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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Évariste Galois - Part 4 - Symétrie et rotation

Pavage de Penrose

- Maintenant que nous avons une vue un peu plus claire du  "Théorème fondamental de l'algèbre", à savoir q'un polynôme de degré n peut s'écrire comme le produit de n monômes de la forme (x-αi), reste à calculer ces n racines αi dont nous sommes assurés de l'existence. Or, il s'agit d'une question multimillénaire, que des générations de mathématiciens se sont attelées à résoudre, à l'aide des 4 opérations de l'arithmétique et des "racines". Après moult tentatives, force fût de constater l'impossibilité de donner une méthode générale permettant de calculer les racines d'un polynôme de degré 5 ou au-delà, à partir de ces opérations.

Évariste Galois arrive donc après que Ruffini, puis Abel, se soient attaqués au problème général de prouver l'impossibilité d'une solution pour un degré supérieur ou égal à 5. Tu vois que la problématique change: au lieu de rechercher des solutions particulières, voire d'étendre petit à petit une solution limitée à un corpus plus englobant, il s'agit dès lors de comprendre d'une façon générale les conditions nécessaires pour que les racines d'un polynôme de degré quelconque soient calculables à l'aide de nos 5 opérations de base.

- Je ne voudrais pas refroidir ton ardeur, mais cela me semble extrêmement compliqué, et bien loin de tes préoccupations !

- C'est vrai qu'il est très facile de se perdre dans le dédale des constructions qui vont se développer à partir de ce changement de perspective. Nous allons tenter de nous tenir au plus près du "pilum" de cette arborescence (voir note du 14/11/18 ci-dessous), pour reprendre un terme de Teilhard de Chardin.

Tout tient à la différence entre les concepts de "symétrie", et de "cycle" qui apparaissent en I01, primitivement comme une simple dualité (0;1), et celui de "rotation" en IR. Ou plus exactement, c'est dans un processus imaginaire régressif, qu'une symétrie peut apparaître comme la dégénérescence du concept de rotation.

- Tu peux expliciter, car là je suis perdu.

- Souviens-toi de ce que nous avons dit de la nécessité d'avoir une idée, en I# de ce qu'est la notion de surface, pour ensuite, en IR pouvoir utiliser les concepts de "repère cartésien" et de "norme", avec IR=Im' < I#=Im. Il s'agit bel et bien d'un processus régressif car dans la descente de I# vers IR, Im, en se limitant à Im' "oublie" le concept même de surface, ou de volume de façon générale, c'est ce que j'appelle une régression.

Nous avons vu également que IR est le niveau auquel Im' peut exprimer l'hypothèse du continu, donc R dans un premier saut I01 => IR, puis C en répétant le saut, afin de concevoir un couple (x;y) dans R2.  

Mon idée, c'est qu'entre le premier saut, et le second, la nature de R est profondément affectée, par le contexte dans lequel nous le situons:

  • Premier saut I01 => IR : Cantor montre que R n'est pas dénombrable, ce qui entraîne en particulier l'hypothèse de la continuité (propriété locale) et qu'il n'est pas borné (propriété globale);
  • Second saut I01 => IR : La construction des éléments z de C est équivalente au repérage de points (x;y) rapportés à un repère orthonormé, tel que z = ρ (cosθ+i sinθ); avec ρ2=x2+y2=|z| et y/x=tgθ . Autrement dit, la notion de C est rapportée à des concepts (orthogonalité et norme) d'ordre supérieur de niveau I#, ce qui borne C et donc R (propriété globale) et implique que l'espace de C soit compact (propriété locale) et donc R.

- Tu te répètes, quel rapport avec notre problème ?

- Ce que nous avons vu sur les objets, nous allons maintenant le constater sur les structures qui les manipulent.

  • Dans la situation IR=Im'<I#=Im : j'ai la notion de rotation, et sur le cercle unité |z|=1, z=(cosθ+i sinθ) parcours le cercle de façon "continue".

