Géométrie non-commutative #3 - De la mesure

- La question de la mesure est sans doute l'aspect le plus déroutant de la présentation d'Alain Connes aux physiciens (voir "Rencontrer Alain Connes"), j'ose même avancer qu'en utilisant des concepts de physicien tels que le fermion pour s'exprimer dans le champ des mathématiques, il lui manque des éléments de langage pour transmettre sa pensée.

- C'est bien prétentieux de ta part, dit plutôt que tu es dans l'incapacité de le comprendre...

- Je reconnais sans honte que sa pensée mathématique me dépasse de cent coudées, néanmoins je maintiens qu'il doit être possible d'exprimer plus simplement qu'il ne le fait le concept de mesure, et surtout en termes de rapport du Sujet à son langage qui laisseraient de côté ses références à l'expérience physique de l'objet ! Ceci dit, ses réflexions m'ont permis de remettre en question ma propre conception de la mesure.

- Ça devient compliqué.

- Mais non, je dis simplement que mon effort pour comprendre Alain Connes remet en question ma propre représentation de ce qu'est la mesure, avec l'espoir qu'en retour, je puisse simplement réécrire, avec mes concepts, ce qu'Alain Connes veut nous transmettre. Il est tout à fait normal, lorsque l'on présente un nouveau paradigme que le vocabulaire traîne un peu à la remorque de l'idée, et que les mots pour le dire ne viennent pas si aisément que cela ! Nous ne sommes pas dans un salon avec Montesquieu, mais dans une salle d'accouchement avec Socrate, c'est moins propre, mais plus vivant.

Laisse-moi t'expliquer d'abord mon propre embarras.

1/ Depuis un certain temps déjà, j'ai dégagé tout ce qui concerne les concepts de volume et de "mesure" au niveau I# de l'Imaginaire, cela vient du théorème de Pythagore et du calcul d'une norme s à partir d'un carré : ds²=dx²+dy². J'estime, avec quelques raisons dont j'ai déjà largement débattu ici que le concept général de calcul d'une aire à partir de ses côtés était de niveau I#. En particulier du fait que ds² transcende l'orthogonalité entre dx et dy (i.e.: de niveau IR).

2/ Cependant, à un niveau très basique de l'entendement, "mesurer" quelque chose, c'est comparer un objet donné à un autre pris comme étalon, c'est ce dont parle Alain Connes :

Or, d'un point de vue très général, l'acte de mesurer un objet en le rapportant à un étalon est la même opération intellectuelle que de juger d'une chose en la rapportant à un critère de jugement, autrement dit dans une posture I_objet<I_étalon<Im. C'est ce que j'ai défini comme la posture de la rationalité logique qui, en dernier ressort, nous ramène à l'objet final en I1, avec I1<I01<Im.

Vois-tu le hiatus entre cette mesure (objet synchronique) en I# et l'acte lui-même (objet diachronique) concevable dès I1↑I01 ?

- C'est à toi de retravailler ton approche, non ?

- Oui, il faudrait parler de "mesure" en précisant le niveau synchronique auquel rapporte cette notion. De ce point de vue il n'est pas idiot de dire que :

• le morphisme identité (*)_∈I1↑{1}_∈I01 est une "mesure" de l'objet final;
• À l'étape suivante, dans I01, la "mesure" d'un nombre x∈N correspond au nombre x d'itérations du saut élémentaire I1↑I01.

- Mais ça se complique en IR, puisque la répétition porte sur l'ajout d'une dimension orthogonale aux précédentes, et pas sur la succession comme en I01, n'est-ce pas ?

- Effectivement, d'autant plus qu'en IR, tu as la nécessité de prendre l'hypothèse de continu. Or, même avec la notion de séparabilité, tu es capable de faire tenir N tout entier dans le segment [0,1[ de R, ce qui rend le sens de l'application ↑ plus complexe. C'est d'ailleurs le départ de toute la réflexion sur les recouvrements en topologie, je te renvoie à Étienne Ghys:

- Pourtant je suis bien capable de prendre un mètre pour mesurer un mur, non ?

- Reporte-toi à la façon qu'a Mandelbrot d'introduire la notion de "mesure" dans son ouvrage "Fractales". Ta mesure dépend de l'outil que tu prends pour mesurer. Reviens à sa mesure de la longueur des côtes de Bretagne (voir par exemple sur ce blog); ce qui le conduit à la notion de "dimension fractale".

- Il y a donc une difficulté que nous n'avions pas en I01 ?

- Oui, parce qu'intuitivement, nous postulons que la "distance entre" 1 et 2 est la même qu'entre 1008 et 1009 ou 35214 et 35215. Ce qui revient à dire que tous les "sauts diachroniques" I1↑I01 se valent.

- Mais cette intuition n'est pas reprise dans les axiomes de Peano !

- À la réflexion, tu as raison. Je crois qu'il nous faut donc garder à l'esprit que la notion de mesure, contrairement à ce que j'ai écrit plus haut, ne peut pas ressortir de la simple pensée rationnelle logique (i.e.: I1<I01<Im), mais suppose nécessairement une approche topologique, même si elle s'exprime en I01 (i.e.: I'm≤I01<IR≤Im).

Nous avions d'ailleurs remarqué que l'on a besoin du principe d'inertie Galiléen pour dire que les sauts Ik↑Ik+1, sont tous de durée constante (note1).

Tu vois donc comme moi que la voie empruntée jusqu'à maintenant est pleine de difficultés.

C'est dans cet état d'esprit, qu'il nous faut tenter de comprendre ce que nous dit Alain Connes. Je cite : "l'unité de longueur, les raies spectrales, il faut qu'on les ait dans la machine".

C'est là que j'ai un grand moment de solitude : mais de quoi nous parle-t-il ?

Il explicite sa position en continuant : "ça vient des fermions qui sont indiscernables, et sont partout les mêmes dans la Galaxie".

- Mais ça, c'est un axiome, toutes les vérifications que l'on peut en faire ne nous fourniront jamais la preuve de cette constance.

- Ah ! Il y a là un principe d'équivalence qui vaut bien le principe d'inertie Galiléenne (note 1), ou celui de moindre action de Maupertuis. Autrement dit, nous sommes au niveau I# de l'imaginaire !

Mais poursuivons : Alain Connes parle ensuite de la non-commutativité de la position et du moment :

Or là, il nous ramène en terrain connu ! Souviens-tu de notre façon de retrouver  "Le principe 'incertitude d'Heisenberg sans les maths". À l'époque j'en étais encore à une théorie très embryonnaire, n'ayant même pas théorisé la différence de posture I'm/Im. Néanmoins je parvenais à expliquer l'incertitude comme du au saut diachronique nécessaire à l'expression de tout mouvement ou transformation (conjointement avec un principe synchronique sur lequel porte l'action).

Ensuite il se refocalise sur l'expression algébrique de cette non-commutativité, et retombe donc en I01.

C'est donc dans cette articulation du discours qu'il nous faut préciser les postures et mouvements du Sujet qui l'accompagne.

Pour mémoire, nous avons déjà articulé l'idée selon laquelle le fermion serait un concept synchronique, quand le boson, qui porte l'action, ou génère la transformation, serait intrinsèquement un concept diachronique. 

Or, lorsqu'Alain Connes remplace les "variables réelles" par des "opérateurs auto-adjoints", de fait, il passe d'un concept synchronique à un "opérateur", représentant un mouvement de pensée.

- Qu'appelles-tu mouvement de pensée ?

- C'est un mouvement Imaginaire du Sujet autour de l'objet, par exemple lorsque dans la situation I'm<Ik<Im, il passe de I'm (situation locale) à Im (point de vue global). Dans l'affaire, l'objet n'est affecté que par mon discours, sans qu'il y ait d'interférence physique (ni échange d'énergie, ni modification entropique).

Et décrire un objet par une opérateur auto-adjoint c'est bien le caractériser par un mouvement de va et vient du Sujet menant à lui pour s'en éloigner.

- J'ai beau surfer sur le net pour comprendre ce qu'est un opérateur auto-adjoint, je n'y trouve pas ce que tu nous en dis.

- Je le sais ! Tout est noyé dans un jargon de profs de maths qui, pour le dire franchement, me gonfle vraiment ! Le point important c'est la forme a.a*, que tu retrouves partout.

Nous l'avons vue dernièrement au sujet des quaternions (voir "note #3") avec NJ Wildberger, mais nous l'avions déjà vue chez Dirac, avec ses "bras" et ses "kets" : a=⟨A|A⟩ (voir "Métaphysique quantique de Dirac") et très loin en arrière au sujet des permutations dans un jeu de cartes (voir "Évariste Galois part 4 - Symétrie et rotation"), à partir de deux "générateurs" à savoir:

• Une transposition élémentaire entre deux éléments : τ=(1,2)
• Le cycle portant sur l'ensemble n des éléments : γ=(1,2,3,....n)

Une transposition au sein du jeu est de la forme γⁿτγ^-n.

Elle est là la structure élémentaire du mouvement diachronique du Sujet autour de l'objet.

Il faut revenir à Évariste Galois et à ses extensions et sous-groupes distingués, tous orthogonaux entre-eux, c'était le sujet de "note #3 - The geometry of surfaces - topology algebraic"). Pour mémoire :

"Un sous-groupe distingué, ou normal, ou invariant H d'un groupe G est un sous-groupe de G tel que : "

Autrement dit, G est extérieur ou orthogonal à H, à l'exception du point neutre qu'ils ont en commun. Et bien je prétends que ce mouvement g.g^-1 exprime un va et vient du Sujet autour de l'objet (note 2).

L'image la plus pure, la plus simple que je puisse me faire de tout ceci, c'est encore de voir la permutation γ comme un mouvement portant du global (le jeu de cartes) au particulier (la carte que je révèle), et la transposition τ comme une action locale à savoir échanger deux cartes en contact.

Et c'est cette idée que je souhaite confronter à ce que me dit Alain Connes...

- Il y a du travail ! 

- Oui, la suite à demain, car je fatigue.

Le 11/09/2020

- Nous sommes arrivés à un point dur, et pour continuer, il faut avant tout reprendre les fondamentaux de la mécanique quantique dans notre perspective.

- C'est un chantier que tu as abandonné en cours de route (voir "Superposition des états quantiques") de juin 2019. Tu étais parti de "The principles of quantum mechanics" de Dirac, je te propose de reprendre tes réflexions où tu les avais laissées.

- OK, revenons donc à ce canevas. 

Premier postulat

Un système quantique à un instant t est complètement décrit par un vecteur A que Dirac appelle un "ket" et écrit |A⟩. Ce ket, de dimension finie ou infinie est dans un espace de Hilbert, avec comme corps de base les complexes C. L'important est de comprendre que ce vecteur indique une "direction", et que seule cette dernière qualifie l'état du système, d'où la possibilité de "normaliser" sa mesure.

- Et ça sort d'où ?

- Tu as raison, il faut prendre le temps de relire Dirac, en revenant au tout début, et à ses motivations.

Dirac commence par pointer ce qui ne va pas dans la mécanique classique, à partir d'une question portant sur la stabilité des objets. Je résume :

1/ Si un "objet" classique est perturbé, il oscille autour d'un point d'équilibre, et ces perturbations doivent donner naissance à un spectre de fréquences observables. Mais l'expérience montre que si les oscillations des "objets" dans l'espace, et leurs interactions sont bien prises en compte par la mécanique classique (par exemple la température qui en résulte), les fréquences propres aux mouvements "internes", correspondant à des fluctuations autour d'un point d'équilibre, ne sont pas observées.

2/ En prenant en compte le fait que toute mesure nécessite une perturbation de l'objet observée, Dirac en vient à considérer qu'il faudrait distinguer les "gros" et les "petits" objets. D'où il tire l'argument philosophique suivant : la différence gros/petit étant relative, cette distinction n'a pas de fin, et peut se répéter à l'infini, ce qui conduit à des objets fractals (c'est moi qui les qualifie ainsi).

