Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
25 Mars 2023
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- En mode voyage entre deux coins de paradis, à longer une côte bleue sur fond azur, j'ai un peu lâché les rênes cette semaine.
- La suite peut attendre...
- Bien sûr, mais j'ai lu en diagonale ce chapitre, et il commence à me travailler.
- Accouche.
- Il y a déjà longtemps que j'ai situé la géométrie en [#]♧ et, si son axiomatique répond à quelques principes syntaxiques, ils doivent se situer en [#]♡.
| [∃]♤ | [⚤]♤ | [#]♤ | [♲]♤ | [∅]☯ |
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] |
Maintenant, ce que j'attends de ma lecture, c'est de pouvoir faire le joint en [#]♢, dans la continuité de ce que nous venons de voir en [⚤]♢. Commençons par le sommaire du chapitre :
1/ Spatial Activities
Rien d'original dans sa présentation.
- Il insiste cependant sur l'importance du mouvement dans la genèse de la géométrie.
- Oui, mais de mémoire, je crois bien que Poincaré avait une approche un peu similaire.
- En résumé, nos idées concernant la géométrie nous viennent de l'expérience. Un processus S↑.
- Rien d'étonnant pour un anglo-saxon. Ceci dit, sa présentation du théorème de Pythagore m'a parue originale.
"... Or, the Pythagorean theorem can be deduced from facts about ratios of sides in similar triangles. Explicitly (Figure 2), the perpendicular from the right angle divides the hypotenuse e in Figure 2 into pieces h and k with h/a=a/e and k/b=b/e. Clearing of fractions, he=a2 and ke=b2, so that (h+k)e=e2=a2+b2, q.e.d. Many more such logical relations between geometrical facts gradually appear." p. 62
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- Ça me paraît assez évident, non ?
- C'est même très élégant, mais certainement pas la démonstration primitive. La plupart des démonstrations connues procèdent par coupage d'aires et recollement (voir ici). D'ailleurs, on s'intéressait plus à l'origine aux "aires" des objets géométriques (pense aux Égyptiens voulant retrouver la surface des champs après les crues du Nil ou encore à Socrate dans le Menon), comme aux "volumes" des solides (le principe d'Archimède) qu'aux côtés et aux angles. En ce sens, Euclide fait rupture.
Et donc, ce qui retient mon attention dans cette démonstration, c'est le changement de perspective qui la sous-tend : pour "voir" que h/a=a/e et k/b=b/e, il faut passer d'un point de vue local 𓁝[#] des triangles intérieurs à la vision globale du triangle enveloppe [#]𓁜.
- Tu crois qu'il l'a écrit pour te faire plaisir ?
- Disons que ma façon de voir me semble être dans l'air du temps...
2/ Proofs Without Figures
- Saunders Mac Lane aborde la présentation axiomatique de la géométrie Euclidienne, revue par Hilbert. La question qui se pose immédiatement est de comprendre dans quel mode s'écrivent ces axiomes : en [#]𓁜♡ ou en [#]𓁜♧ ?
- Puisqu'ils sont issus de l'expérience, dans un processus immanent S↑, je dirais en [#]𓁜♧.
- Bien sûr, cependant, qu'est-ce qui nous pousse à les écrire ?
- Une recherche de simplicité et de cohérence, d'universalité...
(h)- Et ça, ce sont des réquisitions d'ordre syntaxique, en [#]𓁜♡. Par ailleurs, je te rappelle notre petit schéma d'ensemble : (voir "Reprise #3") il y aurait deux passages de ♡ à ♧, l'un direct et l'autre via ♢:
| Moebius 3 bandes | Coupe |
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Nous venons de l'identifier au niveau [⚤] dans l'article précédent, il est question ici d'explorer le niveau suivant [#].
- Tu vas un peu vite en besogne : l'auteur n'abordera les groupes, et donc le mode ♢, qu'au paragraphe 7.
- Je me contente de dégager une perspective, pour restituer ce que Saunders Mac Lane écrit ainsi :
"If all facts are to be deduced from axioms, then these plausible observations must also be proved from the axioms, rather than from inspection of the figure. Once this austere requirement was recognized, it turned out to be possible to add suitable new axioms to those of Euclid so that all arguments could be free of any intuitive or pictorial content. This meant that geometry was not really "about" the figures themselves, but was about certain corresponding notions defined exclusively in terms of basic notions to be taken as primitive or undefined. This austere program was systematically carried out by David Hilbert in a book, Grundlagen der Geometrie (B. G. Teubner, first edition 1899, twelfth edition 1977). His axioms were for both plane and solid geometry; we will examine only those for the plane. He presented the axioms in the five following groups:" p. 63
(c) Se repointe ici l'idée de "compléter" une théorie issue de l'expérience, dans une montée S↑, par des considérations purement syntaxiques descendantes S↓; et nous retrouvons notre discussion sur le sujet (cf. : (α) et Note 6, au 1er chapitre).
Je te propose de suivre l'exposé des axiomes point par point, c'est un peu long, mais sans doute fait-il s'y plier pour aller au fond des principes. Après tout, c'est bien l'objet de cet exercice.
Group I (Incidence Axioms). These axioms involve only three primitive notions: "point", "line", and "the point P lies on the line I". They require :
Là je pense que nous sommes en plein dans [#]𓁜♧.
- Je te sens réticent ?
- Oui, parce que j'ai en tête une tout autre approche, celle de Bachmann, qui me semblait bien plus élégante.
- Il définit points et droites à partir de considérations portant sur les concepts de symétries et d'orthogonalité, dans une approche sans doute plus "syntaxique" : il s'agit d'une reconstruction [#]𓁜♡, plutôt que d'une approche plus immédiate, telle qu'elle apparaît chez Euclide.
- Sans doute, poursuivons :
Group II (Axioms of Order). In Euclidean geometry a line does not have a selected direction, so we cannot describe the order of points P, Q on a line in terms of binary relations such as "P lies to the left of Q" or "P comes before Q" or "P < Q". Instead, the description is given means of a ternary relation "B lies between A and C", available when A, B, and C are all known to lie on a line. The axioms then read:
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La question que je dois me poser est de savoir si le rapport entre point et ligne est "d'appartenance", auquel cas je devrais situer le Sujet d'un tel discours en mode ♢, ou si j'ai raison de le situer en mode objectif ♧.