Maintenant, nous avons vu que la racine nème de z est représentée au point (cosθ/n, sinθ/n), autrement dit, que ce sont des points discrets sur le cercle unité, définissant sur celui-ci un cycle d'ordre n. D'où l'impossibilité en I01 de se représenter complètement une rotation, puisque je ne peux que repérer des points sur le cercle unité, obtenus à chacune de n itérations d'un mouvement I01 => IR qu'il me reste à définir (voir note ci-dessous).

Tu vois bien, je l'espère, comment l'intuition porte à déconstruire un concept élaboré pour en extirper un avatar élémentaire, à un niveau inférieur de l'Imaginaire.

- Et concrètement, comment traduis-tu ceci ?

- Très simplement:

  • Une "rotation" se traduit par un "retour à l'origine" périodique, autrement dit, une équivalence modulo une mesure prise pour unité. Que je caractérise la rotation par un angle entre 0 et 360°, ou entre 0 et 2 π radians, le point désigné sur le cercle unité sera repéré par une infinité de nombres "modulo" 360° ou 2 π.
  • Je garde cette idée pour définir en I01 un "groupe cyclique" non plus en référence à R, mais à Z, à partir d'un singleton générateur de la façon suivante : 
voir Wikipédia article "Groupe cyclique"

voir Wikipédia article "Groupe cyclique"

Et il est facile dès lors de remarquer qu'un groupe cyclique Gn est isomorphe à Z/nZ, c'est à dire au sous-groupe des nombres relatifs "modulo n" (cf: note ci-dessous). Tu vois immédiatement qu'il y a des "trous" dans mon cercle, qu'il me sera impossible d'éliminer complètement, même si n ∈ N est infini, puisque N, contrairement à R, n'a pas la puissance du continu.

- Je vois bien l'idée, mais concrètement, comment fais-tu le lien avec la résolution d'une équation polynomiale par radicaux ?

- C'est là qu'opère le génie d'Évariste Galois!

Maintenant que nous avons une idée du point d'arrivée, oublions tout ceci pour nous demander : "mais qu'a-t-il vu dans un polynôme qui lui fasse penser à une symétrie ou un cycle "? Nous qui ne sommes pas des génies, prenons un exemple simple: une équation du second degré. Après nettoyage, elle peut se ramener à cette expression : P(X)=X2-pX+q (je reprends la notation de l'article de Wikipédia, pour que tu puisses facilement t'y reporter). Nous avons donc deux racines x1 et x2 telles que: (X-x1)(X-x2) = X2 - pX +q.

Tu vois immédiatement, puisque nous sommes en I01 et que les lois multiplicative et additive sont commutatives, une "symétrie" entre les racines x1 et x2.

- Qu'entends-tu par "symétrie" ?

- Eh bien dans l'expression tu peux échanger les places de x1 et de x2 et cette permutation ne changera rien à l'équation. Il faut donc que l'on retrouve cette symétrie d'une façon ou d'une autre dans les valeurs de x1 et x2. De fait nous tirons de celle-ci :

  • x1+x2=p et
  • x1.x2=q,

ce qui, tu le remarqueras, est d'une rare élégance !

Tu fais le même constat sur une équation "irréductible" de degré 3 : P(X)=X3+pX+q, en écrivant (X-x1)(X-x2)(X-x3)=X3+pX+q, d'où tu tires immédiatement :

  • x1+x2+x3=0 ;
  • x1x2+x2x3+x3x1=p, et
  • x1x2x3=-q.

Et de fait, tu peux généraliser ce constat à tout polynôme, quel qu'en soit le degré.

Galois faisant ce constat, s'est appliqué d'une part à caractériser ces régularités sous forme de structures, et ensuite à faire le lien entre ces dernières et les racines qu'elles caractérisent à leur tour. Et pour faire ce lien, il va introduire la notion "d'extension", ce que l'on formalisera ensuite sur un corps quelconque. Si tu t'en souviens, ceci nous ramène à notre discussion concernant la construction d'un vecteur sur un corps (voir "L'hypothèse du continu").

- Tu sautes du coq à l'âne, non ?

