La géometrie de Newton

Le 13/ 04/ 2026 :

- Avant de continuer notre exploration aboutissant à Hume (cf. #4), et au moment où j'envisage une bascule de la voie des mots ⇅ vers celle des choses ⇆, je dois lever mon doute concernant la possibilité d'une géométrie en [#]_♧, sur le chemin [⚤]_♧⇆[#]_♧⇆[♻]_♧.

- Pourquoi cette mise en cause maintenant ?

- Jusqu'à Locke, la question ne se posait pas vraiment car nous restions dans la voie des mots ⇅, et majoritairement sur le ruban R↑, défriché par Aristote et creusé par ses exégètes scolastiques. Circulation qui nous a permis de caractériser progressivement les positions ♢^♻ et ♢^⚤, sur ce schéma très général :

- Avant Aristote, tu avais cependant caractérisé Platon sur un parcours en R← , non ?

- Oui, bien entendu, mais il n'y avait chez lui aucune considération géométrique au coeur de sa métaphysique. Lorsque dans le Ménon il passe de l'abeille générique indéfinie au multiple, cette multiplicité n'est pas inscrite dans un espace quelconque.

- Dans le Ménon, puisque tu en parles, il discute quand même de géométrie avec son esclave...

- ... Pour démonter qu'il se remémore ce qui était de toute éternité du domaine des idées; mais la géométrie en l'occurrence n'est qu'un objet de discours, déterminé par une idée : [⚤]_♡/[♻]_♧.

- D'accord, et qu'est-ce qui te perturbe dans cette position [#]_♧? 

- Il faut prendre du champ et revenir sur ma propre posture d'auteur 𓂀_Hari de cette représentation topologique de l'imaginaire. Dans cette description, je suis au "centre" du cross cap :

- Autrement dit pour représenter le Sujet par une topologie en forme de cross cap, tu as au minimum une certaine idée de ce que tu entends par "topologie", c'est une lapalissade...

- Tu ne comprends pas : pour définir l'objet à partir des trous dans une surface, j'ai en tête les groupes d'homologie de Poincaré (1954-1912), et j'ai tendance à définir la géométrie par des symétries et des orthogonalités, à la façon de Bachmann (cf. : "Aspects de la géométrie")

- Et alors ?

- En approchant ainsi la géométrie, mes définitions sont des "relations", et je demeure en mode syntaxique ♢, mais que serait une géométrie de mode ♧, sans cette approche "relationnelle" ?

- Et c'est ce qui explique le capitaine qui ne sait pas où placer sa barbe ?

- Oui, son drap de lit, c'est comme la frontière entre ♧ et ♢ avec cette idée de géométrie que je ne sais placer au-dessus, ou en dessous.

- Il y a peut-être un moyen de t'en sortir : tu as bien dit que la définition de l'objet par des groupes d'homologie se faisait à partir des "trous" ?

- Oui : c'est l'originalité de la méthode qui part de ce simple constat que "un bord n'a pas de bord".

- OK, mais tu ne vas pas nous refaire toute la leçon, concentre-toi simplement sur l'idée que les groupes au-dessus de l'objet sont "vides", et qu'en [#]_♡ tu tiens l'objet, "au bout" d'une infinité de groupes vides : 𓁝♢^#↑♡^#𓁜↑𓁝∅☯, autrement dit le regard porté ex ante vers l'objet initial : 𓁝. Il faudrait comprendre le passage inverse, comme dirigé vers l'objet final, soit 𓁝♢^#↓☯∃♧^#𓁜. 

Ce faisant, tu respectes l'approche catégorique :

• Tout objet peut advenir de l'objet initial : 𓁝∅☯↓♡^#𓁜;
• Le singleton (*) —ici point géométrique est l'objet final— de la géométrie: ☯∃♧^#𓁜.

- Autrement dit il faudra que la géométrie en [#]_♧ soit celle du "point" ?

- Oui, comme à la limite ♧^⚤ nous avons parlé du singleton {*} de la théorie des ensembles comme limite d'un automorphisme •⟲ de niveau ♢^⚤ privé de sa flèche.

- Et la question est : la géométrie de Newton est-elle celle du "point" ?

- Oui, enfin, c'est en ces termes que se pose pour nous la question, maintenant il s'agit de voir si c'est compatible avec ce dont Newton nous parle....

