Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - Reprise #3

- Pour revenir à "Mathematics Form & Function" de Saunders Mac Lane, je reprends mon premier article, sur son introduction, écrit en octobre, afin de me replonger dedans.

- Et tu comptes commenter tes commentaires ?

- Juste pour voir si j'ai évolué en l'espace de 6 mois... Et donc :

Introduction

Saunders Mac Lane commence par une pique contre Wittgenstein :

«In brief, a philosophy of Mathematics is not convincing unless it is founded on an examination of Mathematics itself. Wittgenstein (and other philosophers) have failed in this regard.» p. 1

Après notre petite plongée dans la philosophie Grecque Antique, je pourrais prolonger mes commentaires assez facilement, en ramenant cette critique à celle de Platon envers les Sophistes, et à la motivation première de sa construction philosophique : trouver un "objet" de discours hors du discours. En l'occurrence ce fût le "UN". Si l'on peut discuter du choix platonicien, la nécessité d'une ouverture du discours sur autre chose que lui-même a été vue par Russel (et son paradoxe) et formalisé par Gödel, au grand dam de Hilbert...

Ceci dit, je crois qu'il y a une petite confusion chez Saunders Mac Lane : il ne s'agit pas pour Wittgenstein de se limiter à l'examen du discours, mais (après le Tractatus) d'y débusquer les contradictions internes, ce à quoi, d'ailleurs, s'emploient les mathématiciens ainsi que tous les scientifiques véritables. Si Wittgenstein réduit le débat philosophique à des embarras de langage, c'est précisément dans la mesure où ce débat lui-même ne traite que de son propre discours... 

- Si tu passais à la suite ?

- Désolé, j'ai tendance à pontifier. Je ne reviens pas sur le 2^e point soulevé par l'auteur (invention ou découverte des mathématiques) que je rapproche de la dispute entre Aristote et Platon, pour arriver au 3^e point, plus intéressant : je concluais alors à l'articulation du discours mathématique sur trois modes ♧ ♢ ♡, alors que je viens tout juste de recadrer celui du physicien également sur ces 3 modes :

Moebius 3 bandes	Coupe

- Autrement dit tu veux y retrouver la dispute sites/ topos entre René Guitart et Alain Connes ? (Note 1)

(α)- Bien sûr. À y regarder de plus loin, tu y retrouves en fait la dispute ancestrale entre Aristote et Platon, entre pensée immanente S↑ et transcendante S↓ (Note 3) :

• S↑ : l'expérience déborde l'idée que l'on s'en fait a priori (le choc du Réel), tandis que
• S↓ : le sens donné à l'expérience passée permet de voir des choses qui échappent au premier regard (ex: le spin en Méca Q).

- En bref, "organiser" nos pensées, simplifie leur agencement, ce qui se retrouve dans cette très vieille remarque :

"Le principe d’une chose est toujours plus simple que cette chose." Plotin (Ennéades, V, 3,16). (Note 2)

- Exactement. Comme tu le vois, Saunders Mac Lane, s'inscrit dans une très vieille tradition.

- Rien d'autre à ajouter ?

- Non, passons à la suite du livre à travers mon article #2 :

Chapitre 1 -
Origins of formal structures

Table des matières :

1. The Natural Numbers
2. Infinite Sets
3. Permutations
4. Time and Order
5. Space and Motion
6. Symmetry
7. Transformation Groups
8.  Groups
9. Boolean Algebra
10. Calculus, Continuity, and Topology
11. Human Activity and Ideas
12. Mathematical Activities
13. Axiomatic Structure

J'avoue être un peu effrayé par la longueur de mes premiers commentaires, et ne pas trop avoir le courage de m'y replonger. 

- Fais un petit effort quand même, tu as bien du évoluer quelque peu depuis le temps.

- Oui, mais alors, vite fait !

1/ The Natural Numbers

L'auteur parle de 4 processus :

• Lister;
• Étiqueter;
• Compter;
• Comparer.

Après réflexions, j'en arrivais à ceci :

"Je veux bien comprendre les verbes "labelliser" ou identifier, ou étiqueter, comme des mouvements  de type [⚤]^♢↓[⚤]^♧ atemporels, cependant, le terme de "lister" me semble bel et bien attaché à un mouvement Imaginaire lié au temps. j'en veux pour preuve le commentaire de Mac Lane qui suit immédiatement :

Note that the numerals will be adequate for this process in all cases only if there is always a next numeral; this is one origin of the idea that every natural number n has an immediate successor s(n) = n + 1 .

Ce qui est bien en accord avec tout ce que nous avons dit du temps en termes d'automatisme de répétition jusqu'à présent. C'est pourquoi, il m'aurait paru logique que Mac Lane commence par parler des concepts de successeur et de temps...."