- Pas du tout, car il s'agit, dans un cas comme dans l'autre, de construire ou de caractériser un objet de complexité supérieure en Ik+1, à partir d'un objet défini, ou d'une observation faite, en Ik:

  • soit un espace vectoriel (en IR) sur un corps K (en I01),
  • soit pour Galois, de lier les racines d'un polynôme (en IR) à la structure de leurs permutations, visible en I01.

Et c'est du concept d'extension dû à Galois, et plus primitivement encore, à la position qu'il prend pour en parler, que tout le reste découle. Or, cette position, nous l'avons nous-mêmes définie comme "rationnelle topologique" (voir "La mécanique de l'Imaginaire"). En ce sens très profond, Évariste Galois est un précurseur, ce que Grothendieck relève dans "récoltes et semailles" en ces termes (p 138 "rêve et démonstration"):

"dans le déploiement d’une vision vaste ou profonde des choses mathématiques, c’est ce déploiement d’une vision et d’une compréhension, cette pénétration progressive, qui constamment précède la démonstration, qui la rend possible et lui donne son sens. Quand une situation, de la plus humble à la plus vaste, a été comprise dans ses aspects essentiels, la démonstration de ce qui est compris (et du reste) tombe comme un fruit mûr à point."

Nous sommes bien ici au coeur de notre recherche quant à la création: il faut toujours, à partir d'un acquis, projeter quelque antenne vers l'inconnu.

L'intuition du concept vient primitivement de la prise de conscience d'une incohérence ou d'une "rupture" que l'on se charge de rapporter à une "symétrie" de niveau plus élevé, c'est l'essence même de la forme canonique de Lévi-Strauss (voir "La potière jalouse"), et notre Moi tel Don Quichotte, va à l'assault des moulins à vent (en Ik+1), et s'envole : Ik< Im < Ik+1 < DM => Ik <Ik+1 <Im <DM, puis il laisse le soin à son avatar Im', Sancho Pansa au ras des pâquerettes (en Ik), de trouver le moyen de le rejoindre : Ik=Im' < Ik+1=Im  => Ik < Ik+1 = Im'. Tu vois se dessiner une sorte de mécanisme "push-pull" entre Im et Im'.

- Soit, mais concrètement ?

- Le travail se développe en deux temps (voir ici):

  1. En I01, se sera la caractérisation des permutations, transpositions, cycles, signature, et symétries de façon générale,
  2. De I01 vers IR, nous utiliserons la notion "d'extension" comme d'une échelle pour accéder aux objets d'ordre supérieur.

Et tu retrouves notre duo de concepts "synchronique/ diachronique" au coeur du mouvement.

1/ Groupe de symétrie

Son étude mènera à toute la théorie des Groupes et à la taxinomie que nous avons passés en revue (voir "les structures algébriques").

Le travail se résume à codifier de façon générique ce que nous avons vu sur les polynômes de degré 2 et 3, concernant les équations définissant les racines d'un polynôme donné. En tout premier, on généralise ce que nous avons vu de la façon suivante: il y a n fonctions symétriques élémentaires définissant les n racines, chacune étant la somme des produits de k racines entre elles (k allant de 1 à n).

  • σ1 = x1+x2 +..... xk+...+ xn
  • σx1x2 + x1x3 + .... x1xn + x2x1+....+  xn-1xn
  • σ3x1x2x3 +.....+ x1xn-1xn x2x3x4+....+  xn-2xn-1xn
  • ......
  • σx1x2x3....xn

L'écriture devient vite fastidieuse, et je te renvoie ici par exemple pour une écriture plus détaillée. Mais l'idée qui s'impose à l'esprit c'est qu'écrire σi pour un polynôme de degré n, revient à expliciter les combinaisons de i éléments dans un ensemble de n, ce qui s'exprime en termes de permutations. À partir de là, on en arrive à étudier le groupe de symétrie. Je te renvoie à ces vidéos qui expliquent très simplement comment on peut décomposer un groupe de symétrie en éléments simples à l'aide de 2 générateurs (i.e.: la transposition de deux et éléments successifs et leur ensemble lui-même); ce qui à la réflexion n'a rien d'étonnant, sachant de l'on peut générer N à partir du doublet primitif (0;1). Tu remarqueras l'importance de la "signature" d'une permutation. Tout ceci est fort intéressant, mais ne dépasse pas la logique de premier ordre, toute entière exprimable en I01

____________________(ron,ron,ron....)________________________

Deux jours ont passé, entre taillage de haies, et relecture des vidéos de M. Gilles Bailly Maitre, afin de bien me familiariser avec ces permutations et leurs signatures. Distance qui m'a permis d'orienter mes réflexions, après l'avoir vu manipuler un jeu de cartes pour éclairer son propos.