"So long as small are merely relative concepts, it is no help to explain the big in terms of the small. It is therefore necessary to modify classical ideas in such a way to give an absolute meaning to size". p. 3

Cette réflexion mérite sans doute d'être actualisée, puisque depuis lors, nous expliquons les éléments tels que photons, protons électrons et neutrons à l'aide de quarks, cependant elle rejoint une réflexion que nous nous faisions il y a peu quant à la nécessité de "couper court", en parlant de groupes d'homologie (voir "Les maths, béquilles de la philo").

- Tu nous emmènes bien loin du sujet...

- Ça me rassure quand même de voir que notre approche de la stratification de l'Imaginaire du Sujet, recoupe peu ou prou une certaine stratification de l'objet, telle qu'elle semble se dessiner sous la plume de Dirac:

"We have to assume that there is a limit to the fineness of our powers of observation and the smallness of the accompanying disturbance - a limit which is inherent in the nature of things and can never be surpasse by improved technique or increased skill on the part of the observer." p.4

J'aurais même tendance à dire que notre "quantification du Sujet" répond à la "quantification de l'objet", voire qu'il serait déraisonnable de penser l'une sans l'autre, ou mieux encore : qu'elle renforce la position de Dirac...

- En quel sens ?

- Dans le sens où l'approche quantique de Dirac garde sa pertinence, malgré le fait que l'on soit passé des éléments qu'il tenait pour "finaux" aux quarks qui en sont les constituants. L'objet quantique a changé de taille, mais le discours est toujours porté par un Sujet dont l'Imaginaire fonctionne toujours selon les mêmes schémas, et la même stratification élémentaire... En ce sens, l'origine de l'approche "quantique" ne réside plus dans "l'objet observé", mais dans le "Sujet observant"... Et cerise sur le gâteau, ce rapport au Sujet, par définition "relativiste", est un atout lorsque l'on commence à observer des "états quantiques" à des échelles quasiment macroscopiques!

3/ Impact sur le principe de causalité

L'argument a moins une portée philosophique que pratique. La causalité est respectée lorsque l'objet (gros) n'est pas perturbé par l'observation, mais ne peut qu'être "évalué" à partir de statistiques dès lors que l'on doit prendre en compte les perturbations dues à sa mesure (petit objet). C'est peut-être cette approche, toute pragmatique qui demande à être revisitée. De notre point de vue, l'indétermination est dans le saut diachronique qui accompagne toute mesure par le Sujet, nous en avons tiré les conséquences il y a longtemps (voir "Le principe d'incertitude d'Heisenberg sans les maths").

Le 12/09/2020

Principe de superposition des états (note 3)

Suivons Dirac présentant l'exemple de la lumière polarisée, en gardant à l'esprit nos idées toutes neuves issues du calcul des groupes d'homologie (voir "notes #3").

Je suis parti d'un a priori rationnel, c.-à-d. que moi qui te parle ici et maintenant (me plaçant en Im dans mon propre discours), j'ai considéré que je rapporte ma description d'un "objet", que je suis capable de désigner du doigt (donc proche du Réel), en le rapportant à un dispositif d'observation, qui est l'objectivation en labo des critères de jugement auxquels je veux rapporter cet objet, avec : I_objet<I_critère<Im.

- Oui, tu te répètes.

- Et si je m'étais trompé ?

- Comment cela ?

- As-tu déjà vu un "photon" ou toute autre particule, "quark" voire une "corde" ?

- Non bien sûr, le photon est "né" d'Einstein en 1905 par exemple, et ne se justifie que par les effets que l'on en perçoit. C'est la cause supposée d'un effet observé.

- Ah ! Et si on le regardait dans l'autre sens ?

- C'est-à-dire ?

- Et si l'on arrêtait de le considérer comme un objet que l'on pointe du doigt, autrement dit du domaine de l'existence, vers le Réel, et l'objet final en I1, pour le voir au contraire comme un simple concept tiré du vide en I0 et que l'on cerne étape par étape, comme dans une approche topologique ?

Et si la différence que Dirac pointe entre "gros" et "petits" objets impliquait tout simplement un changement de posture du Sujet ?

• Les "gros" étant vus comme "existants", dans une approche rationnelle logique, tournée vers l'objet final,
• Les "petits" comme essentiellement conjecturaux, que l'on ne pourrait approcher que de façon "topologique" en tournant autour de l'objet initial.

Ceci nous mène à reprendre notre description de l'observation d'un "petit" objet. C'est bien Im, le théoricien qui définit les critères, comme les instruments de labo, mais c'est l'expérimentateur, qui est collé à l'instrument, et attend l'effet produit par un objet qui lui échappe, pour en faire une description locale. Autrement dit : I'm=I_critère<Im<I_objet<I0.

Tu te retrouves dans la position de la base B dont nous parle Étienne Ghys, au-dessous des recouvrements en X, avec P: X↓B, ce qui nous ramène à notre discussion de la différence identité/ idempotence (voir ici), et donne une assise mathématique à l'idée de "renormalisation". 

Mieux, à partir de cette posture du Sujet, il est assez aisé de comprendre l'observation de l'objet comme un "effet de bord" : au sens que l'homologie donne à ces termes, "l'observation" est l'image (Img P) dune application P : X↓B :

Ensuite, en passant de cette approche topologique (I'm<I0) à l'expression algébrique (I1<I'm), tu retrouves très naturellement l'expression matricielle comme point de pivotement de ce changement de posture (voir "Matrice").

- Tu t'éloignes de Dirac...

- Pas tant que cela. La question, c'est le principe de superposition des états, or, en dotant l'ensemble des éléments à un certain niveau d'observation de l'objet (ici les deux états "passe"=a / "ne passe pas"=b) d'une algèbre dont un élément s'écrit (xa+yb), tu retrouves automatiquement ton principe de superposition, comme l'expression algébrique (I1<I'm) d'une approche topologique (I'm<I0)

Comme tu le vois, il y a une façon "naturelle" d'aborder la mécanique quantique avec les outils de la topologie algébrique, non pas uniquement parce que c'est "utile", mais parce que cela découle directement de la posture du Sujet. La rupture mécanique classique/ quantique se marque alors simplement par un changement de posture du Sujet logique/ topologique, qui découle historiquement de l'évolution des idées en mathématiques, et en particulier les changements de paradigmes amenés par Descartes, puis Évariste Galois.

- Et comment expliques-tu l'expérience de Young ?

- Tu as raison, il faut revoir ce que j'en disais dans "L'Homme quantique", alors que je n'avais pas encore pleinement théorisé la différence entre logique rationnelle et approche topologique. D'ailleurs, cette relecture de Dirac nous y invite, mais je me propose d'y revenir ultérieurement (note 3) afin de ne pas perdre le fil de mes idées, pour retrouver au plus vite le discours d'Alain Connes.

Ce qui vient immédiatement à l'esprit, après avoir reconnu la posture du Sujet, lorsqu'il fait des expériences de physique quantique, et nous en parle, c'est le rapport de l'élément au champ.

Il est très facile de considérer une approche par étapes, de même qu'on calcule les groupes d'homologie par étapes.

- Peux-tu préciser ?

- Il y a bien longtemps que j'ai comparé la décohérence, qui mène du champ à l'élément à un saut diachronique descendant: champ↓élément. Ce qui nous rend aisé l'idée d'une cascade : I01<I'm≤I_expérience<I_objet<I_champ<Im. ; que l'on retrouve dans les groupes d'homologie. Le niveau I01 reste celui de l'expression algébrique de la mesure faite au cours de l'expérience en question. Dans cette représentation:

• Le boson est un concept diachronique, ou une application champ↓élément entre I_objet/I_champ ;
• Le fermion est un concept synchronique, au niveau I_objet .

- Je vois que tu gardes en tête l'approche d'Alain Connes, qui se concentre sur les fermions...

- Oui, et c'est évident ici, puisque tu ne peux expérimenter qu'a posteriori l'action du boson, par les traces (synchroniques) qu'il laisse de son action (diachronique). Mais tu vois ici, que l'implication est descendante, puisque dans l'expérience, le Sujet est en position locale, ex ante, en I'm.

- OK pour la superposition des états, et la posture du Sujet, mais alors, qu'en est-il d'une action d'un objet sur un autre, tel des boules de billard qu s'entrechoquent ?

- C'est là qu'intervient explicitement la représentation de l'espace dans lequel se meuvent les objets !

Or, par principe l'espace est une représentation globale, qui se rapporte à l'idée que Im peut s'en faire; et dans l'histoire, l'objet ne peut être appréhendé que comme "existant", repérable en tant qu'élément, et à la limite l'élément final (*) en I1. Autrement dit, et même s'il s'agit de rapporter le point de vue de I'm localement perché sur l'objet, comme dans les expériences de pensée auxquels nous sommes habitués en théorie de la relativité, le rapport final est fait par Im, dans une approche "rationnelle logique", avec I'm≤I_objet<I_espace<Im.

Ici, l'application de l'objet à l'espace est ascendante : objet↑espace.

- Mais tu nous parlais de champ tout à l'heure, et un "champ" est bien déployé dans l'espace, non ?

- De quel espace parles-tu ?

- Arrête de faire la bête, de l'espace dans lequel toi et moi nous déplaçons...

- Tu ne prends pas au sérieux ce que j'écris. Je viens de dire que l'espace, au sens géométrique du terme, ne peut qu'être appréhendé "globalement", par Im, n'est-ce pas ?

- Oui, et alors ?

- N'avons-nous pas vu, quelques lignes plus haut, que l'approche quantique se caractérise par une approche locale, avec I'm<I0 ? Autrement dit que la seule façon pour I'm de se faire comprendre par Im, c'est de se retourner, en direction de I1, pour partager avec Im un langage commun : I1<I01≤I'm<Im. Pour parler clairement :

• I'm s'exprime par la logique, l'algèbre ou les probabilités;
• Im peut seul "interpréter" le discours de I'm en termes "d'espace".

Il s'ensuit que lorsque je parle d'états intriqués en imaginant une distribution "à travers l'espace", le fait que cette distribution n'a rien à voir avec la possibilité de traverser cet espace, puisque la décohérence impacte toute la distribution spatiale des probabilités, d'un seul coup et sans délai, ce discours montre clairement  qu'il y a une distorsion entre ce que dit I'm et ce que comprend Im !

- Je vois que tu es parti pour revisiter toute l'épistémè de la mécanique quantique, mais espères-tu terminer cet article en revenant à ton sujet, à savoir la mesure, selon Alain Connes ?

- Dans ce que nous venons de voir, il y aurait deux rapports distincts du Sujet à l'objet.

1. Un mouvement ascendant ↑ vers Im, qui collerait avec tout ce que nous avons vu jusqu'à présent, y compris avec la dualité I'm/Im de l'approche topologique : en dernier ressort, c'est Im qui a le dernier mot.
2. Un mouvement descendant ↓ vers I'm, que ce dernier restitue au niveau I01, à savoir une écriture essentiellement matricielle (la bascule I'm<I0/ I1<I'm voir "Matrice"). C'est toute la problématique de la topologie algébrique.

Le premier discours est possible jusqu'en IR<I#≤Im, avec des principes généraux d'équivalence et de relativité. Et nous y retrouvons une conception classique de la "norme", avec l'hypothèse du continu et le point à l'infini en IR.

Le second discours reste scotché en I01≤I'm, sans principe de continuité, ni d'infini, comme N, l'ensemble des entiers naturels.

- Alain Connes parle pourtant de "mesure" à l'aide de fréquences, non ?

- Oui, mais tu vois bien qu'il s'agit de quelque chose de très basique, que nous avions déjà repéré en parlant du principe d'incertitude sans les maths (voir ici). C'est effectivement cette partie que je n'arrive pas encore à saisir, faute d'une culture suffisante en mécanique quantique, il me faut donc encore avancer pour le rejoindre...

