Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - From Whole Numbers to Rational Numbers #4

- On entre enfin dans le vif du sujet !

- Oui, et j'avoue que cette lecture m'a permis de faire du ménage dans ma tête...

- Ce qui était l'objectif poursuivi...

- Bref, ça va me permettre de stabiliser un peu notre représentation du Sujet dans son Imaginaire aux premiers niveaux. Graphiquement dans cette zone :

Mais procédons par ordre, en suivant le plan du chapitre :

1. Properties of Natural Numbers
2. The Peano Postulates
3. Natural Numbers Described by Recursion
4. Number Theory
5. Integers
6. Rational Numbers
7. Congruence
8. Cardinal Numbers
9. Ordinal Numbers
10. What Are Numbers?

1/ Properties of Natural Numbers N = {1, 2, 3,...}

L'auteur attaque par une discussion sur le statut des règles qui s'imposent à nous lorsque nous effectuons des calculs sur N. Par exemple pour l'addition, nous avons, ∀ k, n, m ∈ N  :

m + 0 = m ; m + n = n + m    (1)
k + (n + m) = (k + n) + m     (2)

La loi commutative (1) peut être déduite des propriétés de l'addition (i.e.: le cardinal de l'ensemble final ne dépend pas de l'ordre dans lequel les deux ensembles n et m se présentent). Mais, nous dit l'auteur, 

"On the other hand, the rules are formal in the sense that they can be used directly without atten­tion to their "meaning". For example, the associative law (2) tells me that if I add a long column of figures in three successive groups, subsequently combined, the final result will be the same, irrespective of the order in which the three are combined."

- Nous sommes ici dans la syntaxe ♡, n'est-ce pas ?

- Exactement, et d'entrée de jeu, tu vois se pointer notre éternelle dispute entre S↓ et S↑. Avec le recul, tu remarqueras qu'écrire "∀ k, n, m ∈ N", implique :

• D'avoir une idée générale de N : [⚤]𓁜
• De faire un choix 𓁝[⚤]

- Je croyais impossible la posture  𓁝[⚤] ?

- Dans le mode objectif ♧, oui, puisque tu restes en prise directe avec le Réel : ☯[∃][⚤]𓁜, mais nous parlons ici de syntaxe, et donc directement depuis ♡ : il s'agit d'une propriété universelle, qui nous vient du plus haut qui soit, en [♲]^♡, voire en [♲]^♤ et trouve son application en [⚤]^♡.

Et donc, le mouvement du Sujet est :

1. Un choix 𓁝[⚤]^♡ (ici "∀ k, n, m ∈ N"), comme partie d'un tout [⚤]^♡𓁜 (ici N) ;
2. Un constat : le Sujet se heurte à une "réalité" ☯[∃]^♧𓁜 ;
3. Une expression de ce constat [⚤]^♧𓁜.

Et donc, ce type de règle (1) et (2) s'exprime par un passage de ce type :  

Ensuite, Saunders Mac Lane passe à la multiplication, qui a les mêmes propriétés de commutativité et d'associativité :

m.1 = m ; m.n = n.m    (3)
k.(n.m) = (k.n).m     (4)

Auxquelles s'ajoute une loi de distributivité:

k(m + n) = k.m + k.n   (5)

 Avec cette représentation :

 2/ The Peano Postulates

Toutes les propriétés des nombres peuvent se ramener au concept de "0" et à l'opération "+1", ce qui est formalisé par l'ensemble des 5 axiomes de Peano :

1. 0 est un nombre;
2. Si n est un nombre, alors son successeur sn est un nombre;
3. 0 n'est le successeur d'aucun nombre (i.e.: sn n'est jamais 0)
4. Deux nombres n et m ayant le même successeur sont égaux (i.e.: si sn=sm, alors n=m)
5. Soit P est une propriété des entiers naturels
   • Si 0 a l'a propriété P;
   • Si sn a P quel que soit n
   • alors P est une propriété pour l'ensemble des entiers naturels

Saunders Mac Lane attire notre attention sur la forme générale d'une telle écriture axiomatique ou "formule":

• Elle manipule certains termes "primitifs" ou indéfinis tels que "nombre" , "0" et "successeur"
• Les Axiomes utilisent seulement ces termes liés par des connecteurs logiques tels que "si... alors"; "et", "égalité", "∀", "∃".

Tu repéreras immédiatement le fait que pour être "consistant" un langage doit manipuler des concepts qui lui sont extérieurs.

Maintenant, à partir de ce que nous venons de ce schéma 

Il faudrait situer les différents ingrédients de nos "formules".