- À mon sens, il n'est dit nulle part que les points A et B "appartiennent" à la ligne l, mais simplement qu'ils sont "situés" sur cette dernière. D'ailleurs la ligne n'est pas ici définie comme "ensemble" de points, mais comme un objet élémentaire, dont l'existence est postulée. En ce sens, nous sommes bien en [#]𓁜♧.
- D'accord. Venons-en à cet axiome de Pasch., que j'avoue découvrir. Le plus intéressant me semble être qu'il définit un "intérieur" et un "extérieur", autrement dit, nous avons ici, et de façon axiomatique cette fois, une différence de points de vue entre 𓁝 et 𓁜, que nous avions déjà remarquée dans le théorème de Pythagore revisité par Sanders Mac Lane. Enfin, et ce n'est pas la moindre des remarques : l'ordre ici défini ne dérive pas de celui introduit en [⚤]𓁜♧. Tout ceci confirme l'existence d'un gap entre les niveaux [⚤] et [#]. Avoue que notre représentation de la géométrie en 𓁝[#]𓁜♧ commence à prendre forme !
Group III (Congruence). Next one introduces two new undefined terms,
Tu vois déjà dans cette série d'axiomes un souci de "régularité" d'ordre syntaxique, en particulier l'axiome (2) concernant la réflexivité, la symétrie et la transitivité, issu de réflexions venues de la manipulation des nombres, en [⚤]♧.
(b) Remarque également que l'a "congruence" entre deux segments AB et A'B' ne relève pas encore de la théorie de la "mesure", et c'est un soulagement, car je l'ai située au-delà de [#]♧, en [♲]♧.
Group IV (The Parallel Axiom). Given a point A not on the line m, there is at most one line through A parallel to m.
Group V (Continuity Axioms). Examples show that the axioms stated so far do not yet insure that the Euclidean plane contains all the points that should be there, and no more. To achieve this, two more axioms are needed. To state the first, notice that a segment AB on a ray from A can be laid off repeatedly to give n points B = B1, B2 , . . . , Bn on the ray with AB1 ≡ BiBi+1 and each Bi between A and Bi+1, for i = 1, ... n-1 (Figure 3)
These are the two axioms of continuity as formulated in Hilbert's book. However, this pair of axioms can be replaced by a single axiom which concerns the division of a line I into two rays. Each point 0 on I divides I into two rays; if S is the set of all points A on one ray and that on the other (and 0 is put in neither ray), then 0 lies between any point A of S and any point B of T.
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Là, le concept d'appartenance est lâché, et nous faisons dès lors dériver les axiomes en [#]♧ d'une approche résolument de mode relationnel en [#]♢.
- Entre Euclide et Hilbert, il y a quelques siècles d'écart, et la notion d'ensemble qui a fait son apparition !
- Bien entendu, mais ce que j'ai naïvement vu dans le changement de postures ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝[#]𓁜⏩[#]𓁜)𓂀♧ comme le saut de N à R doit sans doute être explicité par des considérations de mode ♢. D'ailleurs Saunders Mac Lane enfonce le clou :
(γ)The axiom desired is essentially a converse to this:
Dedekind's Axiom. Let all the points on a line I be divided into two non empty disjoint subsets S and T in such a way that no point of S is between two points of T and no point of T is between two points of S. Then there is a unique point 0 on I with the following property: For points A, B not 0 on I, 0 is between A and B if and only if A lies in S and B in T, or A in T and B in S. In other words, the point 0 divides the line into S and T.
We will see in Chapter IV that this axiom is modeled on a similar axiom for the real numbers.
Où cette fois-ci, les "demi-droites" S et T sont bel et bien des ensembles.
- Quel est le statut du point "0" ?
- J'ai envie de dire qu'il s'agit de l'objet initial en 𓁝[∅], qui ne peut se "représenter", objectivement, que dans l'image des points de S et T.
- Autrement dit, dans un mouvement S↓ :
([♲]𓁝⇆𓁜[∅]⏩𓁝[♲]𓁜[∅]⏩[#]𓁝[♲]𓁜⏩[#]𓁝⊥𓁜[♲])𓂀♧ ?
- Oui, avec, dans le passage [♲]𓁝⇆𓁜[∅], l'idée d'une "universalité" du processus.
- Mais je ne vois pas de descente ♢↓♧ ?
(a) - Tu as raison : il y a sans doute convergence en [#]𓁜♧ de deux régressions, l'une de niveau, l'autre de mode :
| [#]𓁜 | 𓂀♢ | ||
| ↓ | |||
| 𓁝[#]𓁜 | ← | 𓁝[∅] | 𓂀♧ |
- Et quelle interprétation donnes-tu à ce schéma ?
- Il faudrait y réfléchir en détail, mais à chaud, là, maintenant, je te propose ceci :
Naïvement, je le comprend ainsi : dire que la ligne l est "continue"(i.e. [#]𓁜♢) signifie "qu'il n'y a rien" (i.e. [#]𓁜♧) entre S et T.
Ensuite, la régression ([⚤]𓁝⇅𓁜[#] ⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]) 𓂀♧ est assez simple à suivre : toute coupure est représentable par un singleton (*), avec la répétition dans la succession des changements de posture 𓁝⇅𓁜.
- Mais tu retournes en N...
- N'est-ce pas ce dont nous parle Hilbert avec l'axiome d'Archimède ?
- Et donc, le passage par le mode ♢, pleinement dans le continu, éviterait cet écueil ?
- C'est une interprétation qu'il conviendra de vérifier dans la suite du texte, et de discuter avec des matheux, bien entendu... Je retiens de tout ceci que dès l'instant où l'on se préoccupe de "segments" de droite, se pose la question de la compréhension de la droite comme "ensemble" de points. (Note 1)
3/ The Parallel Axiom
Saunder Mac Lane retrouve les théorèmes bien connus de la géométrie d'Euclide, en ne se basant que sur l'utilisation des axiomes présentés, les figures géométriques ne servant qu'à illustrer ses démonstrations. Dont acte : nous sommes ici simplement en 𓁝[#]𓁜♧.