Le 13/09/2020

- Je me repasse ce matin la vidéo d'Alain Connes, pour voir où j'en suis dans ma compréhension de son discours.

À 2'46" : J'accroche tout de suite sur la définition de Dirac- Feynman d'une "amplitude de probabilité" imaginaire e^iS/h qui n'évoque rien pour moi, encore une notion à acquérir pour avancer...

À 7'10" : la notion de mesure usuelle est un "paradigme riemannien". Ça, je le comprends, ce qui mène à un espace globalement hyperbolique, avec la norme de Minkowski. C'est ce que le Sujet voit "globalement" (grâce au point à l'infini qui clôt l'horizon) dans une perspective relativiste ou simplement "rationnelle logique", en I1<(...)<I#<Im.

- Il voit cette définition de la mesure comme "un cas particulier, inclus dans la géométrie non-commutative".

- Non : je pense qu'ici, Alain Connes ne comprend pas encore toute la portée de son approche. De même lorsqu'il présente sa géométrie comme "une toute petite modification" apportée à la géométrie classique.

Cela tient au changement de posture du Sujet, et à un problème de "double interprétation". 

• En géométrie riemannienne, comme en relativité, l'approche topologique est certes double, avec I'm<Im, mais le discours final est tenu par Im et il n'y a pas d'ambiguïté.
• En géométrie non-commutative, comme en physique quantique, l'approche est ramenée au point de vue local de I'm, qui se retourne vers I01≤I'm, pour s'exprimer en termes de logique, d'algèbre ou de probabilités. La confusion vient de ce que Im peut également "comprendre" ce langage, tout en y associant des images qui n'ont rien à voir avec ce que I'm exprime.

- Ce n'est pas très clair, pourrais-tu préciser ?

- Reviens par exemple à ce qu'Alain Connes dit du fermion pour expliquer l'intérêt d'utiliser des fréquences pour faire des mesures, à 11'34": "la supériorité incroyable c'est que l'on peut unifier le système métrique dans la Galaxie...Ça vient du fait que les fermions sont indistinguables, et donc que cette unité de longueur existe partout à la fois". Objectivement, tu vois bien que l'espace-temps auquel il se réfère en disant "partout à la fois" n'a rien de physique. Au moment où il dit cela, il tente, de "rationaliser", lui en Im, une écriture faire en  I'm , mais il y a un hiatus avec une expérience de l'espace que l'on acquière d'une façon classique.

Ce hiatus s'exprime parfaitement dans l'accrochage entre Bohr et Einstein.

• Einstein, en position I1<Im : "Dieu ne joue pas aux dés",
• Bohr, en position I'm<I0 : "Mais qui êtes-vous, Albert Einstein, pour dire à Dieu ce qu'il doit faire ?".

ll y a bien un changement de paradigme, mais Alain Connes n'a pas les mots pour le définir simplement, ce que nous faisons en pointant un changement de posture du Sujet.

 À 13'26" : Nous assistons aux conséquences du changement de pied que l'on vient de caractériser.

En théorie des catégories, le retournement I'm<I0=>I1<I'm s'exprime parfaitement par le calcul matriciel (non-commutatif), lorsque l'addition, associée à l'objet initial vide, est remplacée par la multiplication associée à l'objet final (si ce n'est fait, voir "Matrice"). En repartant de là, Alain Connes "imagine l'espace qui va avec", autrement dit son interprétation est un recul Imaginaire : I01≤I'm => I01≤I'm<IR≤Im.

De là, il faut recoller les morceaux avec l'approche classique de la géométrie, qui se caractérise dans son expression algébrique en I01 par la commutativité.

Pour "recoller les morceaux" entre deux positions inconciliables de IR≤Im, il faut sauter d'un cran, et passer à I#≤Im; autrement dit au niveau des idées de "conservation", ou "d'équivalence" propres à la physique. Saut qui, rétrospectivement nous aide à comprendre pourquoi le mathématicien s'est appuyé si fort sur la physique pour comprendre sa propre démarche !

À 14'03" : Nous en arrivons au morceau de bravoure : "une variable réelle, c'est un opérateur auto-adjoint". C'est toujours le même point dur, et il faut que je m'y consacre vraiment pour franchir l'obstacle... Franchement, ce serait plus simple de trouver l'équivalent en termes de foncteurs, ça m'éviterait bien des contorsions !

Je vais donc partir en exploration, en me guidant sur cette idée simple: lorsque I'm se retourne : I'm<I0 => I1<I'm, il faut que sa position reste stable.

- Et comment le traduirais-tu ?

- En partant de la propriété universelle qui ramène tout à l'objet initial en I'm<I0 et à l'objet final en I1<I'm. C'est quelque chose que nous avons déjà vu, en parlant de foncteurs et de transformations naturelles (note 4).

Dans ce retournement, I'm "stabilise" sa position "en faisant coller  unité et co-unité" (voir "Présentation du 12 juin" au paragraphe 5).

- C'est un peu sec, non ?

- Regarde :

• Dans la position rationnelle logique I1<I01≤I'm, la propriété universelle ramène tout à (*) en I1, ce que I'm identifie en I01 par le morphisme identité : (*)∈I1↑{*}∈I01;
• Dans l'approche topologique I'm≤I01<I0, tout provient de l'objet initial ( ), ce dont I'm se fait une idée (on ne parle plus d'identité, mais d'idempotence) par ( )∈I0↓{ }∈I01.

La manoeuvre de retournement, qui se traduit en termes matriciels, permet "d'identifier" l'objet dans la mesure où la place de I'm n'en est pas chamboulée, autrement dit lorsque le point de pivot, respectant la propriété universelle est fixe, ce qui correspond à l'identité entre unité et co-unité.

C'est de cette façon que je l'exprime la stabilité du Sujet en I'm, et donc l'équivalence de ses deux discours, autrement dit la stabilité ou "réalité" de l'objet, en termes catégoriques, et nous avons vu que le problème se traite en termes de foncteurs, foncteurs adjoints et transformations naturelles. Si mon approche est correcte, c'est ce que je dois retrouver dans l'approche d'Alain Connes.

À ce stade de ma lecture, je présume qu'il ne doit pas être trop difficile de passer des foncteurs /foncteurs adjoints aux opérateurs/ opérateurs adjoints, et je passe à la suite, sinon je ne vais jamais terminer cet article !

14'20" : Les infinitésimaux. Alain Connes fait tout un développement au sujet des infinitésimaux qui n'a de sens que parce qu'il se situe de facto en IR<Im pour en parler ! Avec l'hypothèse du continu qui lui pollue la vie. Mais cette discussion n'a plus lieu d'être, puisqu'en I01≤I'm, il est de plain pied dans le domaine du discret, et uniquement du discret ! (note du 05/10/2020)

15'38" L'intégrale. "Il y a une tension assez mystérieuse entre le signe intégral et le dx". Cette "tension" est la marque du saut diachronique qui porte de l'un à l'autre, dans la situation générale I_ds<I_intégral≤Im. Tension qui disparaît dans la vision locale de I'm, qui ne peut aller au-delà de ds : I'm≤I_ds. D'où la nécessité de retrouver un équivalent, exprimable dans l'espace Imaginaire I1<I01≤I'm. Ce qui se réduit à la répétition du même, et in fine à celle du morphisme identité :(*)↑{*}... CQFD.

- D'accord, mais je ne vois toujours pas ta mesure...

- Moi non plus, alors avançons.

- 15'56 : "L'intégrale est définie par le logarithme de la divergence de la trace..."

Là, je décroche vraiment et comme je commence sérieusement à fatiguer, on va en rester là pour aujourd'hui. J'y reviendrai après avoir compris (pas seulement appris, mais réellement compris) de quoi Alain Connes nous parle (note du 06/10/2020).

Le 14/09/2020

- Hier, j'ai surfé sur le net pour trouver une explication simple de ce que l'on entend par "mesurer" en physique quantique, et je suis tombé sur des brouettes de calculs qui m'ont gonflé au plus haut point.

- Reviens à la source, revient à Dirac, puisque qu'il a introduit cette "fonction" δ dont on semble faire le plus grand cas...

- Oui, tu as raison, revenons à cette expérience de lumière polarisée projetée sur une tourmaline. Il nous dit que le nombre de photons selon l'axe x se distribue en fonction de l'angle de polarisation  α, tel que sin²α. L'idée qu'il n'explicite pas vu sa simplicité, c'est que le rayon lumineux, avant sa traversée garde une intensité indépendante de α, ce qui correspond au théorème de Pythagore : sin²α+cos²α=1. Dans le passage à travers la tourmaline, la composante cosα disparaît. 

Maintenant, son interprétation quantique de l'expérience est la suivante :

1/ Chaque photon émis est polarisé selon l'angle α ;

2/ On ne peut rien dire de ce qui se passe effectivement pendant l'expérience, on peut juste parler de ce que l'on constate après, (franchement Wittgenstein n'est pas loin) !

"A question about what will happen to a particular photon under certain considerations is not really very precise. To make it precise one must imagine some experiment performed having a bearing on the question and inquire what will be the result of the experiment. Only questions about the result of experiments have a real signifiance and it is only such questions that theoritical physics has to consider." p.5

Bref, nous sommes bel et bien dans l'interprétation de Copenhague, dans les bottes de Bohr.

3/ Les photons récupérés à la sortie sont bien entendu polarisés selon l'axe x, puisque notre tourmaline ne laisse passer que ceux-ci.

"One will never find only a part of a photon on the back side. If one repeat the experiment a large number of times, one will find the photon on the back side is a fraction sin²α of the total number of times. Thus we may say that the photon has a probability sin²α of passing through the tourmaline and appearing on the back side polarized perpendicular to the axis and a probability cos²α, of being absorbed. These values for the probabilities lead to the classical result for an incident beam containing a large number of photons" p.6

- Dit, tu ne vas pas nous retranscrire tout le livre, quand même, je suis assez grand pour comprendre ce texte sans que tu me tiennes la main.

- Vraiment, rien ne te choque là-dedans ?

- Non, c'est très simple à comprendre.

- Décidément, tu ne prendras jamais au sérieux la théorie que je développe. À quel moment ai-je besoin des notions de sinus ou cosinus pour calculer le nombre de photons qui passent ou pas ?

- Ah, tu fais référence à ça ?

- Bien entendu. Pour parler de sinus et cosinus, tu as besoin de l'hypothèse du continu, dans une posture I1<I01<IR≤Im, or nous sommes ici dans le plan séquence du film où I'm s'est retourné vers l'objet final pour exprimer algébriquement ce qu'il "comprend" de l'expérience, en suivant strictement ce que Dirac nous en dit: I1<I01≤I'm. Pour faire ses statistiques, Dirac n'a besoin que d'établir un rapport entre les photons qui passent et ceux qu'il a envoyés, et pour cela, il n'a besoin que des nombres rationnels. C'est le point de vue de NJ Wildberger, tout à fait justifié dans cette position (mais pas dans la précédente, nécessaire à l'approche topologique, utilisant le concept d'ouvert).

Tu vois, c'est ça qui m'énerve, il y a dans tous les discours que j'aborde des distorsions dues au fait que l'auteur mélange toujours plusieurs niveaux de discours, sans même y prêter attention, même lorsqu'il se veut didactique. Ensuite, il faut déployer des trésors d'intelligence pour faire rentrer les ronds dans des carrés.

- Tu m'as l'air remonté comme un coucou ce matin !

- Oui, parce que je n'ai toujours pas digéré le Log(Λ) d'Alain Connes lorsqu'il parle de "mesure".