- À mon sens, les éléments extérieurs aux règles du langage, ce qui est proprement "manipulé" doit être en [⚤]^♧𓁜.

- C'est la base même de notre représentation de l'Imaginaire : [⚤]^♧ est le niveau le plus élémentaire du langage ainsi que de la logique du 1^er ordre : "si... alors", déterminée par l'objet discriminant {0;1} placé également à ce niveau. Quant au quantificateur ∃, nous l'avons placé au plus bas en ☯[∃]^♧.

Le seul élément qui nous fasse monter en mode syntaxique [⚤]^♡ proprement dit, c'est le quantificateur universel ∀, découlant d'une très profonde pulsion unificatrice, qui transcende même son expression universelle.

Ceci dit, nous retrouvons ici, au tout début de la présentation très globale de Saunders Mac Lane, ce concept de successeur, que nous avons identifié depuis très longtemps, comme :

• la réification au niveau synchronique [⚤]^♧;
• d'un saut diachronique [∃]↑[⚤]^♧;
• au coeur même de l'automatisme de répétition de Freud, et de notre expérience du temps.

(a) - Tu nous fais le grand écart : 

- C'est exactement ce que je me propose de faire ici : retrouver, à chaque étape, les arrière-plans inconscients. Ici, par exemple, tu peux voir à nu le questionnement originel de Platon tentant de concilier:

• l'Un, source commune de tout, qui se retrouve dans cette universalité ∀ et
• l'Un source du multiple, comme principe élémentaire d'une répétition du geste [∃]↑[⚤]^♧

- Ne te laisse pas trop emporter et colle au texte !

- Tu remarqueras que Saunders Mac Lane insiste lui-même sur cette toute première étape, je ne fais que contextualiser son texte : 

"The induction axiom (5) is vital; it expresses the intuitive idea that tak­ing successors exhausts all the natural numbers. It is very useful practi­cally, in proving all sorts of formulas involving general n (for example, the formula for the sum 1+2²+3²+...+ n² of the first n squares) and for proving such results as the binomial theorem." p. 44

Et il importe ici de bien marquer la convergence en [⚤]^♧ de deux approches S↑ et S↓ pour exprimer ces axiomes.

Ensuite, l'auteur parle d'une autre approche, par les Ensembles et non les propriétés, de cette façon : 

• "(5') If S is a set of numbers containing 0 and if every n in S has its successor in S, then S contains all (natural) numbers."

Or, nous commençons petit à petit à en prendre clairement conscience, la notion "d'Ensemble", avec en particulier celle de "partie" d'un ensemble, et donc d'une relation entre la partie et le tout, relève du mode relationnel ♢.

- Après ce que nous venons de voir (i.e.: "Reprise #3") il y aurait donc deux passages de ♡ à ♧, l'un direct et l'autre passant par ♢ ?

Moebius 3 bandes	Coupe

(b)- Si tu t'en souviens (cf. : (α) et Note 6), dans son 1^er chapitre, Saunders Mac Lane a déjà introduit la logique de manière topologique à l'aide du concept d'inclusion, en s'affranchissant de la notion d'élément. Autrement dit les objets comme la logique qui les manipule sont tous deux, et de façon cohérence, de mode ♢. J'en conclus qu'il s'agit bel et bien de deux voies différentes pour parler in fine des nombres en N.

- Et comment interprètes-tu cette différence d'approche ,

- Dans les axiomes de Peano, le mouvement ([⚤]^♡𓁜⏩𓁝[⚤]^♡)𓂀^♧ est une interprétation, narrative, a posteriori, somme toute inconsciente de l'auteur 𓂀_Peano lui-même. En passant par le mode ♢, les concepts d'appartenance et d'inclusion font l'objet d'un discours formalisé, avec un abandon de toute "narration", propre au concept de successeur (et de temps) en mode ♧, pour passer à une expression topologique, hors temps. Tu remarqueras qu'en des termes différents, Saunders Mac Lane voit bien une différence de perspective entre les deux approches :

"This axiom implicitly refers to "all" subsets of N, so it is sometimes called a "second order" axiom, because the quantifier "all" is applied not just to elements of N, but also to subsets. More specifically, this form of the axiom means that we are considering the natural numbers in a context of sets, and that proofs of theorems about natural numbers may use not just the Peano axioms, but properties of sets, as these might be formulated in axioms for set theory. In this respect, it is like the completeness property of the real numbers... [...]

This transition from properties of numbers to sets of numbers is a familiar one.

• The use of properties may be called "intensional", because a property is described by a formula [...]
• On the other hand, the use of sets is extensional: As soon as two sets include the same elements, they are equal. The "extent" of the set is all that matters." p. 44

Par ailleurs, ce changement de perspective implique une rupture de taille entre les deux approches : le nombre des parties de N n'est pas dénombrable, ce qui implique la puissance du continu en [⚤]^♢!

