géométrie non commutative #2 - Courbure et torsion

- J'ai envie de flâner encore un peu autour de mes préjugés avant de m'aventurer effectivement dans cette géométrie.

- C'est sans doute trop fort pour toi.

- J'en ai peur, évidemment, mais c'est avant tout pour garder le plus longtemps possible cette approche naïve qui me permet de suivre ma propre évolution au fil de ce blog et de repérer a posteriori les instants de changement de paradigme, lorsque ce que j'apprends heurte de front les non-dits de ma pensée ordinaire.

Nous en étions (voir "comment aborder la géométrie non commutative #1") à cette idée qu'Alain Connes ajoute à une géométrie de l'espace riemannienne commutative (i.e. : E), une autre (i.e. : P) non-commutative. À la première est associée une structure de groupe infini de type E= R⊕R⊕R⊕R=R⁴ et à P, une structure de groupe cyclique, à savoir P=SU1⊕SU2⊕SU3.

L'espace total U étant le produit de E par P : U=E⊗P. Pas besoin d'aller chercher bien loin pour comprendre que l'on peut ainsi aborder séparément le domaine de la physique lié à chacune des symétries de jauge : U=E⊗(SU1⊕SU2⊕SU3)= E⊗SU1 ⊕ E⊗SU2 ⊕ E⊗SU3. 

- Mouais, c'est vraiment de l'à peu près, si j'en crois Wikipédia (théorie de jauge).

- Laisse-moi sur ma lancée, le point important n'est pas là, il sera toujours temps de peindre des culottes pour cacher le sexe des anges après coup.

L'important c'est que dans cette configuration, la gravitation s'exprime en E, par une courbure locale, et nous avons donc une séparation nette entre d'une part la relativité et d'autre part le modèle standard (avec force électromagnétique, force faible, et chromodynamique) porté par P.

Ceci s'accompagne d'une différence topologique fondamentale entre E et P: les objets de type E sont des surfaces orientées (on distingue l'intérieur et l'extérieur d'un volume) quand sur P elles ne le sont pas (type bouteille de Klein), on parle alors des "torsions" de l'objet topologique.

- Et ça te mène où ?

- Il me semble que nous devrions pouvoir reprendre le tout dans notre approche à partir de là.

- De quelle façon ?

- Avec la remarque élémentaire suivante :

• La courbure est intrinsèquement un concept local,
• La torsion est intrinsèquement un concept global.

Rien d'étonnant au demeurant : notre espace E, infini associé à un groupe lui-même infini ne peut pas être appréhendé par un Sujet quelconque "de l'extérieur", puisque par définition, il fait partie du système. Par contre, les groupes de symétries associés à P étant finis, il est alors possible d'en faire une description globale.

- Ce n'est pas très évident.

- Prends une fourmi se baladant sur un ruban transparent de Moëbius, à la mode d'Escher. S'il voit une autre fourmi en face de lui sur ce ruban, chacune sera bien l'image de l'autre, comme reflétées par un miroir, et donc non superposables, comme la main gauche et la main droite. Elle sont bien, localement, dans un espace de type Euclidien, ou Remanien. Cependant, pour un observateur extérieur qui peut représenter le ruban dans sa totalité, il peut faire l'expérience de pensée élémentaire consistant à faire se balader notre fourmi pour se rendre compte qu'après un demi-tour, elle occupera la place symétrique de celle de départ. La torsion du ruban rectifie la dualité introduite par la symétrie par rapport au plan.

Par ailleurs, Alain Connes introduit sa présentation aux physiciens en utilisant le Lagrangien comme expression générale de l'action en physique. Or, ce Lagrangien est lui-même issu du principe de moindre action de Maupertuis, qui est, comme nous en avons déjà discuté, d'un niveau Imaginaire I#. Autrement dit, les lois de la physique en générale sont les expressions d'un principe de conservation qui les transcende tous, c.-à-d., d'un concept global régissant l'univers, transcendant toutes ses représentations mathématiques (en-dessous de I#), soit en IR (topologie et géométrie), soit en I01 (algèbre et logique).