Évariste Galois - Part 4 - Symétrie et rotation

À un moment donné, (sur la vidéo 4/5 à 12') entre autre, il explique comment une transposition de deux cartes (mettons le valet J et le roi K) peut s'exprimer à l'aide de transpositions élémentaires (entre deux cartes qui se suivent). Ici échanger J/Q, puis J/K, et ensuite, ramener J à sa place en refaisant (ou défaisant, ce qui est identique) Q/J. Et pour bien illustrer son propos, il étale son jeu.

Puis, après avoir introduit les deux "générateurs" de toute permutation à savoir:

  • Une transposition élémentaire entre deux éléments : τ=(1,2)
  • Le cycle portant sur l'ensemble n des éléments : γ=(1,2,3,....n)

il revient à son jeu de cartes, mais cette fois-ci, empilé, pour illustrer qu'appliquer γ revient à faire passer la carte du dessus en dessous de sa pile.

- Dis, tu vas vraiment dans le détail, là, ne sommes-nous pas hors sujet ?

- La question que je me suis posée est la suivante: pourquoi, en illustrant ses propos à l'aide d'un jeu de cartes, ses explications sont-elles plus simples à suivre ? En méditant sur le sujet, j'en suis arrivé à la conclusion suivante: il est en train de décomposer le mouvement complexe d'une permutation de cartes dans un jeu donné, en mouvements élémentaires, et donc, il doit aboutir à n'utiliser qu'un couple de concepts, l'un synchronique, l'autre diachronique !

Et m'est venue, l'idée de suivre au plus près cette apparition du concept de symétrie et de cycle en I01, à partir de I1, afin de faire le parallèle avec ce qui nous intéresse ici, à savoir la transition I01, IR. Tu remarqueras d'ailleurs que les travaux inspirés par Galois s'articulent selon ces deux axes (i.e.: Artin s'intéresse aux extensions quand Weber aux groupes, et Noether conjoint les deux approches).

En ce sens, il me semble que nous restons, au contraire, au coeur même du sujet. Vu sous cet angle, il s'agit de régresser jusqu'aux niveaux {I1;I01}, afin de voir de quelle façon ces concepts de "cycles" et "transpositions" que nous visualisons d'instinct à l'aide de concepts tels que ceux d'espace ou de rotation, qui n'apparaissent qu'en IR, se dégradent en termes élémentaires de logique.

De fait, une telle interprétation a posteriori est toujours éclairante, par exemple, pour comprendre l'ensemble des transpositions de σ3 à l'aide d'un concept aussi élaboré que celui de triangle:

à 15' de "Groupe de symétrie 2/5" par Gilles Bailly Maitre

à 15' de "Groupe de symétrie 2/5" par Gilles Bailly Maitre

Si je réfléchis en ces termes, la transposition élémentaire  τ=(1,2) me ramène aux 2 morphismes élémentaires {*} => {{ };*} et j'ai deux possibilités:

I01 {*} ∅ = { }
1 2
I1 * *

Je traduis τ par la possibilité de transposer la suite de mouvements (↑1;↑2) en (↑2;↑1), ce qui revient à imaginer de pouvoir remonter dans le temps. Or, ce n'est possible qu'en I01., une fois que les deux mouvements ont effectivement été accomplis.