"However, the induction axiom (v) for properties is weaker than that for subsets. Since a property, as explained, can be expressed in a finite list of words in a fixed language, the number of properties of natural numbers is denumerable. However, for the usual notions of sets, a "diagonal" argu­ment (see Chapter XI) shows that the number of subsets of N is not denu­merable but larger." p. 44

- Vois-tu le piège ?

- Oui, nous en revenons à la discussion sites/ topos (Note 1 de "Reprise #3"), cependant, tu n'inventes rien : Saunders Mac Lane en parfaitement conscient: 

"This observation has consequences. One can formu­late theorems about natural numbers which are true within set theory but which cannot be proved from the Peano axioms with induction in the form (5). Using sets, one can also construct a model of these axioms which is "non-standard" in the sense that the numbers are not exhausted by taking successors (Chapter XI). However, this is not so for the set­ theoretic version with axiom (5')." p. 44

- Je n'ai pas la prétention d'en rajouter sur Saunders Mac Lane, je suis juste rassuré de voir que mes petits glyphes m'aident à comprendre ce qui sans eux m'échapperait complètement. Mes béquilles sont solides et elles me sont fort utiles; en particulier lorsqu'il termine par :

"As we will soon see, one can prove that these Peano postulates do determine the natural numbers up to an iso­morphism." p. 44

J'y vois déjà toute une discussion en termes d'identité/ idempotence dans les changements de mode ♢⇅♧ !

- Retour au texte, please !

- Saunders Mac Lane introduit ensuite le théorème de récursivité. Là c'est intéressant, parce qu'il passe de la "récursivité", telle que comprise par Peano, à un exemple particulier de fonction (qu'il n'a pas encore introduite). Soit les opérations élémentaires d'addition, multiplication et exponentielle :

k + 0 = k , k +sn = s(k+n)           (1);
k.0 = 0 , k(sn) = k + kn.              (2);
k⁰ = 1 , k^sn = k.kⁿ                        (3).

Chacune de ces paires de formules définit une fonction f(n)=k+n ou kn ou kⁿ en donnant les valeurs de f(0) et celles de f(sn), comme une fonction g de f(n); où en (1), g est s, en (2) g est "k + —", et en (3) g est "k.—".

- C'est tordu comme façon de penser, non ?

- J'avoue avoir du mal à le suivre, mais je pense deviner la suite : 

• En mode ♧, nous avons les concepts de n, k et s, ainsi que les expressions (1), (2), (3)
• En mode ♢ :
  •  nous réifions le passage entre n et son image sous forme d'une "fonction" f(n);
  • que nous pouvons manipuler ensuite (en tant qu'objet cette fois) par une autre fonction g.

- Tu penses à un carré commutatif ?

- Oui, mais comme la notion de "fonction" ne fait pas partie de langage de mode ♧, tu es donc obligé de monter en mode ♢, c'est ce que nous avions pressenti en écrivant ce schéma (β):

choix k	𓁝[α]𓁜		𓂀♢
	↓	action
	[α]𓁜	actualisation k	𓂀♧

En l'occurrence, le concept de "successeur" élémentaire, en mode ♧, se hisse au rang de "fonction" en mode ♢. Avec ce schéma en tête, suivons l'auteur :

Le 19/ 03/ 2023

Théorème de récursivité :

Si X est un ensemble, a un "objet" de X et g : X →X une fonction, alors, il existe une seule fonction f : N  → X telle que :
f(0) = a , f(sm) = g(fm).        (4)
et ceci quel que soit m

En attente d'une définition plus précise au chapitre V, Saunders Mac Lane précise ici qu'il faut comprendre une fonction comme une "table de valeurs".

J'ai eu du mal avec le terme d'objet, hésitant à le comprendre comme élément de l'ensemble ou partie de celui-ci. Dans la suite du texte, j'ai compris qu'il s'agit ici d'éléments, puisque Saunders Mac Lane précise un peu plus loin que l'on peut remplacer l'objet a par une fonction du singleton vers celui-ci : a: 1→X.

Maintenant la propriété P de Saunders Mac Lane (en fait il présente une approche de Lawvere) :

P : il y a une seule fonction f_n : n → X qui satisfasse (4) :

• C'est vrai pour n=0 puisque f(0)=a. Soit f₀0=a ;
• Si P est vraie pour n, c'est qu'elle l'est pour ses prédécesseurs, comme ceci :

• Pour n+1, la valeur désirée de f sera g(f_nn) autrement dit, nous aurons f_n+1 : n+1 → X.
• Donc n+1 a la propriété P.
• Par récursivité, ceci est vrai pour N (en s'appuyant sur l'axiome 5').