4/ Hyperbolic geometry
La question est de savoir si les groupes d'axiomes précédents sont bien indépendants, et ça, c'est une réquisition d'ordre syntaxique, de mode ♡ :
"A set of axioms is said to be an independent set if no one of these axioms can be deduced from the others. It is desirable and appropriate (though not necessary) that the axioms for a basic structure, such as that of the Euclidean plane, be independent. In particular, there is the question: Is the parallel axiom independent, or can it be deduced from the others?" p. 70
À la réflexion, l'indépendance peut se définir comme une question d'orthogonalité en mode syntaxique.
- Autrement dit, nous serions en 𓁝[#]𓁜♡ ?
- Exactement. Vois-tu comment s'organise le discours du géomètre, le long de l'axe [#] ?
| orthogonalité des axiomes | [#] | 𓂀♡ |
| intérieur-𓁝/𓁜-extérieur (Pasch) - continuité (Dedekin) | [#] | 𓂀♢ |
| géométrie (Euclide) | [#] | 𓂀♧ |
Maintenant, en [♲]𓁜♡, il existe une réquisition d'ordre économique, à savoir limiter le nombre d'axiomes nécessaires à la représentation géométrique.
- D'où l'importance de l'axiome des parallèles ?
- Oui, et ce qui est très intéressant à suivre, c'est qu'en simplifiant le discours (i.e.: en supprimant l'axiome en question) on élargit le champ de vision, ainsi la géométrie d'Euclide devient un cas particulier parmi d'autres géométries possibles (mais potentiellement limitées par les axiomes restant). Cependant, et là notre schéma peut nous aider à suivre la démarche de Saunders Mac Lane, pour rester un "discours géométrique", nos considérations de mode supérieurs (♡ ou ♢), doivent trouver une expression simple de mode ♧, pour rester un "discours consistant de géomètre" :
"One way to approach this consistency would be to provide within Euclidean geometry an interpretation of hyperbolic geometry, say, by proposing certain Euclidean objects to serve as the "pseudo-points", the "pseudo-lines", and the "pseudo distance" of a hyperbolic geometry, and proving from the Euclidean axioms that these "pseudo" objects do satisfy the axioms for point, line, and distance in hyperbolic geometry." p. 71
Et donc, l'auteur nous propose un exemple classique de géométrie hyperbolique, représentable en termes de géométrie Euclidienne : il s'agit de se donner un cercle, et à l'intérieur de celui-ci, de définir des "pseudo points" et "pseudo droites" :
"Let C be a circle in the Euclidean plane. Let all Euclidean points within C count as pseudo-points, while diameters of C and the arcs of Euclidean circles which are orthogonal to C count as pseudo-lines, and a pseudo-point is on a pseudo-line in the evident (usual) sense of a point on a circle. It is then true that two distinct pseudo-points A and B do determine a unique pseudo-line. For either A and B lie on a diameter, or among the circles passing through A and B there is (by a continuity argument) exactly one which is orthogonal to the circle C. The axioms of incidence in Group I then hold, while with the usual Euclidean relation of betweeness the axioms of Group II also hold." p. 71
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Je passe sur les détails de la présentation, pour en venir à ceci :
"The notion of pseudo-congruence can then be defined in a standard way by first introducing a "pseudo-distance". Given pseudo-points A, B on a pseudo-line as in Figure 1, let S and T be the Euclidean points in which the (orthogonal) circle meets the base circle C, and let A T, BT, etc. denote the Euclidean lengths of corresponding arcs on this circle. Now define a (pseudo) distance by :
dis(AB) = loge [(AT/AS)/(BT/BS)]. (1)
and observe that this means that as B approaches T along the pseudo-line, with A fixed, the pseudo-distance AB will approach infinity. Then with this "metric" (i.e. in this metric space), the length of the whole pseudo line will be infinite, as one might wish. All the congruence axioms for segments thus hold. The angle between two pseudo-lines at a point of intersection is then taken to be the Euclidean angle between the Euclidean circles." p. 71
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- L'introduction d'une métrique me chagrine. Reconnais qu'utiliser un Logarithme pour rendre l'idée de point à l'infini sur la droite Euclidienne, nous éloigne vraiment d'une approche "intuitive". Tu étais content de constater que l'axiomatique de Hilbert n'introduisait pas de théorie de la mesure (cf. b), mais là, ce n'est plus le cas !
- C'était prévisible : cette géométrie hyperbolique (où par un point A hors d'une ligne peuvent passer une infinité de parallèles voir Fig 2) résulte d'une réflexion syntaxique, qui vient après toute une maturation au cours de laquelle, en particulier, les matheux sont passé par [♲]𓁜♧, et même avec Dedekind en [#]𓁜♢; or donc, le chapeautage syntaxique auquel procède Saunders Mac Lane, surdétermine la géométrie d'où était parti Euclide. Nous en revenons toujours à la même discussion (cf. c). C'est d'ailleurs le constat de Saunders Mac Lane :
"The development of non-Euclidean geometry represents a major change in the nature of Mathematics, from a science (of number and space) to a study of form." p. 72
5/ Elliptic Geometry
RAS : nous y reviendrons sans doute plus en détail au chapitre VIII.
6/ Geometric Magnitude
"Hilbert's (and Euclid's) axioms for Euclidean geometry have been expressed in terms of congruence, and not in terms of distance, as it is usually measured by a real number. In other words, the geometric approach has been formulated independently of any use of real numbers (but does employ natural numbers, to state the Archimedean axiom). In fact, the geometric approach can be used to give a geometric description of magnitudes (i.e., of real numbers). We now sketch briefly how this might be done." p. 75
- Je suis rassuré de voir que j'avais bien lu : la géométrie est fondée primitivement en dehors de toute théorie de la mesure, ce qui conforte bien la séquence Imaginaire [⚤] / [#] / [♲]; ouf ! Maintenant, il convient effectivement de traiter le passage de N (en [⚤]) à R (en [#]), a priori dans un mouvement ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜) 𓂀♧.
Ici, Saunders Mac Lane se contente de dire que les Grecs avaient une approche des nombres rationnels plutôt issue de considérations géométriques : la mesure de longueurs (0D) à partir d'un segment de droite (0U) pris comme unité (i.e.: sur une même droite, d'origine 0). Maintenant, il est intéressant de voir comment s'abstraire du choix d'un segment unitaire commun, dans la comparaison de deux segments. (Note 2)
"Such a geometric theory of magnitude was present in Euclid's geometry. The theory there avoided the choice of any unit of measurement, and so operated wholly with ratios. Thus what we have called the magnitude OD would appear in Euclid as a ratio ODIOU. Euclid then used proportions, which are simply equalities of ratios; our approach would also need such proportions to compare magnitudes for different units.