La signification dernière de tout ceci, c'est que :

  • le premier saut indique un choix entre ∅ et *;
  • le second saut me permet d'envisager l'ensemble des potentialités (∅,*),
  • et de me dire, en suivant une logique du premier ordre cohérente à ce niveau de description (i.e.: impliquant explicitement le principe du tiers exclu): "si je choisi l'inverse de l'inverse alors je retombe sur mon choix initial" : τ2=id

La symétrie entre les deux branches de l'alternative, c'est fondamentalement la réification en I01 d'une suite de mouvements dans un temps qui ne permet pas le retour en arrière. En ce sens, τ=(1,2) peut être vu comme le concept synchronique le plus simple qui soit, impliquant en lui-même le concept de symétrie en I01 de deux objets qui, pour mémoire, bornent absolument notre Imaginaire : l'objet initial {*} en I1 et l'objet final { } en I0.

Le concept γ de cycle sur l'ensemble des éléments, quant à lui, renvoie à la cloture de notre Imaginaire.

- Pourtant nous avons l'idée d'infini.

- Nous en revenons à notre discussion initiale: nous n'imaginons l'infini que dans la répétition du même, comme lorsque nous construisons N par itérations, dans l'action donc. Mais une fois que nous en avons réifié le concept, nous nous heurtons toujours à une certaine clôture de notre Imaginaire, que nous transcendons ensuite, dans une suite d'itérations seconde. d'où l'impossibilité de réduire R à N, et plus généralement, tous les développements de Cantor au sujet des cardinaux 012...

Autrement dit, dès qu'en I01, nous concevons la "clôture" d'une suite virtuellement infinie finie (note 1 du 22/12/19) alors, d'une répétition sur l'élément générique, nous passons à la répétition sur l'ensemble lui-même. Le temps mesuré au tic-tac d'une horloge, se boucle en paquets de secondes, minutes, heures, jours.... années, ères jusqu'aux portes de l'Imaginaire, qu'il s'agisse pour les peuples primitifs de remonter aux temps des Grands Anciens, ou pour nous au temps du Big Bang... Or, comment concilier cette infinie répétition sur les éléments finis d'une collection, sinon, en disant que lorsque l'on a fini, on recommence ?

Du coup, tu vois se mettre en place une dialectique entre un mouvement élémentaire, local τ=(1,2) et un mouvement d'ensemble, global γ(1,2....,n).  Et faire "passer la première carte de la pile sous la dernière" me semble être essentiellement un "comorphisme" : après avoir constitué ma pile en I01, je retourne de I01 vers I1, pour re-commencer. Ici encore, ce retour n'est envisageable qu'une fois l'ensemble conçu et défini en I01, impossible avant.

  • En deçà de I01, les concepts de τ=(1,2) et γ(1,2....,n) dégénèrent en successions de sauts I1=>I01, avec la perte de symétrie entre gauche/droite, avant/après.
  • Toute permutation va se décrire à partir de deux points de vue: τ local (portant sur deux éléments) et γ global (portant sur leur ensemble), le premier se réifiant "plus vite" (i.e.: il suffit de deux sauts) que le second. Ou plus précisément, γ se distingue de τ, dès que n est strictement supérieur à 2. 

- Soit, mais je suppose qu'en employant le terme de "comorphisme" tu avais une idée derrière la tête ?

- Oui, une idée qui fait tout doucement son chemin et s'affirme au fur et à mesure que j'écris. Cela a  commencé à la minute 21 de la vidéo 4/5, en lisant ça:

à 21' de "Groupe de symétrie 4/5" par Gilles Bailly Maitre

à 21' de "Groupe de symétrie 4/5" par Gilles Bailly Maitre

La forme γkτγ-k exprimant la possibilité de repérer une transposition entre deux éléments aux places k et k+1 de notre pile de n cartes, en fonction de nos deux générateurs élémentaires, τ(1,2) et γ(1,....,n), m'a immédiatement ramené au calcul matriciel de mon enfance !

- Tu pousses le bouchon un peu loin Marcel !

- Pas vraiment: que signifie γ-k ? Simplement que je m'arrange pour porter les deux cartes que je veux permuter, en de-dessous de la pile. Autrement dit, je change mon référentiel d'origine, et je procède comme si, à partir de ce point zéro de mon repérage, je faisais une manipulation élémentaire  pour ensuite, par l'opération inverse, retourner à mon repérage initial avec γk.

