Les groupes d'homologie du Sujet #2 - Le cogito cartésien

- Les idées ne viennent pas par hasard, mais vous tombent dessus lorsqu'elles sont mûres.

- Je crains le pire, à quoi nous prépares-tu?

- C'est très simple:

En visionnant une vidéo sur la mécanique quantique, qui débute par un rappel de la physique analytique de Lagrange, j'ai revisité ce que j'en avais déjà dit auparavant (#1), pour m'apercevoir qu'entre-temps ma propre posture pour le comprendre avait évolué.
De là, je me suis dit que je devais creuser un peu plus, pour en revenir à notre père à tous, Descartes, et reprendre à partir d'une posture topologique (#3) ce que j'en avais dit dans une posture purement logique (#2).
Avant de revenir à la mécanique Q, il me semble important de reprendre la vidéo du cours où j'en étais, pour comprendre comment l'on passe de Lagrange à son élève Poisson, avec entre eux deux ce que Lagrange a introduit comme le "Hamiltonien".

Or, après coup, sa démarche me semble guidée par des considérations quasi esthétiques, par une recherche d'harmonie ou de symétrie qui sont d'un niveau supérieur à celui de la simple géométrie IR.

Autrement dit, mon cheminement m'amène à m'interroger sur ce niveau Imaginaire IR<I#, que je n'ai fait qu'effleurer depuis quelque temps. Et ces réflexions m'amènent à faire un parallèle avec ma propre démarche, telle qu'elle se tricote au fil de mes articles:

Dans la position IR<Im, je viens de faire une relecture de la position de Descartes en I01<Im: mouvement IR<Im ↓ I01<Im ;
Poisson fait une relecture en I#<Im de l'équation que Lagrange écrivit en IR<Im : mouvement I#<Im ↓ IR<Im .

La question qui me vient naturellement à l'esprit est de voir de quelle manière le cogito Cartésien, à la limite du Réel (i.e.: R<I1≤I'm), pourrait être décrit d'un point de vue situé à l'autre extrême de l'Imaginaire, en position I1<I01<IR<I#<Im.

- C'est le troisième tour de roue du Dharma, te prendrais-tu pour Bouddha ?

- Disons qu'il est bon pédagogue.

- Et comment t'y prendras-tu?

- En passant d'Évariste Galois à Henri Poincaré. Le premier a développé le concept de "groupe de symétrie", quand le second est allé au-delà en définissant les "groupes d'homologies", c'est-à-dire en établissant une hiérarchie entre groupes de symétries. C'est une idée qui me trotte dans la tête depuis quelque temps. (#5)

- Peux-tu expliquer?

- C'est une intuition que j'ai eue en repensant à mon article sur Descartes (#3).

La première étape rationnelle revient à définir le morphisme identité à partir du singleton: (*)∈I1↑{1}∈I01;
Ensuite, à partir du double point de vue topologique I'm/Im, et en régressant jusqu'à I1=I'm, on peut imaginer le comorphisme entre l'objet discriminant et le singleton: {0,1}∈I01↓(*)∈I1 : c'est la propriété universelle.(#6)

Ces deux flèches figurant un aller-retour entre deux points fixes *⇆* m'ont rappelé les groupes d'homologie !

La question centrale de la topologie est de caractériser une forme par le nombre de "trous" qu'elle entoure, et l'outil "homologie" a été construit à cette intention. Inutile de te rappeler à quel point cette vacuité est liée à l'idée d'objet initial, en I0. Je laisse le philosophe qui sommeille en toi méditer là-dessus.

Or donc, point de vacuité chez Descartes, se pensant lui-même tel Narcisse se penchant vers l'eau du premier ruisseau venu.

Si Descartes prends conscience en I01, d'un existence qu'il situe en I1, dans une pensée purement logique, on peut dire que la posture topologique met l'accent sur les flèches des morphismes ↑↓ entre I'm et Im, ou en délaissant le Sujet pour l'objet, entre I1 et I01.

Mais si l'on se décentre encore une fois par rapport à ce mouvement ↑↓, en oubliant son aspect diachronique: ⇆, vient alors à l'idée que celui-ci entoure le vide.

- Je croyais que l'objet initial vide était en I0, au-dessus de ta hiérarchisation I1<I01<IR<I#<I0 ?

- J'ai effectivement commencé mon exploration par là, en étant moi-même dans une posture logique, ayant juste à ma disposition le concept de successeur pour le situer. Mais cette représentation peut être questionnée.

En effet, dès que je progresse au-dessus de I01, la répétition n'est plus de l'ordre de la succession, mais de l'orthogonalité; et donc, en réifiant le mouvement I1↑↓I01, figuré "à plat" par ⇆ sur un "espace" Imaginaire I01, je représente mes morphismes par des graphes et je peux ensuite prendre du recul pour dire, en surplombant le tout, en I01<Im -à la verticale de ce niveau I01 vu comme un plan de projection- que ce va-et-vient se fait en contournant un vide central, qui m'échappe comme il se doit...

- Autrement dit le Sujet, comme "entre-deux" niveaux I1↑↓I01, ou "entre-deux" images de son Moi en I'm↑↓Im, serait substantiellement vide ?

