite ?

- Ah ! Là nous touchons à la limite de la métaphysique et au principe premier de toute la physique, à savoir le principe de moindre action de Maupertuis, qu'il faut rapprocher du plus élémentaire de notre construction Imaginaire, à savoir le principe de conservation d'Emmy Noether (note12) :

"Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible"

Si j'arrive à terminer mon exposé là-dessus, je crois qu'il y aura matière à discuter...

Hari

PS: c'est quand même un peu loin des maths, il me faut rentrer un peu plus dans le dur: voir la suite ici.

Note 0

J'y reviens en détail dans :

Texte que l'écriture du présent article m' amené à amender (voir la note de relecture du 19/02/2019).

Note 00

Voir en détail ici:

Note 1

Pour une synthèse voir "Schéma en L de Lacan et forme canonique de Lévi-Strauss", et en particulier l'étagement général de notre Imaginaire dans le triptyque Réel/ Imaginaire/ Symbolique:

Pour mémoire:

  • R : le Réel, selon Lacan, ce qui dérange l'Imaginaire, et lui échappe;
  • I1 : le niveau où se repère l'objet, en mathématique le singleton (*) et où s'exprime l'axiome de choix;
  • I01 : le niveau où se repère l'objet classifiant de la logique {{*};{ }};
  • IR : le niveau où s'exprime l'hypothèse du continu;
  • I# : le niveau où l'espace est symétrique;
  • I0 : le niveau où se conçoit le vide ( )
  • : le Symbolique, niveau auquel le Sujet s'intrique dans (SujetAutre), toujours selon Lacan.

Le mathématicien nous assure que les sauts Imaginaires sont "francs", sans niveau intermédiaire. Par exemple N, Z et Z/nZ sont imaginables en I01, mais R et C ne le sont qu'en IR

Note 2

  • "#8 -choix et détermination". Mon premier billet sur le sujet date de 01/2017, à Abidjan, pendant ma lecture de "Conceptual mathematics" de Lawvere.
  • "#9 - Idempotence et point fixe". J'ai toutes les peines du monde à m'en sortir sans concevoir la dualité du Sujet !
  • "#10 - Rétraction et idempotence".  J'y reviens, conscient de ne pas avoir complètement fait le tour de la question.
  • "Section/ rétraction". J'y reviens encore, après avoir rassemblé toutes mes réflexions sur les catégories sous forme d'un "chapitre 4", qu'il me faudrait reprendre aujourd'hui.
  • "De la dualité". Le premier billet traitant de cette dualité qui nous occupe ici, date de 12/ 2017.

Note 3

Pour une synthèse voir "Schéma en L de Lacan et forme canonique de Lévi-Strauss".

Les différentes positions du Sujet par rapport à son discours : 

  • Im est toujours en position ex post par rapport à son discours ou sa représentation en Ik : Ik< Im;
  • Un discours rationnel consiste à rapporter un niveau sémantique à un autre niveau syntaxique:
    • Soit globalement par rapport à Im : Ik<Ik+1<Im; (la sémantique est en Ik et la syntaxe en Ik+1);
    • Soit localement par rapport à I'm : I'm<Ik<Ik+1, (la sémantique en Ik+1, la syntaxe en Ik); ce qui n'a plus de sens en deçà de Im=I01, avec I'm=I1, puisque toutes les flèches d'un objet en I01 vers I1 mèneraient  au Sujet, ce qui est une propriété universelle et non pas locale.
  • Pour I01=Im; la rationalité de Im est réduite à la logique (Voir "Les 4 discours de Lacan #2".);
  • Pour I01<Im, la rationalité de Im s'étend à la topologie.

Note 4

Voir en détail : "Différence synchronie/ diachronie et théorie des catégories #1".

Note 5

Par exemple, pour R2, on cherche une mesure telle que:

  • m(∅)=0
  • pour tout n∈N : m(∪An) = ∑m(An)
  • pour tout rectangle non plat A : 0< m(A) <+∞
  • variance par translation et rotation

Or une telle mesure n'existe pas pour toute partition P(E). 

Le paradoxe de Banach-Tarsri-Hausdorff montre pour R3 que c'est impossible, même pour une série limitée.

Note 6

Voir "Après la représentation du temps, celle de l'espace".

Note 7

Suivre la longue route que nous avons suivi  l'automne dernier pour appréhender cette fulgurante percée d'Évariste Galois !

Note 8

Voir en détail la motivation et les arguments:

Note 9

Note 10

J'en parle dans ce billet :

Quand au passage dans lequel Alain Connes parle du Boson de Higgs,  et de cet espace "symétrisé" voir l'interview d'Alain Connes par Stéphane Dugowson et Anatole Khélif  à 24" : "Qu'est-ce que la géométrie non commutative".

Note 11

C'est une idée qui me travaille depuis longtemps, voir en particulier :

Note 12

Je détaille ce bouclage entre le plus élevé des principes, qui amène au Lagrangien, dont nous ne sommes pas sortis en physique et au principe de conservation d'Emmy Noether que je vois comme le principe élémentaire de la construction Imaginaire :

Note 13

Cette distinction entre ce qui relève de la répétition et ce qui motive le passage à un niveau Imaginaire supérieur m'a bloqué assez longtemps l'été dernier.

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