La réduction de complexité (cette suppression d'une symétrie) que nous venons de voir, colle assez bien avec une montée Imaginaire, allant toujours vers plus de "simplicité". De ce point de vue, il est assez naturel que la physique (en I#) s'exprime en termes de géométrie ou topologie en IR, en passant de P à E, et se traduise in fine en "observables", au plus près du Réel, par des nombres réels (de niveau I01) (note #1).

Et bien, dans ce schéma général, il me semble qu'Alain Connes nous offre la transition rêvée I#↓IR↓I01 !

- Soit, j'arrive à comprendre le cadre général, mais quid de la notion de mesure dans tout ceci ? Car tu l'avais également placée en I#, avec la notion d'aire d'une surface, non ?

- Oui, et c'est là sans doute qu'il me faut remettre en question ce que j'avais en tête.

Ce sera la suite de notre réflexion...

Hari

Note 1 : Spinoza

Je suis de plus en plus tenté de penser ce niveau Imaginaire I# comme celui de l'entendement de troisième espèce de Spinoza, qui fait la jointure entre celui de première espèce (l'immanence) et de deuxième espèce (la transcendance).

L'idée générale serait que :

• L'immanence correspondrait à ce qui monte du Réel, en passant par le filtre Imaginaire, dont Descartes nous offre la clef, avec un principe d'existence en I1, puis tout le disours logique qui se déploie entre I1 et I01. Symboliquement, cela correspond à la mort de Dieu et la prééminence du Sujet, essentiellement en position ex post : R<I1<I01≤Im,
• La transcendance correspondrait à notre propre détermination par le Symbolique, avec un jeu de miroir entre Im en position ex post et I'm en position ex ante, dualité qui se double de celle que l'on décrit géométriquement entre local/ global. et qui se déploie entre I01 (le discret, avec l'objet final en I1 en point de mire)) et IR (le continu, le regard dirigé vers l'objet initial en I0). Le duo I'm/Im s'ébattrait alors dans le terrain de jeu Imaginaire : I01<IR<I#<I0, le Symbolique comme le Réel restant en dehors de Imaginaire : R<I1 et I0<S,
• L'entendement de 3^ème espèce serait alors, en I#, les choix du Sujet en fonction de déterminations transcendant son Imaginaire : Im<S, dont l'expression se caractériserait par la généralité, autrement dit se développeraient dans les niveaux inférieurs depuis une position ex post et globale telle que : I'm≤​​​​​​I#≤Im≤I0<S.

Le plus bel exemple de cette pensée de 3^ème espèce qui me vienne à l'esprit, c'est le principe de "moindre action" introduite par Maupertuis:

"... Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible".

Tu vois bien dans ce passage la bascule entre un principe qui vient de Dieu : Im<S, et l'expression d'une loi générale s'appliquant à tout l'Univers : I#​​​​​​≤​​​Im. Or, cette idée, qui reprend les principes de Fermat de "moindre temps" et de "moindre trajet" se retrouve sine varietur jusque dans notre physique la plus contemporaine, en passant par l'équation de Lagrange d'où part Alain Connes dans son exposé.

En ce sens, la montée Imaginaire correspond bien à une restriction des possibles, ce qui va bien avec un espace physique E infini, couplé à un espace P fini où s'expriment les lois de la physique...

Pour faire raccord avec mon idée que la notion "d'aire" d'une surface à partir d'où se définit historiquement le calcul d'une "mesure" de longueur, et qu'elle est bien de niveau I#, il faudrait partir de l'idée de conservation, comme la conservation d'un "volume" d'eau lorsqu'on le transvase d'un verre dans un bol. De fait, personne ne "voit" effectivement le "volume" en question: on n'a que des aperçus de sa surface; et donc, ce "volume" est caractérisé par des qualités (telles que son incompressibilité) qui transcendent la représentation géométrique que nous offre nos yeux. Ici, le concept ne résulte pas immédiatement du percept (J.P. Changeux). La preuve est est que cette notion de conservation ne s'acquière que vers l'âge de 9 ans. (voir "Épistémologie génétique de Piaget").