A crucial point in the Euclidean approach was a definition of such a proportion. This definition, due to Eudoxus, uses integral multiples as follows: An equality 0D/0U = AE/AV holds if and only if, for all whole numbers m and n,
In effect, this describes the ratio 0D/0U in terms of the set of those fractions n/m with n/m<0D/0U; similar ideas will appear in our description in Chapter IV of real numbers in terms of rationals.
The essential observation is that the axioms for plane geometry suffice to give a geometric theory of real numbers." p. 76
Autrement dit, il y a un changement de perspective :
| 𓁝[#]𓁜 | 𓂀♢ |
| ↓ | |
| [#]𓁜 | 𓂀♧ |
Tu vois ici comme il faut rester très attentif aux changements de postures du Sujet, qui restent bien souvent inconscients : ici, Saunders Mac Lane passe d'une expression en termes d'ensemble en mode ♢, à un constat beaucoup plus basique : R peut se construire en [#]♧ !
- Il indique surtout combien Eudoxus est précurseur, pour tenir ce raisonnement.
- Certes. Je retiendrais sa conclusion :
"For Greek Mathematics, as this discussion indicates, magnitudes were geometric rather than arithmetic; western Mathematics, as we will see in Chapter IV, has reversed this emphasis. Oswald Spengler, in his book The Decline of the West, has argued that this means that there are two wholly different "Mathematics", as parts of two different cultures. Our position is rather that congruence and geometric ratios on the one hand and Dedekind cuts on the other are just two different careful formalizations of the same underlying idea of magnitude-and that this point exemplifies the unity of idea behind the inevitably varied form." p. 76
Ce qui montre l'importance de l'axiome de Dedeking (cf. a) dans le changement de perspective opéré.
7/ Geometry by Motion
"Geometry need not be static. Intuitively, it is concerned with the ways in which "objects" can be moved around in an ambient "space". From this point of view space is really there just as a receptacle for motion. For example, the congruence theorems for triangles in plane geometry can be viewed as descriptions of conditions when one triangle can be moved so as to coincide with another. The motions involved include
All are familiar from early practical activities; all are examples of "rigid motions"." p. 77
Voilà qui me replonge dans les réflexions que je me faisais encore avant-hier en traduisant mon dernier article "Discourse of the physicist". Le mode ♧, et celui où le langage mathématique explicite ce que Kant appelle les a priori de l'entendement, en particulier le temps et l'espace. Plus précisément, l'espace apparaît ici (en [#]♧) comme le "cadre" où se situe "l'action" dont on "parle" : (𓁝[#]𓁜)𓂀♧. J'insiste un peu lourdement avec cette écriture, mais je voudrais ainsi que tu distingues bien entre :
(j) En ce sens, lorsque l'on en reste à la géométrie, le temps du mouvement est hors représentation : l'Auteur indique la position initiale du triangle / fait une manipulation qui n'est pas explicitée / présente la figure finale des deux triangles superposés. En termes Saussuriens,
C'est pourquoi le temps narratif de l'auteur (...)𓂀♧ est explicitement de niveau [⚤]♧, quand bien même il situe son action en [#]♧, voire en [♲]♧ lorsqu'il s'agit de relativité générale.
- Tu es donc en phase avec Saunders Mac Lane : From this point of view space is really there just as a receptacle for motion.
- Oui et de le lire ici me conforte dans mon approche. Ceci étant réaffirmé, on peut suivre l'auteur dans sa description des 3 mouvements sus-mentionnés à partir du concept général de "mouvement rigide"
Mouvement rigide :
"... A rigid motion of the plane is an "automorphism": An isomorphism A↦A' I I↦I' of the whole structure of the plane" p. 77
Bien entendu, en écrivant ceci, Saunders Mac Lane :
Posture l'amenant à exprimer un 1er théorème :
From the definition it follows at once that the composite of two rigid motions is again rigid, and also that the inverse of any rigid motion is itself a rigid motion. Hence the rigid motions of the plane form a group.
Theorem 1 : Any rigid motion which leaves each of three non-collinear points fixed is the identity." p.77
Il a effectivement besoin de définir une identité afin de définir ensuite l'inverse d'un mouvement donné.
"The several familiar kinds of rigid motions can be described and analysed directly from the axioms, although they are often described by equations in cartesian coordinates." p. 77
Translation
"The identity is a translation, the inverse of a translation is a translation, and the composite of two translations is again a translation. Hence all the translations of the plane form a group under composition, called the translation group H of the plane. It is an abelian group." p.78
RAS
Rotation
(g) Ensuite, il passe aux rotations :
"The intuitive idea of a rotation is direct: Take a circular disc, fix the center 0 and spin the disc. This idea leads to a formal definition: A rotation R of the plane is a rigid motion which leaves exactly one point fixed; it is called a rotation "about" that point. For completeness, the identity transformation is also counted as a rotation (about every point in the plane). From this definition it follows that the inverse of a rotation is a rotation-about the same point O. All the rotations about a point 0 do form a group, but to show this one needs
Theorem 2 : If the distinct segments OA and OA' are congruent, with 0≠A, there is exactly one rotation R about 0 taking A to A'." p.78
(d) À noter que contrairement à la translation, la définition d'une rotation nécessite de préciser un "sens" de rotation.
- Tu penses à une brisure de symétrie ?
- Oui, il y a quelque chose de cet ordre dans le choix que fait l'Auteur pour décrire une rotation. D'ailleurs le soin que Saunders Mac Lane met à préciser le sens de rotation commande notre attention.
"We know in general that all the points on one side of OA must go into points on one side of OA'; after inspecting Figure 2 we propose the rule (which could be formulated without "looking" at a figure) that the side of OA containing A' rotate to the side of OA' not containing A . In more detail:
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Il y a derrière tout ceci l'importance de l'idée qu'une ligne dans le plan sépare celui-ci en deux (ou que la ligne a "deux côtés").
- Il y a deux postures du Sujet 𓁝/𓁜...