Je crois en deviner la motivation: il part d'un concept très élevé I#≤Im, exprimé par le théorème de Pythagore, qui nous donne la mesure comme l'intégrale de d²s=d²x+d²y (je vais au plus simple). Ensuite, Lebesgue passe par là et en régressant du concept d'ouvert à celui de tribu, tu arrives, en tirant bien dessus, à descendre le concept d'intégral jusqu'en I01, mais toujours dans une perspective topologique, d'un point de vue local I'm<IR<I0.

La suite passe historiquement par les mains de Laurent Schwartz et sa théorie des distributions, et en grattant bien, la "fonction test" te ramène à la fonction de Dirac δ.

- Parlez si vite de tout ceci ou ne rien dire, c'est tout comme.

- Je veux juste cerner la posture d'Alain Connes dans son discours, désolé que cela te chagrine, mais ça m'aide à comprendre de quoi nous parlons. Ce que je vois, pour l'instant, c'est que l'utilisation d'un logarithme, fonction transcendante, situe Connes dans la posture globale IR≤Im, pour rapporter une expérience topologique locale I01≤I'm<IR, autrement dit, il loupe la marche IR↓I01, ainsi que le renversement de perspective topologique/  logique: I'm<IR =>I01≤I'm ! (note 5).

- Tu es bien arrogant !

- Non, tout au contraire ! Je n'ai ni sa culture, ni son intelligence des maths. Il nage là-dedans, sans se rendre compte de toute l'épaisseur culturelle dont est chargée la moindre de ses paroles, alors qu'avec mon ignorance crasse je me heurte à chacun de ses mots. C'est en balisant ainsi mon ignorance, que je peux avancer vers lui, et du même coup simplifier son accès en laissant mon pitonnage pour la cordée suivante...

- Bon, tout ceci nous ramène à Dirac, finalement.

- Il n'y a pas à aller bien loin, puisqu'il continue ainsi : 

"The state of oblique polarization may be considered as the result of some kind of superposition process applied to the two states of parallel and perpendicular polarization. (...) When we make the photon meet a tourmaline crystal, we are subjecting it to an observation. We are observing whether it is polarized parallel or perpendicular to the optical axis. The effect of making this observation is to force the photon entirely into the state of parallel or entirely into the state of perpendicular polarization. It has to make a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed by probability laws. If it jumps into the parallel state it gets absorbed and if it jumps into the perpendicular state it passes through the crystal and appears on the other side preserving this state of plarization". p.7 

Tu excuseras ma remarque un peu abrupte, et n'y voit surtout pas la moindre arrogance par rapport à ce génie absolu qu'est Dirac, mais je trouve quand même fort de café de parler comme il le fait "d'observation", ou des contraintes imposées au photon pour se trouver dans une superposition d'états définis et voulus par l'observateur, sans avoir la moindre théorie sur l'action du physicien, notre Sujet, alors qu'il intervient pour théoriser et conditionner l'expérience a priori autant que pour en rendre compte à posteriori !  

- Toujours est-il que l'on comprend fort bien qu'il nous mène au second postulat:

Deuxième postulat : Principe de superposition des états

Le principe de superposition conduit immédiatement à l'écriture générale : 

"Ket vectors may be multiplied by complex numbers and may be added together to give other ket vectors, i.g. from two ket vectors |A⟩ and |B⟩ we can form: 

c₁|A⟩+c₂|B⟩=|R⟩           p. 16

- J'espère que tu vois à quel niveau Imaginaire il faut se situer pour écrire cela, n'est-ce pas ?

- Oui : nous sommes dans un espace vectoriel avec C comme corps de base, autrement dit après deux itérations au minimum du saut I01↑IR (pour passer de R à C=R²) dans IR, avec IR≤Im.

- Bien, maintenant je m'intéresse à la théorie de la mesure, c'est-à-dire qu'après avoir établi cet axiome dans une posture rationnelle logique toute simple, il me faut cueillir le résultat de la mesure faite localement, dans une approche topologique : I01<I'm≤IR<Im pour la restituer en position I01≤I'm.

Il y a, entre les axiomes de la théorie qu'élabore Dirac et la pratique:

• Une descendre diachronique (global/ local) IR↓I01 : IR<Im => I'm≤IR
• Suivie d'un retournement local du Sujet: I'm≤IR => I01≤I'm.
• Permettant une Interprétation globale de résultats locaux : I01≤I'm<Im.

- Bon, d'accord, mais là tu pinailles, non ?

- Je ne sais pas si tu le ressens comme moi, mais je trouve que cette gymnastique ressemble beaucoup à ce que nous avions vu en topologie.

- Et alors ?

- Je ne peux m'empêcher de penser que lors de la mesure, cette partition entre états "perpendiculaires", nos |A⟩ et |B⟩ est comme une partition au sein d'un ensemble, muni d'une structure de groupe, ce dont nous parlait NJ Wildberger, souviens-toi, dans mes "Notes #3 - the geometry of surfaces":

 "avançons avec NJ Wildberger, qui en arrive aux co-ensembles, sous-groupes et ensembles quotients.

Là encore, sa présentation est très simple. Il nous dit, que le sous-groupe H=3Z, avec les deux "co-ensembles" H+1 et H+2 recouvrent entièrement Z, sans qu'il y ait de doublon. Il montre aisément que les trois sous-groupes (H, H+1, H+2) forment un ensemble muni d'une structure de groupe isomorphe à Z₃, qu'il explicite au tableau, ce qu'il note: Z/H=Z/3Z={H,H+1,H+2}≃Z₃ (add. modulo 3)."

Et bien le rapprochement me fait penser à |A⟩ et |B⟩ comme des groupes quotients, structurant notre espace global |R⟩ pour y inscrire notre expérience, et en faire le compte-rendu. L'avantage de cette présentation, c'est d'être déjà toute entière imaginable en I01.

- À ceci près que les coefficients c₁ et c₂ ne sont pas dans N ou Z mais dans C, et que le photon peut être dans une superposition d'états.

- Au niveau de la théorie élaborée par Dirac, sans doute, mais la superposition est possible avant l'expérience, tandis que la décohérence signifie que le photon, une fois mesuré, est dans l'un ou l'autre des deux états.

Dans son exemple, au moment de "mesurer" l'état des photons,  

1. les c₁ et c₂ sont limités à un simple comptage de particules;
2. l'espace dans lequel s'inscrit la loi de distribution est bien du type (état ∥; état ⊥) c.-à-d. l'objet discriminant élémentaire {0;1} ou encore Z₂.

- Quel avantage ?

- Je pense toujours à l'expérience, vécue par I'm en position locale, comme étant le point distingué de la base B d'une application descendante P: X↓B (voir la présentation sur les recouvrements de Ghys), quand la mesure s'intéresse aux symétries du système révélées lors de  sa mesure. (note 6)

- Je te signale que tu radotes : tu en parlais déjà avant-hier...

- Oui, merci : si je suis dans la répétition, c'est que je n'avance plus. Il est temps de poser le crayon pour aujourd'hui, d'ailleurs c'est l'heure du jaune...

Le 15/09/2020

- À cette vitesse tu ne vas pas y arriver, et si tu avançais un peu dans la relecture de Dirac, pour attaquer le gras du sujet ?

- Oui, tu as raison. Je voudrais juste faire ce commentaire sur notre discussion d'hier, relative à la rotation locale du Sujet passant de I'm<I0 => I1<I'm.

1. I'm≤I0, l'objet apparait à I'm comme l'image d'une somme d'états, ce qui peut être compris comme un "recouvrement", au sens de la topologie,
2. I01≤I'm, La structure de l'objet peut être définie en termes de symétries ou groupes de symétries, et la seule opération concrète que puisse faire le Sujet, c'est un comptage des états de l'objet (i.e.: l'objet est identifiable par ses états, ou "éléments"), et toutes les opérations qui en découlent (logique, algèbre, statistiques), avec perte de l'hypothèse du continu à la limite I01=I'm ,
3. Pour exprimer le passage d'une posture à l'autre, l'outil privilégié est évidemment la matrice (i.e.: correspondance du principe universel en passant du co-produit au produit en théorie des catégories)...

Ceci dit, revenons à Dirac introduisant le bra vecteur ⟨B|. 

"Given any two ket vectors |A⟩ and  |B⟩, we can construct from them a number ⟨B|A⟩ by taking the scalar product of the first conjugate imaginary of the second. This number depends linearly on |A⟩ and antilinearly on |B⟩." p. 21

- Pour coller à ton approche, comment peux-tu expliquer  la linéarité en |A⟩ et l'anti linéaire en ⟨B| ?

- C'est assez simple, il suffit de rapprocher ce que nous avons dit jusqu'ici de l'approche duale en topologie (I'm/Im) d'Alain Connes expliquant son espace dual à l'aide d'une feuille de papier.

Tout d'abord il faut situer la scène en IR: nous sommes dans un espace de Hilbert qui va bien : avec l'hypothèse de la continuité, de la séparabilité où l'on peut intégrer et différencier à loisir, tout y  est lisse. Ensuite, le Sujet est dans une approche topologique, et à la limite, IR lui sert de miroir : I'm≤IR≤Im ; autrement dit, et nous en avons très longuement parlé, avec cette idée d'une chiralité : ce qui est à droite pour Im se reflète à la gauche de I'm. (voir en particulier "Question de spin et de temporalité".

- Cet article devient trop long car tu reviens au début sans t'en rendre compte...

- C'était juste pour situer le problème. Maintenant, il faut comprendre les implications du changement de posture qui amène le Sujet à se regrouper I'm=Im, pour être dans la posture rationnelle logique finale I01≤I'm=Im.

Je te propose l'analogie suivante : 

• |A⟩ est la représentation globale de l'objet, en position IR≤Im;
• ⟨A| est la représentation locale de l'objet, en position I'm≤IR.

La subordination du ⟨| au |⟩ est d'ailleurs attestée par la présentation même qu'en fait Dirac. Le |⟩ est défini "objectivement", quand le ⟨| est défini "par défaut", par rapport au |⟩.

Le passage de IR↓I01 se traduit :

• Pour Im par une simple descente,
• Pour I'm par une descente ET une rotation (ou réflexion).

Et bien je fais l'hypothèse, qu'il me faudra confirmer, que la "rotation" de I'm, pour passer de ex ante à ex post se traduit par cette anti-linéarité de ⟨A|.

- Oui, je comprends ainsi que le rapprochement entre les eux ⟨A|A⟩ est alors exprimable d'une seule voix en I01; mais Dirac parle de nombre réel dans R et non dans N ?

- En toute rigueur, on devrait être dans N, effectivement, et ça collerait mieux avec l'idée de quanta (voir "Physique quantique et mesures rationnelles")... Dirac ne prend en compte que cette rotation de I'm, sans penser à la descente IR↓I01.

- Ne trouves-tu pas quelque analogie entre ces ⟨A| et ces |A⟩ autour de A et les position ex ante et ex post du Sujet qui s'expriment par I'm< ou <Im ?

- Je crois que tu as raison et que l'on pourrait s'amuser à écrire ceci :

• I'm⟨A| ≈ I'm<I_A(<I0) position locale, ou ex ante (focalisée vers l'objet initial) d'un objet A;
• |A⟩Im ≈ (I1<)I_A<Im position globale, ou ex post (focalisée vers l'objet final) d'un objet A;
• I'm⟨A|A⟩Im ≈ I01<Im autrement dit : l'objet en I01 (ou IR pour Dirac), la différence I'm/Im s'efface: nous quittons une approche duale, topologique, pour une rationalité purement logique.

L'écriture I'm⟨A situe bien I'm sous l'objet et A⟩Im montre Im chapeautant A. Un bon moyen mémotechnique de s'en souvenir est de penser que le Sujet est toujours représenté du côté de la pointe du chevron.