Comme un objet a de X est la même chose que la fonction a: 1→X , on peut représenté nos fonctions par des  flèches sur ce diagramme :

Diagramme dans lequel les deux carrés commutent :

• à gauche : f0 = a
• à droite : g.f=f.s (lire de droite à gauche la composition des actions)

- J'arrive à suivre la présentation, mais tout ceci dans quel but ?

- Je te propose de suivre l'auteur pour avoir une vue d'ensemble de son approche. Il utilise cette structure, par exemple, dans le théorème suivant :

Théorème d'unicité :

La théorie ensembliste des postulats de Peano, détermine l'ensemble N des entiers naturels, à un isomorphisme près, donné par 0 et ses successeurs.

Soit N' un autre ensemble Avec un autre élément initial 0' et une autre fonction successeur s' : N'→N', on peut définir un homéomorphisme f: N → N' tel que :

f(0) = 0' ; fsn = s'fn,     pour tout n     (6)

On peut de même définir g : N' → N, ce qui nous donne le diagramme suivant : 

Que l'on peut comparer à la fonction Identité I: N → N

Et donc, le théorème d'unicité précédent conduit à g.f = I.

"This result is typical of the axiomatic description of sets with structure. At best, such a description can determine the model only "up to isomor­phism". As in this case, an isomorphism means a bijection from one model to another which "preserves" all the primitive terms involved in the axioms -as in (6) above. In this case, there are in fact many different but isomorphic models. For instance, if 100 is viewed as the zero, then the even natural numbers starting with 100 form a model for the Peano pos­tulates when the assignment n -> n+2 is taken to be the successor function." p. 47

Le 20/ 03/ 2023 :

- À la lecture de la suite du chapitre, il me semble que le passage des Axiomes de Peano à leur réécriture dans la théorie des Ensembles, avec explicitement, la réification du concept de "fonction", pouvant dès lors être manipulée comme un "objet", est au coeur même de la théorie des Catégories développée par l'auteur.

- Tu tournes en rond : tu nous en as déjà parlé en (β).

- Laisse-moi méditer là-dessus un instant. Partons du schéma (a) :

À la limite supérieure [♲]^♡ où nous situons le concept ∀, il s'agit d'une "propriété universelle" pas trop bien définie. Maintenant, lorsque tu passes par les Ensembles, comme on le voit dans le schéma (b) :

Le quantificateur ∀ est cadré par les possibilités offertes aux fonction du type f : N → N. Il y a effet N^N fonctions potentielles entre les éléments de N.

- Autrement dit, f est parmi un ensemble ayant la puissance du continu soit — en notant ℵ₀ la dimension de  N — dans un ensemble de dimension 2^ℵ₀, c.-à-d. celle de ℝ; équipotent à l'ensemble P(ℕ) des parties de ℕ.

- Merci pour la précision. Maintenant, avec le théorème de récurrence, tu tombes le nombre de fonctions particulières f_n formant f à ℵ₀. Vois-tu l'évolution de la signification de  ∀, en fonction du mode ?

- Dans l'opposition "virtuel" / "potentiel", tu penses à Deleuze ? (Note 1)

- Oui, bien entendu, mais on peut aller un peu plus loin en repensant au bouclage final entre le Réel et le Symbolique, qui rapproche [♲]^♡ de [⚤]^♧ sur notre figure globale.

L'ouverture finale, cette "virtualité", se retrouve dans le fait que la répétition servant primitivement à créer N est "indéfinie". C'est "entre les deux" que l'Imaginaire se ferme sur des "potentialités", et c'est tout à fait manifeste dans le mode ♢, vu comme médiateur entre les deux modes ♡ et ♧.

En ce sens, le passage par les Ensembles pour redéfinir les axiomes de Peano, implique la clôture de N à l'infini. Mais il s'agit d'une démarche bien plus récente que celle qui, en mode ♧, fait passer de [⚤]^♧ à [#]^♧, de l'analyse à la géométrie !

- Mais je pensais que les niveaux [⚤] étaient ceux du discontinu, or, ici, tu nous dis que l'espace de [⚤] est continu ?

- Je pense que notre conception du "discontinu" doit évoluer en fonction du mode Imaginaire où l'on se trouve. Ici, la discontinuité tient au passage d'une potentialité de fonctions 2^ℵ₀, à une quantité dénombrable ℵ₀, grâce à la symétrie de la formule f(sm) = g(fm) (4).