(e)- Je pense effectivement, et là nous sommes en mode syntaxique 𓂀♡, que la dualité 𓁝/𓁜 est co-substantielle au concept d'espace, qu'il s'agisse des postures ex post/ex ante; droite/gauche; haut/bas; intérieur/extérieur; inclusion/compréhension; partie/tout et que nous en retrouvons ici la trace en termes de sens de rotation...
À l'appui de ce que nous avons dit de la distinction entre l'espace de la représentation et le temps de la narration, Saunders Mac Lane ajoute ceci :
(α) "Note however that rotation R, as constructed, simply specifies where each point eventually ends up (A to A ', X to X ') and not how the point "moves" there. In other words, this rotation R is not a motion Rt parametrized over time t, in the sense described in §1.5. Thus R is neither clockwise nor counterclockwise from A to A' ! On the contrary, we will use the properties of rotations given in Theorem 2 to explain, in §8, the choice of a "counterclockwise" sense." p. 80
- Autrement dit cette impression d'une "brisure de symétrie" due à la nécessité de définir un "sens de rotation" (d) est l'effet de ta narration, et non celui de l'espace dans lequel tu situes l'objet.
- Oui, merci à Saunders Mac Lane pour m'avoir mis le nez dessus ! Nous y reviendrons sans doute à la lecture du §8.
Ensuite, l'auteur combine translations et rotations, pour en arriver à :
Theorem 3. Composites of rotations and translations of the plane form a group. If 0 is any chosen point, an element of the group can be written uniquely as a product T·R with T a translation and R a rotation about 0. This group is called the group E0 of proper rigid motions.
Corollary. If 0A and 0'A' are congruent segments, with 0≠A, there is a unique proper rigid motion taking 0 to 0 ' and A to A '.
In other words, a proper rigid motion is determined by its effect on any two distinct point 0 and A." p. 81
(i) Si le détail des calculs n'appelle pas de commentaires, la conclusion est quand même remarquable : en se donnant un point de référence 0 dans le plan, nous passons d'un point à un autre du plan par un unique enchaînement de "mouvements rigides" T·R menant de l'un à l'autre, alors qu'effectivement, il y a 1001 façons de passer concrètement d'un point à un autre de l'espace. Image le ballet d'une baguette de chef d'orchestre dans l'espace ! Nous avons ici une illustration parfaite de la réduction eidétique accompagnant le passage du mode objectif ♧ au mode relationnel ♢ !
Réflexion
"The reflection L in a line I is also a rigid motion. Under this reflection, each point A is sent to the point A' with I a perpendicular bisector of AA'. Thus (Figure 5) A' is on the opposite side of I (and at the same distance from l). Again, AB is congruent to A'B', so reflection is a rigid motion by our definition. It has an evident physical meaning (reflect, as in a mirror at l). It differs from translation and rotation in that it "turns the plane over".
- Cette fois-ci tu l'as ta "brisure de symétrie" !
- Oui, effectivement, et c'est lié à la distinction faite entre les deux "côtés" d'une ligne séparant l'espace en deux parties; mais la définition que Saunders Mac Lane se donne du "mouvement" (i.e.: ce qui préserve la congruence entre un segment et sa transformation par un "mouvement"), lui permet de considérer la réflexion par rapport à un axe comme un "mouvement".
Je pense que l'on pourrait discuter ce point de vue, car, jusqu'ici, il était possible de "ramener" un segment sur son image par "glissement" T·R, sans décoller du plan. Pour imaginer "rabattre" un demi-plan sur l'autre. Il faut un déplacement dans un espace 3D, qui n'est pas représentable dans le plan lui-même.
- Tu fait l'idiot : deux lignes symétriques par rapport à un axe peuvent avoir la même longueur, c'est ce qu'il appelle "congruence".
- Mais alors, nous parlons de "mesure", ce qui n'a rien à voir et nous sommes en [♲]♧, et non en [#]♧ ! À la réflexion, c'est le cas de le dire, elle tient peut-être à ce passage [♲]♧⏩[#]♧ la brisure de symétrie en question...
(f) Un bon sujet de méditation en somme :
Dans le cas de la rotation, il y a décalage entre le récit et l'espace de description, (entre [⚤]/[#]) dans le cas de la réflexion, la brisure de symétrie est temporelle ET spatiale, (entre [#]/[♲]), pas moyen d'y échapper...
- Autrement dit les concepts de rotation et de réflexion présentés comme concepts géométriques sont bancals ?
- Pas en passant par le mode ♢ et le concept de structure de groupe, comme le fait Saunders Mac Lane ! Sa définition du "mouvement" est en [⚤]♢ et il surdétermine ainsi la géométrie Euclidienne sagement cantonnée en [#]♧.
- Niveau [⚤] discret ?
- Évidemment : les mouvements s'enchaînent ici de façon "discrète". Et tu remarqueras en passant que leur enchaînement se comprend dans une succession "spatiale" du type T·R·T ou R·T·R, sans implication temporelle (i.e. : si nous sommes au niveau [⚤], nous ne sommes pas en mode ♧).
- Si tu recollais au texte ?
- Oui, pour en finir avec cette réflexion, Saunders Mac Lane en arrive à ceci :
"Theorem 4. Let I be any line in the plane. Any rigid motion of the plane is either a proper rigid motion P or a composite P·L where L is the reflection in the line I." p.82
Et il termine en beauté sur ce constat :
"These theorems serve to show that groups (transformations and their composites) are firmly embedded (though not explicit) in classical Euclidean geometry." p. 82
Tu admireras le "(not explicite)" comme il se doit !
8/ Orientation
Le point important tient à une définition axiomatique de l'orientation :
"The added structure of the oriented plane has been described as a "choice of an orientation".
It can be formulated in other ways, so as to resemble an "axiomatic" structure. For example, consider the relation sLr for "s is on the left side of r", where r and s are rays from a common point 0. If -r denotes the ray opposite r, but along the same line through 0, this relation has the following properties:
These three statements can be regarded as the added axioms describing an oriented plane. From them one can prove directly, without using rotation, that a Euclidean plane has exactly two orientations." p.84
- On en revient directement à ton intuition (cf. e).
- Et l'on peut sans doute prolonger un peu notre précédente méditation (cf. f).