Je pourrais réécrire tout ce que j'ai fait jusqu'à présent, mais est-ce que ça en vaudrait le coup ? (voir ce que cela donne ici : "Les représentations du Sujet"). Mais avançons :

Renormalisation :

La longueur d'un vecteur ⟨A| ou |A⟩ est définie par la racine carrée de a²=⟨A|A⟩, nombre réel positif.

Les états n'étant définis que par la direction de nos vecteurs ⟨A| ou |A⟩, on peut rendre ceux-ci unitaires, en divisant par a pour simplifier la représentation des états, sans problème. Ceci dit, les ⟨A| ou |A⟩ ne sont pas totalement déterminés puisque l'on peut encore les multiplier par un nombre complexe unitaire de type e^iγ avec γ réel, sans changer leur longueur, ce qui revient à un déphasage.

Opérateur linéaire :

Si les états d'un système sont représentés par des kets (ou des bras), les variables dynamiques sont représentées par des opérateurs linéaires agissant sur eux, à gauche pour les kets (α|A⟩) et à droite pour les bras (⟨B|β).

"We now make the further assumption that the linear operators correspond to the dynamical variables at that time.

By dynamical variables are meant quantities such as coordinates and components of velocity, momentum and angular momentum of articles, and fonctions of these quantities- in fact the variables in terms of which classical mechanics is built up. The new assumption requires that these quantities shall occur also in quantum mechanics, but with the stripping difference that they are now subject to an algebra in which the commutative axiom of multiplication does not hold." p.26

Autrement dit, les "variables dynamiques" sont celles qui requièrent un repérage de l'objet par rapport à un espace global.

- Je ne comprends pas ton insistance ,

- La charge électrique ou le spin d'une particule sont des qualités "intrinsèques" de l'objet en observation, et a priori, il n'y a pas trop de difficulté à concevoir que le Sujet puisse les appréhender localement de I'm ou globalement de Im sans problème.

- Avec la chiralité que nous venons de voir entre les deux points de vue...

- Oui, mais ici, le problème tient à la nécessité de repérer l'objet dans un système de coordonnées globales. Il n'y a pas de "mouvement intrinsèque", c'est le grand principe de la relativité galiléenne, la posture générale du Sujet est : Ik<Ik+1<Im, et il te faut nécessairement deux sauts Imaginaires pour fixer ton mobile et voir son évolution dans le temps. C'est ce que nous avons développé il y a déjà longtemps (voir "Le principe d'incertitude sans les maths"), d'où une indétermination.

- Mais tu as deux façons de repérer un mouvement : soit du point de vue du repère (globalement), soit du point de vue de l'objet (localement par rapport au repère), nous l'avons vu en relativité (voir "Relativité et fermeture Imaginaire").

- Oui, mais la seconde approche est bien entendu plus complexe à représenter puisque, in fine, c'est toujours Im qui en rend compte, globalement.

- Soit, mais à quoi se rapporte la non-commutativité de l'algèbre des opérateurs linéaires ?

A priori, je pense qu'il s'agit ici du changement de posture I'm/ Im. C'est la présentation d'Alain Connes qui me pousse à cette hypothèse, car dans sa géométrie non-commutative, il y a une stricte complémentarité entre l'espace de la relativité, celui dans lequel nous nous mouvons, et celui de la physique quantique où la stabilité des objets est repérée par leurs symétries. Or, ceci est lié à la façon qu'a le Sujet de "tourner autour" de l'objet en passant de I'm à Im, comme nous venons de le voir au sujet des vecteurs bras et kets. Je te propose de partir demain sur cette idée pour voir où elle nous mène...

Le 16/09/2020

- Pour simplifier nos représentations mentales, et avancer un peu plus vite dans cette relecture, je te propose de comprendre la non-commutativité de l'algèbre employé en physique quantique, comme la trace de la dualité d'approches du Sujet I'm/Im, et de considérer qu'en écrivant ⟨A|B⟩, nous avons implicitement I'm⟨A|B⟩Im.

Dirac nous fait remarquer que la transformation d'un ket |P⟩ en bra ⟨A| peut être considérée comme une transformation dynamique; et je trouve ceci extrêmement puissant, car cela nous donne une correspondance entre un mouvement du Sujet, et un mouvement de l'objet !

"Our linear operators are complex quantities, since one can multiple them be complex numbers and get other quantities of the same nature. Hence they must correspond in general to complex dynamical variables, i.e. to complex functions of the coordinates, velocities, etc. We need some further development of the theory to see what kind of linear operator correspond to a real dynamical variable.

Consider the ket which is the conjugale imaginaire of ⟨P|α. This ket depends anti linearly on ⟨P| and thus depends linearly on |P⟩. It may therefore be considered as the result of somme linearity operator operating on |P⟩. This linear operator is called the adjoint on α and we shall denote it by α. With this notation, the conjugate imaginary of ⟨P|α is α|P⟩." p. 26

Je ne rentre pas dans le détail des conséquences, mais tu suivras facilement Dirac dans le texte : on en déduit que  ⟨B|α|P⟩=⟨P|α|B⟩, et en remplaçant α par α, on obtient : α̿=α.

"Thus the adjoint of the adjoint of a linear operator is the original linear operator. This property of the adjoint makes it like the conjugate complex of a number, and it is easily verified that in the special case when the linear operator is a number, the adjoint linear operator is the conjugate complex number. Thus it is reasonable to assume that the adjoint of a linear operator corresponds to the conjugate complex of a dynamical variable.(...)

A linear operator may equal its adjoint, and is then called self-adjoint. It corresponds to a real dynamical variable, so it may be called alternatively "a real linear operator" Any linear operator may be split up into a real part and a pure imaginaire part. For this reason the words "conjugate complex" are applicable to linear operators not the words "conjugate imaginary". " p.27

- Ouf, tu as enfin retrouvé l'opérateur linéaire auto-adjoint dont parlait Alain Connes !

- Oui, et j'espère que tu vois comme moi que tout ceci est finalement fort simple.

- Précise quand même, histoire de fixer les idées...

- Il suffit de repenser aux mouvements du Sujet autour de l'objet pour que tout ceci devienne évident. Repense à une scène que nous avons déjà utilisée en relativité restreinte: celle du point de vue du chef de gare sur le quai, et du voyageur dans le train (voir "relativité et fermeture Imaginaire"):

Ce que Dirac exprime ici, c'est en fait un principe relativiste : le double point de vue I'm/Im sur ⟨B|α|P⟩ i.e.: I'm⟨B|α|P⟩Im, peut être renversé, soit Im⟨B|α|P⟩I'm ou I'm⟨P|α|B⟩Im (pour conserver les limites de l'Imaginaire du Sujet I1 et I0 à leur place, par rapport à I'm et Im), puis renversée à nouveau : Alice franchit le miroir et retourne à sa place. Si le monde est stable, il est raisonnable de penser que cet aller-retour du Sujet n'affecte pas le monde, et que l'on retrouve I'm⟨B|α̿|P⟩Im. et donc α̿=α.

Ce qui me plaît dans cette façon de voir, c'est que les contraintes qui portent sur l'opérateur peuvent être vues comme liées à notre façon de nous représenter les choses, et non à une "loi de la nature" qui nous transcenderait.

- Toujours sur les brisées de Bohr ?

- Plus que jamais ! Dirac nous offre là ce dont je n'aurais jamais oser rêver, à savoir une équivalence, ou plutôt une "traduction" en termes de mouvements de l'objet, des mouvements Imaginaires du Sujet qui cherche à s'en faire une idée !

- La mécanique quantique serait donc relativiste ?

- S'il n'en était pas ainsi, Alain Connes ne pourrait certainement pas nous proposer son espace non-commutatif dans lequel il arrive à inscrire les deux approches; mais poursuivons.

Valeurs propres et vecteurs propres

Dirac s'intéresse au cas où l'opérateur linéaire α se réduit à un nombre réel a; alors : α|P⟩=a|P⟩. Cela signifie que cet α ne modifie pas la direction de P (puisque a ne modifie que sa longueur), et donc que l'état |P⟩ n'est pas modifié.

Lorsque cette égalité est respectée, on appelle a une "valeur propre de l'opérateur" et P un "vecteur propre attaché à cette valeur propre". De façon complémentaire, on peut considérer  b tel que : ⟨Q|α=b⟨Q|.

Plusieurs vecteurs propres |P₁⟩, |P₂⟩, ..., |P_n⟩ peuvent correspondre à la même valeur propre a de l'opérateur α ; et Dirac montre que toute combinaison linéaire (à coefficients complexes) c₁|P₁⟩+c₂|P₂⟩+...+c_n|P_n⟩ est également un vecteur propre attaché à la valeur propre a de l'opérateur α.

- J'ai un peu de mal à imaginer qu'en multipliant un vecteur par un nombre complexe, tu ne changes pas son orientation.

- Je crois qu'il faut considérer la valeur propre réelle a comme un ancrage local de la représentation de α, pour y rapporter une représentation globale simplifiée... Je pense à la façon de définir les"coordonnées réduites" en mécanique classique pour écrire le Lagrangien (voir "Newton, Lagrange et les autres"). Prends par exemple un pendule. Pour décrire son mouvement, simplement, tu te situes (localement) au point fixe du pendule, pour décrire ensuite (globalement) son mouvement par l'angle qu'il fait avec la verticale. Tous les déplacements que tu fais subir à ton repère ensuite, n'altèrent pas le mouvement lui-même. Il y a ici quelque chose d'équivalent; il y a une déconnexion entre le repérage du système et l'état du système. Je te laisse méditer là-dessus, quitte à y revenir, pour continuer notre exploration... 

J'ai ensuite un moment de cafouillage en lisant ceci :

"The theory of eigenvalues and eigenvectors of linear operator which is not real is not of much use for quantum mechanics. We shall therefore confine ourselves to real operators for the further development of the theory. Putting for a real linear operator ξ, we have :

• ξ|P⟩=a|P⟩
• ⟨Q|ξ=b⟨Q|                     " p. 30

- Qu'est-ce qui t'arrêtes ?

- Mon anglais est toujours aussi mauvais, et je n'arrive pas à comprendre si Dirac nous dit que son opérateur ξ est un simple nombre réel, ou si les coefficients de ξ sont des nombres réels.

- En relisant un peu plus haut, tu t'aperçois qu'il montre qu'un opérateur réduit à un nombre réel n'a qu'une seule valeur propre, ce nombre lui-même, et à l'évidence ce n'est pas de cela dont il s'agit !

- D'accord, il faudrait donc lire : "un opérateur ξ à coefficients réels" ?

- En surfant un peu sur le net, la matrice qui représente ξ est plutôt une "matrice hermitienne"... Et tu reviens là où tu avais buté dans la présentation d'Alain Connes : un opérateur u dans un espace E est dit Hermitien si: ∀(x,y)∈E² , (u(x)|y)=(x|u(y)). On dit encore qu'un opérateur Hermitien est auto-adjoint. (nota: En continuant ta lecture, tu retomberas dessus, page 69).

- J'ai l'impression que l'on retrouve nos petits, mais avoue que la phrase de Dirac n'est pas claire ! 

Il vient ensuite, assez facilement les 3 propriétés fondamentales :

1. Les valeurs propres d'un opérateur "linéaire réel" sont toutes des nombres Réel;
2. Les valeurs propres associées aux kets sont les mêmes que celles associées aux bras;
3. Le conjugué imaginaire d'un ket est un bra associé à la même valeur propre (et réciproquement).

Une variable dynamique ξ sera repérée par l'opérateur éponyme ξ; ses valeurs propres le sont par un exposant : ξ' ou ξ^r, et les vecteurs propres associées à chaque valeur propre par un indice : |ξ'1⟩; |ξ'2⟩ou ⟨ξ'1|... ⟨ξ'x|.

Tout ceci renforce, s'il en était besoin, mon idée que ket et bra reflètent deux visions d'un même état : I'm⟨ξ|ξ⟩Im.