N'est-ce pas le plus élémentaire des "changements de bases" que tu puisses imaginer ? Et tu vois qu'en ce sens très élémentaire, un changement de base est intimement lui à la notion de rotation, or c'est ce que nous retrouvons en IR, avec notre point z se déplaçant sur le cercle unité ! (note 2 du 22/12/2019)

- Soit, mais tu n'as pas encore identifié ton concept diachronique ?

- C'est exact, mais tout du moins avons-nous pu dégager cette opposition locale/ globale qui nous échappait jusqu'alors.

Revenons-en à ce schéma élémentaire :

I01 {*} ∅ = { }
1 2
I1 * *

La succession des mouvements (↑1,↑2) se traduit en I01 par un repérage spacial (gauche/ droite), et une transposition reviendrait à inverser le cours du temps, en supposant possible la succession (↑2,↑1). Mais nous pourrions y voir également un autre choix primitif du Sujet en I1< Im=I01. Comme un enfant qui affirme sa volonté en refusant ce qu'on lui offre, il peut refuser le morphisme évident, l'identité * ⟼ {*}; en construisant un "mensonge", c'est à dire quelque chose ne correspondant à aucune expérience du réel :  * ⟼ ∅, car, après tout, le langage est fait pour mentir ! D'une certaine façon, je "tords" la réalité qui m'est donnée en "choisissant" primitivement * ⟼ ∅; complètement second ou partie de *.

Je fais l'hypothèse que cette "torsion" primitive, est le fondement même de l'inversion que je repère en I01 entre deux éléments, et "signe" mon acte, s'en serait la caractéristique diachronique. Dit autrement: la transposition τ=(1,2) serait le repérage en I01 d'une "torsion" entre I1 et I0. Et le mouvement, vu en I1, de l'élément final *, serait soit :

  • "normal" : * ⟼ {*}, définissant l'identité en I01;
  • "tordu" : * ⟼ ∅, définissant la transposition τ=(1,2) en I01.

- Reste que dans ton approche, le premier morphisme pose {*} comme antécédent de ∅ !

- Tu as raison, mais je crois qu'il faut faire preuve d'humilité en la matière. De fait, nous avons pris conscience du concept d'unité avant celui de vide, et cependant, 1 succède à 0 dans nos calculs. La discussion nous mènerait probablement à un débat philosophique quant à l'intrication des deux premiers entendements de Spinoza pour former nos idées. Laissons là cette discussion pour retenir l'idée qu'une transposition consiste à "tordre" un mouvement primitif qui serait l'affirmation d'une identité.

Revenons, si tu le veux bien, à la vidéo 5/5 de Gilles Bailly Maitre. Il définit d'abord la notion d'inversion entre deux nombres dans une suite n. Ensuite la signature d'une permutation est le nombre d'inversions que l'on y dénombre et s'écrit ainsi : 

Soit σ ∈ Sn et N(σ) le nombre de permutations de σ, alors la signature de σ s'écrit : ε(σ)=(-1)N(σ)

On démontre assez aisément que :

  • La signature d'une transposition ε(τ)= -1;
  • La décomposition d'une permutation décrite comme une composition de m transpositions σ= τ1τ2...τi...τm vaut  ε(σ)= (-1)m;
  • La parité de ε(σ) ne dépend pas de la façon de décomposer σ, en particulier une composition en transpositions élémentaires;
  • La signature d'un k-cycle est  ε(k-cycle)= (-1)k-1.

Tout ceci se lit aisément, pour en arriver au plat de résistance : l'application signature ε : Sn => {-1;1} qui renvoie chacun de ses éléments à sa signature : σε(σ) est un morphisme de groupes; c.-à-d. qu'étant donné deux permutations σ et σ', nous avons  ε( σ'.σ)= ε(σ').ε(σ).

Pour en arriver à la définition des transpositions "paires" et "impaires":

  • σ est paire ssi ε(σ) = 1
  • σ est impaire ssi ε(σ) = -1

et montrer que l'ensemble des σ paires forment au sein de Sn un sous-groupe An appelé groupe alterné. Autrement dit, An, est le noyau du morphisme ε, puisque c'est l'ensemble des éléments dont l'image est l'élément neutre 1 de ε.