Le mathématicien est ici face à un choix concernant le cadre de ses représentations. Soit un point 0 pour définir une rotation, soit une ligne f pour une réflexion, d'où découle soit un choix de sens de rotation, soit celui d'être, comme Alice, devant ou dans le miroir.
(β) À mon sens, ce choix doit découler d'un impératif d'ordre syntaxique ♡ lié au changement de mode ♢↓♧.
- Tu t'écoutes parler et tu fais des phrases !
- C'est toi qui lis Sanders Mac Lane sans comprendre ce que tu lis :
Et donc la nécessité d'un choix est bien due au passage d'une définition en termes de groupes⚤♢ à sa représentation géométrique#♧. Tu peux faire le même exercice pour la réflexion#♢; et c'est un constat, ou une règle syntaxique#♡.
- D'accord, et ces 3 axiomes, alors, où les situer ?
- À mon sens, nous sommes ici dans le cas d'un passage direct 𓂀♡↓𓂀♧ (cf. schéma h) et ces axiomes se réfèrent au niveau [#]♧: la nécessité de ces axiomes découle d'une volonté de l'auteur 𓂀♢ de traiter la géométrie à l'aide du concept de groupes⚤♢, ce qui conduit à une expression de ces axiomes#♧ et à un choix lié au changement de mode ♢↓♧.
- Autrement dit, il fonde la perspective 𓂀♢ à partir de la syntaxe 𓂀♡, ce qui boucle notre schéma (h).
9/ Groups in Geometry
- Nous avons vu comment la notion de "groupe de mouvements rigides" est une réduction drastique des possibilités de mouvements pour déplacer une figure dans le plan (cf. i), il s'agit maintenant d'une réduction eidétique seconde, en regroupant tous les "mouvements semblables".
- Autrement dit, en extrayant les "actes" des objets sur lesquels ils oeuvrent ? (Note 2)
- Exactement : nous réifions pour ainsi dire, nos manipulations de figures qui, en mode ♧ étaient "diachroniques" (cf. j); c'est dire que nous sommes ici, de plain pied en mode relationnel ♢ ! Et là, Saunders Mac Lane sort l'artillerie lourde, en commençant par séparer :
"A group G is said to act on a set X when for each g in G and each x in X there is given an element gx in X (the result of g acting on x) in such a way that
g1(g2x)=(g1.g2)x , 1.x=x. (I)
for all g1 and g2 in G, for the identity 1 of G, and for all x in X.
Saunders Mac Lane donne l'exemple d'un point x dans le plan : lorsqu'il est pris comme centre d'un groupe de rotations, x reste inchangé. Quel que soit x dans l'espace, le groupe associé des rotations Fx est un groupe "d'isotropie" (je ne suis pas sûr du terme français correspondant à "isotropy"). Par ailleurs, soit y un autre point et Fy le groupe d'isotropie qui y est rattaché, alors les deux groupes Fx et Fy sont "isomorphes".
Je trouve cette façon de procéder tout à fait remarquable !
- En quel sens ?
- En mode objectif ♧, nous ne savons rien de ce qu'est un point : à l'extrême limite, nous postulons son existence,☯[∃]𓁜♧, que nous identifions par un axiome en ☯[∃][⚤]𓁜♧, plongé dans un plan continu en [#]𓁜♧. Maintenant, en nous référant à ce même point que je choisis (le rapport du Sujet au point s'établissant à partir d'un recul Imaginaire en mode ♡); je le définis en mode ♢ par les relations qui le laissent invariant, et ce faisant, j'inverse la perspective : ce n'est plus un point dans l'espace que j'identifie ex post ☯[∃][⚤]𓁜♧, mais les actions que je ramène à lui, en le laissant inchangé. Il devient le centre du monde (d'où ce terme fort juste finalement d'isotropie.) Ce groupe Fx est un ensemble d'actions dans un monde continu, et donc, nous sommes en [#]𓁜♢.
La dernière étape me semble facile à deviner : il ne me reste plus qu'à vider ce point de l'espace, pour le définir par ce qui l'entoure en le laissant inchangé. C'est ce que fait précisément Dedekind en parlant d'une coupure entre les deux demi-droites S et T qui saturent la droite autour d'une coupure x.
- Autrement dit tu passes en 𓁝[#]♢ pour le définir ? Ce qui se traduit sur ton schéma par ceci au final :
| groupe | 𓁝[#] | ...[∅] | 𓂀♧ | |
| ↑ | ||||
| espace | [∃]... | [#]𓁜 | 𓂀♧ |
- Ah ! Tu vois que ça se met gentiment en place, non ? Pour suivre ce programme, il suffit maintenant, d'associer à un espace donné, un groupe d'actions E0 agissant sur lui et d'établir l'équivalence entre points x et y à partir des translations T amenant x sur y (i.e.: les points x et y étant représentables dans E0, par les rotations qui les laissent inchangés).
"All the proper motions carrying x to y can be written as products TR for R in Fx and T any motion (say a translation) carrying x to y. All these motions constitute a so-called "coset"
TFx = {all TR I R∈Fx} (2)
of Fx. The whole group E0 consists of the various disjoint cosets TFx, T'Fx corresponding to the various points Tx = y, T'x=z... of the plane.
These observations hold in general. For any group G acting on a set X, hx= kx for h and k in G if and only if k-1h is in the isotropy group Fx. Thus all the elements k in the coset
hFx = {all hf I f∈Fx}. (3)
map x to the same point on the orbit, so that the set of cosets corresponds to the set of points in the orbit, as in the bijection
/image%2F0964014%2F20230406%2Fob_8d8bc3_capture-d-ecran-2023-04-06-a-11-25.png)
This is the (geometric) origin of the notion of a "coset". If points x and y are in the same orbit, so that hx=y for some h, then Fy=hFxh-1; this states that the isotropy subgroups Fx and Fy are conjugate subgroups of G, isomorphic under the bijection g↦hgh-1. This is the geometric origin of the notion of "conjugaison"." p. 86
Le schéma de Saunders Mac Lane parle de lui-même :
/image%2F0964014%2F20230406%2Fob_35a74f_capture-d-ecran-2023-04-06-a-11-48.png) |
[#] | 𓂀♢ |
| ↓ | ||
| [#] | 𓂀♧ |
Ensuite, Saunders Mac Lane répète l'opération sur les segments de droite :
"The group E of all rigid motions acts on the set X of all segments AB. Here the orbit of each segment is the set of all congruent segments, while the subgroup fixing a segment AB consist of four motions, {1,L,R,L·R}, where L is the reflection in the line of AB and R is the half turn (rotation by 180°) about the midpoint of AB." p. 86
Tu remarqueras l'importance des symétries pour définir AB.