Mieux ! Tous les vecteurs |ξ'⟩ (vs ⟨ξ'|) propres relatifs à une même valeur propre ξ' de ξ sont orthogonaux entre eux ! C'est dire que nous nous situons pleinement dans l'espace Imaginaire I01/IR, dans lequel la répétition se traduit par l'ajout de critères orthogonaux entre eux, comme la répétition de R mène à C et celle de C à H, l'espace des Hamiltoniens.

- En résumé; la physique quantique s'inscrit parfaitement dans l'espace Imaginaire I01/IR car elle respecte:

• La double approche topologique (I'm/Im)
• L'orthogonalité des concepts créés par la répétition... 

Le 17/09/2020

- J'ai envie de prendre un peu de recul aujourd'hui par rapport à ma lecture. Dirac nous entraîne vers du calcul vectoriel, et des questions de changement de base, qui n'offrent pas de difficulté technique. Par ailleurs, mes dernières réflexions sur une équivalence entre mouvement du Sujet et de l'objet, me ramènent aux premières remarques de cet article (autour du jeu de cartes) et je voudrais vérifier si je suis toujours dans la même représentation.

Incidemment, je tombe par hasard (mais existe-t-il ?) ce matin sur un article du Temps à propos du livre de Heinz Wismann "Penser entre les langues", qui me renvoie à une ancienne vidéo du même auteur que j'avais commentée dans mon article "réalité vs wirklichkeit"

Il y est dit en particulier qu'en Allemand, le verbe a plus d'importance qu'en Français, langue latine où l'accent est mis sur le sujet de la phrase et le verbe réduit au rôle de copule entre sujet et complément, quand en Allemand, c'est le verbe qui est en est le pivot. Opposition qui se marque en particulier dans la correspondance entre "réalité" et "wirchlichkeit".

"On retrouve cette différence fondamentale dans la notion même de «réalité»: la «res» latine est une entité nettement circonscrite, distincte, à la limite immobile. La Wirklichkeit provient du verbe wirken, agir. Elle correspond à une réalité essentiellement dynamique. Certes, on peut aussi dire Realität en allemand, mais seulement pour constater un état de fait, le plus souvent assorti d’une nuance de regret: les rides qui se creusent sur mon front sont une Realität, pas une Wirklichkeit. On a affaire à deux univers mentaux, qui mettent l’accent l’un sur le mouvement, l’autre sur la localisation."

Et bien, j'ai l'impression que dans notre écriture ⟨Q|ξ|P⟩, le ξ procède d'une "Wirklichkeit"  qui s'inscrirait entre deux états de la "Realität". 

- Qu'est-ce qui t'y a fait penser à ce rapprochement ?

- Une réflexion que Dirac fait un peu plus loin au chapitre 12 ... Quoiqu'il y fasse référence aux "observables", qu'il aborde au chapitre 11, dans la discussion... Donc, j'y reviendrai après avoir abordé :

Les Observables

Tout d'abord, et en accord avec la philosophie qu'il a présentée en introduction, il précise qu'une "observation" résulte d'une action, autrement dit procède d'une variable dynamique.

Ensuite, et c'est tout à fait en ligne avec notre façon de comprendre l'action du Sujet : cette observation ne peut être qu'un nombre réel, puisque mesurer la valeur d'une variable complexe reviendrait en réalité à mesurer simultanément ces deux composantes orthogonales (x, y)∈R²=C, autrement dit, impliquerait en fait deux mesures simultanées, ce qui est rigoureusement impossible.

"We therefore have to restreint the dynamic variables that we can measure to be real" p. 35

Mais cette précision n'est pas suffisante pour assurer que toutes les variables dynamiques soient mesurables.

"We now make some assumptions for the physical  interpretation of the theory. If the dynamical system is in an eigenstate of a real dynamic variable ξ, belonging to the eigenvalue ξ', then a measurement of ξ will certainly give us the number ξ'. Conversely, if the system is in a state such that a measurement of a real dynamical variable ξ is certain to give one particular result (instead of giving one or other of several possible result according to a probability law, as is in general the case), then the state is an eigenstate of ξ and the result of the measurement is the eigenvalue of ξ to which the eigenvalue belongs. These assumptions are reasonable on account of the eigenvalues of real linear operators being always real numbers." p. 35

Dirac marque ici une position de principe qui, d'une certaine façon, revient à "figer" l'observation ou la "contraindre" dans le cadre fixé par le Sujet.

- Je ne te suis pas ?

- Il dit ceci page suivante:

"Another assumption we make connected with the physical interpretation of the theory is that, if a certain real dynamic variable ξ is measured with the system in a particular state, the states into which the system may jump on account of the measurement are such that the original state is dependant of them." p. 36

Autrement dit le Sujet définit rétrospectivement l'état initial du système par rapport aux vecteurs propres qui sont déterminés par sa façon d'observer l'objet : il y a donc un va-et-vient entre les positions <Im et I'm< qui est implicitement pris en compte dans l'observation :

• <Im : le Sujet émet ex post un théorie sur ce qu'il s'apprête à voir, et conditionne son observation;
• I'm< : le Sujet constate ex ante le résultat de sa mesure;
• <I'm : Le Sujet exprime (présente) ex post le résultat en termes algébriques;
• <Im : le Sujet interprète (représente) ex post  la mesure en fonction des valeurs propres que son modèle avaient prédéfinies.

Je ne vais pas te la refaire à chaque fois, mais oui, on retrouve JP Changeux : la prise de conscience c'est la rencontre d'un percept et d'un concept...

Pour enfoncer le clou, Dirac lui-même parle d'un saut entre deux observations, pour remarquer qu'une fois le système mesuré dans un certain état, les observations successives conduiront à la même mesure ! Et de notre point de vue, c'est évident : après la première mesure, le Sujet, qu'il soit en I'm ou en Im est identiquement tourné vers l'objet final : I1<I'm<Im : le discours ne tourne plus autour de l'idempotence des états, du point de vue de I'm<; mais de leur identification...

Maintenant, si les ξ' retenus par le Sujet ne forment pas un ensemble complet permettant de mesurer l'effet d'un opérateur sur l'état du système, alors il n'est pas "observable". Il s'ensuit que toute quantité mesurable est un "observable".

"We call a real dynamic variable whose eigenstates form a completed set an observable. Thus any quantity that can be measured is an observable." p. 37

Très sincèrement, nous avons là, à chaque pas, une interaction entre le Sujet et l'objet, qui s'exprime ici par cette notion d'"observable", et je m'étonne que la physique n'ai pas senti la nécessité de théoriser cette présence au sein de l'observation de l'objet ?

Enfin, pour boucler sur ma remarque de ce matin, dire que la mesure résulte d'une action sur un état, et qu'entre l'état initial et l'état final, on ne peut rien dire de ce qu'il advient au système, c'est très précisément retrouver la distinction originelle d'où nous sommes partis : un mouvement conjoint un concept synchronique les états du système (ou la realität) et un concept diachronique, les opérateurs  (ou la Wirklichkeit).

- C'est ce que tu avais déjà vu dans le morphisme : une flèche entre un domaine et un codomaine.

- Oui, la différence étant que le morphisme élémentaire se situe entre I1/I01, dans une posture purement rationnelle logique, avec I1<I01≤Im, quand ici, la mécanique quantique s'inscrit entre I01/IR, dans une approche résolument topologique, I1<I01≤I'm≤IR<Im<I0, avec tous les va-et-vients que nous venons de voir entre I'm et Im. La principale difficulté conceptuelle est le passage IR↓I01, que l'on retrouve dans la construction des faisceaux de Jean Leray, à partir de la notion de recouvrement, (voir la vidéo de Ghys ci-dessus), et en théorie des catégories dans les comorphismes. 

Le 18/09/2020

- Ce matin, je suis pris d'une grande flemme: j'avance très lentement et ne vois toujours pas comment je vais pouvoir raccrocher les wagons avec la géométrie non commutative dans un temps raisonnable. Et puis j'ai un tas de petits travaux à entreprendre à la maison avant l'arrivée de l'hiver.

Juste une petite chose que je note au passage, concernant les opérateurs satisfaisant une équation algébrique telle que :

Φ(ξ)= ξⁿ+a₁ξ^n-1+a₂ξ^n-2+...+a_nξ=0.

1. On montre que cette équation a n racines simples c_i telles que :         Φ(ξ)=(ξ-c₁)(ξ-c₂)...(ξ-c_n); et que chacune d'elles est une valeur propre de ξ ;
2. En distinguant pour chaque racine c_i le "reste" de l'équation par Χ_i, tel que Φ(ξ)=(ξ-c_i)Χ_i(ξ), Dirac nous montre que pour tout |P⟩, alors Χ_i(ξ)|P⟩ est un ket propre de la valeur propre c_i ,
3. L'expression ∑_rΧ_r(ξ)/Χ_r(c_r)-1 est un opérateur uniformément nul qui, appliqué à tout |P⟩, conduit à : |P⟩=∑_r(1/Χ_r(c_r))Χ_r(ξ)/|P⟩ où chaque terme de droite est un ket propre de |P⟩. (p. 34)

- Tu nous récites ta leçon pour le plaisir ?

- Non, c'est juste pour commenter l'exemple très simple que donne ensuite Dirac. Il prend comme opérateur σ²=1, dont les deux valeurs propres sont +1 et -1, ce qui nous donne l'expression de |P⟩= 1/2(1+σ)|P⟩ + 1/2(1-σ)|P⟩, quelque soit |P⟩.

- Ça paraît élémentaire, où veux-tu en venir ?

- À ce simple constat que d'un opposition élémentaire +1/-1 entre les racines d'un polynôme, repérable en I01, tu fais correspondre deux vecteurs propres orthogonaux, repérables en IR.

"It is easily verified that the two terms on the right here are eigenkets of σ belonging to the eigenvalues 1 et -1 respectively, when they do not vanish." p. 34

Le 19/09/2020

- Aujourd'hui dimanche, toujours pas le courage de m'y mettre, et je pense savoir pourquoi : Dirac attaque les "représentations" de ses vecteurs et opérateurs, et nous allons direct dans des considérations algébriques, cuisine dont j'ai horreur !

Juste une question qui me trotte dans la tête : pourquoi utiliser des nombres complexes dans l'expression de la superposition des états ?

- Je ne comprends pas ?

- Pourquoi écrit-il qu'un ket peut s'écrire comme combinaison linéaire d'autres ket, tel que |P⟩=a|A⟩+b|B⟩ avec des coefficients a et b pris dans C; alors que les valeurs propres d'un observable sont spécifiquement des nombres réels ?

- Mais tu viens de relever toi-même qu'une observation ne peut qu'être un nombre un réel, puisque pour mesurer un nombre complexe, z= x+iy, le couple (x,y)∈R² nécessite deux mesures, avec une notion de succession entre les deux pour passer de l'une à l'autre. La question ne se pose pas pour définir l'état du système avant son observation...

- D'accord, mais pourquoi seulement deux coordonnées ? Si la répétition entre I01/IR conduit à des concepts orthogonaux, comme nous venons de le voir; alors la répétition de cette répétition conduit de C à H avec une nouveauté dans le quaternion par rapport au nombre complexe :

• En C : il n'y a qu'un type d'orthogonalité repérable par z²=x²-y²;
• En H : il y a deux types d'orthogonalité l'une entre R et la partie complexe (temps/ espace), l'autre entre les dimensions d'espace (voir "Quaternion, temps réel, espace imaginaire"):

"... ce que nous suggère le concept de quaternion, c'est que si les 4 dimensions d'espace-temps sont bien orthogonales entre elles, les trois générateurs (i,j,k) engendrent un espace V qui diffère radicalement de l'axe réel, puisque la norme d'un quaternion s'exprime par une expression en cosθ² pour la partie réelle et sinθ² pour (i+j+k)."

Donc, je repose la question : pourquoi Dirac s'arrête-t-il à C ?

