Notes #3 - The geometry of surfaces | Algebraic Topology | NJ Wildberger

- Quel con, mais quel con je fais ! 

- Qu'est-ce qui nous vaut cette prise de conscience tardive ?

- Je m'aperçois au fur et à mesure que j'avance dans ma démarche que j'utilise un langage mathématique dont je ne maîtrise pas la syntaxe ! Trop vieux, j'ai le cerveau rouillé, l'esprit aussi rhumatisant que les jambes...

- Calme-toi, ça va passer. La bonne nouvelle, c'est que tu as sans doute pris conscience de quelque chose, non ?

- Après quelques jours à flâner chez P.V. à La Rochelle, entre coupe de la Champions League et balades à vélo en rêvant de voiliers, j'ai repris mes révisions en commençant par la vidéo #25, qui est un rappel des bases de la théorie des groupes et en particulier des notions de "noyau" et "d'image" d'une application comme d'ensemble "quotient", puis j'ai enchaîné sur les vidéos suivantes où NJ Wildberger présente les bases de l'homologie.

- Tu reviens au point où tu en étais il y a quasiment un an ! Je me souviens de ton article "Les groupes d'homologie du Sujet". Tu n'y disais pas grand chose, juste que tu pressentais l'intérêt pour toi de cette approche. Tu es revenu sur le sujet dernièrement, "Les groupes d'homologie du Sujet #2 - Le cogito Cartésien".

- Oui, mais ça sent encore la sueur ! Je reste bloqué au niveau I01, avec le renversement de posture (i.e.: I'm≤I01≤Im) autour de ce niveau pivot élémentaire. Cela suffit pour parler de Descartes, mais je n'avais pas encore saisi le mécanisme dans son ensemble.

- De quoi parles-tu ?

- Du mouvement du Sujet dans son propre Imaginaire lorsqu'il passe de I01 à IR, puis I#, ou plutôt du double mouvement I'm/ Im, au cours de cette montée diachronique.

- N'en as-tu pas parlé dans "Le Sujet à livre ouvert" ?

- Si, bien sûr, mais je n'avais pas encore compris l'essence du rapprochement avec le concept d'homologie, ce qui m'apparaît aujourd'hui comme une évidence ! Et je ne l'avais pas compris, faute d'avoir saisi le sens profond de concepts mathématiques que je manipule depuis le lycée, moi qui suis de la génération Bourbaki, élevée depuis la 6^ème au lait de la théorie des Ensembles !

Le mieux est encore de repartir de là, en revisitant ces concepts appris sans être compris !

Révision sur les Groupes:

Dans la vidéo "AlgTop Review #3", NJ Wildberger passe en revue les groupes abéliens (i.e.: commutatifs).

 Ça ronronne tout doucement, jusqu'à ce qu'il aborde la notion d'isomorphisme en général, et celle d'automorphisme en particulier (i.e.: un isomorphisme d'un groupe dans lui-même φ: G→G). Il prend comme exemple le groupe de Klein K={1,a,b,c}.

Bien entendu, dans ce groupe de Klein, les éléments a, b et c jouent un rôle équivalent: on peut permuter {a,b,c} sans changer la nature du groupe K.

Autrement dit, l'ensemble des automorphismes Aut(K) est isomorphe au groupe de symétrie S3, qui lui, n'est pas commutatif, pour t'en convaincre, reporte-toi à ce cours plus détaillé "Le groupe symétrique".

- Je ne vois vraiment pas où tu veux en venir, tout ceci me semble très clair...

- Il y un raisonnement gigogne qui me fait dresser l'oreille. Dans un premier temps, on considère un groupe de base K, puis, dans une réflexion seconde, vient à l'esprit que la structure même de K ne dépend pas de la façon de représenter ses éléments, et que l'ensemble des automorphismes sur K présente lui-même une structure de groupe, sans lien avec la précédente (i.e.: l'un est commutatif, l'autre peut ne pas l'être).

1. Du rapport d'une syntaxe K à une sémantique (1,a,b,c) on passerait
2. à une réflexion, concernant le rapport des éléments de cette sémantique (a,b,c) aux référés qu'ils désignent.