Mais avant de continuer, il faut revenir aux leçons de NJ Wildberger (que je recommande pour sa très grande clarté et sa pédagogie). Il rejette l'idée de la droite ℝ réelle classique pour en rester à une droite qu'il appelle "A" rationnelle. Et il montre de façon très convaincante (à 45' de la vidéo) la possibilité de redéfinir toute la géométrie à partir de A.

- Et qu'est-ce que cela vient faire ici ?

- Sa démonstration utilise la notion de carré d'un nombre !

- Et donc, la notion de carré est liée à celle de mesure, autrement dit, il définit [#]_♧ à partir de la mesure en [♻]_♧, c;-à-d. dans un mouvement [#]_♧←[♻]_♧.

- J'ai compris : tu te demandes si Newton —père avec Leibniz du calcul infinitésimal, qui conduit à la théorie de la mesure— n'emprunte pas le même chemin, même si, au contraire de NJ Wildberger, les infinitésimaux conduisent à la notion de  ℝ.

- Oui, sans nous prononcer dans la dispute entreprise par NJ Wildberger contre ℝ, le chemin qu'il emprunte : géométrie— [#]_♧←[♻]_♧—analyse, me semble être celui qu'historiquement Leibniz et Newton ont suivi. 

- Alors que ton approche "topologique" serait plutôt ♢^#↓♧^# ?

- Exactement. 

- Il est temps de passer à la vérification de cette hypothèse !

- Deux choses pour nous guider :

1. Newton ramène l'objet à son centre de gravité => nous avons notre "point géométrique mesurable"; soit l'objet en [♻]_♧.
2. Qui se déplace dans un "éther".

- Hum, vérification faite (cf. lien) cet éther ne semble pas être la géométrie que tu recherches. Mauvaise pioche. 

- Essayons ceci :

— HS : De quelle façon Newton définit-il la géométrie qu'il utilise ? Est-ce ce que l'on appellerait un "espace métrique" ?

— 🤖: Newton n’emploie évidemment pas le langage moderne d’«espace métrique», mais il suppose et explicite une géométrie euclidienne de l’espace absolu, dotée de distances bien définies, qui joue en pratique le rôle de ce que nous appellerions aujourd’hui une structure métrique sur l’espace physique.[1][2][3][4]

• Comment Newton définit-il l’espace qu’il utilise ?
  Dans le Scholium aux Définitions des Principia, Newton distingue :  
  • l’espace absolu, qui existe indépendamment des corps et est homogène, immobile, infini ; [i.e.: posture 𓁜—globale]
  • l’espace relatif, qui est l’espace défini par rapport à des corps de référence (par exemple la salle, la Terre, etc.).[i.e.: posture locale—𓁝][3][5][6][1]

Il définit le «lieu» d’un corps comme l’espace qu’il occupe, et le «mouvement vrai» comme translation d’un corps d’un lieu absolu à un autre, par opposition au mouvement relatif par rapport à d’autres corps.[7][8][3]
Dans les Principia, il ne développe pas un traité abstrait de géométrie, mais il travaille constamment dans le cadre de la géométrie euclidienne tridimensionnelle : lignes droites, plans, parallèles, cercles, coniques, proportions géométriques, etc., et il présuppose que la structure spatiale est euclidienne.[4][9][1]
Les analyses contemporaines de Newton soulignent explicitement que l’espace que présuppose sa mécanique est un espace euclidien à trois dimensions, au sens où les relations de parallélisme et les distances satisfont les axiomes de la géométrie d’Euclide.[2][10][1][4]

• Est-ce un «espace métrique » au sens moderne ?
  Au sens de la théorie moderne des espaces métriques (ensemble + fonction distance d(x,y) satisfaisant les axiomes de symétrie, positivité, inégalité triangulaire), Newton n’a pas de définition axiomatique d’un tel objet : cette notion apparaît beaucoup plus tard, au XIXᵉ–XXᵉ siècle.[11]

Cependant :

• il présuppose que pour toute paire de points de l’espace absolu, on peut parler de distance bien définie, stable, mesurable, qui obéit aux propriétés usuelles de la distance euclidienne ;[1][2][4]
• il fonde la dynamique sur des grandeurs géométriques (longueurs, angles, aires) et sur des trajectoires rectilignes ou courbes dans un espace où la notion de distance est déjà pleinement opérationnelle.[9][10][4]