- C'est lié à la prise en compte du temps ?

- Ah ! Je crois que tu as mis le doigt dessus !

L'orthogonalité fondamentale, c'est celle du temps et de "l'espace", qu'il faille 1 ou 3 dimensions pour le définir. Les coordonnées d'espace ne sont qu'un moyen de repérer une "position" dans "l'espace". (voir "aspects de la géométrie").

- Tu radotes ! Nous avons déjà eu cette discussion il y a plus d'un an ! Voir "dialectique et orthogonalité".

- Merci pour le rappel. Effectivement, j'avais complètement oublié cet article, où nous discutons de la mesure comme réponse à un questionnement (voir cette présentation de Constantin Piron : "Les trois axiomes de la mécanique quantique".

Mais laisse-moi continuer sur ma lancée, sinon je vais perdre le fil. Mon sentiment, c'est que l'orthogonalité primaire, celle qui résulte de l'itération du premier saut  Imaginaire I01↑IR, permettant de passer de R à C, repère cette succession comme orthogonalité fondamentale espace/ temps. N'est-ce pas d'ailleurs de temps dont on parle en parcourant le cercle unité S¹, par n répétitions d'une action z=e^i2π/n, comme le saut de l'aiguille d'une horloge, tic-tac, tic-tac ?

Dire que la mesure est une réponse à une question me semble recouper parfaitement l'approche de Dirac:

"Another assumption we make connected with the physical interpretation of the theory is that, if a certain real dynamic variable ξ is measured with the system in a particular state, the states into which the system may jump on account of the measurement are such that the original state is dependant of them." p. 36

Cet aller-retour entre la construction des critères servant à juger la chose, et la reconstruction rétrospective de l'état de la chose à partir de ces critères, montre à l'évidence que nous ne sont pas dans le temps linéaire du récit, tel qu'il découle d'une approche purement logique à partir de la répétition d'un saut élémentaire I1↑I01.

Ce temps circulaire s'exprime dès le second saut I01↑IR permettant de construire C. Autrement dit, l'utilisation de variables complexes pour exprimer la superposition des états est à la fois nécessaire et suffisante. CQFD.

Une autre remarque que l'on peut faire est la suivante : l'expression |P⟩=a|A⟩+b|B⟩ qui se joue d'un temps vu comme simple succession, et l'établi en quelque sorte comme dimension certes orthogonale, mat néanmoins de même "nature" que l'espace, en le réifiant au niveau d'un concept synchronique équivalent, exprime d'une certaine façon un principe d'équivalence ou de conservation entre temps et espace.

C'est donc un axiome de niveau Imaginaire I#, comme le principe d'inertie de Galilée, de moindre temps de Fermat, de moindre action de Maupertuis, ou le tryptique de Noether, royaume de l'entendement de 3^ème espèce de Spinoza.

- Tes remarques s'appliquent déjà à |P⟩=a|P⟩ !

- Tu as raison ! L'état quantique dont s'occupe Dirac est juste représenté par la direction de |P⟩, et encore à une phase près, autrement dit, il est déconnecté de son repérage spatial et temporel !

Mais toutes ces réflexions m'ont amené à quelques autre concernant cette fois-ci la représentation du Sujet lui-même, si importantes, que j'en fais immédiatement un article à part (voir "Les représentations du Sujet"), nous reprendrons le fil de celui-ci demain.

Le 21/09/2020

- Toujours la flemme d'avancer dans ma lecture de Dirac. Pour me donner un peu de courage je me repasse encore une fois la vidéo d'Alain Connes. Je comprends un peu mieux ce qu'il dit, ouf, c'est rassurant, mais du même coup, je le vois hésitant.

Il sait qu'il a mis le doigt sur quelque chose d'essentiel, et parle de "nouveau paradigme" à très juste titre me semble-t-il, comme assez souvent de "miracle", pour exprimer son étonnement devant ce qu'il découvre, mais il ne s'explique pas réellement la nature de sa révolution. Lorsqu'il présente sa géométrie non-commutative comme un espace riemannien ordinaire avec un "petit quelque chose en plus", ça me fait penser à Lord Kelvin, qui aurait dit à la fin du XIX^ème siècle "Il n'y a plus rien à découvrir en physique. Tout ce qu'il reste à faire aujourd'hui, c'est améliorer la précision des mesures".

Et précisément, son avancée tient à mon sens à la définition d'une mesure, d'ailleurs tout tourne autour de ce problème depuis qu'Einstein à cherché la meilleure façon de synchroniser les horloges des gares du réseau Helvète.

Il nous dit très exactement que :

la mesure d'une longueur n'est pas de même nature qu'une longueur.

- Attend un peu, ne s'agit-il pas d'intégrer des éléments de longueur, ou de rapporter une distance à un mètre étalon ?

- Mais oui, et donc la mesure demande un mouvement, or c'est sur la nature du mouvement en question que notre regard doit évoluer.

Revenons à la base de ce que je développe ici : un "mouvement" demande, par essence, d'appliquer un concept diachronique (entre Ik et Ik+1) à un concept synchronique (en Ik) pour en "parler" ou en "juger" ex post en Ik+1, avec Ik<Ik+1<Im. L'exemple structurel élémentaire, c'est le morphisme identité I: (*)_∈I1↑{1}_∈I01. Dans ce schéma, le Sujet se représente en Im, dans une posture ex post, rationnelle logique, et la répétition de l'action conduit à la notion de succession, et à la construction de N.

Mais tu vois bien que nous sommes en difficulté pour conserver cette définition de la "mesure", lorsque le Sujet adopte une approche topologique, surtout lorsqu'il ne cesse de gigoter en passant de I'm à Im autour de l'objet !

Dans la pensée logique, il y a une difficulté à différencier le "mouvement physique" de l'objet, du "mouvement Imaginaire" du Sujet autour de l'objet, c'est ce que repère, Alain Connes, sans en prendre conscience lorsqu'il parle de la difficulté à définir le temps par le décompte des battements d'un pendule :

• Le mouvement du pendule est dans un univers riemannien, et même en relativité générale (le temps au sommet du Mont Blanc, n'est pas celui au niveau de la mer),
• Le décompte des battements, est une représentation purement Imaginaire, dans la tête du Sujet.

Or, la mécanique quantique permet de représenter la structure profonde de la mesure en associant un "observable" à un "opérateur" agissant sur l'état du système. Dès lors que l'état du système (notre objet) est décrit par la direction d'un ket |P⟩, indépendamment de sa norme ou de sa phase; tu décris le "mouvement de l'objet" de la même façon que je décris le "mouvement du Sujet", en dehors de l'espace physique dans lequel l'un comme l'autre peuvent se mouvoir. C'est ce dont j'ai pris conscience samedi dernier (voir "les représentations du Sujet") !

Maintenant, le concept diachronique n'est plus entre I1/I01, mais entre I01/IR, il s'ensuit que la répétition ne porte plus sur une simple succession du même, mais porte sur l'adjonction progressives d'états tous orthogonaux entre eux ! 

- Tu en reviens aux extensions galoisiennes ? 

- Absolument : nous quittons Descartes pour retrouver Galois.

Du même coup, j'espère que tu vois comme moi de quelle façon le "petit quelque chose en plus" dont parle Alain Connes est un énorme changement de paradigme: chaque point de l'espace physique est doublé d'un espace où s'exprime la possibilité d'un mouvement.

- Il y a malgré tout la nécessité d'appliquer une force pour modifier la trajectoire d'un objet, et donc, l'existence d'opérateurs provoquant une modification du repérage de l'objet dans l'espace physique.

- C'est ce à quoi Alain Connes fait allusion en parlant de la différence entre flèches droites ⟶ et ondulées ⟿ dans les schémas de Feynman.

Pour bien discriminer entre un opérateur qui induit un déplacement physique et un autre qui n'agirait que sur l'état du système, sans repérage spatio-temporel, comme le spin par exemple, il nous faut revenir à nos réflexion du 16/09 :

"Ce que Dirac exprime ici, c'est en fait un principe relativiste : le double point de vue I'm/Im sur ⟨B|α|P⟩ i.e.: I'm⟨B|α|P⟩Im, peut être renversé, soit Im⟨B|α|P⟩I'm ou I'm⟨P|α|B⟩Im (pour conserver les limites de l'Imaginaire du Sujet I1 et I0 à leur place, par rapport à I'm et Im), puis renversée à nouveau : Alice franchit le miroir et retourne à sa place. Si le monde est stable, il est raisonnable de penser que cet aller-retour du Sujet n'affecte pas le monde, et que l'on retrouve I'm⟨B|α̿|P⟩Im. et donc α̿=α.

Ce qui me plaît dans cette façon de voir, c'est que les contraintes qui portent sur l'opérateur peuvent être vues comme liées à notre façon de nous représenter les choses, et non à une "loi de la nature" qui nous transcenderait."

Je suis persuadé que ça tourne autour de cette idée, il faut que j'y réfléchisse.

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En fait, nous avons déjà tout dit là-dessus, il suffit de refaire un tour de piste pour vraiment prendre au sérieux ce que nous disons.

- De quoi parles-tu ?

- De la différence d'approche entre I'm et Im, bien entendu, dont nous n'avons pas encore tiré toutes les conséquences. Alain Connes nous le dit, lorsqu'il critique la façon qu'ont les physiciens de créer un fermion pour réifier chaque nouveau phénomène dont ils font l'expérience (et je parie que c'est le même problème qui conduit à l'idée de "matière noire").

- Tu nie l'existence de la matière ?

- Non, je dis que nos sens ne sont pas fait pour l'appréhender immédiatement. Le problème vient de notre façon de "couper court" à l'expérience en mettant une étiquette à chaque manifestation de ce qui nous échappe. Si l'on ne sait pas rapporter la mesure d'un cercle à son rayon, on "invente" le symbole π pour en parler; si l'on exprime la "force" qui s'exerce sur l'objet il faut bien imaginer quelque chose sur quoi elle pourrait agir, et l'on invente la "masse" etc.

Le problème, c'est qu'ensuite, on oublie le processus de cette création Imaginaire, pour comprendre cette "masse" comme une "réalité" qui s'imposerait immédiatement à nous par l'expérience. En fait, nous reconstruisons le monde à partir des critères que nous avons définis, et c'est exactement le constat de Dirac ! 

"Another assumption we make connected with the physical interpretation of the theory is that, if a certain real dynamic variable ξ is measured with the system in a particular state, the states into which the system may jump on account of the measurement are such that the original state is dependant of them." p. 36

C'est également celui d'Alain Connes lorsqu'il s'étonne que sa géométrie retrouve tous les éléments de la physique (à 48').

- OK, mais tout ça pour nous dire quoi ?

- Je comprends le "petit quelque chose en plus" d'Alain Connes, comme le lieu, purement Imaginaire où se déploie les caractéristiques "intrinsèques" ou "locales" d'un objet, que l'on ne peut approcher que de façon topologique (en passant de I'm à Im). c'est cet ensemble de qualités que tu rattaches à l'espace ordinaire à l'aide d'un opérateur. Le point de contact étant un "observable", par définition.

Nous ne pouvons définir un objet, dans cette approche topologique, que de la façon dont nous avons défini les groupes d'homologie ! Il nous reste donc des "éléments", d'un "espace algébrique" où les manipuler et de "groupes de symétries", le reste à mon sens n'est qu'affaire de vocabulaire... C'est dire qu'avec de la patience, j'ai bon espoir d'y retrouver mon chemin.

Si je comprends bien la présentation, on pourrait doubler chaque point de l'espace par un ensemble de trois quarks, qui se déploieraient dans un espace algébrique fermé. Leurs combinaisons respectant les symétries de la théorie des jauges : U1, SU2 et SU3. On comprend mieux alors que les caractéristiques d'un atome se retrouve d'un bout à l'autre de la Galaxie...