Dans le même ordre d'idées, la notion de "successeur", très primitive en [⚤]^♧, lié au temps, se transforme  en "récursivité" en [⚤]^♢, avec une expression résolument graphique, hors du temps.

- Et si tu reprenais ta lecture ?

- Tu as raison, nous en étions à :

3/ Natural Numbers Described by Recursion

- L'auteur indique que l'approche précédente, de Lawvere, implique les Axiomes de Peano, et que la réciproque a été prouvée.

"The logical equivalence of the two approaches is readily verified. Thus, we have already seen that the Peano postulates imply the recursion axiom. Conversely, one may prove that the recursion axiom implies all the Peano postulates. The most interesting part of this demonstration is that for the axiom of mathematical induction, for a subset S of N, as summarized in the following diagram: 

Since S is a subset of N each of its objects x is in N, so the assignment x ⟼ x is a function i: S → N (the inclusion function, as displayed in the lower part of (1) 
[...]
Thus, each number n is n = In = i(hn), which states that n is the element hn of S and hence that the elements in S include all the elements n of N.» . p. 48

Ce qui permet à Saunders Mac Lane de conclure ainsi :

"This case illustrates a general point: The axioms needed to describe a Mathematical structure (here to describe the structure of N, unique up to isomorphism) are themselves by no means unique.

The recursion theorem of (2.5) is an especially convenient form of axiom; it states that the diagram I→N→N is "universal" (that is, maps uniquely into every other such diagram 1→X→X)." p. 48

Où tu vois déjà se dessiner la tournure d'esprit propre à la théorie des Catégories, et confirme ce que nous venions d'en dire...

4/ Number Theory

L'auteur donne quelques exemples de problèmes autour desquels s'est développée la théorie des nombres : division / étude des nombres premiers/ conjecture de Fermat/ équations Diophantiennes.

5/ Integers 

Passage de N à Z. 

"Here as elsewhere, what matters is not an exact description of what an integer is, but a description of the structure of all the integers, up to isomorphism." p. 51

Donc acte.

6/ Rational Numbers

On part d'une définition individuelle des fractions par les propriétés suivantes:

m/n +m'/n' = (mn' +m'n)/nn'    ,      (m/n).(m'/n')=mm'/nn'.         (1)

En remarquant que ces équations n'ont pas forcément de solution en N⁺, on introduit Q⁺, comme paires ordonnées de nombres positifs (m,n) tels que :  

(m,n) + (m',n') = (mn' + nm', nn')    ,    (m,n)(m',n') = (mm', nn').         (2)

en définissant l'égalité entre (m,n) et (r,s) par : ms = nr.

Avec m dans N⁺, identifiable à (m,1) dans Q⁺, nous avons là aussi, une extension de N⁺ dans un ensemble Q⁺ plus grand, dans lequel toutes les fonctions arithmétiques sont valables.

On peut ensuite définir Q à partir de Q⁺, en lui adjoignant 0 et les nombres rationnels négatifs Q^-.

- Tu nous récites le livre, là...

- Oui, parce que je n'ai pas de commentaire à y ajouter : les postures du Sujet ont déjà été définies.

7/ Congruence

- Là, je peux rajouter mon grain de sel : La circularité caractérise le mode ♢.

- De mémoire, tu avais l'idée d'un écoulement linéaire du temps, avec le concept de "successeur" en [⚤]^♧, et tu as placé "naïvement", le concept de "structure de groupe" en [⚤]^♢.

- Idée allant de pair avec celle d'une clôture de l'Imaginaire, exactement. Eh bien, nous en avons ici un exemple très basique, avec l'introduction du concept de congruence.

"For integers a, b, and any natural number m oF 0 as modulus, one writes a ≡ b (mod m), or says that a is congruent to b for the modulus m, when the difference a - b is a multiple of m. Then one readily proves the arithmetic rules: If a≡b and c≡d, both mod m, then
a + c ≡ b +c (mod m)    ,    ac ≡ bd.(mode m).           (1)
This congruence modulo m behaves like equality; also it is reflexive, sym­metric and transitive. ("Transitive" is defined in §1.5; a relation such as ≡ is symmetric when a ≡ b implies b ≡ a for all an and b.)" p. 52

D'ailleurs la notion de groupe arrive immédiatement au galop :

"Thus the remainders modulo m form an (abelian) group under addition. Under multiplication, the non-zero remainders modulo a prime p also form a group of p-1 elements.
This is not the case for a composite modulus m, such as 2·3, because there 2·3 ≡ 0 (mod 6) so that neither 2 nor 3 can have a multiplicative inverse modulo 6. Φ(m), while Φ is called Euler's Φ-function. For a prime p or for integers m,n with greatest common divisor 1 one readily calculates that :
Φ(p) = p-1 ,   Φ(p^k) = (p-1)p^k-1 ,    Φ(mn) = Φ(m)Φ(n).           (2)  " p. 52

Tu remarqueras au passage de quelle façon l'esprit cloisonne les choses : dans cette fonction Eulérienne, on clôt d'abord l'espace par p, et ensuite, on vient "cueillir" à l'intérieur les nombres premiers inférieurs à p.