On peut donc dire, de façon anachronique mais éclairante, que l’espace newtonien est un espace euclidien muni de sa distance euclidienne, c’est‑à‑dire un cas particulier paradigmatique de ce qu’on appellera plus tard un espace métrique, mais Newton ne théorise pas cette notion comme telle.[10][4][1]

• Intérêt entropologique éventuel
  Pour ton cadre :
  • chez Newton, la loi de la gravitation s’inscrit dans un espace géométriquement fixé (euclidien, absolu), où la distance est donnée et stable ;  
  • chez Hume, au contraire, ce n’est pas la géométrie de l’espace qui garantit les régularités, mais les habitudes de l’esprit face aux conjonctions constantes.  

On peut donc voir le passage «loi newtonienne dans espace euclidien» → «habitude humienne dans espace psychologique» comme un passage d’une métrique externe (distances physiques) à une métrique interne (distances d’association, de ressemblance, de contiguïté)" (Sources : suivre le lien)

- Perplexity se souvient du contexte de ma recherche et nous reprendrons sa réflexion sur Hume dans l'article #4 suivant.

- Tu as écrit en commentaire que Newton différenciait les deux postures locale—𓁝/𓁜—globale; en es-tu sûr ?

- J'ai sans doute été un peu rapide. On pourrait dire que l'objet vu [♻]_♧ est situé dans un espace vu également ex post : [#]_♧𓁜←[♻]_♧𓁜; sans que le mouvement soit décomposé... Il faudra creuser. Mais en attendant, j'aimerais vérifier tout d'abord cette ébauche de mouvement [#]_♧←[♻]_♧.

— HS : S'il utilise la géométrie Euclidienne, il utilise cependant la notion d'infinitésimal pour démontrer les lois de Képler, n'est-il pas en ce sens plutôt "analyste" que géomètre ?

— 🤖 : "Tu as raison de pointer cette tension : Newton utilise des raisonnements infinitésimaux pour démontrer, par exemple, la loi des aires de Kepler, mais il les présente sous une forme géométrique euclidienne, pas sous la forme analytique (équations, coordonnées) qu’on associera plus tard au calcul.[1][2][3][4][5][6]

• Géométrie euclidienne + infinitésimaux
  • Dans les Principia, Newton expose ses résultats «à la manière des Anciens», c’est‑à‑dire avec des figures et des propositions géométriques, sans symbolisme de fluxions ni équations différentielles explicites.[2][5][6][7]
  • Pourtant, les «lemmes» du début (théorie des premiers et derniers rapports) et des démonstrations comme celle de la loi des aires (Proposition I, Livre I) reposent sur des arguments de limite / infinitésimal : polygones dont les côtés deviennent «infiniment petits», ratios ultimes, etc., qui sont équivalents à une démarche de calcul intégral/différentiel.[3][4][5][1][2]

Autrement dit : la géométrie de Newton est euclidienne dans sa forme, mais enrichie d’une théorie des limites et des quantités «évanouissantes» qui est, sur le fond, du calcul infinitésimal.[5][7][1][2]

• Analyste caché, géomètre affiché
  • Newton développe parallèlement le calcul des fluxions (fluent = grandeur variable, fluxion = «vitesse» de cette grandeur), exposé dans des textes comme la Method of Fluxions, où il raisonne beaucoup plus «analytiquement».[8][9][1]
  • Mais dans les Principia, il choisit délibérément de masquer cette méthode analytique derrière une présentation géométrique en termes de limites de rapports (premiers et derniers ratios), qu’il présente comme une continuation des méthodes d’Archimède et d’Euclide.[7][10][1][5]

Les historiens disent souvent que les démonstrations géométriques du Principia «se traduisent presque immédiatement» en langage de calcul dans certains cas (comme la loi des aires), ce qui montre bien que Newton raisonne comme un analyste, même lorsqu’il écrit comme un géomètre.[11][1][5][7]

• Pour ta question : analyste ou géomètre ?
  • Formellement, Newton reste un géomètre : il pose ses résultats sous forme de propositions et diagrammes euclidiens, se réclamant des « Anciens ».[12][2][7]
  • Conceptuellement, il est déjà analyste : la structure de ses preuves (usage systématique de grandeurs «très petites», limites, rapports ultimes) correspond à ce que nous appelons aujourd’hui calcul infinitésimal, et c’est cette structure qui lui permet de démontrer les lois de Kepler et de fonder sa mécanique.[4][6][1][2][3]