- Tu nous fais un développement très long, et c'est loin de tes habitudes, ça sent la fatigue.

- Tu as raison, il est temps de faire un break. Mais je voulais arriver au moins à ce point, puisque c'est la base du raisonnement de Galois, et si possible, raccrocher tout le raisonnement amenant à la définition de cette signature au plus profonde de notre Imaginaire. En ce sens, il me semblait intéressant d'arriver à une filiation entre le morphisme identité et ce groupe alterné An.

Il reste encore énormément à faire pour comprendre pourquoi A5 n'est pas résoluble par racines, car, à ce point du développement, il nous faut à présent comprendre l'autre partie des développements de Galois, c'est à dire les extensions.

Mais si la tâche semble longue et ardue, en tout état de cause, elle ne me semble pas remettre en cause ce que nous avons vu jusqu'ici...

Pause !

Hari

À force d'y réfléchir, j'en viens à me demander s'il ne vaudrait pas mieux intercaler un niveau spécifique IC entre IR et I# afin d'y repérer spécifiquement les nombres complexes. Discussion qui nous ramène aux questions que je me posais déjà dans le billet "etc."... 

Je pense que pour trancher il faudrait passer par le triptyque de Noether symétrie / objet constant / indétermination. Lors du saut I01 => IR, l'objet émergeant en IR, c'est le concept de continuité.

Pour passer de IR à cet IC, ce serait la circularité, avec le nombre π sans doute. La subordination de IC à I# tenant toujours à la nécessité d'un axe particulier (un repère global) pour mesurer un angle (défini localement ou "relativement").

Ce que j'avais voulu, en ne cantonnant à une réitération d'un même saut I01=>IR, c'était d'éviter l'idée d'une cascade indéfinie de sauts vers le haut, car il me semblait qu'une telle incomplétude cachait une répétition du même.

Pour trancher effectivement, il faudrait une meilleure compréhension des processus à l'oeuvre dans notre cerveau.

En attendant, j'en resterai donc à l'idée que R se conçoit dans un premier saut I01=>IR, et C dans une itération du premier saut. De toute façon ceci n'impacte que marginalement le sujet dont nous débattons.

Note du 14/11/2018:

Quelques vidéos en guise de biblio :

Let finite group G permute the field k = Q(xe, xg, ...xn), Noether showed KG is finitely generated over Q, and, if the generating set can be shrunk to the size of G, then KG is a polynomial ring over Q.

K is Galois over KG. And by Hilbert irreducibility G is a Galois group over Q"

Note 1 du 22/12/2019

J'ai quelque peu évolué depuis : la clôture Imaginaire dont je parle ici me semble se déterminer en IR, avec l'idée de "point à l'infini" qui clôt R, le plan C ou le plan projectif. La nécessité de "déterminer" ou "définir" l'infini est une question d'ordre topologique. En géométrie projective, par exemple, ce point à l'infini permet d'établir une correspondance avec le point origine. 

En I01, la construction purement itérative de N ne nécessite aucune hypothèse quand à son "bornage". La clôture en I01 ne peut donc se faire que sur des groupes finis.

Cette précision étant faite, le reste du raisonnement n'en est pas affecté. 

Note 2 du 22/12/2019

Je peux à présent mieux définir cette rotation, après les développements que j'ai fait cet automne. Voir en particulier:

Je relis cet article après avoir écrit un dernier texte sur Lao Tseu, ce qui m'amène la réflexion suivante concernant la caractérisation du "stade du miroir", que nous avons situé en I01, au moment où le Sujet différencie I'm de Im, pour initier une démarche "topologique".

Revenons à la scène de professeur arrangeant ces cartes pour faire venir la figure du roi K sur le dessus du paquet, et restons à la position limite du Sujet, qui arrive juste à différencier Im de I'm, en restant scotché à I01.