Bref, nous aboutissons à :

Here as always, mathematicians strive for an invariant for (and may be replaced by) the "congruence class" C_mr of all integers a with a ≡ r (mod m). To add the class C_mr to the class C_ms one may then take any representative a in C_mr, any b in C_ms, add a and b, and take the class of this sum a + b as the sum C_mr + C_mrs. 
[...]
we see that the collection Z_m of all these congruence classes C_m forms a system with binary operations of addition and multiplication, and that the function C_m from Z to Zm, as in. 
C_m : Z→Zm ; a ⟼ C_ma
carries the addition and multiplication of integers to that of congruence classes. (It is thus a first example of a homomorphism of + and x .) This gives an "invariant" formulation of the calculation with remainders." p. 53

Et je laisse la conclusion à l'auteur lui-même :

"Thus we have (at least) three descriptions of the algebra of integers modulo m: As the ordinary integers taken with a new equality, congruence modulo m; as the algebra of remainders modulo m; or as the algebra of congruence classes, modulo m. The last description is the more invariant- and the more sophisticated,- since it involves a set whose ele­ments are sets (a collection of congruence classes)" p. 53

 8/ Cardinal numbers

"The question arises: What, after all, is a natural number? One explana­tion says that it is a cardinal number. For this purpose, as in §1.2, define two sets S and S ' to be equinumerous (or, cardinally equivalent), in sym­bols S≡S', when there is a bijection b: S→S '; that is, a one-to-one correspondence between S and S'. This relation between sets is

• reflexive (because the identity function is a bijection),
• symmetric (because the inverse of a bijection is again such), and
• transitive (because the composite of two bijections is again such)." p.54

- Nous sommes ici de plain-pied en [⚤]^♢, et à la réflexion, dès que l'on quitte les Axiomes de Peano, nous quittons le mode ♧, pour nous intéresser aux relations entre objets en mode ♢, ici en l'occurrence une relation d'équivalence. Et donc, les développements sur la cardinalité des nombres est en [⚤]^♢.

"On this basis, a finite cardinal number is just a finite set taken "modulo" cardinal equivalence; that is, with cardinal equivalence taken as the equality. In other words, a number is "represented" by a finite set, and two sets count as the same if they are in bijection. Alternatively, if we want not a "representative" of the number, but a single object, we may define
cardinal number of S to be the set of all sets S' equinumerous with S: In other words S :
 card S = {S'║S ≡ S'}          (4) "p. 55

- Tu vois se pointer l'idée d'une "base" card S en [⚤]^♧ sur laquelle viendraient se projeter tous les S'≡ S :

avec les notions :

• d'identité : a.b(S) = S
• d'idempotence : b.a (S1) envoie en S₂, ou S₃ ... S_n.

Autrement dit, nous sommes déjà dans des considérations topologiques.

- Je croyais que les "relations étaient de mode ♢ exclusivement.

- Tu as raison, et il faudra que je clarifie mon langage, car je fais ici un raccourci. Tout se décrit effectivement en [⚤]^♢, mais l'objectif final est bien de redescendre au plus proche du Réel en mode ♧. Pour être tout à fait rigoureux je devrais écrire a: S' → S et b: S → S', dans un langage de niveau [⚤]^♢, et résumer ainsi :

La dégénerescence du concept de nombre cardinal [⚤]^♢↓[⚤]^♧ ne peut porter que sur S (i.e.: défini par les Axiomes de Peano).

D'ailleurs Saunders Mac Lane fait le lien historique entre cette notion de cardinal et celle de congruence, qui précède :

"This definition of cardinal number is strongly analogous to the invariant definition of a congruence class module m, as in §7. Historically, congruence classes understood well before the more general definition of cardinal number. There is a difference: The congruence class C_mr of r modulo m consists of all integers a in a given set of integers with a ≡ r (mod m), but the cardinal of S, as defined in (4), consists of all sets S ' in the whole world with S' ≡ S." p. 58

Tu vois ici un passage à la limite, avec les paradoxes de Russel se pointer à cet horizon. D'ailleurs, à bien y réfléchir, ces paradoxes sont liés à ma représentation naïve (1).

- Explique ?