- Ce qui trouble un peu le jugement, c'est qu'exprimé ainsi, tu as le sentiment que le point 2 succède au point 1 (i.e.: il faut définir K avant d'envisager Aut(K)=S3); alors qu'en toute logique, le rapport des étiquettes (a,b,c) à leurs référés semble d'un niveau Imaginaire plus élémentaire que la syntaxe K qui définit leurs rapports (i.e.: I_référé<I_sémantique<I_syntaxe), et donc que 2/ précède 1/.

- Attention ! Cette équivalence entre a, b et c ne peut se lire que grâce à la syntaxe K qui régit leurs rapports !  Si tu appelles un chou "a", un mouton "b" et "c" un loup, tu peux intervertir les étiquettes mais le rapport chou/ mouton/ loup, c.-à-d. ton "K", reste inchangé.

- Où veux-tu en venir ?

- À te faire prendre conscience que la description de ce "mouvement de pensée" n'est pas si simple à décrire; en particulier le rôle de la sémantique, coincée entre une syntaxe et les objets qu'elle représente.

Mais restons-en là pour l'instant, et suivons NJ Wildberger dans sa présentation, qui  en vient aux homomorphismes.

Soit φ: G→H, qui n'est pas nécessairement une bijection, mais respectant les même conditions que celles d'un isomorphisme:

1. φ(e_G)=e_H ;
2. φ(g₁*g₂)=φ(g₁)*φ(g₂) ;
3. φ(g^-1)=(φ(g))^-1.

Nous en venons aux notions d'image et de noyau (ou kernel) de l'application φ.

• Im φ⊂H : ensemble des éléments h∈H tels que h=φ(g) ; 
• ker φ⊂G: ensemble des éléments g∈G tels que φ(g)=e_H .

Avec Im φ : sous-groupe  de H et ker φ : sous-groupe de G.

- Tu nous retranscris la vidéo, là !

- Oui parce que c'est aussi important que simple à saisir, et tu verras à quel point en ce qui concerne les groupes d'homologie, dont nous allons reparler. Mais pour cela il nous faut situer Im φ et ker φ dans notre propre discours.

- Qu'entends-tu par là ?

- Pense à l'application φ en termes de morphismes, avec entre G et H un saut Imaginaire I_G≤I_H. Pour ne pas l'oublier réécris φ avec une flèche ascendante φ : G↑H. C'est dire qu'il y a entre ker φ⊂G et Im φ⊂H une différence Imaginaire du même ordre : I_kerφ≤I_Imφ.  

Maintenant, allons un peu vite: dans une écriture additive, les lois de composition internes * de G et H sont notées + et leurs zéros respectifs 0_G et 0_H. Les éléments du noyau kerφ de l'application φ, que tu peux écrire kerφ↑0_H, sont alors appelés les "diviseurs" de 0_H. De façon similaire, nous avons G↑Im_G.

Mais ça ne te chatouille pas un peu cette idée de "diviseurs de zéro"?

- Oui, un peu quand même. Si l'élément vide ( ) est de niveau I0, et que le Sujet ne peut pas le désigner globalement, puisque Im ne saurait être au-dessus de I0, il ne peut être approché que localement, dans une position ex ante: I'm<I0; et nous avons vu que dans cette position, au sens propre, le ( ) n'a pas d'élément, encore moins de diviseurs...

- Fort heureusement, nous ne sommes pas à ce niveau élevé de l'Imaginaire Im=I0, permettant de concevoir l'élément vide (voire sa propre vacuité), car nous nous y référons par l'une de ses qualités qui est d'être d'élément neutre pour l'addition. Le Sujet se balade donc entre I01<IR<I#; dans l'une ou l'autre de ces positions globales :

1. I01≤Im<IR<I#,
2. I01<IR≤Im<I#,
3. I01<IR<I#≤Im.

Comme tu le vois tout ceci n'est pas très simple, et te laisse beaucoup de latitude pour préciser ta place dans le discours... Gardons ceci également en mémoire pour l'instant, et avançons avec NJ Wildberger, qui en arrive aux co-ensembles, sous-groupes et ensembles quotients.