- Dont acte, passons à :

2/ Infinite Sets

Bon, je ne reprends pas tout ce que j'ai pu développer sur le sujet, pour m'en tenir à ceci :

1. En [⚤]^♧𓁜 : La notion de successeur avec s(n) = n + 1  conduit à N indéfini;, (et un déroulement linéaire du temps)
2. En [#]^♧𓁜 : Le premier infini clos l'Imaginaire, il s'agit de la clôture de R par un "point à l'infini" noté ∞
3. En [⚤]^♢𓁜 : La clôture de N vient après celle de groupe, (et la clôture du temps à l'infini), dans un passage rétrospectif [⚤]^♢↓[⚤]^♧ (Note 4)

3/ Permutations

RAS

4/ Time and Order

Il est intéressant de se rappeler que Saunders Mac Lane introduit en premier un temps continu, avec une logique à 3 états :

"... Moreover, for any two distinct instants of time, one must come before. In different language, for all t and t' exactly one of  
t<t' or t=t' or t'<t (2)
must hold. This statement is the law of trichotomy.» p. 13

Pour, ensuite en venir à l'ordre strict et la logique du 1^er ordre :

«But the "before" and "after" of time is not the only example of these two laws. There is a "discrete" example. For natural numbers, m<n means that n comes after m in the list of numbers succeeding m; here both laws ( I ) and (2) hold:
0<1<2<3< . .  (3) » p. 13

Après la mise en perspective de la physique à laquelle nous venons de procéder, nous pouvons voir les choses ainsi :

• => La notion d'ordre, venant de l'expérience concrète de notre rapport aux choses, c.-à-d. dans un mode relationnel ♢, n'est pas primitivement limitée au 1^er ordre.
• => La logique du 1^er ordre serait donc, a posteriori, une abstraction à partir de notre expérience : [⚤]^♢↓[⚤]^♧.

Point de vue plus riche, qui traduirait bien le fait que le mode ♧ n'est pas le mode historiquement le plus primitif, mais résulte d'un effort pour "rationaliser" notre discours. (Note 5)

5/ Space and Motion

Là, j'ai quelque peu évolué depuis mes premiers commentaires. Je vais radicaliser mon discours :

• Le mode ♧, que je qualifie faute de mieux "d'objectif", règle le discours sur les rapports espace/ temps:
  • Ceci correspond aux "formes a priori", terrain de jeu de la connaissance a priori de Kant;
  • C'est le domaine des mathématiques traitant du discret et du continu, dans une logique du 1^er ordre.
  • Caractérisé en termes catégoriques par l'objet final de la catégorie Ens, le singleton (*).
• Le mode ♢, ou "relationnel" :
  • En mathématiques, il correspond à la réification du concept diachronique d'application ou d'identification d'un "rapport" entre objets. C'est la flèche d'un morphisme. La plus petite catégorie de ce type est celle des Graphes avec l'objet final de la catégorie des graphes, le monoïde :  •⟲.
  • En physique, métaphoriquement, on remplace le monoïde •⟲ des maths par la quantité de mouvement (ou la pulsion selon le point de vue) p⃗=mv⃗. (Note 6)

- Mais le discours mathématique ne s'arrête pas aux modes ♧ et ♢!

- Non, et ce livre de Saunders Mac Lane, qui traiCe de la structure même du langage mathématique, se situe  en mode syntaxique ♡.

- Le même mode ♡ que celui de la physique ?

- Ah ! C'est une grande question ! 

De même que nous avons vu pour la physique une structure de ce type :

Peut-être devrons nous, à l'étage au-dessus, voir quelque chose de ce type :

- Autrement dit, tu en arrives aux "ponts" d'Olivia Caramello ?

- Avec une structure fractale, autrement dit économe en énergie intellectuelle.... Avoue que c'est une belle perspective, non ?

- C'est très joli, mais hors sujet : nous en étions, plus prosaïquement à "space et mouvement".

- Pour penser le "mouvement", il faut introduire la notion de masse, dans un mode relationnel, et donc monter en mode  ♢. L'espace en lui-même, ainsi que le temps, vu comme dimension d'espace, se limite aux niveau [#] (et [♲] pour la relativité).

6/ Symmetry

RAS

7/ Transformation groups

(β) L'important tient au schéma :

choix k	𓁝[α]𓁜		𓂀♢
	↓	action
	[α]𓁜	actualisation k	𓂀♧

Ainsi qu'à l'effacement du temps et de la causalité du 1^er ordre en mode ♢  :

• En [⚤]^♧: les notions liées au temps avant/ après et ordre etc. deviennent :
• En [⚤]^♢ : une différence d'ordre spatial gauche/ droite;
• Avec l'idée d'un retournement : f.^#T = T.f  pour exprimer une équivalence entre deux enchaînement d'actions.

- La suite du chapitre 1 n'appelle pas de nouveaux commentaires de ma part.-

- Ouf, après 6 mois, nous allons enfin passer à la suite ! 

Hari

Note 1 :

Voir :

• La note  du 08/ 03 de Méta physique.
• 2eme-colloque-lysimaque-mathematique-et-psychanalyse-1-le-trois

Note 2 :

Voir toute notre longue discussion :

• la-question-de-l-un-dans-la-pensee-grecque-hubert-jacobs.html

Note 3 :

Dans une pensée limité au mode "objectif" ♧,
(☯[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯) 𓂀^♧ 
nous avons vu à maintes reprises que les deux processus achoppent autour de 𓁝[♲]𓁜.

Note 4 :

Voir ma discussion de l'intervention d'Alain Connes sur la clôture de N, lors du 1^e colloque Lysimaque :

• a-l-ombre-de-grothendieck-et-de-lacan-1.html

Note 5

Je ne m'étends pas plus, mais il y a là une belle réflexion philosophique à poursuivre : les "catégories a priori" kantiennes du discours résultent d'un processus. Il y a donc eût un moment de la pensée où lesdites conditions n'étaient pas si "a priori" que cela...

Note 6

C'est tout chaud, ça vient de sortir, voir :

• "Le discours du physicien" α