Situation limite I'm=I01=Im<DM (rappelons que nous sommes les spectateurs hors discours, en DM). Nous avons vu que la distinction I'm/Im se caractérise par l'objet référé ultime, déterminant la différence d'attitude ex post / ex ante:

  • Approche locale de I'm, en position ex ante, avec l'objet initial en I0 : I'm=I01<I0;
  • Approche globale de Im, en position ex post, avec l'objet final en I1 : I1<I01=Im.

Et nous avons caractérisé cette différence de posture dans "De la propriété universelle en théorie des catégories".

  • Un foncteur covariant indique une expression "ex post" de Im;
    • => même sens de rotation sur chaque niveau imaginaire.
  • Un foncteur contravariant indique l'expression par Im d'un point de vue local en I'm.
    • => changement de sens de rotation entre niveaux imaginaires.

Et bien, nous pouvons caractériser notre scène en gardant ce que nous venons de rappeler à l'esprit.

1/Le professeur tient en main le paquet de cartes les unes sur les autres et il fait une coupe pour ramener le roi K au-dessus du paquet. La "rotation" que j'imagine est d'ordre temporel, et si le professeur fait face à un miroir, l'image est la même : la carte qu'il manipule se reflète dans le miroir, et la pile réelle comme son reflet se modifient de façon identique. 

Puisque j'ai ici la notion de succession, qui casse la symétrie avant/après, je suis ici dans une description globale de la scène, avec l'objet final en référé ultime : I1<I01=Im.

=>Dans cette vision globale, la notion de rotation que je peux imaginer n'est pas brisée par réflexion dans un miroir.

2/ Le professeur étale son jeu à plat sur une table et fait passer une partie des cartes de droite à gauche pour laisser le roi K en première position à gauche de sa main. Alors, l'image dans le miroir montre que la carte passe de gauche à droite pour arriver à la droite du Sujet en miroir.

Dans cette situation, j'abandonne la notion de successeur,  pour me repérer localement avec les concepts de gauche et de droite : I'm=I01<I0, et notre discours est déjà d'ordre topologique. 

=> Dans cette position locale, le miroir brise la symétrie des images: elles ne sont pas supperposables.

Or, malgré la différence de points de vues, il s'agit bel et bien d'illustrer, par deux discours différents, un seul et même concept: celui de permutation γ.

- Attend un peu, tu nous balades  avec cette histoire. La différence entre superposition en non-superposition des images en toute simple:

  • si la rotation se fait "dans le plan du miroir", c.-à-d. autour d'un axe perpendiculaire au miroir, l'image de départ est superposable à celle d'arrivée,
  • mais si la rotation fait "traverser" le miroir, c.-à-d. selon un axe parallèle à la surface du miroir, alors les deux images ne sont plus superposables.

Tout ceci reste du domaine de la géométrie pure.

- Tu loupes l'essentiel: pour concevoir de "traverser" un miroir, il faut une vision globale en 3D q'une surface en 2D, celle du miroir. Par contre, un mouvement en 2D sur la surface du miroir peut être décrit par un être en 2D collé au miroir.

- Mais ne viens-tu pas de dire le contraire ?

- Non, non: tu te perds parce que tu ne précises pas correctement le contexte de ton discours. L'être en 3D peut tenir les deux discours, depuis Im et depuis I'm; quand l'être en 2D du miroir ne peut tenir que le discours I'm. Seul l'être en 3D peut concevoir l'existence d'une brisure de symétrie.

Dans notre scène, oublie les dimensions superflues et ramène la description de nos cartes au point élémentaire, de dimension 0D, repérées sur une droite N de dimension 1D. Le temps est alors une seconde dimension, perpendiculaire à la première. Le "bouclage temporel" renvoie alors à une transposition sur un ensemble fini de points sur une droite, autrement dit un "bouclage spatial", une rotation renvoyant à l'autre. 

Je pointe ici le fait que dans cette scène très élémentaire, la différence de perspective entre I'm et Im se caractérise déjà par une brisure de symétrie (repérable par Im !) dans le concept de "rotation". 

- Quelles conséquences ?

- Je n'en sais encore rien. C'est juste une piste de réflexions pour l'instant. Je reviens sur ce point dans l'article "La chiralité du temps".

 

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