Là encore, sa présentation est très simple. Il nous dit, que le sous-groupe H=3Z, avec les deux "co-ensembles" H+1 et H+2 recouvrent entièrement Z, sans qu'il y ait de doublon. Il montre aisément que les trois sous-groupes (H, H+1, H+2) forment un ensemble muni d'une structure de groupe isomorphe à Z3, qu'il explicite au tableau, ce qu'il note: Z/H=Z/3Z={H,H+1,H+2}≃Z3 (add. modulo 3).

Fais attention à une notation qui induit facilement en erreur: 3Z c'est un ensemble dénombrable, quand Z3 est le groupe {0,1,2}. Imagine trois piles d'assiettes H, H+1 et H+2, respectivement au-dessus de 0, 1 et 2, ce qui te revoie à la présentation d'Étienne GHys sur les revêtements (voir : "identité et idempotence"). Et bien, la "base B" de la projection p: X↓B dont parle É. Ghys est ici l'équivalent de Z3= {0,1,2}.

- À ceci près qu'ici nous ne parlons pas de voisinages...

- Oui, oui, mais les postures du Sujet sont les mêmes, et sont définies jusqu'en en I01, domaine du discret. Nous en avons abondamment parlé voir "Matrice" par exemple, ou mieux : "Formes linéaires et changements de base".

- N'empêche que tu compares cette présentation à celle de Ghys, qui est explicitement une approche topologique, quant ici, Wildberger n'en a pas besoin. Il peut rester dans une stricte approche rationnelle logique, dans la mesure où il peut se référer aux éléments des groupes dont il parle sans définir leur voisinage...

- C'est toute la question !

- Précise ?

- Dans cette approche "logique" ou "immanente" de Wildberger, tu commences par définir 3Z, puis les co-goupes (i.e.: H, H+1, H+2), et enfin leur structure ≃Z3. Autrement dit : I_3Z≤I_Z3<Im.

Par contre, en assimilant Z3 à la base B d'É. Ghys, tu es bien dans une problématique topologique avec une approche locale de p: X↓B, c.-à-d. : I'm≤I_B<I_X, ce qui donnerait par analogie : I'm≤I_Z3≤I_3Z<Im.

- Tout ceci m'a l'air bien compliqué.

- Oui, parce que tu n'as pas besoin de préciser aussi finement la position du Sujet pour comprendre ce que nous dit Wildberger; mais cela va te faciliter la vie dès que nous allons parler des groupes d'homologie! Je te demande juste de remarquer l'inversion du rapport hiérarchique (diachronique) entre 3Z et Z3. Qu'est-ce qui est premier, l'oeuf ou la poule ? Tu vois bien que la réponse dépend de la façon dont tu construis ton discours, où tu te situes en premier (I'm ou Im) et de ce que tu passes sous silence !

La suite à demain : ce soir demi-final de la Champion league, il est temps d'aller retrouver P.V. pour l'apéro...

le 27/08/2020

Sous-groupes distingués :

Dix jours ont passé, le temps d'aller à Rennes et revenir par La Rochelle pour voir le PSG se prendre une pile en finale en buvant des bières avec l'ami P.V.

J'ai perdu le fil de mes commentaires, et l'évidence qui m'avait fait m'exclamer "quel con"... J'ai dérapé sur une série de quatre vidéos, toujours du même NJ Wildberger concernant le quaternion (voir "The rotation problem and Hamilton's discovery of quaternion").

Il faudra que j'explique en détail pourquoi son approche toute "rationnelle", refusant au maximum d'utiliser les nombres réels me semble intéressante. Je note juste ici en passant cette remarque qu'il fait (à 45' de la vidéo #1): je ne sais pas si une droite "rationnelle" quelconque rencontre le cercle S1 en un point, mais il est sûr que le "reflet" ou le symétrique du point (1,0) par rapport à cette droite est bien sur S1. C'est à partir de là qu'il évacue toute l'approche traditionnelle faisant intervenir sinus, cosinus et autres nombres transcendants, pour une approche purement algébrique de la topologie.

Ceci mis à part, je reviens quelque peu à nos moutons au cours de la dernière vidéo, lorsqu'il nous montre de quelle façon une multiplication par un quaternion correspond à une rotation dans S3.