-  En mode ♧, notre "S" est une simple collection d'objets, et "S" ne peut être représenté que par ses éléments. 

"Some discomfort with this wide scope of things is in order. If one is using here the "naive" idea that a set S is any collection whatever of identifiable things (and that two sets are equal when they contain exactly the same things), then there can be paradoxes. To formulate one paradox, note that there can be sets (such as the set of all infinite sets) which are members of themselves-and other sets not members of themselves. Thus Bertrand Russell, noting that we can define a set by specifying its ele­ ments, considered the set R consisting of those sets which are not members of themselves:
R = {S | not (S∈S)}                     (6)
In others words 
S∈R if and only if not (S∈S).      (7)
He then asked: is R a member of itself, or not?

• If so, then R ∈ R, so by (7), not (R ∈ R).
• If not so, then not (R ∈ R), so by (7) read backwards, with S = R, one has R ∈ R- a contradiction either way.

This Russell Paradox exhibits a difficulty with the naive notion of set, when coupled with the idea that one can specify a set by collecting all the objects with a given property P to form a set T:
T = {X I X has the property P} . (8)
(Call this the naive comprehension axiom.) One (standard) way to avoid this trouble is to apply this comprehension axiom only to construct subsets of some already given set W-as, for example, subsets of the set Z. This "bounded" comprehension axiom then reads: Given a set W and a prop­erty P of sets, one may form the sets 
T = {X I X∈W and X has the property P}         (9)" p. 55

Très franchement, je ne pouvais pas rêver meilleur façon d'exprimer la nécessité du saut Imaginaire entre [⚤]^♧ et [⚤]^♢ : surmonter le paradoxe de Russel ! Cerise sur le gâteau, Saunders Mac Lane pointe la clôture Imaginaire (some given set) qui s'opère dans ce passage. Ensuite le processus de clôture se poursuit.

Après avoir défini le "power set" U, que je traduis par "Ensemble des parties", à partir de la propriété P :
PU = {S | S⊂U},       (10)
il poursuit :

"For the present, to explicate cardinal numbers, start with some (infinite) initial set V₀, called a type or a "universe"; for example, V₀ might be the set of natural numbers or the set of all real numbers. The "next" type V₁ is to consis of all the subsets S of V₀,, so can be described as V₁ = PV₀. Now we can describe the cardinal number of such a set S as the set of all equinumerous S' which are also subsets of V₀
card S = {S' I S'∈V₁ and S ≡ S'}.               (11)
This cardinal number is then a set in the next higher type V₂ = PV_I . This approach makes the cardinal number depend on a choice (or hierar­chy) of types, but the definition (11), in contrast to (4), uses only the bounded comprehension axiom so that Russell's paradox no longer arises. The use of successive "universes" V₀, V₁ , V₂ is a highly simplified version of the "type theory" invented by Russell to avoid his paradox. (More care is needed in details; for example to arrange that a type is closed under products.)" p. 56

Comme tu le vois, le procédé consiste à enserrer de plus en plus le concept d'ensemble, dans des "types" comme des pelures d'oignons pour s'éloigner, couche après couche, du paradoxe en question.

- Et du Réel par la même occasion...

- C'est le prix à payer, mais l'auteur y reviendra en détail par la suite.

9/ Ordinal Numbers

- Ici, nous listons les éléments d'un objet dans un ordre donné, soit un ensemble P et une relation d'ordre : (P,<). Maintenant que nous sommes, comme tu l'as compris en plein dans la théorie des Ensembles, vient la question de comparer deux tels ensembles (P,<) et (P',<). Soit f : P→P', un isomorphisme est une bijection qui préserve l'ordre, soit : p₁<p₂ dans P implique p'₁<p'₂ dans P'. Dans un tel cas, les deux ensemble P et P' sont dit "équivalents" ou P∼P'.

Alors, un nombre ordinal peut être vu comme un ensemble P modulo cette équivalence ∼ vue comme égalité. Pour faire le pendant avec ce qui vient d'être vu pour les cardinaux, et les modulos m, on peut définir un ordinal comme une classe d'équivalence de type V1 :

ord P = {P' | P'∈ V₁ et P' ∼ P}            (1)

À partir de là nous pouvons définir nos opérations usuelles sur des ensembles P et Q disjoints et finis : 

• Addition : P + Q => on prend les éléments de P dans l'ordre, ensuite ceux de Q;
• Multiplication : P X Q donne un ordre "lexicographique" : 
  (p₁,q₁)<(p₂,q₂) si et seulement si p₁<p₂ ou p₁=p₂ et q₁<q₂.        (2)
• Puissance : pour Q fini, l'ensemble exponentiel P^Q est celui de toutes les fonctions f: Q→P, qui donne un ordre lexicographique équivalent : soit deux fonctions g et f, prendre le premier q dans l'ordre donné sur Q pour lequel fq ≠ gq, et ensuite convenir que f<g ssi fq<gq.