Dans ton langage entropologique, on pourrait dire qu’il maintient l’imaginaire de la figure euclidienne (géomètre) tout en déplaçant la loi effective du côté d’un calcul des variations infinitésimales (analyste), ce qui ouvre justement la voie à la formalisation ultérieure en termes d’«espace métrique» et de dynamique sur cet espace." (Sources : suivre le lien)

- J'ai laissé volontairement le dernier commentaire de Perplexity, car il traduit bien le sentiment général, la doxa, d'une "évolution" de la géométrie Euclidienne vers une approche analytique. 

Cependant, et c'est ce que tend à démontrer notre petite exploration d'aujourd'hui, concernant l'introduction de l'aspect géométrique de l'objet en métaphysique, l'évolution historique va plutôt de l'analyse vers la géométrie.

• Bacon parle de "tableaux" qualifiant l'objet en ♢^♻ ;
• Newton repére l'objet dans un espace Euclidien en [#]_♧.

Et tu retrouves bien une sorte de "symétrie" entre les deux, dans le changement de voie ⇅ / ⇆ :

- Un dernier mot quand même avant de conclure: es-tu sûr que Newton emprunte la voie des choses ↻ ?

- Bonne question. Il me semble que Perplexity a déjà répondu lorsque je l'ai questionné au sujet de l'éther, revenons sur ce que j'avais laissé de côté :

— 🤖 :" [...]
3. Statut méthodologique : hypothèse, pas loi
Important : l’éther, chez Newton, reste du côté de l’hypothèse conjecturale, contrairement aux lois du mouvement ou de la gravitation qui sont formulées comme déduites des phénomènes.

• Dans les Principia, il refuse de «feindre des hypothèses» sur la cause de la gravitation : l’éther, lorsqu’il en parle, n’est jamais présenté comme une loi démontrée, mais comme une possibilité spéculative.
• Dans les Opticks, les Queries sont précisément des questions spéculatives, où il propose des images ou modèles (dont un éther élastique à densité variable) pour encourager de nouvelles expériences plutôt que pour poser des dogmes.
  [...]" (discussion et sources : suivre le lien)

Il y a donc bien l'amorce d'un circuit ↻/ ↻, même s'il n'est pas encore parfaitement explicité :

L'hypothèse conjecturale permet de définir "l'objet d'expérience", ce que je désigne du nom pratique d'observable, en référence à la Méca Q à venir.

Pour devenir "Loi", il faut que cette conjecture soit validée par l'expérience de ce qui "existe". Et là je reprends l'existant de Berkeley (cf. #3), en pensant à la falsification de Popper.

Donc, pour répondre rapidement : oui, Newton a bel et bien effectué le changement de posture voie des mots —⇅/ ⇆ — voie des choses.

- Bien, te voici rassuré, nous pouvons revenir à Hume ? Mais dis-moi, en ce qui concerne ta barbe ?

- Je dors sur le côté !

- Amen.

Hari

Note de lecture :

Je fais cette mise au point au moment où je m'intéresse à Hume (cf. "De Bacon à Hume #4") qui cherche à suivre une démarche "newtonienne" dans son exploration de l'esprit humain. Comme terme de comparaison, il peut être utile de revenir à ce que Newton lui-même en a dit :

Notre questionnement tourne autour de ce que l'on pouvait appeler à l'époque une "approche empirique". Cela demande de regarder, avant tout ce que Newton lui-même a pu en dire, et ce qui en a été retenu.

— 🤖 : "Newton n’est pas seulement un grand expérimentateur : il a aussi explicitement théorisé ce qu’il appelle une «philosophie expérimentale», et cette méthode a profondément marqué la réception de ses œuvres et leur diffusion dans l’Europe du XVIIIᵉ siècle.[1][2][3]