- Tu penses à une injonction d'ordre syntaxique en mode ♡ ?
- Oui, n'oublie jamais notre amie Emmy Noether : un "objet" se distingue par ses symétries. Mais pour l'heure, l'important tient à la répétition de la procédure, que je situerais en [⚤]♢𓁝⇅𓁜[#]♢.
- Quelle justification ?
- L'enchaînement des actions reste de l'ordre du discret, quand les actions elles-mêmes sont de l'ordre du continu. Ensuite Saunders Mac Lane procède à une généralisation :
"Similarly, the reader may examine the associated action of the group E on the set of triangles, on the set of lines, on the set of rays, and on the set of circles in the plane. Consider the subgroups of E:
E⊃ E0 ⊃ H ⊃ {l}. (5)
The plane has just two orientations, call them ↑ and ↓. The whole group E acts on the set of these orientations, in that each rigid motion M induce a permutation σ(M) of the set {↑,↓}; thus when M∈E0 is a proper rigid motion, the orientation is unchanged, so σ(M) is the identity permutation, while a reflection L interchanges the two orientations. For the composite M·M' of two motions the effect is
σ(M.M') = σ(M)σ(M'). (6)
this equation states that σ preserves composites, hence is a homomorphism of groups. This homomorphism carries the subgroup E0 to the identity permutation and its coset E0L (all products ML, for M in E0) to the permutation interchanging ↑ and ↓." p. 86
- Ça me paraît bien compliqué.
- Il faut comprendre l'utilité de l'exercice. Imagine le plan comme une surface transparente. Toute translation peut être vue soit de dessus ↑ soit de dessous ↓, selon ton choix#♢. Autrement dit, nous en revenons toujours à un problème de choix ♢↓♧ de la représentation#♧ quand, dans le concept de translation#♢ lui-même, cette différence de représentation n'existe pas. Et donc, on fait comme pour le point : on évacue le plan en le définissant par l'espace du choix {↑,↓}, en termes de groupe, en mode ♢.
- Autrement dit, la preuve que le miroir existe, c'est qu'il me reflète ?
- Exactement. Alice-Descartes n'aurait pas dit mieux ! Mais tu remarqueras au passage de quelle façon le point est associé à la rotation, quand la surface l'est à la réflexion, ce qui nous revoie à nos précédents commentaires à ce sujet.
Par ailleurs, tu vois également comment d'une vision "constructivisme" [∃][#]𓁜♧, Saunders Mac Lane prépare doucement le terrain, pour une approche 𓁝[#][∅]♢ et une description de l'objet par des groupes d'homologie.
Maintenant, entre le point et le plan, il ne reste plus qu'à dérouler le discours:
"A direction (e.g., the "direction" of a ray r0) in the plane may be described formally as the orbit of the ray r0 under the translation group. Every rigid motion M carries directions to directions, so defines an action of E on the set of directions. Let σ(M) denote the permutation of the set of directions induced by the rigid motion M; thus σ is a homomorphism, as in (6), while the set of all motions M with σ(M) the identity is the sub group H of translations.
In the terminology of group theory, this subgroup H is a normal sub group of E because every conjugate MTM-1 of a translation is a translation. We showed that every proper motion in E0 had the form T·R, with T a translation and R a rotation about a fixed point 0, so that E0 is the union of the cosets of H
HR= {all TR I T ∈ H}."
The cosets correspond to the rotations R, so that the cosets may be said to form a group E0/H isomorphic to the group of rotations about 0." p. 86
(δ) Là encore, tu vois le principe de répétition [⚤]♢𓁝⇅𓁜[#]♢ à l'oeuvre, dans le passage d'un action sur l'ensemble des droites à une action sur l'ensemble des directions : c'est un jeu de poupées Russes (nous retrouvons l'idée d'inclusion comme principe de répétition ⇅ en [⚤]♢ (cf. α)).
Maintenant, et c'est nouveau : tous les sous-groupes H sont "normaux" au sens introduit par Galois, ce qui nous donne l'expression de "l'orthogonalité" ⊥ en [#]♢ et enrichit notre compréhension des changements de niveaux en mode ♢, dans ce secteur de l'Imaginaire : ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲])𓂀♢.
Je laisse Saunders conclure :
"These observations, and many like them, indicate the very close relation between Euclidean geometry and group theory — so close that one might say that groups were implicit (though never explicit) in traditional geometry. For these reasons, it is clear that the basic ideas of group theory belong early in the conceptual order of mathematical structures. Historically, groups did not appear until the 19th century, implicitly with Gauss and others and explicitly with Galois. When they were fully recognized, they were applied promptly to geometry, by Klein, Lie, and others. In particular, hyperbolic and elliptic geometries also involve appropriate groups of motions — as does solid geometry." p. 87
10/ Geometry by Groups
"Space is not just a static array of geometric figures; it is primarily a field for motion. This can be stated more emphatically in the observation that the axioms for the Euclidean plane can be formulated wholly in terms of the group E of rigid motions. We will sketch briefly how this can be done.
In any group, an element h of order 2 (an element h≠1 with h2=1) is called an involution. In the group E of all rigid motions the reflection Lk in the line k and the rotation (half-turn) RA by 180° about the point A are both involutions.
Theorem I. A rigid motion M of the plane which is an involution is either a reflection Lk in some line k or a half-turn RA about some point A." p.87
La démonstration de la preuve est intéressante à suivre :
"PROOF. Since M2=1 but M is not the identity, there is a point B with MB=C≠B. Then MC= M2B= B, so the motion M interchanges the two points B and C. Let l be the line which is the perpendicular bisector of the segment BC, as in Figure 1. The points on l are the points equidistant from B and C; hence the given involution M must carry points on l to points on l (it thus leaves line I as a whole fixed). Moreover, M must leave fixed the midpoint 0 of the segment BC; 0 lies on I. Take a point P on I but different from 0. Then M must send P to another point on I at the same distance from B and C — thus either to P itself or to the point P '. The reflexion Ll sent P to P' on the opposite side of 0 with P0=P'0; the half-turn R0 sends P to P'. Since a rigid motion is determined by what it does to three non-collinear points, this proves that the given involution M is either Ll or R0.