Pour chacune des 3 opérations, nous avons une équivalence :
P ∼ P' et Q ∼ Q' implique PXQ ∼ P'XQ'.         (3)
Le produit de deux ordinaux est alors défini par :
(ord Q) (ord P) = ord(PXQ).          (4)

Tout ceci ne pose pas de problème pour les ordinaux finis, il en va autrement pour les ordinaux infinis sur N. Ceci tient au fait que N^- n'a pas de borne inférieure. CE qui conduit à définir comme "bien ordonné" un ensemble qui a un plus petit élément.

- Je ne suis pas très convaincu par l'idée d'un "ordre" dans les éléments (p,q) d'un produit cartésien PXQ.

- Laisse la question en stand-by : Saunders Mac Lane y reviendra lorsqu'il abordera plus à fond la notion d'ensemble.

10/ What are numbers ?

Bien entendu la question reste ouverte.

Saunders Mac Lane fait le récapitulatif suivant :

"(a) Natural numbers are just a sequence of marks.
(b) Natural numbers are finite sets, with equinumerous sets regarded as equal numbers, while successor means "adjoin one more element".
(c) Natural numbers are cardinal-equivalence classes of finite sets.
(d) Natural numbers are ordinal-equivalence classes of finite ordered sets, while successor means "adjoin one new element, to come after all the others".
(e) Natural numbers are finite sets of sets, linearly ordered by the membership relation, as in (6)." p. 58

Leur point commun est de toujours respecter les Axiomes de Peano.

Maintenant, à partir des fonctions élémentaires définies sur N, il a fallu compléter N pour étendre leur domaine d'application, ce qui a conduit à Z et Q.

Ensuite, la théorie des nombres conduit à l'idée de congruence modulo m, et donc à l'idée de classes de nombres. Ce qui conduit à l'étude des ensembles et des fonctions.

- En bref ?

- Dans l'idée que le niveau [⚤]^♧ est au plus proche du Réel, après un saut diachronique élémentaire  [∃]↑[⚤] permettant d'identifier le trauma en [∃]^♧comme marque d'un Réel ☯ hors de l'Imaginaire, le seul langage permettant le décompte né d'un tel automatisme de répétition, s'écrit le plus simplement qui soit avec les axiomes de Peano.

Dès que l'on veut résoudre les apories du langage nées de cette première prise de conscience de l'objet comme élément, apories liées aux calculs, ou au paradoxe de Russel, alors, il faut changer de mode ♧↑♢ et s'intéresser aux liens entre objets (ou fonctions ou morphismes) réifiés à leur tour en mode ♢, comme les objets l'ont été en mode ♧.

- En bref, tu en restes à ton schéma (b) ?

- Je pense qu'il résume bien ce que nous avons pu apprendre de Saunders Mac Lane dans ce chapitre sur les nombres.

J'ajouterai, pour finir, que la posture ☯[∃][⚤]^♧𓁜 semble effectivement extrémale car toute évolution Imaginaire à partir de là, impliquant le passage 𓁜⏩𓁝, conduit à l'idée de continuité :

• Soit dans le changement de niveau, dans le passage
  ([⚤]𓁝𓁜[#]⏩ [⚤]𓁝𓁜[#])𓂀^♧. 
  Il s'agit ici du passage de N à R, et l'accès à la géométrie (dans la répétition ⊥ de R);
• Soit dans le changement de mode, dans le passage 
  (𓁝[⚤]^♧𓁜↑𓁝[⚤]𓁜^♢)𓂀^♢,
  avec le passage d'élément à partie d'un tout.

L'opposition 𓁝/𓁜 s'interprète

• Dans le premier cas comme différence local—𓁝[#]^♧ / [#]^♧𓁜—global et
• Dans le second, en termes  d'inclusion : 𓁝[⚤]^♢ ⊂ [⚤]^♢𓁜.

- Mais en quoi cette posture ☯[∃][⚤]^♧𓁜 serait-elle extrémale ?

- Au sens où, au contact du Réel, nos percepts s'atomisent en éléments.

- Voilà qui nous ramène à des considérations philosophiques bien anciennes,

- Ou physiques bien récentes ! 

- Autant que neurologiques....

- Amen !

Hari

Note 1 :

Voir :

• 2016/10/colloque-dimpsy-la-puissance-du-virtuel-vs-l-impuissance-du-discours.html

Le 20/ 03