Newton théorise-t-il lui-même sa méthode empirique ?
Oui, notamment dans les Principia (surtout la Préface, les Regulae philosophandi / Règles pour raisonner en philosophie naturelle, et le Scholium général) ainsi que dans les Opticks.[4][5][1]
Dans la troisième édition des Principia (1726), il formule des règles pour la recherche en philosophie naturelle qui sont de véritables maximes méthodologiques de causalité et d’induction : par exemple, n’admettre que des causes suffisantes et proportionnées aux phénomènes, et étendre par induction à tous les corps les qualités trouvées constamment liées dans les expériences.[6][7][1]
Sa formule la plus célèbre est «hypotheses non fingo» («je ne feins pas d’hypothèses»), où il affirme que ce qui n’est pas déduit des phénomènes doit être considéré comme hypothèse gratuite, et que les hypothèses métaphysiques ou mécaniques sans appui expérimental n’ont pas leur place dans la philosophie expérimentale.[3][8][9]
Il précise toutefois que cela ne condamne pas toute hypothèse en général, mais toute spéculation qui ne s’enracine pas dans les phénomènes observés et ne peut être confirmée par eux.[9][1]
Dans les Opticks, il explicite encore sa méthode :

• analyser d’abord les phénomènes à l’aide d’expériences contrôlées,
• puis synthétiser en lois générales par induction, en tenant ces lois pour vraies tant qu’aucun phénomène nouveau ne les contredit.[5][4][9]

On a ainsi une articulation claire : phénomènes observés → propositions particulières → généralisation inductive prudente, toujours révisable.[10][1][6]

Comment cette approche a-t-elle été reçue à l’époque ?
Ses contemporains voient dans Newton à la fois un mathématicien révolutionnaire et un modèle de méthode scientifique, mais la réception est complexe et se fait par vagues nationales.[11][12][1]

• En Angleterre, le prestige des Principia est immense au sein de la Royal Society, et l’expression philosophia naturalis de Newton devient un paradigme : une physique mathématisée et appuyée sur l’expérience, opposée à certains schémas cartésiens.[2][1][4]
• En Europe continentale, la diffusion est plus lente et traversée de résistances.[12][13][11]
  • En France, par exemple, la communauté savante reste longtemps partagée entre cartésiens et newtoniens, et l’appropriation de la mécanique newtonienne passe par des médiateurs comme Varignon, les Bernoulli ou encore, plus tard, Voltaire qui popularise «la philosophie de Newton» auprès d’un public cultivé.[11][12]
  • Il en va de même en Italie, où l’on observe d’abord des lectures partielles et prudentes, avant que ne se stabilise une véritable «science newtonienne» dans la première moitié du XVIIIᵉ siècle.[13][11]

Globalement, les résultats (mécanique céleste, gravitation universelle, optique) s’imposent progressivement, mais la philosophie de la nature (action à distance de la gravitation, refus d’hypothèses métaphysiques) suscite débats et critiques, notamment chez Leibniz et Huygens.[1][3][11]

Diffusion et influence de ses idées
Les Principia (1687) et les Opticks deviennent les textes de référence d’une nouvelle «philosophie expérimentale» : on parle de «newtonianisme» pour désigner à la fois une physique, une mathématique et une méthode.[12][1]
Ses Regulae philosophandi offrent un cadre pour justifier des inférences causales universelles à partir de phénomènes limités, en s’appuyant sur l’idée que la nature est simple et ordonnée ; ce cadre nourrira durablement la réflexion sur l’induction.[7][6][1]
Au XVIIIᵉ siècle, ses idées se diffusent par plusieurs canaux :

• l’enseignement des mathématiques et de la mécanique dans les universités et académies, qui adoptent progressivement le formalisme newtonien ;[13][11][12]
• les réseaux savants (correspondances, sociétés savantes, traductions, commentaires) qui discutent ses méthodes et résultats ;[11][12]
• des œuvres de vulgarisation philosophique (notamment en France) qui opposent la «philosophie expérimentale de Newton» aux systèmes cartésiens et spéculatifs.[12][11]

Pour Hume, comme on l’a vu, Newton représente précisément ce modèle : partir des phénomènes, rejeter les spéculations sans ancrage expérimental et généraliser prudemment par induction.[2][1]
Il transpose cette méthode vers une «science de la nature humaine» : ce n’est plus la nature physique, mais l’esprit, les passions et la morale qui doivent être traités selon une méthode inspirée de Newton, mais appliquée au domaine empirique intérieur.[1][2]

Si tu veux, on peut ensuite préciser entropologiquement la différence entre :  
- la «loi» newtonienne (comme structure de régularité)  
- et les «habitudes» humiennes (comme régularité psychologique),  (Sources : suivre le lien)

Note de lecture