Maintenant, j'aimerais rattacher ces symétries (et donc ces quarks) aux seuls mouvements du Sujet.

- C'est bien ambitieux !

- Mais nécessaire : rappelle-toi que selon notre point de vue "l'objet" est repérable grâce aux mouvements que le Sujet fait autour. Ce qui me donne confiance, c'est qu'il y a trois "générations" de quarks, ce qui semble indiquer la répétition d'un schéma primitif...

Le 24/09/2020

- Lorsque l'on a atteint ses limites, il faut savoir le reconnaître, or ici je n'arrive plus à avancer dans ma lecture de Dirac.

- Que t'arrive-t-il ?

- L'ennui, mon ami, l'ennui me prend à la lecture de la suite, et j'ai l'impression de perdre mon temps. Avant de lâcher, et pour être sûr de ne pas passer quelque chose d'important à mes yeux, j'ai survoler les "Principles" jusqu'au moment où Dirac raccroche sa théorie aux crochets de Poisson et réécrit l'équation de Schrödinger.

- Et tu n'en as rien retiré ?

- Il passe de la présentation des vecteurs et valeurs propres à une "représentation" de ses bras ⟨P|, kets |P⟩ et opérateurs ou variables dynamiques |α| à l'aide de matrices, en discutant d'une "base" vectorielle, qui en fait peut être l'ensemble des vecteurs propres |ξ⟩. Son idée étant de "représenter" les états du système par un ensemble de nombres (i.e.: les coordonnées dans la base choisie). Toute cette cuisine me rappelle mes sombres années scolaires, et c'est très laborieux...

J'attrape au vol la différence qu'il introduit entre valeurs propres discontinues et continues, et l'idée qu'il a d'introduire cette fameuse fonction de Dirac δ(x) dont nous parle Alain Connes. Si j'ai bien compris, il s'agit d'une astuce pour réintroduire sous forme d'intégrale, les valeurs propres discrètes, dans une expression commune avec les valeurs propres continues... Bref, c'est une tambouille de physicien qui s'invente les maths dont il a besoin.

- Précise quand même avant d'abandonner... Laisse une balise pour reprendre un jour, si tu changes d'humeur...

- D'accord. Nous sommes page 59 :

J'ai passé toute la partie où Dirac parle des fonctions d'observables, qui sont également des observables, d'où la possibilité de mesurer les effets d'une telle "fonction" δ(x). Représente-toi l'intégrale de δ(x) comme une surface de valeur 1 autour du point origine (ou de a en substituant (x-a) à x) dans un intervalle autour de 0 (i.e.: autour de a) aussi petit que tu le souhaites. Bien entendu, tu peux étendre le procédé à des vecteurs.

"Therefore it should be possible to rewrite the theory in a form in which the improper functions appear all through only in integrands. One could then eliminate the impropre functions altogether. The use of impropre functions thus does not involve any lack of rigour in the theory, but is merely a convenient notation, enabling us to express in a concise form certains relations which we could, if necessary, rewrite in a form not involving impropre functions, but only in a cumbersome way which would tend to obscure argument." p. 58

- Tu dis que tu passes en coup de vent, mais là tu marques le pas !

- Oui, parce qu'Alain Connes y fait allusion.

Le physicien envisage concrètement de limiter la mesure de cette intégrale dans une bande très étroite autour de a, puisque δ(x-a) est uniformément nulle en dehors de x=a, et ce "cut off" assez cavalier du physicien passe mal auprès d'un mathématicien. En fait, il y a autour de cette pseudo-fonction δ(x-a) tout une cuisine pour "sauter" du continu au discontinu qui évite les questions qui fâchent.

- Ton saut, c'est bien le passage I01/IR ?

- Bien entendu ! Alain Connes en parle en des termes qui me passent au-dessus de la tête, mais si tu tends l'oreille, tu entends malgré tout que son ajout d'un espace de dimension fini à notre espace R⁴ infini, permet de remplacer notre opérateur δ(x-a) par une matrice de dimension finie, ce qui évite de couper des queues d'intégrales au pif. (voir à 37'30")

- C'est si important ?

- Ce "cut off" d'une intégrale me rappelle la catastrophe ultraviolette...

- Ce n'est plus de la physique mais de la peinture impressionniste ton histoire, explique-toi !

- La catastrophe ultraviolette vient de ce qu'en supposant la lumière composée d'un spectre continu de longueurs d'ondes, la puissance émise par les fréquences courtes, les plus énergétiques, tendait vers l'infini. Pour casser cette divergence, Planck a proposé une distribution discrète de ces longueurs d'ondes, ce qui permet de retrouver une valeur finie de la puissance émise.

- Mais si tu remplace ton intégrale par une suite, tu as toutes les chances que cette suite ne converge pas.

- C'est là sans doute qu'intervient la remarque d'Alain Connes, concernant une croissance logarithmique, dont la croissance est indéfinie, mais bornée. Et bien, d'instinct (pardon d'être aussi évasif) j'ai l'impression que nous sommes dans cette discussion.

- Trouve au moins l'énergie suffisante pour replonger dans la lecture de Dirac!

- OK. Non content de définir δ(x) par la valeur de son intégrale ∫δ(x)dx=1, Dirac la définit également comme la dérivée ε' de la fonction échelon ε=0 pour x<0 et ε=1 pour x≥0. 

C'est franchement de la tambouille de taupin, mais ça lui suffit pour avancer. Il arrive à cette équation : xδ(x)=0, qui est en soi une une monstruosité intéressante.

- Comment cela ?

- Écrire ∫δ(x)dx=1 lorsque δ(x) est partout nulle sauf en x=0, revient à donner la valeur finie 1 à une surface de base nulle et de longueur infinie : 0x∞=1; mais plus encore : xδ(x)=0 donne δ(x)=0/0=∞, avoue que l'on joue à la limite du hors-jeu: si ça ne passe pas en direct, ça passe par dessus ou par dessous !

- Ça me rappelle Wildberger (voir note 4 de #1), expliquant que s'il n'est pas sûr qu'une droite coupe en un point le cercle S¹, lorsqu'on se limite à exprimer la géométrie par des nombres rationnels Q, sans la continuité de R, à tout le moins, le symétrique du point origine par rapport à cette droite est nécessairement sur le cercle; évitant ainsi d'utiliser le symbole √x en passant par son carré : (√x)²=x...

- Oui, nous sommes dans la même stratégie d'évitement: ici comme là tu passe d'un problème en 1D par le concept de surface en 2D,  et c'est là que je retrouve ce fameux logarithme qui m'avait énervé dans le discours d'Alain Connes, ne sachant pas d'où il tombait !

Dirac en parle p.61:

J'ai envie de dire : "chapeau l'artiste!", et tu comprendras que le matheux renifle le tout avec un peu de recul...

- Et c'est là-dessus que tu coupes la queue de ton article ?

- Oui, j'en retire la conclusion qu'il y a bel et bien une difficulté à passer du discret au continu. Dirac passe en force, quand Alain Connes arrive à marier la chèvre et le chou, un peu à la manière de Grothendieck, mais sans prononcer le mot de "topos". Approches plus prometteuses de mon point de vue, puisqu'elles offrent la possibilité d'y articuler un changement de posture du Sujet. 

Je n'ai pas complètement rempli mon contrat, désolé, mais je n'ai plus la force d'y retourner à partir de Dirac, il me faut trouver une autre voie d'accès au discours d'Alain Connes.

Cut off 

Hari

Note 1 :

Si l'on peut repérer en Ik+1 la distance parcourue par un mobile à vitesse  v constante dans un repère Galiléen, qui n'est soumis à aucune influence extérieure, alors des distance égales sont parcourues en des temps égaux.

Tu remarqueras que : 

• le temps est un concept diachronique  Ik↑Ik+1 :  (*)_∈I1↑{1}_∈I01 
• la distance est repérée ex post en Ik+1 : la suite des nombres x∈N en I01;
• le hiatus I01↑IR, lors du passage du discret au continu, avec changement de posture (I'm tourné vers I0)
• la vitesse est un concept de niveau Ik+2 car elle conjoint deux concepts "orthogonaux"en IR  i.e.: longueur et temps 

Note 2 :

De même qu'en topologie, le point P sur l'objet à partir duquel on définit les éléments du groupe fondamental π, marque la place du Sujet en I'm (point de vue local).

Note 3 :

Je suis partagé entre l'envie d'approfondir l'approche de Dirac, ce qui nous permettrait de renforcer ce que je développe ici, et le désir d'aller au plus vite pour retrouver le discours d'Alain Connes. Je vais donc ici prendre des notes concernant l'approche de Dirac, quitte à reprendre tout ceci dans un texte ultérieur.

Commentaire sur l 'exemple de la polarisation :

Dire que le faisceau lumineux est polarisé selon un angle de 45° par rapport au polariseur de tourmaline, et donc qu'un faisceau d'un unique photon est repéré par rapport aux axes parallèle et perpendiculaire au plan de polarisation de cette tourmaline, c'est dire que l'objet (en l'occurrence notre photon unique) est sommé de se plier aux exigences de l'observateur. Nous sommes bel et bien dans une position de jugement du Sujet, par rapport à des critères auxquels il rapporte son observation : I_photon<I_tourmaline<Im.

De ce point de vue, l'indétermination est bel et bien dans le saut diachronique I_photon↑I_tourmaline que l'on peut ramener par analogie ou métaphore au saut primordial : (*)_∈I1↑{0;1}_∈I01 . Et nous nous retrouvons naturellement dans le domaine des probabilités.

Par ailleurs cette position va explicitement dans le sens de Bohr contre la position d'Einstein (voir "vitesse de groupe - vitesse de phase"); et plus fondamentalement avec le point 7 du Tractatus, et même de la définition du Réel par Lacan: le Réel, c'est ce que l'on n'imagine pas, qui bouscule nos représentations.

"On pourra résumer en quelque sorte tout le sens du livre en ces termes : tout ce qui peut être dit peut être dit clairement, et sur ce dont on ne peut parler, il faut garder le silence."

Note 4 :

Je galère depuis un bout de temps avec la théorie des catégories, et en particulier sur ce passage I'm<I0 => I1<I'm. J'ai abordé le problème à plusieurs reprises sans être parvenu à m'en faire une conception parfaitement claire.  Alain Connes me force à me remettre à l'ouvrage, en me donnant un but. Voir :

•  "Présentation du 12 juin au groupe CLE"
• "Produit et coproduit"
• "De la propriété universelle en théorie des catégories"
• "Matrice"

Note 5 :

Ce qui au passage marque deux réflexions :

1. Symétrie <Im / I'm< ,
2. Symétrie I'm<  / <I'm

Dans la situation finale de restitution de l'observation, I'm et Im se retrouvent du même côté du miroir; ouf ! 

Note 6 :

Ce qui pose une question d'ordre philosophique : la symétrie est-elle dans l'objet, ou dans le regard qu'on lui porte ?

On peut aussi considérer que l'objet n'est repérable, que dans la mesure où l'on peut y "voir" des symétries, ce qui ramène à la rencontre du percept et du concept, chère à JP Changeux.

Note du 05/10/2020 :

Pour avoir une idée sur la question, voir cette vidéo :

• "séries divergentes, mécanique quantique et intégrales de chemin"

Note du 06/10/2020 :

J'ai un peu honte, rétrospectivement de mon inconscience. Comment pouvais-je espérer comprendre cette vidéo sans avoir aucune idée de ce qu'est la théorie quantique des champs... Fort heureusement, je suis tombé depuis peu sur cette série de vidéos de "Scientia Egregia", ce qui me permet de me rendre compte du gouffre qui me sépare de mon objectif !

Le point positif, c'est que plus j'avance, plus se renforce ma conviction que mon approche permettra ensuite d'aborder la physique plus simplement, après avoir compris notre propre façon de penser, et d'être au Monde...