Ce qui m'interpelle, c'est la forme "zqz", que l'on retrouve pour définir les sous-groupes distingués, et plus primitivement, si tu t'en souviens, lorsque l'on échange deux cartes au sein d'un paquet de cartes.

- C'est toi qui mélanges ton jeu avant de distribuer !  Étonne-toi après ça de perdre le fil de tes commentaires.

- La seule façon de trouver un chemin lorsque l'on est perdu est précisément de perdre ses repères familiers, sinon, comment s'en sortir en suivant toujours le même sillon ? Laisse-moi préciser les choses :

Nous avons tout d'abord rencontré cette forme dans l'article "Évariste Galois - Symétrie et rotation #4") en 11/2018 ! 

"... À un moment donné, (sur la vidéo 4/5 à 21') entre autre, il explique comment une transposition de deux cartes (mettons le valet J et le roi K) peut s'exprimer à l'aide de transpositions élémentaires (entre deux cartes qui se suivent). Ici échanger J/Q, puis J/K, et ensuite, ramener J à sa place en refaisant (ou défaisant, ce qui est identique) Q/J. Et pour bien illustrer son propos, il étale son jeu.

Puis, après avoir introduit les deux "générateurs" de toute permutation à savoir:

• Une transposition élémentaire entre deux éléments : τ=(1,2)
• Le cycle portant sur l'ensemble n des éléments : γ=(1,2,3,....n)

il revient à son jeu de cartes, mais cette fois-ci, empilé, pour illustrer qu'appliquer γ revient à faire passer la carte du dessus en dessous de sa pile.

- Dis, tu vas vraiment dans le détail, là, ne sommes-nous pas hors sujet ?

- La question que je me suis posée est la suivante: pourquoi, en illustrant ses propos à l'aide d'un jeu de cartes, ses explications sont-elles plus simples à suivre ? En méditant sur le sujet, j'en suis arrivé à la conclusion suivante: il est en train de décomposer le mouvement complexe d'une permutation de cartes dans un jeu donné, en mouvements élémentaires, et donc, il doit aboutir à n'utiliser qu'un couple de concepts, l'un synchronique, l'autre diachronique !

Et m'est venue, l'idée de suivre au plus près cette apparition du concept de symétrie et de cycle en I01, à partir de I1, afin de faire le parallèle avec ce qui nous intéresse ici, à savoir la transition I01, IR. Tu remarqueras d'ailleurs que les travaux inspirés par Galois s'articulent selon ces deux axes (i.e.: Artin s'intéresse aux extensions quand Weber aux groupes, et Noether conjoint les deux approches)."

Puis l'on retrouve cette forme pour définir des "sous-groupes distingués":

"Un sous-groupe distingué, ou normal, ou invariant H d'un groupe G est un sous-groupe de G tel que : "

- Qu'y a-t-il d'étonnant à çà ? Tu retrouves dans tes sous-groupes distingués cette notion d'orthogonalité dont parle Wildberger à propos des axes d'espace (l,j,k) perpendiculaires à l'axe rationnel, celui du temps... Tu en as déjà parlé, non?

- Oui, oui, mais j'en cherche l'évidence, l'intuition derrière le langage. Tout tourne autour de cette "orthogonalité". La logique élémentaire, celle de Descartes, bloqué en I01, c'est l'opposition oui/non. Mais dès que tu t'en échappes, dès que le Sujet imagine ce que I'm voit derrière l'épaule de Im, la grande question n'est plus l'opposition dialectique (ceux qui ne sont pas mes amis sont mes ennemis) mais une question d'appartenance ou pas (ceux qui ne sont pas de ma tribu sont des "étrangers").

- Avec un point de contact: un élément neutre que tous se partagent.

- Oui, c'est le marigot où le lion côtoie la gazelle pour s'y abreuver. Spectacle surprenant pour le Cartésien qui sommeille en nous, et pourtant si nécessaire, à la réflexion...