- Imagine une corde que tu pinces: la hauteur du son est déterminée par la longueur entre ces deux points fixes, mais le son lui-même est émis par un ventre situé entre les deux, qu'il t'est impossible de repérer précisément. Ici, ce qui vibre entre I1 et I01, c'est ↑↓, mais la cause t'échappe, tu peux juste la situer en I'm, (avec I1<I'm<I01) au centre du mouvement que tu fais autour ⇆, sans la fixer précisément. C'est comme un trou noir repéré par ce qui tourne autour.

Le passage (I1↑↓I01) ↑↓ (I'm↑↓Im) est une question de relativité seconde du point de vue, comme nous en avons déjà discuté. Si tu concentres ton regard sur l'objet, le Moi du Sujet devient évanescent (i.e.: notre I'm pris en sandwich I1<I'm<I01), si tu fixes le Moi, c'est l'objet qui se fantasme (i.e.: I'm<I01<Im)(#7). On en revient toujours à Lao Tseu ou au rêve de papillon de Chuang Tzu (#8); mais oui, quelque soit son recul, au final le Sujet échappe toujours à sa propre représentation, comme à son regard sur l'objet, et transcende son Imaginaire.

Et bien, je pense que cette relativité seconde caractérise le niveau I#, avec au final I'm<I#<Im.

- Ne faudrait-il pas distinguer la différence I'm/Im qui s'instaure au stade du miroir, située en I01, avec I'm<I01<Im, et cette réflexion seconde autour de I#?

- Tout à fait. Avec I'm<I"m<Im, nous pouvons parler rationnellement depuis <Im, d'une vision topologique duale : globale de <I"m, et locale en I'm<, conditionnée par un principe de symétrie échappant à I"m< en position ex ante par rapport à lui...

Cette récursivité colle assez bien à l'idée d'homologie.

- OK, je vois à peu près la première étape :

En I1, tu n'as que des points, voire un seul (*), le singleton, dont la représentation est à zéro dimension : D0;
En I01, tu as réifié la flèche d'un morphisme ↑ou↓, et tu peux dessiner des graphes, reliant des points * et des flèches ⇆, et tu passes à une dimension D1;
Maintenant quel "espace diachronique" entre I01 et IR vas-tu réifier et aplatir en D2 sur IR ,
Et quel volume D3 en I# ?

- La figure qui me semble la plus évidente est celle d'une transformation naturelle, et nous en revenons à ma présentation de juin (#9).

Reviens à la définition d'un foncteur:

F est dit covariant : lorsque A est le domaine commun de Â;
F est dit contravariant : A est le codomaine commun de Â.

Â =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A)	Â =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X)

F contravariant	F covariant

Le foncteur F : C↓Ens "représentable" par un morphisme h↓, donne visuellement une sorte de "tore à section carrée":

Dans lequel le "trou central" se réduirait au morphisme h↓, et chaque morphisme Hom: x∈C↓F(x)∈Ens, serait à la périphérie du tore.

- Et pour illustrer ton propos tu ne trouves que des illustrations d'un cours d'électromagnétisme ?

- J'avoue en être le premier surpris ! Ça me rappelle une discussion que nous avions eue à propos du rapport entre spin et rotation (#10). Nous y reviendrons sans doute à l'occasion.

Toujours est-il que nous avons ici une surface avec deux trous orthogonaux, entre eux, ce que résume le groupe fondamental constitué de deux lacets: l'un est une transformation naturelle construite en s'appuyant sur h. Le second serait constitué d'une suite de morphismes entourant le point A. Dans les schémas suivants: une suite de morphismes g.f, fermée sur elle-même.

F(g◦f) = F(f)◦F(g)	F(g◦f) = F(g)◦F(f)

F contravariant	F covariant

Il faudrait un minimum de deux morphismes avec X=Z, pour retrouver la figure dont nous venons de discuter à l'étape précédente : *⇆*, avec cette fois-ci "A" à la place de notre objet vide.

- Assimiler A ou h à l'objet initial est un peu tordu. Quid des morphismes liant chaque point X ou Y de C à A ? Seul des foncteurs covariants seraient envisageables, mais ça ne mènerait à rien, puisque tu peux dire et faire n'importe quoi à partir de l'objet initial !

- Oui, j'admets que c'est du bricolage, mais pour l'instant je cherche des images qui puissent orienter ma pensée, comme on plante un échalas pour guider une vigne. L'idée de tore me plaît parce qu'on peut le représenter sous la forme d'un rectangle à plat, et pour répondre à ta première question, mon "espace diachronique" entre les niveaux I01 et IR serait de l'ordre de cette surface plate représentant notre tore.

Le point singulier (ici p, ou A dans nos précédents schémas) représentant le point de vue du Sujet auquel on rapporte tout, que ce soit au niveau IR ou I01, nous renvoie à la géométrie projective...

Quant à ce volume au-delà de I#, j'y travaille comme l'alchimiste lambda à sa pierre philosophale !

Tout ceci est encore très brouillon, mais par ces temps de coronavirus, j'ai tout le temps d'y revenir...

Bonne rumination !

Hari

Note 1:

Voir :