/image%2F0964014%2F20230406%2Fob_7224f2_capture-d-ecran-2023-04-06-a-14-47.png)
Theorem 2. Every rigid motion is a composite of involutions.
PROOF. It will suffice to show that every rotation and every translation is a composite of involutions. To this end, consider the composite of two reflections Lk•Ll in distinct lines k and I. If k and I are not parallel, they meet in a point 0, say at an angle ϕ. The composite motion Lk•Ll leaves (Figure 2) the point 0 fixed and preserves orientation, hence is a rotation about 0. Now Ll leaves I fixed, while Lk takes I to the line I' through 0 making with k the same angle ϕ as does I, but on the opposite side of k. Therefore Lk•Ll is the rotation about 0 through the angle 2ϕ. Hence every rotation is a composite of two reflections. In the remaining case k and I are parallel, so have a common perpendicilar m.The composite Lk•Ll then turns out to be translation along m by twice the distance from k to I."
/image%2F0964014%2F20230406%2Fob_42e669_capture-d-ecran-2023-04-06-a-15-38.png)
- J'ai l'impression de retomber sur la géométrie de Bachmann, dont nous parlions en introduction de cet article, non ?
- Exactement, d'ailleurs il termine ce paragraphe en le citant. Nous sommes ici en fin de parcours, et je me demande si ce bouclage final autour de notions de symétries très simples, syntaxiques♡, ne récupère pas à la "sauce groupe", une voie directe possible entre de principes de mode ♡ et leur représentation directe en mode ♧.
- Autrement dit, en reprenant le schéma (h) Bachman passe directement de ♡ à ♧ quand Saunders Mac Lane passe par ♢, où il retrouve les mêmes structures syntaxiques que Bachmann, aux limites (i.e.: le point et le plan) de la géométrie plane ?
| (...) 𓂀♡ | => | (...) 𓂀♢ | ||
| Bachmann | ⇘ | ⇙ | Saunders Mac Lane | |
| (...) 𓂀♧ | Euclide | |||
(μ)- C'est l'idée que j'ai en tête. Du coup, nous complétons ainsi l'environnement de ce niveau [#]♧ propre à la géométrie :
Ça ne reste, bien entendu qu'un schéma naïf que je me donne a priori pour avancer dans ma lecture... À suivre !
11/ Solid Geometry
- Saunders Mac Lane marque sa surprise : pourquoi la géométrie du plan est-elle si féconde, alors que notre monde est avant tout fait d'objets solides en 3D ?
"As formulated in Euclid or as presented in modem form in Hilbert they involve little more than the axioms for plane geometry. The surprising fact is thus the observation that so much of geometry is already contained in the geometry of the plane (but not yet in the geometry of the line)."
[...]
It was surely a remarkable discovery (was it made by the Greeks?) that concentration on the plane would yield so much of the ideas of geometry." p. 89
Si j'osais, je dirais bien que notre représentation de l'Imaginaire permet d'avancer un peu dans ce type de réflexions, mais le développer ici retarderait d'autant ma lecture. Disons simplement que la mise en perspective de Saunders Mac Lane me conforte dans ma démarche.
Le point intéressant est que le passage en mode ♢ permet sans difficulté majeure d'avancer dans des espaces de dimensions supérieures.
"The group of rigid motions of Euclidean solid geometry is a much bigger and richer group than that of the plane — but it is still true that any rigid motion of space is a composite of rotations, translations, and reflections." p. 89
Saunders conclut ainsi :
"In all these respects, three dimensions is much like two dimensions — but there are important points of difference, such as the much greater variety of figures in 3-space: Spheres, cylinders, pyramids, regular solids, irregular solids, and the like. Decisive new notions, such as the Gaussian curvature of a surface at a point, arise from the study of these figures, as we will see in a later chapter. There we will also examine a wide variety of other geometries." p. 91
12/ Is Geometry a Science ?
- Remarque de fond :
"In the language of Karl Popper, statements of a science should be falsifiable; those of geometry are not." p. 91
Pour en arriver à ce que j'avais présenté être une réponse à un impératif catégorique Kantien :
"We are more concerned with the positive aspects of the question: What, then, is geometry? It is a sophisticated intellectual structure, rooted in questions about the experience of motion, of construction, of shaping. It leads to propositions and insights which form the necessary backdrop for any science of motion or of engineering practices of construction.
- C'est une bonne façon de conclure, non ?
- Amen !
Hari
Note 1 :
À la réflexion, l'hypothèse atomiste n'est jamais immédiate, mais le fruit d'une "réflexion", si je puis dire.
Chez l'enfant, l'acquisition de la notion d'objet, séparé de son "intention", fait partie d'un processus d'apprentissage. (voir ici)
Chez les philosophes, l'atomisme n'a rien d'immédiat non plus, qu'il s'agisse de Leucippe et Démocrite ou encore Pierre Gassenti au XVII.
En sciences, enfin, on se souviendra du combat de Boltzmann pour imposer ses idées, et de la cabale menée contre lui par Mach, qui le conduira au suicide en 1906.
Inutile, ici, de rappeler que Planck inventa le concept de "quanta" en 1900 pour sortir la physique de la catastrophe de l'ultraviolet.
Nous avons vu par ailleurs (voir "Le discours du physicien") que l'observable procède d'un processus de dégénérescence.
En ce sens, il semble illusoire, a posteriori, de présenter la ligne droite, continue par essence, comme constituée primitivement de "points" élémentaires dans une construction "immanente" S↑. Il va me falloir préciser cela....
Note 2 :
Incidemment, je ne peux manquer de relever que le processus intellectuel, ici consciemment mis à l'oeuvre, pour abstraire les notions purement géométrique de leur représentation physique, sur le sable ou une feuille de papier, suit exactement les mêmes étapes que le processus inconscient de reconnaissance des lettres, abstraction faite de leur casse, taille, type ou couleur... (voir "Les neurones de la lecture - Stanislas Dehaene #3") #γ
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