Mais revenons à ces "groupes distingués". J'avais du mal à "voir" cet élément neutre, commun à G et H, et à comprendre comment passer de l'extérieur de H à e qu'il contient, sans "traverser" H. En fait, je me faisais une représentation plane de la scène, avec G comme enveloppe d'une patatoïde H en son sein, et l'élément neutre à l'intérieur de H. C'était idiot, car il suffit d'imaginer H sur un plan, et son complémentaire dans G sur un autre, avec le seul élément neutre au contact entre les deux. C'est une idée du même ordre qui conduit aux "coupes" de Wildberger représentant une scène en 4D sur un tableau en 2D, ou encore au point de Banach dont parle Lawvere dans "Conceptual Mathematics" (voir "Entropologie des catégories #1").

Après ce recadrage imaginaire, le reste coule de source : si un pas "g" me conduit de G dans H, pour y faire tout ce que je veux par une application "h" sans sortir de H, il me suffira de "revenir sur mes pas" c.-à-d. appliquer g^-1, pour revenir dans G. Le résultat est évident, puisque g^-1 comme g n'appartiennent pas au sous-groupe H, mais à G; je n'ai donc d'autre choix que d'atterrir en G hors de H. À mon sens, cette présentation du quaternion éclaire la notion plus générale de sous-groupe distingué.

Ouf! Je crois avoir retrouvé l'un des fils de trame de mon intuition de départ...

- À ceci près qu'ici, il n'est pas question de l'inverse g^-1 de g, mais du conjugué z de z.

- Oui, il me faut encore y réfléchir. Et puis, il y a beaucoup d'autres choses à méditer au sujet de ce quaternion, mais le principe général me semble être de "faire un pas en avant", dans ce qui est "distingué" du reste (ici l'espace par rapport au mouvement), puis de reculer dans cet univers plus grand 4D, après avoir effectué ce qui apparaît comme une "rotation" dans un espace 3D.

- Mais quel parallèle feras-tu avec ton histoire de tirage de cartes ?

- Il y avait cette idée qu'une permutation "γ" est une opération globale, portant sur le jeu de cartes entier, quand une transposition "τ" est une opération locale sur deux cartes voisines. Tu passes du global au local, puis reviens en arrière dans le global (i.e. : γτγ^-1). C'est pareil pour définir un sous-goupe distingué G dans H ou une rotation sur S3 plongé dans l'espace 4D de Hamilton. Ça tendrait à prouver que le va-et-vient local ⇅ global se représente, a posteriori, par une orthogonalité.

Je vois enfin ce dessiner derrière cette structure commune, une façon de pensée très archaïque.

Lorsque je traite l'Autre de barbare, je me place d'entrée de jeu comme apte à appréhender globalement la qualité d'homme, puis je distingue une sous-classe, celle des "barbares", qui m'est étrangère, orthogonale, en dehors du fait qu'ils mangent et respirent comme nous: l'élément neutre.

Ce qui me fait penser au monologue de Shylock :

"N’ai-je pas des yeux ? N’ai-je pas des mains, des organes, des sens, des dimensions, des affections, des passions ? Ne sommes-nous pas nourris de la même nourriture, blessés par les mêmes armes, sujets aux mêmes maladies ? Si vous nous piquez, ne saignons-nous pas ? Si vous nous chatouillez, ne rions-nous pas ? Si vous nous empoisonnez, ne mourons-nous pas ?"

Après ce que nous venons de voir, tu comprendras qu'il n'avait aucune chance!

- Comment cela ?

- Il s'adresse aux juges en faisant appel à leur logique : je respire, vous respirez, donc nous sommes semblables. Or, ces juges, dans la société qui est la leur, ont le loisir de dire qui est citoyen, qui est barbare. Les deux respirent, certes, comme tous les animaux, ils partagent également un même langage, leur permettant d'échanger, mais ce point neutre n'efface pas une "orthogonalité" qu'aucune dialectique ne saurait effacer, et dans ce cas les juges sont en G et Shilock en H.

- Dis donc, c'est plutôt gris-brun comme réflexion.

- Rien n'est immuable, ni constant, en Israël, Shylock serait en G et les Palestiniens en H...

- Mais ne fait-il pas plutôt appel à leur humanité ?

- Ça, mon ami, ce serait plutôt un discours de niveau I#...

Hari.